1、2014 年重庆市中考真题（ B 卷）数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 4分，共 48 分 ) 1.(4 分 )某地连续四天每天的平均气温分别是： 1 、 -1 、 0 、 2 ，则平均气温中最低的是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 1 、 -1 、 0 、 2 中气温最低的是 -1 ， 平均气温中最低的是 -1 . 答案： A. 2.(4 分 )计算 5x2-2x2的结果是 ( ) A. 3 B. 3x C. 3x2 D. 3x4 解析 ： 原式 =5x2-2x2=3x2. 答案： C. 点评： 此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，解答本题的关
2、键是掌握合并同类项的 3.(4 分 )如图， ABCDEF ，相似比为 1： 2.若 BC=1，则 EF 的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ： ABCDEF ，相似比为 1： 2， = ， EF=2BC=2 . 答案： B. 4.(4 分 )如图，直线 ABCD ，直线 EF 分别交 AB， CD 于点 E， F.若 AEF=50 ，则 EFC 的大小是 ( ) A. 40 B. 50 C. 120 D. 130 解析 ： ABCD ， EFC=180 -AEF=180 -50=130 . 答案： D. 5.(4 分 )某校将举办一场 “ 中国汉字听写大赛 ” ，要
3、求各班推选一名同学参加比赛，为此，初三 (1)班组织了五轮班级选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是 96分，甲的成绩的方差是 0.2，乙的成绩的方差是 0.8.根据以上数据，下列说法正确的是 ( ) A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 解析 ： 甲的成绩的方差是 0.2，乙的成绩的方差是 0.8， 0.2 0.8， 甲的成绩比乙的成绩稳定， 答案： A. 6.(4 分 )若点 (3， 1)在一次函数 y=kx-2(k0 )的图象上，则 k 的值是 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D
4、. 1 解析 ： 点 (3， 1)在一次函数 y=kx-2(k0 )的图象上， 3k -2=1，解得 k=1. 答案： D. 7.(4 分 )分式方程 = 的解是 ( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=3 D. x=-3 解析 ： 去分母得： 4x=3x+3，解得： x=3，经检验 x=3 是分式方程的解 . 答案： C 8.(4 分 )如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O， ACB=30 ，则 AOB 的大小为 ( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 解析 ： 矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， OB=OC ， OBC
5、=ACB=30 ， AOB=OBC+ACB=30+30=60 . 答案： B. 9.(4 分 )夏天到了，某小区准备开放游泳池，物业管理处安排一名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗，该工人先只打开一个进水管，蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗，一段时间后，再同时打开两个出水管将池内的水放完，随后将两个出水管关闭，并同时打开两个进水管将水蓄满 .已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度相同，从工人最先打开一个进水管开始，所用时间为 x，游泳池内的蓄水量为 y，则下列各图中能够反映 y 与 x的函数关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 开始打开一个进水管，游泳池内的蓄水
6、量逐渐增多； 一段时间后，再同时打开两个出水管将池内的水放完，游泳池内的蓄水量逐渐减少直到水量为 0，并且时间比开始用的少；随后将两个 出水管关闭，并同时打开两个进水管将水蓄满，游泳池内的蓄水量增多 . 答案： C. 10.(4 分 )下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有 2 个三角形，第二个图形中共有 8 个三角形，第三个图形中共有 14 个三角形， ，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( ) A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 解析 ： 第一个图形有 2+60=2 个三角形； 第二个图形有 2+61=8 个三角形； 第三个图形有 2+62=14 个三角形； 第五个
7、图形有 2+64=26 个三角形； 答案： C. 11.(4 分 )如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， AC=8， BD=6，以 AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 25 -6 B. -6 C. -6 D. -6 解析 ： 菱形 ABCD 中， AC=8， BD=6， ACBD 且 OA= AC= 8=4 ， OB= BD= 6=3 ， 由勾股定理得， AB= = =5， 阴影部分的面积 = ( )2- 43= -6. 答案： D. 12.(4 分 )如图，正方形 ABCD 的顶点 B， C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y= (k0 )在
8、第一象限的图象经过顶点 A(m， 2)和 CD 边上的点 E(n， )，过点 E 的直线 l交 x轴于点 F，交 y 轴于点 G(0， -2)，则点 F 的坐标是 ( ) A. ( ， 0) B. ( ， 0) C. ( ， 0) D. ( ， 0) 解析 ： 正方形的顶点 A(m， 2)， 正方形的边长为 2， BC=2 ， 而点 E(n， )， n=2+m ，即 E 点坐标为 (2+m， )， k=2 m= (2+m)，解得 m=1， E 点坐标为 (3， )， 设直线 GF 的解析式为 y=ax+b，把 E(3， )， G(0， -2)代入得 ，解得 ， 直线 GF 的解析式为 y= x
9、-2， 当 y=0 时， x-2=0，解得 x= ， 点 F 的坐标为 ( ， 0). 答案： C. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24分 ) 13.(4 分 )实数 -12 的相反数是 . 解析 ： 实数 -12 的相反数是 12. 答案： 12. 14.(4 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 要使分式有意义，即： x-20 ，解得： x2 . 答案： x2 . 15.(4分 )在 2014年重庆市初中毕业生体能测试中，某校初三有 7名同学的体能测试成绩 (单位：分 )如下： 50， 48， 47， 50， 48， 49， 48.这组数据的众
10、数是 . 解析 ： 数据 48 出现了三次最多为众数 . 答案： 48. 16.(4 分 )如图， C 为 O 外一点， CA 与 O 相切，切点为 A， AB 为 O 的直径，连接 CB.若O 的半径为 2， ABC=60 ，则 BC= . 解析 ： CA 与 O 相切，切点为 A， AB 为 O 的直径， BAC=90 ， ABC=60 ， O 的半径为 2， 在 RTBAC 中， C=30 ， AB=4， BC=2AB=24=8 . 答案： 8. 17.(4 分 )在一个不透明的盒子里装着 4 个分别标有数字 1， 2， 3， 4 的小球，它们除数字不同外其余完全相同，搅匀后从盒子里随机
11、取出 1 个小球，将小球上的数字作为 a 的值，则使关于 x 的不等式组 只有一个整数解的概率为 . 解析 ： 不等式组 只有一个整数解， (a+2)-(2a-1)=1，解得 a=2， P= . 答案： . 18.(4 分 )如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 边上一点， G是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG， CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE， BH.若 BH=8，则 FG= . 解析 ： 如解答图，连接 CG，首先证明 CGDCEB ，得到 GCE 是等腰直角三角形；过点 H作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、 N，进
12、而证明 HEMHCN ，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、 HN、 CN 的长度；最后利用相似三角形 RtHCNRtGFH ，求出 FG 的长度 . 答案： 如图所示，连接 CG. 在 CGD 与 CEB 中 ， ， CGDCEB (SAS)， CG=CE ， GCD=ECB ， GCE=90 ，即 GCE 是等腰直角三角形 . 又 CHGE ， CH=EH=GH . 过点 H 作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、 N，则 MHN=90 ， 又 EHC=90 ， 1=2 ， HEM=HCN . 在 HEM 与 HCN 中， HEMHCN (ASA).HM=HN ， 四边形
13、 MBNH 为正方形 . BH=8 ， BN=HN=4 ， CN=BC -BN=6 -4 =2 . 在 RtHCN 中，由勾股定理得： CH=2 .GH=CH=2 . HMAG ， 1=3 ， 2=3 .又 HNC=GHF=90 ， RtHCNRtGFH . ，即 ， FG=5 . 答案： 5 . 三、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 7分，共 14分 ) 19.(7 分 )计算： (-3)2+|-2|-20140- +( )-1. 解析 ： 分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则、数的乘方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =9+2
14、-1-3+2=9. 20.(7 分 )如图，在 ABC 中， CDAB ，垂足为 D.若 AB=12， CD=6， tanA= ，求 sinB+cosB的值 . 解析 ： 先在 RtACD 中，由正切函数的定义得 tanA= = ，求出 AD=4，则 BD=AB-AD=8，再解 RtBCD ，由勾股定理得 BC= =10， sinB= = ， cosB= = ，由此求出sinB+cosB= . 答案： 在 RtACD 中， ADC=90 ， tanA= = = ， AD=4 ， BD=AB -AD=12-4=8. 在 RtBCD 中， BDC=90 ， BD=8， CD=6， BC= =10，
15、 sinB= = ， cosB= = ， sinB+cosB= + = . 答案： 四、解答题 (本大题共 4 小题，每小题 10，共 40 分 ) 21.(10 分 )先化简，再求值： (x-1- ) ，其中 x 是方程 - =0 的解 . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = = =， 方程去分母得： 5x-5-2x+4=0，解得： x= ，当 x= 时，原式 = =- . 22.(10 分 )重庆市某餐饮文化公司准备承办 “ 重庆火锅美食文化节 ” ，为
16、了解市民对火锅的喜爱程度，该公司设计了一个调查问卷，将喜爱程度分为 A(非常喜欢 )、 B(喜欢 )、 C(不太喜欢 )、 D(很不喜欢 )四种类型，并派业务员进行市场调查，其中一个业务员小丽在解放碑步行街对市民进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图所给信息解答下列问题： (1)在扇形统计图中 C 所占的百分比是 22% ；小丽本次抽样调查的人数共有 50 人；请将折线统计图补充完整； (2)为了解少数市民很不喜欢吃火锅的原因，小丽决定在上述调查结果中从 “ 很不喜欢 ” 吃火锅的市民里随机选出两位进行电话回访，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位市民
17、恰好都是男性的概率 . 解析 ： (1)用整体 1 减去 A、 B、 D 所占的百分比，剩下的就是图中 C 所占的百分比；用非常喜欢吃火锅的人数除以所占的百分比，求出本次抽样调查的总人数，再分别求出不喜欢吃火锅的男生和很不喜欢吃火锅的男生，从而补全统计图； (2)先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求出答案 . 答案： (1)在扇形统计图中 C 所占的百分比是： 1-20%-52%-6%=22%； 小丽本次抽样调查的共有人数是： =50(人 )； 不喜欢吃火锅的男生有： 5022% -5=6(人 )， 很不喜欢吃火锅的男生有： 506% -1=2(人 )，补图如下： 故答案为： 22%，
18、50； (2)根据题意画图如下： 共有 6 中情况，选出的两位市民恰好都是男性的概率是 = . 23.(10 分 )某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买 .已知今年 5 月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为 6 元 /千克、 4 元 /千克，今年 5月份一共销售了 3000 千克，总销售额为 16000 元 . (1)今年 5 月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？ (2)6 月份是青椒产出旺季 .为了促销，生态农业园决定 6 月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年 5 月份的基础上降低 a%，预计这种青椒在市区、园区的销售将在今年 5 月份的基础
19、上分别增长 30%、 20%，要使 6 月份该青椒的总销售额不低于 18360 元，则 a 的最大值是多少？ 解析 ： (1)设在市区销售了 x 千克，则在园区销售了 (3000-x)千克，根据等量关系：总销售额为 16000 元列出方程求解即可； (2)题目中的不等关系是： 6 月份该青椒的总销售额不低于 18360 元列出不等式求解即可 . 答案： (1)设在市区销售了 x 千克，则在园区销售了 (3000-x)千克，则 6x+4(3000-x)=16000， 解得 x=2000， 3000-x=1000. 故今年 5 月份该青椒在市区销售了 2000 千克，在园区销售了 1000 千克
20、. (2)依题意有 6(1-a%)2000 (1+30%)+4(1-a%)1000 (1+20%)18360 ， 20400(1-a%)18360 ， 1-a%0.9 ， a10 . 故 a 的最大值是 10. 点评： 考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用 .解决问题的关键是读懂题意， 24.(10 分 )如图，在 ABC 中， ACB=90 ， AC=BC， E 为 AC 边的中点，过点 A作 ADAB 交BE 的延长线于点 D， CG 平分 ACB 交 BD 于点 G， F为 AB 边上一点，连接 CF，且 ACF=CBG .求证： (1)AF=CG； (2)CF=2DE. 解析
21、 ： (1)要证 AF=CG，只需证明 AFCCBG 即可 . (2)延长 CG 交 AB 于 H，则 CHAB ， H 平分 AB，继而证得 CHAD ，得出 DG=BG 和 ADE 与 CGE全等，从而证得 CF=2DE. 答案： (1)ACB=90 ， CG 平分 ACB ， ACG=BCG=45 ， 又 ACB=90 ， AC=BC， CAF=CBF=45 ， CAF=BCG ， 在 AFC 与 CGB 中， ， AFCCBG (AAS)， AF=CG ； (2)延长 CG 交 AB 于 H， CG 平分 ACB ， AC=BC， CHAB ， CH 平分 AB， ADAB ， ADC
22、G ， 在 ADE 与 CGE 中， ， ADECGE (AAS)， DE=GE ，即 DG=2DE， ADCG ， CH 平分 AB， DG=BG ， AFCCBG ， CF=BG ， CF=2DE . 五、解答题 (本大题共 2 小题，每小题 12分，共 24 分 ) 25.(12 分 )如图，已知抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A， B两点 (点 A在点 B的左边 )，与 y轴交于点 C，连接 BC. (1)求 A， B， C 三点的坐标； (2)若点 P 为线段 BC 上一点 (不与 B， C 重合 )， PMy 轴，且 PM 交抛物线于点 M，交 x轴于点 N，当 BC
23、M 的面积最大时，求 BPN 的周长； (3)在 (2)的条件下，当 BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点 Q，使得 CNQ为直角三角形，求点 Q 的坐标 . 解析 ： (1)依据抛物线的解析式直接求得 C 的坐标，令 y=0 解方程即可求得 A、 B 点的坐标； (2)求出 BCM 面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出 BPN 的周长； (3)如解答图， CNQ 为直角三角形，分三种情况： 点 Q 为直角顶点，作 RtCNO 的外接圆，由圆周角定理可知，其与对称轴的两个交点即为所求； 点 N 为直角顶点； 点 C 为直角顶点 . 答案： (1
24、)由抛物线的解析式 y=-x2+2x+3， C (0， 3)， 令 y=0， -x2+2x+3=0，解得 x=3 或 x=-1； A (-1， 0)， B(3， 0). (2)设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有： ，解得 ， 直线 BC 的解析式为： y=-x+3. 设 P(x， -x+3)，则 M(x， -x2+2x+3)， PM= (-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x. S BCM =SPMC +SPMB = PM( xP-xC)+ PM( xB-xP)= PM( xB-xC)= PM. S BCM = (-x2+3x)=- (x- )2+ . 当 x= 时， BC
25、M 的面积最大 . 此时 P( ， )， PN=ON= ， BN=OB -ON=3- = . 在 RtBPN 中，由勾股定理得： PB= .CBCN =BN+PN+PB=3+ . 当 BCM 的面积最大时， BPN 的周长为 3+ . (3)y= -x2+2x+3=-(x-1)2+4 抛物线的对称轴为直线 x=1. 在 RtCNO 中， OC=3， ON= ，由勾股定理得： CN= . 设点 D 为 CN 中点，则 D( ， )， CD=ND= . 如解答图， CNQ 为直角三角形， 若点 Q 为直角顶点 . 作 RtCNO 的外接圆 D ，与对称轴交于 Q1、 Q2两点，由圆周角定理可知，
26、Q1、 Q2两点符合题意 . 连接 Q1D，则 Q1D=CD=ND= . 过点 D( ， )作对称轴的垂线，垂足为 E，则 E(1， )， Q1E=Q2E， DE=1- = . 在 RtQ 1DE 中，由勾股定理得： Q1E= = .Q 1(1， )， Q2(1， )； 若点 N 为直角顶点 . 过点 N 作 NFCN ，交对称轴于点 Q3，交 y 轴于点 F.易证 RtNFORtCNO ，则 = ，即 ，解得 OF= .F (0， - )，又 N ( ， 0)， 可求得直线 FN 的解析式为： y= x- . 当 x=1 时， y=- ， Q 3(1， - )； 当点 C 为直角顶点时 .过
27、点 C 作 Q4CCN ，交对称轴于点 Q4. Q 4CFN ， 可设直线 Q4C 的解析式为： y= x+b， 点 C(0， 3)在该直线上， b=3 . 直线 Q4C 的解析式为： y= x+3， 当 x=1 时， y= ， Q 4(1， ). 综上所述，满足条件的点 Q 有 4 个， 其坐标分别为： Q1(1， )， Q2(1， )， Q3(1， - )， Q4(1， ). 26.(12 分 )如图 1，在 ABCD 中， AHDC ，垂足为 H， AB=4 ， AD=7， AH= .现有两个动点 E， F 同时从点 A 出发，分别以每秒 1 个单位长度、每秒 3个单位长度的速度沿射线
28、AC方向匀速运动，在点 E， F 的运动过程中，以 EF 为边作等边 EFG ，使 EFG 与 ABC 在射线AC 的同侧，当点 E 运动到点 C 时， E， F 两点同时停止运动，设运动时间为 t秒 . (1)求线段 AC 的长； (2)在整个运动过程中，设等边 EFG 与 ABC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S与 t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 t 的取值范围； (3)当等边 EFG 的顶点 E 到达点 C 时，如图 2，将 EFG 绕着点 C 旋转一个角度 (0 360 )，在旋转过程中，点 E 与点 C 重合， F 的对应点为 F ， G 的对应点为 G ，设直线FG
29、与射线 DC、射线 AC 分别相交于 M， N 两点 .试问：是否存在点 M， N，使得 CMN 是以MCN 为底角的等腰三角形？若存在，请求出 CM 的长度；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用平行四边形性质、勾股定 理，求出 DH、 CH 的长度，可以判定 ACD 为等腰三角形，则 AC=AD=7； (2)首先证明点 G 始终在直线 AB 上，然后分析运动过程，求出不同时间段内 S 的表达式： 当 0t 时，如答图 2-1 所示，等边 EFG 在 内部； 当 t4 时，如答图 2-2 所示，点 G 在线段 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上； 当 4 t7 时，如答图 2-3
30、 所示，点 G、 F 分别在 AB、 AC 的延长线上，点 E 在线段 AC 上 . (3)因为 MCN 为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形： 若点 N 为等腰三角形的顶点，如答图 3-1 所示； 若点 M 为等腰三角形的顶点，如答图 3-2 所示 . 答案： (1) ABCD， CD=AB=4 . 在 RtADH 中，由勾股定理得： DH= = =2 ， CH=DH .AC=AD=7 . (2)在运动过程中， AE=t， AF=3t， 等边 EFG 的边长 EF=EG=GF=2t. 如答图 1，过点 G 作 GPAC 于点 P，则 EP= EG=t， GP= EG= t. AP=AE+
31、EP=2t .tanGAC= = = . tanBAC=tanACH= = = ， tanGAC=tanBAC ， 点 G 始终在射线 AB 上 . 设 BAC=ACH= ，则 sin= = ， cos= = . 当 0t 时，如答图 2-1 所示，等边 EFG 在 内部 .S=SEFG = EF2= (2t)2= t2； 当 t4 时，如答图 2-2 所示，点 G 在线段 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上 . 过点 B 作 BQAF 于点 Q，则 BQ=AB sin=4 =4 ， AQ=AB cos=4 =8. CQ=AQ -AC=8-7=1. 设 BC 与 GF 交于点 K，过点 K
32、 作 KPAF 于点 P， 设 KP=x，则 PF= = x， CP=CF -PF=3t-7- x. PKBQ ， ，即 ，解得： x= (3t-7). S=S EFG -SCFK = t2- (3t-7) (3t-7)=- t2+ t- ； 当 4 t7 时，如答图 2-3 所示，点 G、 F 分别在 AB、 AC 的延长线上，点 E 在线段 AC 上 . 过点 B 作 BQAF 于点 Q，则 BQ=AB sin=4 =4 ， AQ=AB cos=4 =8. CQ=AQ -AC=8-7=1. 设 BC 与 GF 交于点 K，过点 K 作 KPAF 于点 P， 设 KP=x，则 EP= = x
33、， CP=EP -CE= x-(7-t)= x-7+t. PKBQ ， ，即 ，解得： x= (7-t). S=S CEK = (7-t) (7-t)= t2- t+ . 综上所述， S 与 t 之间的函数关系式为： S= . (3)设 ACH= ，则 tan= = = ， cos= = . 当点 E 与点 C 重合时， t=7， 等边 EFG 的边长 =2t=14. 假设存在点 M， N，使得 CMN 是以 MCN 为底角的等腰三角形， 若点 N 为等腰三角形的顶点，如答图 3-1 所示，则 NMC=MCN= . 过点 C 作 CPFM 于点 P，则 CP= CF=7 .PM= = =14.
34、 设 CN=MN=x，则 PN=PM-MN=14-x. 在 RtCNP 中，由勾股定理得： CP2+PN2=CN2，即： (7 )2+(14-x)2=x2，解得： x= . 过点 N 作 NQCM 于点 Q， CM=2CQ=2CN cos=2 =7 ； 若点 M 为等腰三角形的顶点，如答图 3-2 所示，则 MNC=MCN= . 过点 C 作 CPGN 于点 P，则 CP= CF=7 .PN= = =14. 设 CM=MN=x，则 PM=PN-MN=14-x. 在 RtCMP 中，由勾股定理得： CP2+PM2=CM2，即： (7 )2+(14-x)2=x2， CM=x= . 综上所述，存在点 M， N，使得 CMN 是以 MCN 为底角的等腰三角形， CM 的长度为 7 或 .
