1、2014 年辽宁省沈阳市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 1.(3 分 )0 这个数是 ( ) A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 无理数 解析 ： A、 0 不是正数也不是负数，故 A 错误； B、 0 不是正数也不是负数，故 B 错误； C、是整数，故 C 正确； D、 0 是有理数，故 D 错误； 答案： C. 2.(3 分 )2014 年端午节小长假期间，沈阳某景区接待游客约为 85000 人，将数据 85000 用科学记数法表示为 ( ) A. 8510 3 B. 8.510 4 C. 0.8510 5 D. 8.510 5 解析 ： 将 85000
2、 用科学记数法表示为： 8.510 4. 答案： B. 3.(3 分 )某几何体的三视图如图所示，这个几何体是 ( ) A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 圆锥 解析 ： 由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为长方形可得为长方体 . 答案： C. 4.(3 分 )已知一组数据： 1， 2， 6， 3， 3，下列说法正确的是 ( ) A. 众数是 3 B. 中位数是 6 C. 平均数是 4 D. 方差是 5 解析 ： A、数据 3 出现 2 次，最多，故众数为 3，故 A 选项正确； B、排序后位于中间位置的数为 3，故中位数为 3，故 B 选项错误； C、平均数为
3、3，故 C 选项错误； D、方差为 2.4，故 D 选项错误 . 答案： A. 5.(3 分 )一元一次不等式 x-10 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 移项得， x1 ，故此不等式组的解集为： x1 .在数轴上表示为： 答案： A. 6.(3 分 )正方形是轴对称图形，它的对称轴有 ( ) A. 2 条 B. 4 条 C. 6 条 D. 8 条 解析 ： 正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共 4 条 . 答案： B. 7.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (-x3)2=-x6 B. x4+x4=x8 C. x2 x
4、3=x6 D. xy4 (-xy)=-y3 解析 ： A、原式 =x6，故 A 选项错误； B、原式 =2x4，故 B 选项错误； C、原式 =x5，故 C 选项错误； D、原式 =-y3，故 D 选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， BD=2AD， DEBC 交 AC 于点 E，若线段 DE=5，则线段 BC 的长为 ( ) A. 7.5 B. 10 C. 15 D. 20 解析 ： DEBC ， ADEABC ， = ， BD=2AD ， = ， DE=5 ， = ，DE=15 . 答案： C. 二、填空题 (每小题 4 分，共 32
5、分 ) 9.(4 分 )计算： = . 解析 ： 3 2=9， =3. 答案： 3. 10.(4 分 )分解因式： 2m2+10m= . 解析 ： 2m2+10m=2m(m+5). 答案： 2m(m+5). 11.(4 分 )如图，直线 ab ，直线 l 与 a 相交于点 P，与直线 b 相交于点 Q， PMl 于点 P，若 1=50 ，则 2= . 解析 ： 直线 ab ， 3=1=50 ， 又 PMl 于点 P， MPQ=90 ， 2=90 -3=90 -50=40 . 答案： 40. 12.(4 分 )化简： (1+ ) = . 解析 ： 原式 = = = . 答案： . 13.(4 分
6、 )已知一次函数 y=x+1 的图象与反比例函数 y= 的图象相交，其中有一个交点的横坐标是 2，则 k 的值为 . 解析 ： 在 y=x+1 中，令 x=2，解得 y=3，则交点坐标是： (2， 3)，代入 y= ， 得 k=6. 答案： 6. 14.(4 分 )如图， ABC 三边的中点 D， E， F 组成 DEF ， DEF 三边的中点 M， N， P 组成 MNP ，将 FPM 与 ECD 涂成阴影 .假设可以随意在 ABC 中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 . 解析 ： D 、 E 分别是 BC、 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， EDAB ，且 DE= AB，
7、CDECBA ， = = ， S CDE = SCBA . 同理， SFPM = SFDE = SCBA .S FPM +SCDE = SCBA .则 = . 答案： . 15.(4 分 )某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20x30 ，且 x 为整数 )出售，可卖出 (30-x)件 .若使利润最大，每件的售价应为 元 . 解析 ： 设最大利润为 w 元，则 w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25， 20x30 ， 当 x=25 时，二次函数有最大值 25， 答案： 25. 16.(4 分 )如图， ABCD 中， AB AD， AE， BE
8、， CM， DM 分别为 DAB ， ABC ， BCD ， CDA的平分线， AE与 DM相交于点 F， BE与 CM相交于点 H，连接 EM.若 ABCD的周长为 42cm， FM=3cm，EF=4cm，则 EM= cm， AB= cm. 解析 ： AE 为 DAB 的平分线， DAE=EAB= DAB ， 同理： ABE=CBE= ABC ， BCM=DCM= BCD ， CDM=ADM= ADC . 四边形 ABCD 是平行四边形， DAB=BCD ， ABC=ADC ， AD=BC. DAF=BCN ， ADF=CBN . 在 ADF 和 CBN 中， .ADFCBN (ASA).D
9、F=BN . 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， DAB+ABC=180 . EAB+EBA=90 .AEB=90 . 同理可得： AFD=DMC=90 .EFM=90 . FM=3 ， EF=4， ME= =5(cm). EFM=FMN=FEN=90 . 四边形 EFMN 是矩形 .E N=FM=3. DAF=EAB ， AFD=AEB ， AFDAEB . = . = .4DF=3AF . 设 DF=3k，则 AF=4k.AFD=90 ， AD=5k . AEB=90 ， AE=4(k+1)， BE=3(k+1)， AB=5 (k+1). 2 (AB+AD)=42， AB+AD
10、=21 .5 (k+1)+5k=21.k=1.6 .AB=13 (cm). 答案： 5； 13. 三、解答题 (17、 18各 8分， 19 题 10分，共 26 分 ) 17.(8 分 )先化简，再求值： (a+b)2-(a-b)2a，其中 a=-1， b=5. 解析 ： 先利用完全平方公式和整式的乘法计算化简，再进一步代入求得数值即可 . 答案： (a+b)2-(a-b)2 a=(a2+2ab+b2-a2+2ab-b2) a=4ab a=4a2b； 当 a=-1， b=5 时， 原式 =4 (-1)25=20 . 18.(8 分 )如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点
11、 O，点 E， F 分别在边 AD， BC 上，且 DE=CF，连接 OE， OF.求证： OE=OF. 解析 ： 欲证明 OE=OF，只需证得 ODEOCF 即可 . 答案： 如图， 四边形 ABCD 是矩形， ADC=BCD=90 ， AC=BD， OD= BD， OC= AC， OD=OC ， ODC=OCD ， ADC -ODC=BCD -OCD ，即 EDO=FCO ， 在 ODE 与 OCF 中， ， ODEOCF (SAS)， OE=OF . 19.(10 分 )在一个不透明的盒子里有红球、白球、黑球各一个，它们除了颜色外其余都相同 .小明从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒
12、子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色 .请用列表法或画树状图 (树形图 )法求小明两次摸出的 球颜色不同的概率 . 解析 ： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明两次摸出的球颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，小明两次摸出的球颜色不同的有 6 种情况， 小明两次摸出的球颜色不同的概率为： = . 四、每小题 10分，共 20 分 20.(10 分 )2014 年世界杯足球赛于北京时间 6 月 13 日 2时在巴西开幕，某媒体足球栏目从参加世界杯球队中选出五支传统强队：意大利队、德国队、西班牙队、巴西
13、队、阿根廷队，对哪支球队最有可能获得冠军进行了问卷调查 .为了使调查结果有效，每位被调查者只能填写一份问卷，在问卷中必须选择这五支球队中的一队作为调查结果，这样的问卷才能成为有效问卷 .从收集到的 4800 份有效问卷中随机抽取部分问卷进行了统计，绘制了统计图表的一部分如下： 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)a= ， b= ； (2)根据以上信息，请直接在答题卡中补全条形统计图； (3)根据抽样调查结果，请你估计在提供有效问卷的这 4800 人中有多少人预测德国队最有可能获得冠军 . 解析 ： (1)首先根据意大利有 85 人，占 17%，据此即可求得总人数，则根据百分比的定义求
14、得 b 的值，然后利用 1 减去其它各组的百分比即可求得 a 的值； (2)根据百分比的定义求得德国、西班牙的人数，即可解答； (3)利用总人数 4800，乘以对应的百分比即可求解 . 答案： (1)总人数是： 8517%=500 (人 )，则 b= =5%， a=1-17%-10%-38%-5%=30%； (2) (3)480030%=1440 (人 ). 答：这 4800 人中约有 1440 人预测德国队最有可能获得冠军 . 21.(10 分 )某公司今年销售一种产品， 1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增加， 3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元，假设该产
15、品利润每月的增长率相同，求这个增长率 . 解析 ： 设每月获得的利润的增长率是 x，然后用 x 分别表示出 2 月份和 3 月份，根据 “3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元 ” 列方程求解 . 答案： 设这个增长率为 x. 依题意得： 200(1+x)2-20(1+x)=4.8，解得 x1=0.2， x2=-1.2(不合题意，舍去 ).0.2=20%. 答：这个增长率是 20%. 五、本题 10分 22.(10 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径， ODBC 交 O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 AD， BD， CD. (1)求证： AD=CD； (2
16、)若 AB=10， cosABC= ，求 tanDBC 的值 . 解析 ： (1)由 AB 为直径， ODBC ，易得 ODAC ，然后由垂径定理证得， = ，继而证得结论； (2)由 AB=10， cosABC= ，可求得 OE 的长，继而求得 DE， AE 的长，则可求得 tanDAE ，然后由圆周角定理，证得 DBC=DAE ，则可求得答案 . 答案： (1)证 AB 为 O 的直径， ACB=90 ， ODBC ， AEO=ACB=90 ， ODAC ， = ， AD=CD ； (2)AB=10 ， OA=OD= AB=5， ODBC ， AOE=ABC ， 在 RtAEO 中， OE
17、=OA cosAOE=OA cosABC=5 =3， DE=OD -OE=5-3=2， AE= = =4， 在 RtAED 中， tanDAE= = = ， DBC=DAE ， tanDBC= . 六、本题 12分 23.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 C 在 x 轴的正半轴上，且 BCOC 于点 C，点 A 的坐标为 (2， 2 )， AB=4 ， B=60 ，点 D 是线段OC 上一点，且 OD=4，连接 AD. (1)求证： AOD 是等边三角形； (2)求点 B 的坐标； (3)平行于 AD 的直线 l 从原点 O 出发，沿 x 轴
18、正方向平移 .设直线 l 被四边形 OABC 截得的线段长为 m，直线 l 与 x 轴交点的横坐标为 t. 当直线 l 与 x 轴的交点在线段 CD 上 (交点不与点 C， D 重合 )时，请直接写出 m与 t 的函数关系式 (不必写出自变量 t 的取值范围 ) 若 m=2，请直接写出此时直线 l 与 x 轴的交点坐标 . 解析： (1)过点 A 作 AMx 轴于点 M，根据已知条件，依据三角函数求得 AOM=60 ，根据勾股定理求得 OA=4，即可求得 . (2)过点 A 作 ANBC 于点 N，则四边形 AMCN 是矩形，在 RtABN 中，根据三角函数求得 AN、BN 的值，从而求得 O
19、C、 BC 的长，得出点 B 的 坐标 . (3) 如图 3，因为 B=60 ， BC=4 ，所以 PC=12， EM= m，因为 OC=8，所以 PO=4， OF=t，DF=t- m，所以 PD=4+(t- m)，根据 PDEPCB 即可求得 m= t+2； 如图 4， OEF 是等边三角形所以 OF=EF=m=2，在 RtPCF 中 CFP=60 ，BPE=CPF=30 ，所以 BP=PEsinB= ， PC=4 - = ，根据勾股定理求得 CF= ，所以 OF=8+ = . 答案： (1)如图 2， 过点 A 作 AMx 轴于点 M， 点 A 的坐标为 (2， 2 )， OM=2 ， A
20、M=2 在 RtAOM 中， tanAOM= = = AOM=60 由勾股定理得， OA= = =4 OD=4 ， OA=OD ， AOD 是等边三角形 . (2)如图 2， 过点 A 作 ANBC 于点 N， BCOC ， AMx 轴， BCM=CMA=ANC=90 四边形 ANCM 为矩形， AN=MC ， AM=NC， B=60 ， AB=4 ， 在 RtABN 中， AN=AB sinB=4 =6， BN=AB cosB=4 =2 ， AN=MC=6 ， CN=AM=2 ， OC=OM+MC=2+6=8 ， BC=BN+CN=2 +2 =4 ， 点 B 的坐标为 (8， 4 ). (3
21、) 如图 3， m= t+2； 如图 4， (2， 0)， ( ， 0). 七、本题 12分 24.(12 分 )如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AB=13， BD=24，在菱形 ABCD的外部以 AB 为边作等边三角形 ABE.点 F 是对角线 BD 上一动点 (点 F 不与点 B重合 )，将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60 得到线段 AM，连接 FM. (1)求 AO 的长； (2)如图 2，当点 F 在线段 BO 上，且点 M， F， C 三点在同一条直线上时，求证： AC= AM； (3)连接 EM，若 AEM 的面积为 40，请直接写
22、出 AFM 的周长 . 解析： (1)在 RTOAB 中，利用勾股定理 OA= 求解， (2)由四边形 ABCD 是菱形，求出 AFM 为等边三角形， M=AFM=60 ，再求出 MAC=90 ，在 RtACM 中 tanM= ，求出 AC. (3)求出 AEMABF ，利用 AEM 的面积为 40 求出 BF，在利用勾股定理 AF= = ，得出 AFM 的周长为 3 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是菱形， ACBD ， OB=OD= BD， BD=24 ， OB=12 ， 在 RtOAB 中， AB=13 ， OA= = =5. (2)如图 2， 四边形 ABCD 是菱形， BD 垂
23、直平分 AC， FA=FC ， FAC=FCA ， 由已知 AF=AM， MAF=60 ， AFM 为等边三角形， M=AFM=60 ， 点 M， F， C 三点在同一条直线上， FAC+FCA=AFM=60 ， FAC=FCA=30 ， MAC=MAF+FAC=60+30=90 ， 在 RtACM 中 ， tanM= ， tan60= ， AC= AM. (3)如图，连接 EM， ABE 是等边三角形， AE=AB ， EAB=60 ， 由 (1)知 AFM 为等边三角形， AM=AF ， MAF=60 ， EAM=BAF ， 在 AEM 和 ABF 中， ， AEMABF (SAS)， A
24、EM 的面积为 40， ABF 的高为 AO， BF AO=40， BF=16， FO=BF -BO=16-12=4， AF= = = ， AFM 的周长为 3 . 八、本题 14分 25.(14 分 )如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 y=- x2+12 的图象与 y 轴交于点 A，与x 轴交于 B， C 两点 (点 B 在点 C 的左侧 )，连接 AB， AC. (1)点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ； (2)过点 C 作射线 CDAB ，点 M 是线段 AB 上的动点，点 P 是线段 AC 上的动点，且始终满足BM=AP(点 M 不与点 A，点 B 重合 )，过点 M 作 M
25、NBC 分别交 AC 于点 Q，交射线 CD 于点 N (点 Q 不与点 P 重合 )，连接 PM， PN，设线段 AP 的长为 n. 如图 2，当 n AC 时，求证： PAMNCP ； 直接用含 n 的代数式表示线段 PQ 的长； 若 PM 的长为 ，当二次函数 y=- x2+12 的图象经过平移同时过点 P 和点 N 时，请直接写出此时的二次函数表达式 . 解析： (1)由二次函数 y=- x2+12 的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B， C 两点，代入 y=0，即可解出 B， C 坐标 . (2) 求证三角形全等 .易发现由平行可得对应角相等，由平行四边形对边相等及已知 B
26、M=AP，可得对应角的两个邻边对应相等，则利用 SAS 得证 . 上问中以提示 n AC，则我们可以分 n AC， n= AC， n AC 三种情形讨论 .又已得PAMNCP ，顺推易得 PQ 与 n 的关系 . 上问中已得当 n AC 时， PQ=15-2n；当 n AC 时， PQ=2n-15，则也要分两种情形讨论，易得两种情形的 P， N.由图象为二次函数 y=- x2+12 平移后的图形，所以可设解析式为 y=-(x+k)2+12+h，代入即得 . 答案： (1)(-9， 0)， (9， 0). 解： B、 C 为抛物线与 x 轴的交点，故代入 y=0，得 y=- x2+12=0，解得
27、 x=-9 或 x=9， 即 B(-9， 0)， C(9， 0). (2) 证明： ABCN ， MAP=PCN ， MNBC ， 四边形 MBCN 为平行四边形， BM=CN ， AP=BM ， AP=CN ， BO=OC ， OABC ， OA 垂直平分 BC， AB=AC ， AM=AB -BM=AC-AP=CP. 在 MAP 和 PCN 中， ， MAPPCN (AAS). 1 .当 n AC 时，如图 1， ， 四边形 MBCN 为平行四边形， MBC=QNC ， AB=AC ， MNBC ， MBC=QCB=NQC ， NQC=QNC ， CN=CQ ， MAPPCN ， AP=C
28、N=CQ ， AP=n ， AC= = =15， PQ=AC -AP-QC=15-2n. 2.当 n= AC 时，显然 P、 Q 重合， PQ=0. 3.当 n AC 时，如图 2， 四边形 MBCN 为平行四边形， MBC=QNC ， BM=CN， AB=AC ， MNBC ， MBC=QCB=NQC ， NQC=QNC ， BM=CN=CQ ， AP=BM ， AP=CQ ， AP=n ， AC=15， PQ=AP+QC -AC=2n-15. 综上所述，当 n AC 时， PQ=15-2n；当 n AC 时， PQ=2n-15. 或 . 分析如下： 1.当 n AC 时，如图 3，过点 P
29、 作 x 轴的垂线，交 MN 于 E，交 BC于 F. 此时 PEQPFCAOC ， PQ=15-2n. PM=PN ， ME=EN= MN= BC=9， PE= = =4， OC ： OA： AC=3： 4： 5， PEQPFCAOC ， PQ=5 ， 15 -2n=5， AP=n=5 ， PC=10 ， FC=6 ， PF=8， OF=OC -FC=9-6=3， EN=9， EF=PF-PE=8-4=4， P (3， 8)， N(12， 4). 设二次函数 y=- x2+12 平移后的解析式为 y=- (x+k)2+12+h， ，解得 ， y= - (x+6)2+12+8=- x2+ x+
30、4. 2.当 n AC 时，如图 4，过点 P 作 x 轴的垂线，交 MN 于 E，交 BC于 F. 此时 PEQPFCAOC ， PQ=2n-15. PM=PN ， ME=EN= MN= BC=9， PE= = =4， OC ： OA： AC=3： 4： 5， PEQPFCAOC ， PQ=5 ， 2n -15=5， AP=n=10 ， PC=5 ， FC=3 ， PF=4， OF=OC -FC=9-3=6， EN=9， EF=PF+PE=4+4=8， P (6， 4)， N(15， 8). 设二次函数 y=- x2+12 平移后的解析式为 y=- (x+k)2+12+h， ，解得 ， y= - (x-12)2+12- =- x2+x-12.
