1、2014 年陕西省中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 ) 1.(3 分 )4 的算术平方根是 ( ) A. -2 B. 2 C. 2 D. 16 解析 ： 2 2=4， 4 的算术平方根是 2. 答案： B. 2.(3 分 )如图是一个正方体被截去一个直三棱柱得到的几何体，则该几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 解析 ： 左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条实线， 答案： A. 3.(3 分 )若点 A(-2， m)在正比例函数 y=- x 的图象上，则 m 的值是 ( ) A. B. - C. 1 D. -1 解析 ：
2、点 A(-2， m)在正比例函数 y=- x 的图象上， m= - ( -2)=1， 答案： C. 4.(3 分 )小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 一共有 10 种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况， 小军能一次打开该旅行箱的概率是： . 答案： A. 5.(3 分 )把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 解得 ， 答案： D. 6.(3 分 )某区 10 名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如下表： 那么这 10 名学生所
3、得分数的平均数和众数分别是 ( ) A. 85 和 82.5 B. 85.5 和 85 C. 85 和 85 D. 85.5 和 80 解析 ： 这组数据中 85 出现的次数最多，故众数是 85； 平均数 = (803+0854+902+951)=85. 答案： B. 7.(3 分 )如图， ABCD ， A=45 ， C=28 ，则 AEC 的大小为 ( ) A. 17 B. 62 C. 63 D. 73 解析 ： ABCD ， ABC=C=28 ， A=45 ， AEC=A+ABC=28+45=73 ， 答案： D. 8.(3 分 )若 x=-2 是关于 x 的一元二次方程 x2- ax+
4、a2=0 的一个根，则 a的值为 ( ) A. 1 或 4 B. -1 或 -4 C. -1 或 4 D. 1 或 -4 解析 ： x= -2 是关于 x 的一元二次方程 x2- ax+a2=0 的一个根， 4+5a+a 2=0， (a+1)(a+4)=0 ，解得 a1=-1， a2=-4， 答案： B. 9.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， AB=5，对角线 AC=6.若过点 A 作 AEBC ，垂足为 E，则 AE的长为 ( ) A. 4 B. C. D. 5 解析 ： 连接 BD，交 AC 于 O 点， 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD=5 ， ACBD ， A
5、O= AC， BD=2BO， AOB=90 ， AC=6 ， AO=3 ， B0= =4， DB=8 ， 菱形 ABCD 的面积是 AC DB= 68=24 ， BC AE=24， AE= ， 答案： C. 10.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图，则下列结论中正确的是 ( ) A. c -1 B. b 0 C. 2a+b0 D. 9a+c 3b 解析 ： 抛物线与 y 轴的交点在点 (0， -1)的下方 .c -1； 抛物线开口向上， a 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， x= - 0， b 0； 抛物线过点 (-2， 0)、 (4， 0)， 抛物线对称轴为
6、直线 x=- =1， 2a+b=0 ； 当 x=-3 时， y 0， 9a -3b+c 0，即 9a+c 3b. 答案： D. 二、填空题 (共 2 小题，每小题 3 分，共 18分 ) 11.(3 分 )计算： = . 解析 ： 原式 = = =9. 答案： 9. 12.(3 分 )因式分解： m(x-y)+n(x-y)= . 解析 ： m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n). 答案： (x-y)(m+n). 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选做的第一题计分 . 13.(3 分 )一个正五边形的对称轴共有 条 . 解析 ： 如图，正五边形的对称轴共有 5 条 . 答案
7、： 5. 14.用科学计算器计算： +3tan56 (结果精确到 0.01) 解析 ： 5.5678 ， tan561.4826 ，则 +3tan565.5678+31.482610.02 答案： 10.02. 15.(3 分 )如图，在正方形 ABCD 中， AD=1，将 ABD 绕点 B 顺时针旋转 45 得到 ABD ，此时 AD 与 CD 交于点 E，则 DE 的长度为 . 解析 ： 由题意可得出： BDC=45 ， DAE=90 ， DEA=45 ， AD=AE ， 在正方形 ABCD 中， AD=1， AB=AB=1 ， BD= ， AD= -1， 在 RtDAE 中， DE= =
8、2- . 答案： 2- . 16.(3 分 )已知 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是同一个反比例函数图象上的两点，若 x2=x1+2，且= + ，则这个反比例函数的表达式为 . 解析 ： 设这个反比例函数的表达式为 y= ， P 1(x1， y1)， P2(x2， y2)是同一个反比例函数图象上的两点， x 1 y1=x2 y2=k， = ， = ， = + ， = + ， (x2-x1)= ， x 2=x1+2， 2= ， k=4 ， 这个反比例函数的表达式为 y= . 答案： y= . 17.(3 分 )如图， O 的半径是 2，直线 l 与 O 相交于 A、 B 两点， M
9、、 N 是 O 上的两个动点，且在直线 l 的异侧，若 AMB=45 ，则四边形 MANB 面积的最大值是 . 解析 ： 过点 O 作 OCAB 于 C，交 O 于 D、 E 两点，连结 OA、 OB、 DA、 DB、 EA、 EB，如图， AMB=45 ， AOB=2AMB=90 ， OAB 为等腰直角三角形， AB= OA=2 ， S 四边形 MANB=SMAB +SNAB ， 当 M 点到 AB 的距离最大， MAB 的面积最大；当 N 点到 AB 的距离最大时， NAB 的面积最大，即 M 点运动到 D 点， N 点运动到 E 点， 此时四边形 MANB 面积的最大值 =S 四边形 D
10、AEB=SDAB +SEAB = AB CD+ AB CE= AB(CD+CE)=AB DE= 2 4=4 . 答案： 4 . 四、解答题 (共 9 小题，计 72 分 ) 18.(5 分 )先化简，再求值： - ，其中 x=- . 解析 ： 原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 = - = = ， 当 x=- 时，原式 = = . 19.(6 分 )如图，在 RtABC 中， ABC=90 ，点 D 在边 AB 上，使 DB=BC，过点 D 作 EFAC ，分别交 AC 于点 E， CB 的延长线于点 F. 求证： AB=BF.
11、 解析 ： 根据 EFAC ，得 F+C=90 ，再由已知得 A=F ，从而 AAS 证明 FBDABC ，则 AB=BF. 答案： EFAC ， F+C=90 ， A+C=90 ， A=F ， 在 FBD 和 ABC 中， ， FBDABC(AAS) ， AB=BF. 20.(7 分 )根据 2013 年陕西省国民经济和社会发展统计公报提供的大气污染物 (A-二氧化硫， B-氢氧化物， C-化学需氧量， D-氨氮 )排放量的相关数据，我们将这些数据用条形统计图和扇形统计图统计如下： 根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (2)国务院总理李克强在十
12、二届全国人大二次会议的政府工作报告中强调，建设美好家园，加大节能减排力度，今年二氧化硫、化学需氧量的排放量在去年基础上都要减少 2%，按此指示精神，求出陕西省 2014 年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约多少 万吨？ (结果精确到 0.1) 解析 ： (1)用 A的排放量除以所占的百分比计算求出 2013年总排放量，然后求出 C的排放量，再根据各部分所占的百分比之和为 1 求出 D 的百分比，乘以总排放量求出 D 的排放量，然后补全统计图即可； (2)用 A、 C 的排放量乘以减少的百分比计算即可得解 . 答案： (1)2013 年总排放量为： 80.637.6%214.4 万吨， C
13、的排放量为： 214.424.2%51.9 万吨， D 的百分比为 1-37.6%-35.4%-24.2%=2.8%， 排放量为 214.42.8%6.0 万吨； (2)由 题意得， (80.6+51.9)2%2.7 万吨， 答：陕西省 2014 年二氧化硫、化学需氧量的排放量供需减少约 2.7 万吨 . 21.(8 分 )某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸 ). 小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点
14、D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米； 小明站在原地转动 180 后蹲下，并保持原来的观察姿态 (除身体重心下移外，其他姿态均不变 )，这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE=9.6 米，小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2米 . 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米？ 解析 ： 根据题意求出 BAD=BCE ，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出 BAD 和BCE 相似，再根据相似 三角形对应边成比例列式求解即可 . 答案： 由题意得， BAD=BCE ， ABD=CBE=90 ， BADBCE ， =
15、，即 = ， 解得 BD=13.6 米 . 答：河宽 BD 是 13.6 米 . 22.(8 分 )小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次 6 元的包装费外，樱桃不超过 1kg 收费 22 元，超过 1kg，则超出部分按每千克 10 元加收费用 .设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为 y(元 )，所寄樱桃为 x(kg). (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)已知小李给外婆快寄了 2.5kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？ 解析 ： (1)根据快递的费用 =包装费 +运费由分段函数就，当 0 x1 和 x 1 时，可以求出 y与
16、x 的函数关系式； (2)由 (1)的解析式可以得出 x=2.5 1 代入解析式就可以求出结论 . 答案： (1)由题意，得当 0 x1 时， y=22+6=28； 当 x 1 时 ， y=28+10(x-1)=10x+18； y= ； (2)当 x=2.5 时， y=102.5+18=43. 这次快寄的费用是 43 元 . 23.(8 分 )小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选 择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下： 在一个不透明的袋子中装一个红球 (延
17、安 )、一个白球 (西安 )、一个黄球 (汉中 )和一个黑球(安康 )，这四个球除颜色不同外，其余完全相同； 小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色； 若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游 ，否则，前面的记录作废，按规则 重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止 . 按照上面的规则，请你解答下列问题： (1)已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？ (2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概
18、率是多少？ 解析 ： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的情况，再利用概率公式即可求得答案； (2)由 (1)得：共有 16 种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有 7 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1)画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有 1 种情况， 小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是： ； (2)由 (1)得：共有 16 种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有 7 种情况， 小英和母亲随机
19、各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是： . 24.(8 分 )如图， O 的半径为 4， B 是 O 外一点，连接 OB，且 OB=6，过点 B 作 O 的切线BD，切点为 D，延长 BO 交 O 于点 A，过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C. (1)求证： AD 平分 BAC ； (2)求 AC 的长 . 解析 ： (1)首先连接 OD，由 BD 是 O 的切线， ACBD ，易证得 ODAC ，继而可证得 AD 平分BAC ； (2)由 ODAC ，易证得 BODBAC ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AC 的长 . 答案： (1)连接 OD， BD 是 O 的切线， O
20、DBD ， ACBD ， ODAC ， 2=3 ， OA=OD ， 1=3 ， 1=2 ，即 AD 平分 BAC ； (2)ODAC ， BODBAC ， ， ，解得： AC= . 25.(10 分 )已知抛物线 C： y=-x2+bx+c 经过 A(-3， 0)和 B(0， 3)两点，将这条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的表达式； (2)求点 M 的坐标； (3)将抛物线 C 平移到 C ，抛物线 C 的顶点记为 M ，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N .如果以点 M、 N、 M 、 N 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将
21、抛物线 C 怎样平移？为什么？ 解析 ： (1)直接把 A(-3， 0)和 B(0， 3)两点代入抛物线 y=-x2+bx+c，求出 b， c 的值即可； (2)根据 (1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标； (3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示 .需要分类讨论 . 答案： (1) 抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(-3， 0)和 B(0， 3)两点， ，解得 ，故此抛物线的解析式为： y=-x2-2x+3； (2) 由 (1)知抛物线的解析式为： y=-x2-2x+3， 当 x=- =- =-1 时， y=4， M( -1， 4). (3)由题意，以点 M、
22、 N、 M 、 N 为顶点的平行四边形的边 MN 的对边只能是 MN ， MNMN 且 MN=MN. MN NN=16 ， NN=4. i)当 M、 N、 M 、 N 为顶点的平行四边形是 MNNM 时，将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单位可得符合条件的抛物线 C ； ii)当 M、 N、 M 、 N 为顶点的平行四边形是 MNMN 时，将抛物线 C 先向左或向右平移 4个单位，再向下平移 8 个单位，可得符合条件的抛物线 C. 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线 C. 26.(12 分 )问题探究 (1)如图 ，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4，如果 BC 边上存在点
23、P，使 APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 APD ，并求出此时 BP 的长； (2)如图 ，在 ABC 中， ABC=60 ， BC=12， AD 是 BC 边上的高， E、 F 分别为边 AB、 AC的中点，当 AD=6 时， BC 边上存在一点 Q，使 EQF=90 ，求此时 BQ 的长； 问题解决 (3)有一山庄，它的平面图为如图 的五边形 ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使 AMB 大约为 60 ，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知 A=E=D=90 ， AB=270m， AE=400m， ED=285
24、m， CD=340m，问在线段 CD 上是否存在点 M，使 AMB=60 ？若存在，请求出符合条件的 DM 的长，若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)由于 PAD 是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题 . (2)以 EF 为直 径作 O ，易证 O 与 BC 相切，从而得到符合条件的点 Q 唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出 BQ 长 . (3)要满足 AMB=60 ，可构造以 AB 为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段 CD 的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函
25、数值等知识，就可算出符合条件的 DM 长 . 答案： (1) 作 AD 的垂直平分线交 BC 于点 P，如图 ，则 PA=PD.PAD 是等腰三角形 . 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC ， B=C=90. PA=PD ， AB=DC， RtABPRtDCP(HL).BP=CP. BC=4 ， BP=CP=2. 以点 D 为圆心， AD 为半径画弧，交 BC 于点 P ，如图 ，则 DA=DP. PAD 是等腰三角形 . 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC ， AB=DC， C=90. AB=3 ， BC=4， DC=3 ， DP=4.CP= = .BP=4 - . 点 A 为圆心，
26、 AD 为半径画弧，交 BC 于点 P ，如图 ，则 AD=AP. PAD 是等腰三角形 . 同理可得： BP= . 综上所述：在等腰三角形 ADP 中， 若 PA=PD，则 BP=2； 若 DP=DA，则 BP=4- ； 若 AP=AD，则 BP= . (2)E 、 F 分别为边 AB、 AC 的中点， EFBC ， EF= BC. BC=12 ， EF=6. 以 EF 为直径作 O ，过点 O 作 OQBC ，垂足为 Q，连接 EQ、 FQ，如图 . ADBC ， AD=6， EF 与 BC 之间的距离为 3.OQ=3 ， OQ=OE=3. O 与 BC 相切，切点为 Q. EF 为 O
27、的直径， EQF=90. 过点 E 作 EGBC ，垂足为 G，如图 . EGBC ， OQBC ， EGOQ. EOGQ ， EGOQ ， EGQ=90 ， OE=OQ， 四边形 OEGQ 是正方形 .GQ=EO=3 ， EG=OQ=3. B=60 ， EGB=90 ， EG=3， BG= . BQ=GQ+BG=3+ . 当 EQF=90 时， BQ 的长为 3+ . (3)在线段 CD 上存在点 M，使 AMB=60. 理由如下：以 AB 为边，在 AB 的右侧作等边三角形 ABG， 作 GPAB ，垂足为 P，作 AKBG ，垂足为 K. 设 GP 与 AK 交于点 O，以点 O 为圆心
28、， OA为半径作 O ， 过点 O 作 OHCD ，垂足为 H，如图 . 则 O 是 ABG 的外接圆， ABG 是等边三角形， GPAB ， AP=PB= AB. AB=270 ， AP=135.ED=285 ， OH=285 -135=150. ABG 是等边三角形， AKBG ， BAK=GAK=30. OP=AP tan30 =135 =45 . OA=2OP=90 .OH OA.O 与 CD 相交，设交点为 M，连接 MA、 MB，如图 . AMB=AGB=60 ， OM=OA=90 . OHCD ， OH=150， OM=90 ， HM= = =30 . AE=400 ， OP=45 ， DH=400 -45 . 若点 M 在点 H 的左边，则 DM=DH+HM=400-45 +30 . 400 -45 +30 340， DM CD. 点 M 不在线段 CD 上，应舍去 . 若点 M 在点 H 的右边，则 DM=DH-HM=400-45 -30 . 400 -45 -30 340， DM CD. 点 M 在线段 CD 上 . 综上所述：在线段 CD 上存在唯一的点 M，使 AMB=60 ， 此时 DM 的长为 (400-45 -30 )米 .
