1、2014 年辽宁省锦州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.(3 分 )-1.5 的绝对值是 ( ) A. 0 B. -1.5 C. 1.5 D. 解析 ： |-1.5|=1.5. 答案： C. 2.(3 分 )如图，在一水平面上摆放两个几何体，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看易得左边是一个竖着的长方形，右边是一个横着的长方形， 答案： B. 3.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. 3x+3y=6xy B. a2 a3=a6 C. b6b 3=b2 D
2、. (m2)3=m6 解析 ： A、 3x 与 3y 不是同类项，不能合并，故 A 选项错误； B、 a2 a3=a5，故 B 选项错误； C、 b6b 3=b3 ，故 C 选项错误； D、 (m2)3=m6 ，故 D 选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )已知 a b 0，下列结论错误的是 ( ) A. a+m b+m B. C. -2a -2b D. 解析 ： a b 0， A、 a+m b+m，故 A 选项正确； B、 ，故 B 选项正确； C、 -2a -2b，故 C 选项错误； D、 ，故 D 选项正确 . 答案： C. 5.(3分 )如图，直线 ab ，射线 DC与直线 a相
3、交于点 C，过点 D作 DEb 于点 E，已知 1=25 ，则 2 的度数为 ( ) A. 115 B. 125 C. 155 D. 165 解析 ： 如图，过点 D 作 ca . 则 1=CDB=25 . 又 ab ， DEb ， bc ， DEc ， 2=CDB+90=115 . 答案： A. 6.(3 分 )某销售公司有营销人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售量定额，统计了这 15 人某月的销售量，如下表所示： 那么这 15 位销售人员该月销售量的平均数、众数、中位数分别是 ( ) A. 320， 210， 230 B. 320， 210， 210 C. 206， 210， 2
4、10 D. 206， 210， 230 解析 ： 平均数是： (1800+510+2503+2105+1503+1202 )15=480015=320 (件 )； 210 出现了 5 次最多，所以众数是 210； 表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是 210，因而中位数是 210(件 ). 答案： B. 7.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 ， a， b， c 为常数 )的图象如图， ax2+bx+c=m 有实数根的条件是 ( ) A. m -2 B. m5 C. m0 D. m 4 解析 ： 一元二次方程 ax2+bx+c=m 有实数根， 可以理解为 y=ax
5、2+bx+c 和 y=m 有交点，可见， m -2， 答案： A. 8.(3 分 )哥哥与弟弟的年龄和是 18 岁，弟弟对哥哥说： “ 当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是 18岁 ” .如果现在弟弟的年龄是 x岁，哥哥的年龄是 y岁，下列方程组正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设现在弟弟的年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，由题意得 . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24 分 .) 9.(3 分 )分解因式 2x2-4x+2 的最终结果是 . 解析 ： 2x2-4x+2， =2(x2-2x+1)， =2(x-1)2. 答案： 2(x-
6、1)2. 10.(3 分 )纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度， 1 纳米微 10 亿分之一米，即 1纳米 =10-9米， 1 根头发丝直径是 60000 纳米，则一根头发丝的直径用科学记数法表示为 米 . 解析 ： 60000 纳米 =6000010 -9米 =0.000 06 米 =610 -5米； 答案： 610 -5. 11.(3 分 )计算： tan45 - ( -1)0= . 解析 ： 原式 =1- = . 答案： 12.(3 分 )方程 - =1 的解是 . 解析 ： 去分母得： -1-3-x=x-4， 移项合并得： 2x=0，解得： x=0，经检验 x=0 是分式方程的解
7、， 答案： x=0 13.(3 分 )如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为 r 的圆形和一个半径为 R 的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则 R 与 r 之间的关系是 . 解析 ： 扇形的弧长是： = ， 圆的半径为 r，则底面圆的周长是 2r ， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2r ， =2r， 即 R=4r， r 与 R 之间的关系是 R=4r. 答案： R=4r. 14.(3 分 )某数学活动小组自制一个飞镖游戏盘，如图，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 . 解析 ： 由题意可得，投掷在阴影区域的概率是： = . 答案： . 15.(3 分 )菱形 A
8、BCD 的边长为 2， ABC=60 ， E 是 AD 边中点，点 P 是对角线 BD 上的动点，当 AP+PE 的值最小时， PC 的长是 . 解析 ： 如图所示， 作点 E 关于直线 BD 的对称点 E ，连接 AE ，则线段 AE 的长即为 AP+PE 的最小值， 菱形 ABCD 的边长为 2， E 是 AD 边中点， DE=DE= AD=1， AED 是直角三角形， ABC=60 ， PDE= ADC=30 ， PE=DE tan30= ， PC= = = . 答案： . 16.(3分 )如图，点 B1在反比例函数 y= (x 0)的图象上，过点 B1分别作 x轴和 y轴的垂线，垂足为
9、 C1和 A，点 C1的坐标为 (1， 0)取 x 轴上一点 C2( ， 0)，过点 C2分别作 x 轴的垂线交反比例函数图象于点 B2，过 B2作线段 B1C1的垂线交 B1C1于点 A1，依次在 x 轴上取点 C3(2， 0)，C4( ， 0) 按此规律作矩形，则第 n( n2 ， n 为整数 )个矩形 )An-1Cn-1CnBn的面积为 . 解析 ： 第 1 个矩形的面积 =2， 第 2 个矩形的面积 = ( -1)= ， 第 3 个矩形的面积 =(2- )1= ， 第 n 个矩形的面积 = = . 答案： . 三、解答题 (本大题共 10 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证
10、明过程或演算步骤 ) 17.(8 分 )已知 = ，求式子 ( - ) 的值 . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据 = 得出 = ，代入原式进行计算即可 . 答案： 原式 = = = =， = ， = ， 原式 =-2 =- . 18.(8 分 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图 . (1)利用尺规作图在 AC 边上找一点 D，使点 D 到 AB、 BC 的距离相等 .(不写作法，保留作图痕迹 ) (2)在网格中， ABC 的下方，直接画出 EBC ，使 EBC 与 ABC 全等 . 解析 ： (1)作 ABC 的平分线即可； (2)利用
11、点 A 关于 BC 的对称点 E 画出 EBC . 答案： (1)如图，作 ABC 的平分线， (2)如图， 19.(8 分 )对某市中学生的幸福指数进行调查，从中抽取部分学生的调查表问卷进行统计，并绘制出不完整的统计表和条形统计图 . (1)直接补全统计表 . (2)补全条形统计图 (不要求写出计算过程 ). (3)抽查的学生约占全市中学生的 5%，估计全市约有多少名中学生的幸福指数能达到五 级？ 解析 ： (1)根据统计图中， 4 颗星的人数是 300 人，占 0.3；根据频数与频率的关系，可知共随机调查的总人数，根据总人数即可求出别的数据 . (2)根据 (1)中求出的数值，据此可补全条
12、形图； (3)先求出全市中学生的总人数，再除以对应的幸福指数为 5 颗星的百分比 . 答案： (1)对中学生的幸福指数进行调查的人数： 3000.30=1000 (人 ) 一颗星的频率为： 601000=0.06 ， 二颗星的频率为： 801000=0.08 ， 三颗星的频数为： 10000.16=160 ， 四颗星的频数为： 300， 五颗星的频数为： 1000-60-80-160-300=400， 五颗星的频率为： 4001000=0.40 . 故答案为： 0.06， 0.08， 160， 300， 400， 0.40. (2)如图，根据 (1)中求出 的数值，据此可补全条形图； (3)1
13、0005%0.4=8000 (名 ) 答：估计全市约有 8000 名中学生的幸福指数能达到五 级 . 20.(10 分 )某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图， A 转盘被分成三个面积相等的扇形， B 转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动 A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动 B 转发盘，记下指针所指区域内的数字 (当指针在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向一下区域内为止 )，然后，将两次记录的数据相乘 . (1)请利用画树状图或列表格的方法，求出乘积结果为负数的概率 . (2)如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？ 解析 ：
14、 (1)列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为负数的情况数，即可求出所求的概率； (2)找出乘积为无理数的情况数，即可求出一等奖的概率 . 答案： 列表如下： 所有等可能的情况有 12 种， (1)乘积结果为负数的情况有 4 种，则 P(乘积结果为负数 )= = ； (2)乘积是无理数的情况有 2 种，则 P(乘积为无理数 )= = . 21.(10 分 )如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=CB，点 E 为 BD 的中点，点 F为 AC 的中点，连结 EF 交 CD 于点 M，连接 AM. (1)求证： EF= AC. (2)若 BAC=45 ，求线段 AM、 DM、 BC
15、 之间的数量关系 . 解析 ： (1)根据等腰三角形三线合一的性质可得 CEBD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF= AC； (2)判断出 AEC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 EF 垂直平分 AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AM=CM，然后求出 CD=AM+DM，再等量代换即可得解 . 答案： (1)CD=CB ，点 E 为 BD 的中点， CEBD ， 点 F 为 AC 的中点， EF= AC； (2)BAC=45 ， CEBD ， AEC 是等腰直角三角形， 点 F 为 AC 的中点， EF 垂直平分 AC， AM=CM ，
16、 CD=CM+DM=AM+CM ， CD=CB， BC=AM+DM . 22.(10 分 )如图，位于 A 处的海 上救援中心获悉：在其北偏东 68 方向的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救 .该中心立即把消息告知在其北偏东 30 相距 20 海里的 C 处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向 B 处，现救生船沿着航线 CB 前往 B 处救援，若救生船的速度为 20 海里 /时，请问：救生船到达 B 处大约需要多长时间？ (结果精确到 0.1 小时：参考数据： sin380.62 ， cos380.79 ， sin220.37 ， cos220.93 ， sin370.60 ，cos
17、370.80 ) 解析 ： 延长 BC交 AN 于点 D，则 BCAN 于 D.先解 RtACD ，求出 CD= AC=10， AD= CD=10，再解 RtABD ，得到 B=22 ， AB= 46.81 ， BD=AB cosB43.53 ，则BC=BD-CD33.53 ，然后根据时间 =路程 速度即可求出救生船到达 B 处大约需要的时间 . 答案： 如图，延长 BC 交 AN 于点 D，则 BCAN 于 D. 在 RtACD 中， ADC=90 ， DAC=30 ， CD= AC=10， AD= CD=10 . 在 RtABD 中， ADB=90 ， DAB=68 ， B=22 ， AB
18、= 46.8 1， BD=AB cosB46.810.93=43.53 ， BC=BD -CD43.53 -10=33.53， 救生船到达 B 处大约需要： 33.53201.7 (小时 ). 答：救生船到达 B 处大约需要 1.7 小时 . 23.(10 分 )如图，已知， O 为 ABC 的外接圆， BC 为直径，点 E 在 AB 上，过点 E 作 EFBC ，点 G 在 FE 的延长线上，且 GA=GE. (1)求证： AG 与 O 相切 . (2)若 AC=6， AB=8， BE=3，求线段 OE 的长 . 解析 ： (1)连接 OA，由 OA=OB， GA=GE 得出 ABO=BAO
19、 ， GEA=GAE ；再由 EFBC ，得出BFE=90 ，进一步由 ABO+BEF=90 ， BEF=GEA ，最后得出 GAO=90 求得答案； (2)BC 为直径得出 BAC=90 ，利用勾股定理得出 BC=10，由 BEFBCA ，求得 EF、 BF的长，进一步在 OEF 中利用勾股定理得出 OE 的长即可 . 答案： (1)证明：如图，连接 OA， OA=OB ， GA=GEABO=BAO ， GEA=GAE EFBC ， BFE=90 ， ABO+BEF=90 ， 又 BEF=GEA ， GAE=BEF ， BAO+GAE=90 ，即 AG 与 O 相切 . (2)BC 为直径，
20、 BAC=90 ， AC=6， AB=8， BC=10 ， EBF=CBA ， BFE=BAC ， BEFBCA ， = = EF=1.8 ， BF=2.4， 0F=0B -BF=5-2.4=2.6， OE= = . 24.(12 分 )在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为 y1、 y2(单位：件 /时 )， y1、y2与工作时间 x(小时 )之间大致满足如图所示的函数关系， y1的图象为折线 OABC， y2的图象是过 O、 B、 C 三点的抛物线一部分 . (1)根据图象回答： 调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间 x(小时 )的取值范围是 ； 说明线段 AB 的实际意义
21、是 . (2)求出调试过程中，当 6x8 (3)时，生产甲种产品的效率 y1(件 /时 )与工作时间 x(小时 )之间的函数关系式 . (3)调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品 m 小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产 6 小时，求甲、乙两种产品的生产总量 Z(件 )与生产甲所用时间 m(小时 )之间的函数关系式 . 解析 ： (1)根据 y2图象在 y1上方的部分，可得答案，根据线段 AB 的工作效率没变，可得答案案； (2)根据待定系数法，可得函数解析式； (3)根据根据甲的最大效率乘以时间，可得甲的产品，根据乙的最大效率乘以乙的时间，可得乙的产品，甲的产品
22、加乙的产品，可得答案 . 答案： (1)y2图象在 y1上方的部分，生产乙的效率高于甲的 效率的时间 x(小时 )的取值范围是 2 x 6； 线段 AB 的实际意义是 从第一小时到第六小时甲的工作效率是 3 件； (2)设函数解析式是 y1=kx+b， 图象过点 B(6， 3)、 C(8， 0) ，解得 ，故函数解析式为 y1=- +12； (3)Z=3m+4(6-m)，即 Z=-m+24. 25.(12 分 ) (1)已知正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如图 ，将 BOC 绕点 O逆时针方向旋转得到 BOC ， OC 与 CD 交于点 M， OB 与 BC 交于点
23、 N，请猜想线段 CM与 BN 的数量关系，并证明你的猜想 . (2)如图 ，将 (1)中的 BOC 绕点 B 逆时针旋转得到 BOC ，连接 AO 、 DC ，请猜想线段 AO 与 DC 的数量关系，并证明你的猜想 . (3)如图 ，已知矩形 ABCD 和 RtAEF 有公共点 A，且 AEF=90 ， EAF=DAC= ，连接DE、 CF，请求出 的值 (用 的三角函数表示 ). 解析 ： (1)如图 1 ，根据正方形的性质得 OB=OC， OBC=OCD=45 ， BOC=90 ，再根据旋转的性质得 BOC=BOC=90 ，然后利用等角的余角相等得 BOB=COC ，则可根据 “ASA”
24、 判断 BONCOM ，于是得到 CM=BN； (2)如图 ，连接 DC ，根据正方形的性质得 AB=BC， AC=BD， OB=OC， OBC=ABO=45 ，BOC=90 ，于是可判断 ABC 和 OBC 都是等腰直角三角形， 则 AC= AB， BC= BO，所以 BD= AB；再根据旋转的性质得 OBC=OB C=45 ，OB=OB ， BC=BC ，则 BC= BO ，所以 = = ，再证明 1=2 ，则可根据相似的判定定理得到 BDCBAO ，利用相似比即可得到 DC= AO ； (3)如图 ，根据余弦的定义，在 RtAEF 中得到 cosEAF= ；在 RtDAC 中得到 cos
25、DAC=，由于 EAF=DAC= ，所以 = =cos ， EAD=FAC ，则可根据相似的判定定理得到 AEDAFC ，利用相似比即可得到 =cos . 答案： (1)CM=BN.理由如下：如图 ， 四边形 ABCD 为正方形， OB=OC ， OBC=OCD=45 ， BOC=90 ， BOC 绕点 O 逆时针方向旋转得到 BOC ， BOC=BOC=90 ， BOC+COC=90 ， 而 BOB+BOC=90 ， BOB=COC ， 在 BON 和 COM 中 ， BONCOM ， CM=BN ； (2)如图 ，连接 DC ， 四边形 ABCD 为正方形， AB=BC ， AC=BD，
26、OB=OC， OBC=ABO=45 ， BOC=90 ， ABC 和 OBC 都是等腰直角 三角形， AC= AB， BC= BO， BD= AB， BOC 绕点 B逆时针方向旋转得到 BOC ， OBC=OBC=45 ， OB=OB ， BC=BC ， BC= BO ， = = ， 1+3=45 ， 2+3=45 ， 1=2 ， BDCBAO ， = = ， DC= AO ； (3)如图 ， 在 RtAEF 中， cosEAF= ；在 RtDAC 中， cosDAC= ， EAF=DAC= ， = =cos ， EAF+FAD=FAD+DAC ，即 EAD=FAC ， AEDAFC ， =
27、=cos . 26.(14 分 )如图，平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (-2， 0)，点 B 的坐标为 (0， 4)，抛物线 y=-x2+mx+n 经过点 A 和 C. (1)求抛物线的解析式 . (2)该抛物线的对称轴将平行四边形 ABCO 分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为 S1，右侧部分图形的面积记为 S2，求 S1与 S2的比 . (3)在 y轴上取一点 D，坐标是 (0， )，将直线 OC 沿 x轴平移到 OC ，点 D关于直线 OC的对称点记为 D ，当点 D 正好在抛物线上时，求出此时点 D 坐标并直接写出直线 OC的函数解析式 . 解析： (
28、1)由条件可求出点 C 的坐标，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式 . (2)由抛物线的解析式可求出其对称轴，就可求出 S2，从而求出 S1，就可求出 S1与 S2的比 . (3)由题可知 DDOC ，且 DD 的中点在直线 OC 上 .由 OCOC 可得 DDOC .过点 D 作 DMCO ，交 x 轴于点 M，只需先求出直线 DM 的解析式，再求出直线 DM 与抛物线的交点，就得到点 D 的坐标，然后求出 DD 中点坐标就可求出对应的直线 OA 的解析式 . 答案： (1)如图 1， 四边形 ABCO 是平行四边形， BC=OA ， BCOA . A 的坐标为 (-2， 0)，点 B
29、的坐标为 (0， 4)， 点 C 的坐标为 (2， 4). 抛物线 y=-x2+mx+n 经过点 A 和 C. .解得： . 抛物线的解析式为 y=-x2+x+6. (2)如图 1， 抛物线的解析式为 y=-x2+x+6. 对称轴 x=- = ， 设 OC 所在直线的解析式为 y=ax， 点 C 的坐标为 (2， 4)， 2a=4 ，即 a=2.OC 所在直线的解析式为 y=2x. 当 x= 时， y=1，则点 F 为 ( ， 1). S 2= EC EF= (2- ) (4-1)= . S 1=S 四边形 ABCO-S2=24 - = .S 1： S2= ： =23： 9.S 1与 S2的比
30、为 23： 9. (3)过点 D 作 DMCO ，交 x 轴于点 M，如图 2， 点 C 的坐标为 (2， 4)， tanBOC= . OMD=90 -MOC=BOC ， tanOMD= = . 点 D 的坐标是 (0， )， = ，即 OM=7. 点 M 的坐标为 (7， 0). 设直线 DM 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得： 直线 DM 的解析式为 y=- x+ . 点 D 与点 D 关于直线 OC 对称， DDOC ，且 DD 的中点在直线 OC 上 . OCOC ， DDOC . 点 D 是直线 DM 与抛物线的交点 . 联立 解得： ， ， 点 D 的坐标为 (-1， 4)或 ( ， ). 设直线 OC 的解析式为 y=2x+c， 当点 D 的坐标为 (-1， 4)时，如图 3， 线段 DD 的中点为 ( ， )即 (- ， )，则有 2 (- )+c= ，解得： c= . 此时直线 OC 的解析式为 y=2x+ . 当点 D 的坐标为 ( ， )时，如图 4， 同理可得：此时直线 OC 的解析式为 y=2x+ . 综上所述：当点 D 的坐标为 (-1， 4)时，直线 OC 的解析式为 y=2x+ ；当点 D 的坐标为 ( ， )时，直线 OC 的解析式为 y=2x+ .
