1、2013 年四川省凉山州中考真题数学 一、选择题： (共 12 个小题，每小题 4分，共 48分 )在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确的字母填涂在答题卡上相应的位置 . 1.(4 分 )-2 是 2 的 ( ) A. 相反数 B. 倒数 C. 绝对值 D. 算术平方根 解 析 ： -2 是 2 的相反数， 答案： A. 2.(4 分 )你认为下列各式正确的是 ( ) A. a2=(-a)2 B. a3=(-a)3 C. -a2=|-a2| D. a3=|a3| 解 析 ： A、 a2=(-a)2，本选项正确； B、 a3=-(-a)3，本选项错误； C、 -a2=-|-a2|，本
2、选项错误； D、当 a=-2 时， a3=-8， |a3|=8，本选项错误， 答案： A 3.(4 分 )如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 长方体 解 析 ： 俯视图为 圆的有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形的只有圆锥 . 答案： B 4.(4 分 )如果单项式 -xa+1y3与 是同类项，那么 a、 b 的值分别为 ( ) A. a=2， b=3 B. a=1， b=2 C. a=1， b=3 D. a=2， b=2 解 析 ： 根据题意得： ， 则 a=1， b=3. 答案： C. 5.(4 分 )如果代数式 有
3、意义，那么 x 的取值范围是 ( ) A. x0 B. x1 C. x 0 D. x0 且 x1 解 析 ： 根据题意得： x0 且 x-10 . 解得： x0 且 x1 . 答案： D. 6.(4 分 )下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意 . 答案： B. 7.(4 分 )已知方程组 ，则 x+y 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 2
4、 D. 3 解 析 ： ， 2 得， 2x+6y=10 ， - 得， 5y=5， 解得 y=1， 把 y=1 代入 得， 2x+1=5， 解得 x=2， 所以，方程组的解是 ， 所以， x+y=2+1=3. 答案： D. 8.(4 分 )下列说法中： 邻补角是互补的角； 数据 7、 1、 3、 5、 6、 3 的中位数是 3，众数是 4； | -5|的算术平方根是 5； 点 P(1， -2)在第四象限， 其中正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解 析 ： 邻补角是互补的角，说法正确； 数据 7、 1、 3、 5、 6、 3 的中位数是 =4，众数是 3，原说法错误；
5、| -5|的算术平方根是 ，原说法错误； 点 P(1， -2)在第四象限，说法正确； 综上可得 正确，共 2 个 . 答案： C. 9.(4 分 )如图，菱形 ABCD 中， B=60 ， AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 解 析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC ， B=60 ， ABC 是等边三角形， AC=AB=4 ， 正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=44=16 ， 答案： C. 10.(4 分 )已知 O 1和 O 2的半径分别为 2cm 和 3cm，圆心距 O1O2为 5cm
6、，则 O 1和 O 2的位置关系是 ( ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 解 析 ： O 1与 O 2的半径分别为 2cm 和 3cm，且圆心距 O1O2为 5cm， 又 2+3=5 ， 两圆的位置关系是外切 . 答案： B. 11.(4 分 )如图， 3=30 ，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 1 的度数为 ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 解 析 ： 要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， 2+3=90 ， 3=30 ， 2=60 ， 1=60 . 答案： C. 12.(4 分 )如图，正比例函数 y1与反比例函数 y2
7、相交于点 E(-1， 2)，若 y1 y2 0，则 x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 正比例函数 y1与反比例函数 y2相交于点 E(-1， 2)， 根据图象可知当 y1 y2 0 时 x 的取值范围是 x -1， 在数轴上表示为： ， 答案： A. 二、填空题： (共 5 小题，每小题 4 分，共 20分 ) 13.(4 分 )截止 5 月初，受 H7N9 禽流感的影响，家禽养殖业遭受了巨大的冲击，最新数据显示，损失已超过 400 亿元，用科学记数法表示为 元 . 解 析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为
8、整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： 将 400 亿用科学记数法表示为 410 10. 故答案为： 410 10. 14.(4 分 )购买一本书，打八折比打九折少花 2 元钱，那么这本书的原价是 元 . 解 析 ： 设原价为 x 元， 由题意得： 0.9x-0.8x=2 解得 x=20. 答案： 20 15.(4 分 )化简 的结果是 . 解 析 ： =(m+1)-1 =m 答案： m 16.(4 分 )如图， RtABC 中， C=9
9、0 ， AC=8， BC=6，两等圆 A ， B 外切，那么图中两个扇形 (即阴影部分 )的面积之和为 . 解 析 ： 根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为 90 的扇形的面积 . 答案 ： C=90 ， AC=8， BC=6， AB=10 ， 扇形的半径为 5， 阴影部分的面积 = = . 17.(4 分 )已知实数 x， y 满足 ，则以 x， y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 解 析 ： 根据题意得， x-4=0， y-8=0， 解得 x=4， y=8， 4 是腰长时，三角形的三边分别为 4、 4、 8， 4+4=8 ， 不能组成三角形， 4 是底边时，三角形的三边分别为 4
10、、 8、 8， 能组成三角形，周长 =4+8+8=20， 所以，三角形的周长为 20. 答案： 20. 三、解答题： (共 2 小题，每小题 6 分，共 12分 ) 18.(6 分 )计算： . 解 析 ： 原式第一项表示 2 平方的相反数，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项先计算绝对值里边的式子，再利用绝对值的代数意义化简，第四项利用零指数幂法则计算，即可得到结果 . 答案 ： 原式 =-4- +3+1+ =0. 19.(6 分 )已知 x=3 是关于 x 的不等式 的解，求 a 的取值范围 . 解 析 ： 先根据不等式的解的定义，将 x=3 代入不等式 ，得到 9- 2，解此不等式，
11、即可求出 a 的取值范围 . 答案 ： x=3 是关于 x 的不等式 的解， 33 - ， 整理 得 3a 12， 解得 a 4. 故 a 的取值范围是 a 4. 四、解答题： (共 3 小题，每小题 8 分，共 24分 ) 20.(8 分 )某车队要把 4000 吨货物运到雅安地震灾区 (方案定后，每天的运量不变 ). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数 n(单位：吨 )与运输时间 t(单位：天 )之间有怎样的函数关系式？ (2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务，求原计划完成任务的天数 . 解 析 ： (1)根据每天运量 天数 =总运量即可列出
12、函数关系式； (2)根据 “ 实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务 ” 列出方程求解即可 . 答案 ： (1) 每天运量 天数 =总运量 nt=4000 n= ； (2)设原计划 x 天完成，根据题意得： 解得： x=4 经检验： x=4 是原方程的根， 答：原计划 4 天完成 . 21.(8 分 )如图， ABO 与 CDO 关于 O 点中心对称，点 E、 F 在线段 AC 上，且 AF=CE. 求证： FD=BE. 解 析 ： 根据中心对称得出 OB=OD， OA=OC，求出 OF=OE，根据 SAS 推出 DOFBOE 即可 . 答案 ： ABO 与 CDO 关于 O 点
13、中心对称， OB=OD ， OA=OC， AF=CE ， OF=OE ， 在 DOF 和 BOE 中 DOFBOE (SAS)， FD=BE . 22.(8 分 )根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm； (2)如果要使水面上升到 50cm，应放入大球、小球各多少个？ 解 析 ： (1)设一个小球使水面升高 x 厘米，一个大球使水面升高 y 厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可； (2)设应放入大球 m 个，小球 n 个，根据题意列二元一次方程组求解即可 . 答案 ： (1)设一个小球使水面升高 x 厘米，由图意，得 3x=32-2
14、6，解得 x=2； 设一个大球使水面升高 y 厘米，由图意，得 2y=32-26，解得： y=3. 所以，放入一个小球水面升高 2cm，放入一个大球水面升高 3cm； (2)设应放入大球 m 个，小球 n 个 .由题意，得 解得： ， 答：如果要使水面上升到 50cm，应放入大球 4 个，小球 6 个 . 五、解答题： (共 2 小题，每小题 8 分，共 16分 ) 23.(8 分 )先阅读以下材料，然后解答问题： 材料：将二次函数 y=-x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的抛物线的解析式 (平移后抛物线的形状不变 ). 解：在抛物线 y=-x2+2x
15、+3 图象上任取两点 A(0， 3)、 B(1， 4)，由题意知：点 A 向左平移 1个单位得到 A (-1， 3)，再向下平移 2 个单位得到 A (-1， 1)；点 B 向左平移 1个单位得到 B (0， 4)，再向下平移 2 个单位得到 B (0， 2). 设平移后的抛物线的解析式为 y=-x2+bx+c.则点 A (-1， 1)， B (0， 2)在抛物线上 .可得：，解得： .所以平移后的抛物线的解析式为： y=-x2+2. 根据以上信息解答下列问题： 将直线 y=2x-3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的直线的解析式 . 解 析 ： 根据上面例题可在直线 y
16、=2x-3 上任取一点 A(0， -3)，由题意算出 A 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到 A 点坐标，再设平移后的解析式为 y=2x+b，再把 A 点坐标代入解析式即可 . 答案 ： 在直线 y=2x-3 上任取一点 A(0， -3)，由题意知 A 向右平移 3 个单位，再向上平移 1个单位得到 A (3， -2)， 设平移后的解析式为 y=2x+b， 则 A (3， -2)在 y=2x+b 的解析式上， -2=23+b ， 解得： b=-8， 所以平移后的直线的解析式为 y=2x-8. 24.(8 分 )小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在 A 处 (
17、如图 )，为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作： 第一步：小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角 ACE= . 第二步：小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BD=a. 第三步：量出测角仪的高度 CD=b. 之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图 . 请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题 . (1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中： (2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB(参考数据： ，结果保留 3 个有效数字 ). 解 析 ： (1)根据图中的信息将数据填入表格，并求平均值即可； (2)过 C 作 CEAB 于 E
18、，可知四边形 EBDC 是矩形，可得 CE=BD=a， BE=CD=b，在 RtAEC 中，根据 =30 ，解直角三角形求出 AE 的长度，继而可求得树 AB 的高度，即风筝的高度 . 答案 ： (1)填写表格如图： (2)过 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 EBDC 是矩形， CE=BD=a ， BE=CD=b， 在 RtAEC 中， =30 ， a=15.81， AE=CEtan30=15.81 9.128 (米 )， 则 AB=AE+EB=9.128+1.32=10.44810.4 (米 ). 答：风筝的高度 AB 为 10.4 米 . 六、填空题： (共 2 小题，每小题 5 分
19、，共 10分 ) 25.(5 分 )已知 (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为 (3x+a)(x+b)，其中 a、 b 均为整数，则 a+3b= . 解 析 ： (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)， =(3x-7)(2x-21-x+13)， =(3x-7)(x-8) =(3x+a)(x+b)， 则 a=-7， b=-8， 故 a+3b=-7-24=-31， 答案 ： -31. 26.(5 分 )如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、 C 的坐标分别为 (10， 0)， (0，4)，点 D 是 OA 的中点，点 P在 BC 上运动，当
20、 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 . 解 析 ： 由题意，当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况： (1)如答图 所示， PD=OD=5，点 P 在点 D 的左侧 . 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4. 在 RtPDE 中，由勾股定理得： DE= = =3， OE=OD -DE=5-3=2， 此时点 P 坐标为 (2， 4)； (2)如答图 所示， OP=OD=5. 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4. 在 RtPOE 中，由勾股定理得： OE= = =3， 此时点 P 坐标为 (3， 4)； (3)如答图 所示， PD=OD=5
21、，点 P 在点 D 的右侧 . 过点 P 作 PEx 轴于点 E，则 PE=4. 在 RtPDE 中，由勾股定理得： DE= = =3， OE=OD+DE=5+3=8 ， 此时点 P 坐标为 (8， 4). 综上所述，点 P 的坐标为： (2， 4)或 (3， 4)或 (8， 4). 答案 ： (2， 4)或 (3， 4)或 (8， 4). 七、解答题： (共 2 小题， 27题 8 分， 28题 12 分，共 20 分 ) 27.(8 分 )在同一平面直角坐标系中有 5 个点： A(1， 1)， B(-3， -1)， C(-3， 1)， D(-2， -2)，E(0， -3). (1)画出 A
22、BC 的外接圆 P ，并指出点 D 与 P 的位置关系； (2)若直线 l 经过点 D(-2， -2)， E(0， -3)，判断直线 l 与 P 的位置关系 . 解 析 ： (1)在直角坐标系内描出各点，画出 ABC 的外接圆，并指出点 D 与 P 的位置关系即可； (2)连接 PE，用待定系数法求出直线 PD 与 PE 的位置关系即可 . 答案 ： (1)如图所示： ABC 外接圆的圆心为 (-1， 0)，点 D 在 P 上； (2)方法一：连接 PD， 设过点 P、 D 的直线解析式为 y=kx+b， P (-1， 0)、 D(-2， -2)， ， 解得 ， 此直线的解析式为 y=2x+2
23、； 设过点 D、 E 的直线解析式为 y=ax+c， D (-2， -2)， E(0， -3)， ， 解得 ， 此直线的解析式为 y=- x-3， 2 (- )=-1， PDDE ， 点 D 在 P 上， 直线 l 与 P 相切 . 方法二：连接 PE， PD， 直线 l 过点 D(-2， -2 )， E (0， -3 )， PE 2=12+32=10， PD2=5， DE2=5， . PE 2=PD2+DE2. PDE 是直角三角形，且 PDE=90 . PDDE . 点 D 在 P 上， 直线 l 与 P 相切 . 28.(12 分 )如图，抛物线 y=ax2-2ax+c(a0 )交 x
24、轴于 A、 B 两点， A点坐标为 (3， 0)，与 y轴交于点 C(0， 4)，以 OC、 OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O、 A 两点 )上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长； (3)在 (2)的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、 C、F 为顶点的三角形和 AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断 PCM 的形状；若不存在，
25、请说明理由 . 解 析 ： (1)将 A(3， 0)， C(0， 4)代入 y=ax2-2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)先根据 A、 C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和 直线 AC的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长； (3)由于 PFC 和 AEM 都是直角， F 和 E 对应，则若以 P、 C、 F 为顶点的三角形和 AEM 相似时，分两种情况进行讨论： PFCAEM ， CFPAEM ；可分别用含 m 的代数式表示出 AE、 EM、 CF、 PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的
26、值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出 PCM 的形状 . 答案 ： (1) 抛物线 y=ax2-2ax+c(a0 )经过点 A(3， 0)，点 C(0， 4)， ，解得 ， 抛物线的解析式为 y=- x2+ x+4； (2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， A (3， 0)，点 C(0， 4)， ，解得 ， 直线 AC 的解析式为 y=- x+4. 点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上， M 点的坐标为 (m， - m+4)， 点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y=- x2+ x+4上， 点 P 的坐标为 (m， - m2+ m+4)， PM=
27、PE -ME=(- m2+ m+4)-(- m+4)=- m2+4m， 即 PM=- m2+4m(0 m 3)； (3)在 (2)的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、 C、 F为顶点的三角形和 AEM 相似 . 理由如下： 由题意，可得 AE=3-m， EM=- m+4， CF=m， PF=- m2+ m+4-4=- m2+ m. 若以 P、 C、 F 为顶点的三角形和 AEM 相似，分两种情况： 若 PFCAEM ，则 PF： AE=FC： EM， 即 (- m2+ m)： (3-m)=m： (- m+4)， m0 且 m3 ， m= . PFCAEM ， PCF=AME ， AME=CMF ， PCF=CMF . 在直角 CMF 中， CMF+MCF=90 ， PCF+MCF=90 ，即 PCM=90 ， PCM 为直角三角形； 若 CFPAEM ，则 CF： AE=PF： EM， 即 m： (3-m)=(- m2+ m)： (- m+4)， m0 且 m3 ， m=1 . CFPAEM ， CPF=AME ， AME=CMF ， CPF=CMF . CP=CM ， PCM 为等腰三角形 . 综上所述，存在这样的点 P 使 PFC 与 AEM 相似 .此时 m 的值为 或 1， PCM 为直角三角形或等腰三角形 .
