1、2014 年辽宁省抚顺市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 ) 的倒数是 ( ) A. -2 B. 2 C. D. 解析 ： - 的倒数是 -2. 答案： A. 2.(3 分 )若一粒米的质量约是 0.000021kg，将数据 0.000021 用科学记数法表示为 ( ) A. 2110 -4 B. 2.110 -6 C. 2.110 -5 D. 2.110 -4 解析 ： 0.000021=2.110 -5； 答案： C. 3.(3 分 )如图所示，已知 ABCD ， CE 平分
2、 ACD ，当 A=120 时， ECD 的度数是 ( ) A. 45 B. 40 C. 35 D. 30 解析 ： ABCD ， A=120 ， DCA=180 -A=60 ， CE 平分 ACD ， ECD= DCA=30 ， 答案： D. 4.(3 分 )如图放置的几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示 . 答案： C. 5.(3 分 )下列事件是必然事件的是 ( ) A. 如果 |a|=|b|，那么 a=b B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C. 半径分别为 3 和 5 的两圆相外切，则两圆
3、的圆心距为 8 D. 三角形的内角和是 360 解析 ： A、如果 |a|=|b|，那么 a=b 或 a=-b，故 A 选项错误； B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，此时被平分的弦不是直径，故 B 选项错误； C、半径分别为 3 和 5 的两圆相外切，则两圆的圆心距为 8，故 C 选项正确； D、三角形的内角和是 180 ，故 D 选项错误， 答案： C. 6.(3 分 )函数 y=x-1 的图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 一次函数解析式为 y=x-1， 令 x=0， y=-1. 令 y=0， x=1，即该直线经过点 (0， -1)和 (1， 0). 答案：
4、D. 7.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. -2(a-1)=-2a-1 B. (-2a)2=-2a2 C. (2a+b)2=4a2+b2 D. 3x2-2x2=x2 解析 ： A、 -2(a-1)=-2a+2，故 A 选项错误； B、 (-2a)2=4a2，故 B 选项错误； C、 (2a+b)2=4a2+4ab+b2，故 C 选项错误； D、 3x2-2x2=x2，故 D 选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )甲乙两地相距 420 千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的 1.5 倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了 2 小时 .设原来的平均速度为
5、 x千米 /时，可列方程为 ( ) A. + =2 B. - =2 C. + = D. - = 解析 ： 设原来的平均速度为 x 千米 /时，由题意得， - =2. 答案： B. 9.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 A是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲线 y=(x 0)上的一个动点， PBy 轴于点 B，当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积将会 ( ) A. 逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小 解析 ： 设点 P 的坐标为 (x， )， PBy 轴于点 B，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点， 四边形 OAPB是个直角梯形， 四边形
6、 OAPB 的面积 = (PB+AO) BO= (x+AO) = + = + ， AO 是定值， 四边形 OAPB的面积是个减函数，即点 P的横坐标逐渐增大时四边形 OAPB的面积逐渐减小 . 答案： C. 10.(3 分 )如图，将足够大的等腰直角三角板 PCD 的锐角顶点 P 放在另一个等腰直角三角板PAB 的直角顶点处，三角板 PCD 绕点 P 在平面内转动，且 CPD 的两边始终与斜边 AB 相交，PC 交 AB 于点 M， PD 交 AB 于点 N，设 AB=2， AN=x， BM=y，则能反映 y 与 x 的函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 作 PHA
7、B 于 H，如图， PAB 为等腰直角三角形， A=B=45 ， AH=BH= AB=1， PAH 和 PBH 都是等腰直角三角形， PA=PB= AH= ， HPB=45 ， CPD 的两边始终与斜边 AB 相交， PC 交 AB 于点 M， PD交 AB于点 N 而 CPD=45 ， 1AN2 ，即 1x2 ， 2=1+B=1+45 ， BPM=1+CPD=1+45 ， 2=BPM ， 而 A=B ， ANPBPM ， = ，即 = ， y= ， y 与 x 的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为 1x2 . 答案： A. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分
8、) 11.(3 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ：要使分式有意义，即： x-20 ，解得： x2 . 答案： x2 . 12.(3 分 )一组数据 3， 5， 7， 8， 4， 7 的中位数是 . 解析 ： 先对这组数据按从小到大的顺序重新排序： 3， 4， 5， 7， 7， 8. 位于中间的两个数是 5， 7，所以这组数据的中位数是 (5+7)2=6 . 答案： 6. 13.(3 分 )把标号分别为 a， b， c 的三个小球 (除标号外，其余均相同 )放在一个不透明的口袋中，充分混合后，随机地摸出一个小球，记下标号后放回，充分混合后，再随机地摸出一个小球，两次摸出
9、的小球的标号相同的概率是 . 解析 ： 列表如下： 所有等可能的情况有 9 种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有 3 种，则 P= = . 答案： 14.(3 分 )将抛物线 y=(x-3)2+1 先向上平移 2 个单位，再向左平移 1个单位后，得到的抛物线解析式为 . 解析 ： 抛物线 y=(x-3)2+1 先向上平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为 y=(x-3+1)2+1+2=(x-2)2+3，即： y=(x-2)2+3. 答案： y=(x-2)2+3. 15.(3 分 )如图， O 与正方形 ABCD 的各边分别相切于点 E、 F、 G、 H，点 P 是
10、 上的一点，则 tanEPF 的值是 . 解析 ： 连接 HF， EG， FG， O 与正方形 ABCD 的各边分别相切于点 E、 F、 G、 H， FHEG ， OG=OF ， OGF=45 ， EPF=OGF ， tanEPF=tan45=1 ， 答案： 1. 16.(3 分 )如图，河流两岸 a、 b 互相平行，点 A、 B 是河岸 a 上的两座建筑物，点 C、 D 是河岸 b上的两点， A、 B的距离约为 200米 .某人在河岸 b上的点 P处测得 APC=75 ， BPD=30 ，则河流的宽度约为 米 . 解析 ： 过点 P 作 PEAB 于点 E， APC=75 ， BPD=30
11、， APB=75 ， BAP=APC=75 ， APB=BAP ， AB=PB=200m ， ABP=30 ， PE= PB=100m. 答案： 100. 17.(3 分 )将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放 .如果 3=32 ，那么1+2= 度 . 解析 ： 3=32 ，正三角形的内角是 60 ，正四边形的内角是 90 ，正五边形的内角是108 ， 4=180 -60 -32=88 ， 5+6=180 -88=92 ， 5=180 -2 -108 ， 6=180 -90 -1=90 -1 ， + 得， 180 -2 -108+90 -1=92 ，即 1+2=70 . 答案：
12、70 . 18.(3 分 )如图，已知 CO1是 ABC 的中线，过点 O1作 O1E1AC 交 BC 于点 E1，连接 AE1交 CO1于点 O2；过点 O2作 O2E2AC 交 BC 于点 E2，连接 AE2交 CO1于点 O3；过点 O3作 O3E3AC 交 BC于点 E3， ，如此继续，可以依次得到点 O4， O5， ， On和点 E4， E5， ， En.则 OnEn= AC.(用含 n 的代数式表示 ) 解析 ： O 1E1AC ， BO 1E1BAC ， ， CO 1是 ABC 的中线， = ， O 1E1AC ， O 2O1E1ACO 2， ， 由 O2E2AC ， 可得： ，
13、 可得： OnEn= AC. 答案： . 三、解答题 (第 19 题 10 分，第 20 题 12分，共 22 分 ) 19.(10 分 )先化简，再求值： (1- ) ，其中 x=( +1)0+( )-1tan60 . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出 x 的值，代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = =x+1， x= ( +1)0+( )-1 tan60=1+2 ， 当 x=1+2 时， 原式 =2 +2. 20.(12 分 )居民区内的 “ 广场舞 ” 引起媒体关
14、注，辽宁都市频道为此进行过专访报道 .小平想了解本小区居民对 “ 广场舞 ” 的看法，进行了一次抽样调查，把居民对 “ 广场舞 ” 的看法分为四个层次： A.非常赞同； B.赞同但要有时间限制； C.无所谓； D.不赞同 .并将调查结果绘制了图 1 和图 2 两幅不完整的统计图 . 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)求本次被抽查的居民有多少人？ (2)将图 1 和图 2 补充完整； (3)求图 2 中 “C” 层次所在扇形的圆心角的度数； (4)估计该小区 4000名居民中对 “ 广场舞 ” 的看法表示赞同 (包括 A层次和 B层次 )的大约有多少人 . 解析 ： (1)由 A 层次
15、的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可； (2)由 D 层次人数除以总人数求出 D 所占的百分比，再求出 B 所占的百分比，再乘以总人数可得 B 层次人数，用总人数乘以 C 层次所占的百分比可得 C 层次的人数不全图形即可； (3)用 360 乘以 C 层次的人数所占的百分比即可得 “C” 层次所在扇形的圆心角的度数； (4)求出样本中 A 层次与 B 层次的百分比之和，乘以 4000 即可得到结果 . 答案： (1)9030%=300 (人 )， 答：本次被抽查的居民有 300 人； (2)D 所占的百分比： 30300=10% B 所占的百分比： 1-20%-30%-10%=40%，
16、 B 对应的人数： 30040%=120 (人 )， C 对应的人数： 30020%=60 (人 )， 补全统计图，如图所示： (3)36020%=72 ， 答： “C” 层次所在扇形的圆心角的度数为 72 ； (4)4000 (30%+40%)=2800(人 )， 答：估计该小区 4000 名居民中对 “ 广场舞 ” 的看法表示赞同 (包括 A 层次和 B 层次 )的大约有 2800 人 . 四、解答题 (第 21 题 12 分，第 22 题 12分，共 24 分 ) 21.(12 分 )如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， ABC 和 D
17、EF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出 ABC 向上平移 4 个单位长度后所得到的 A 1B1C1； (2)画出 DEF 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 后所得到的 D 1E1F1； (3)A 1B1C1和 D 1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式 . 解析 ： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； (2)根据网格结构找出点 D、 E、 F 绕点 O 按顺时针方向旋转 90 后的对应点 D1、 E1、 F1的位置，然后顺次连接即可； (3)根据轴对称
18、的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可 . 答案： (1)A 1B1C1如图所示； (2)D 1E1F1如图所示； (3)A 1B1C1和 D 1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线 y=x. 22.(12 分 )近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进 A、 B 两种设备，已知：购买 1 台 A 种设备和2 台 B 种设备需要 3.5 万元；购买 2 台 A 种设备和 1 台 B 种设备需要 2.5 万元 . (1)求每台 A 种、 B 种设备各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进 A 种和 B 种设备
19、共 30 台，总费用不超过 30 万元，请你通过计算，求至少购买 A 种设备多少台？ 解析 ： (1)根据题意结合 “ 购买 1 台 A 种设备和 2 台 B种设备需要 3.5万元；购买 2台 A种设备和 1 台 B 种设备需要 2.5 万元 ” ，得出等量关系求出即可； (2)利用 (1)中所求得出不等关系求出即可 . 答案： (1)设每台 A 种、 B 种设备各 x 万元、 y 万元， 根据题意得出： ，解得： ， 答：每台 A 种、 B 种设备各 0.5 万元、 1.5 万元； (2)设购买 A 种设备 z 台，根据题意得出： 0.5z+1.5(30-z)30 ，解得： z15 ， 答：
20、至少购买 A 种设备 15 台 . 五、解答题 (满分 12 分 ) 23.(12 分 )如图，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 边上的点，且 BE=BA，以点 A 为圆心、 AD长为半径作 A 交 AB 于点 M，过点 B 作 A 的切线 BF，切点为 F. (1)请判断直线 BE 与 A 的位置关系，并说明理由； (2)如果 AB=10， BC=5，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： (1)直线 BE 与 A 的位置关系是相切，连接 AE，过 A 作 AHBE ，过 E 作 EGAB ，再证明 AH=AD 即可； (2)连接 AF，则图中阴影部分的面积 =直角三角形 ABF 的面积 -
21、扇形 MAF 的面积 . 答案： (1)直线 BE 与 A 的位置关系是相切， 理由如下：连接 AE，过 A 作 AHBE ，过 E 作 EGAB ， S ABE = BE AH= AB EG， AB=BE， AH=EG ， 四边形 ADEG 是矩形， AD=EG ， AH=AD ， BE 是圆的切线 . (2)连接 AF， BF 是 A 的切线， BFA=90 BC=5 ， AF=5 ， AB=10 ， ABF=30 ， BAF=60 ， BF= AF=5 ， 图中阴影部分的面积 =直角三角形 ABF 的面积 -扇形 MAF 的面积 = 55 -= . 六、解答题 (满分 12 分 ) 24
22、.(12 分 )某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为 10 元 /千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元 /千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y(千克 )与销售价 x(元 /千克 )之间的函数关系如图所示： (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求每天的销售利润 W(元 )与销售价 x(元 /千克 )之间的函数关系式 .当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 解析 ： (1)设函数关系式 y=kx+b，把 (10， 40)
23、， (18， 24)代入求出 k 和 b 即可，由成本价为10 元 /千克，销售价不高于 18 元 /千克，得出自变量 x 的取值范围； (2)根据销售利润 =销售量 每一件的销售利润得到 w 和 x 的关系，利用二次函数的性质得最值即可； (3)先把 y=150 代入 (2)的函数关系式中，解一元二次方程求出 x，再根据 x 的取值范围即可确定 x 的值 . 答案： (1)设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b， 把 (10， 40)， (18， 24)代入得 ，解得 ， y 与 x 之间的函数关系式 y=-2x+60(10x18 )； (2)W=(x-10)(-2x+60)=-2x
24、2+80x-600， 对称轴 x=20，在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大， 10x18 ， 当 x=18 时， W 最大，最大为 192. 即当销售价为 18 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 192 元 . (3)由 150=-2x2+80x-600，解得 x1=15， x2=25(不合题意，舍去 ) 答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元 . 七、解答题 (满分 12 分 ) 25.(12 分 )已知： RtABCRtABC ， ACB=ACB=90 ， ABC=ABC=60 ，RtABC 可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线 CC 和 AA 相
25、交于点 D. (1)如图 1 所示，当点 C 在 AB 边上时，判断线段 AD 和线段 AD 之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将 RtABC 由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时， (1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)将 RtABC 由图 1 的位置按顺时针方向旋转 角 (0120 )，当 A、 C 、 A三点在一条直线上时 ，请直接写出旋转角的度数 . 解析 ： (1)易证 BCC 和 BAA 都是等边三角形，从而可以求出 ACD=BAD=60 ，DCA=DAC=30 ，进而可以证到 AD=DC=AD . (2)易证 BCC=BAA ，从而证到 B
26、OCDOA ，进而证到 BODCOA ，由相似三角形的性质可得 ADO=CBO ， BDO=CAO ，由 ACB=90 就可证到 ADB=90 ，由 BA=BA 就可得到 AD=AD . (3)当 A、 C 、 A 三点在一条直线上时，有 ACB=90 ，易证 RtACBRtACB (HL)，从而可以求出旋转角 的度数 . 答案： (1)AD=AD .证明：如图 1， RtABCRtABC ， BC=BC ， BA=BA . ABC=ABC=60 ， BCC 和 BAA 都是等边三角形 . BAA=BCC=60 . ACB=90 ， DCA=30 . ACD=BCC=60 ， ADC=60 .
27、DAC=30 . DAC=DCA ， DCA=DAC .AD=DC ， DC=DA .AD=AD . (2)AD=AD ， 证明：连接 BD，如图 2， 由旋转可得： BC=BC ， BA=BA ， CBC=ABA . = . BCCBAA .BCC=BAA . BOC=DOA ， BOCDOA .ADO=OBC ， = . BOD=COA ， BODCOA .BDO=CAO . ACB=90 ， CAB+ABC=90 .BDO+ADO=90 ，即 ADB=90 . BA=BA ， ADB=90 ， AD=AD . (3)当 A、 C 、 A 三点在一条直线上时，如图 3， 则有 ACB=18
28、0 -ACB=90 . 在 RtACB 和 RtACB 中， .RtACBRtACB (HL). ABC=ABC=60 . 当 A、 C 、 A 三点在一条直线上时，旋转角 的度数为 60 . 八、解答题 (满分 14 分 ) 26.(14 分 )如图，抛物线 y=ax2+ x+c 与 x 轴交于点 A(4， 0)、 B(-1， 0)，与 y 轴交于点 C，连接 AC，点 M 是线段 OA 上的一个动点 (不与点 O、 A 重合 )，过点 M 作 MNAC ，交 OC 于点 N，将 OMN 沿直线 MN 折叠，点 O 的对应点 O 落在第一象限内，设 OM=t， OMN 与梯形 AMNC重合部
29、分面积为 S. (1)求抛物线的解析式； (2) 当点 O 落在 AC 上时，请直接写出此时 t 的值； 求 S 与 t 的函数关系式； (3)在点 M 运动的过程中，请直接写出以 O、 B、 C、 O 为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的 t 值 . 解析 ： (1)应用待定系数法即可求得解析式 . (2) 根据平行线的性质及轴对称的性质求得 AOM=OAM ，从而求得 OM=AM= ，进而求得 t 的值； 根据平行线分线段成比例定理求得 ON= = t，即可求得三角形的面积S= t2； (3)根据直线 BC 的斜率即可求得直线 OO 的解析式 y=2x，设 O (m， 2m)
30、，根据 ON= t先求得 m 与 t 的关系式，然后根据 OC=OB 即可求得 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+ x+c 与 x 轴交于点 A(4， 0)、 B(-1， 0)， ，解得 ， 抛物线的解析式： y=- x2+ x+2； (2) 如图 1， MNAC ， OMN=OAM ， OMN=AOM ， OMN=OMN ， AOM=OAM ， OM=AM ， OM=OM ， OM=AM=t ， t= = =2； 由抛物线的解析式： y=- x2+ x+2 可知 C(0， 2) A (4， 0)、 C(0， 2)， OA=4 ， OC=2， MNAC ， ON ： OM=OC： OA=
31、2： 4=1： 2， ON= OM= t， 当 0 t2 时， S= = = t2. 当 2 t4 时， S= - t-(4-t) t-(2- t)= t2-(t-2)2=- t2+4t-4； S= ； (3)如图 2， B (-1， 0)， C(0， 2)， 直线 BC 的斜率为 2， OOBC ， 直线 OO 的解析式为 y=2x， 设 O (m， 2m)， ON=ON= t， ON 2=m2+(2m- t)2=( )2， t= m， OC 2=m2+(2-2m)2， OB=OC ， m 2+(2-2m)2=(-1)2，解得 m1=1， m2= ， O (1， 2)或 ( ， )， C (0， 2)， 当 O (1， 2)时，以 O、 B、 C、 O 为顶点的四边形是平行四边形，此时 t= ， 当 O ( ， )时，以 O、 B、 C、 O 为顶点的四边形是梯形，此时 t= .
