1、2013 年四川省宜宾市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，满分 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内。 ) 1.(3 分 )下列各数中，最小的数是 ( ) A. 2 B. -3 C. - D. 0 解 析 ： -3 - 0 2， 最小的数是 -3； 答案： B. 2.(3 分 )据宜宾市旅游局公布的数据，今年 “ 五一 ” 小长假期间，全市实现旅游总收入330000000 元 .将 330000000 用科学记数法表示为 ( ) A. 3.310 8 B. 3.310 9 C. 3.310 7 D. 0.3310 10
2、 解 析 ： 330000000 用科学记数法表示为 3.310 8. 答案： A. 3.(3 分 )下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、主视图为长方形； B、主视图为长方形； C、主视图为长方形； D、主视图为三角形 . 则主视图与其它三个不相同的是 D. 答案： D. 4.(3 分 )要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的 ( ) A. 方差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数 解 析 ： 要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可 . 答案：
3、A. 5.(3 分 )若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是( ) A. k 1 B. k 1 C. k=1 D. k0 解 析 ： 关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根， a=1， b=2， c=k， =b 2-4ac=22-41k 0， k 1， 答案： A. 6.(3 分 )矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 解 析 ： A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选
4、项正确； C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误； D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误 . 答案： B. 7.(3 分 )某棵果树前 x 年的总产量 y 与 x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 x年的年平均产量最高，则 x 的值为 ( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 解 析 ： 利用前 x 年的年平均产量增加越快，则总产量增加就越快， 根据图象可得出第 7 年总产量增加最快，即前 7 年的年平均产量最高， x=7. 答案： C. 8.(3 分 )对于实数 a、 b，定义一种运算 “ ” 为： a b=a2+ab-2，有下列命题： 1 3=2； 方程
5、 x 1=0的根为： x1=-2， x2=1； 不等式组 的解集为： -1 x 4； 点 ( ， )在函数 y=x (-1)的图象上 . 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 1 3=12+13 -2=2，所以 正确； x 1=0， x 2+x-2=0， x 1=-2， x2=1，所以 正确； (-2) x-4=4-2x-2-4=-2x-2， 1 x-3=1+x-2-3=x-4， ，解得 -1 x 4，所以 正确； y=x (-1)=x2-x-2， 当 x= 时， y= - -2=- ，所以 错误 . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 2
6、4 分。请把答案直接填在题中横线上。 ) 9.(3 分 )分式方程 的解为 . 解 析 ： 去分母得： 2x+1=3x， 解得： x=1， 经检验 x=1 是分式方程的解 . 答案： x=1 10.(3 分 )分解因式： am2-4an2= . 解 析 ： am2-4an2=a(m2-4n2)=a(m+2n)(m-2n)， 答案： a(m+2n)(m-2n). 11.(3 分 )如图，一个含有 30 角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若1=25 ，则 2= . 解 析 ： 四边形 ABCD 是矩形， ADBC ， 2=DEG=1+FEG=115 . 答案： 115 . 12.(3
7、分 )某企业五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到 36 万元 .设平均月增长率为 x，根据题意所列方程是 . 解 析 ： 本题为增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量 (1+增长率 )，如果设这个增长率为 x，根据 “ 五月份的利润是 25 万元，预计七月份的利润将达到 36 万元 ” ，即可得出方程 . 答案 ： 设这个增长率为 x， 根据题意可得： 25(1+x)2=36， 故答案为： 25(1+x)2=36. 13.(3 分 )如图，将面积为 5 的 ABC 沿 BC 方向平移至 DEF 的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，那么图中的四边形 ACED 的面积为 .
8、解 析 ： 设点 A 到 BC 的距离为 h，则 SABC = BC h=5， 平移的距离是 BC 的长的 2 倍， AD=2BC ， CE=BC， 四边形 ACED 的面积 = (AD+CE) h= (2BC+BC) h=3 BC h=35=15 . 答案： 15. 14.(3 分 )如图， ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、 B、 C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 . 解 析 ： 弧 CD 的长是 = ， 弧 DE 的长是： = ， 弧 EF 的长是： =2 ， 则曲线 CDEF 的长是： + +2=
9、4 . 答案： 4 . 15.(3 分 )如图，在 ABC 中， ABC=90 ， BD为 AC 的中线，过点 C作 CEBD 于点 E，过点A作 BD的平行线，交 CE的延长线于点 F，在 AF的延长线上截取 FG=BD，连接 BG、 DF.若 AG=13，CF=6，则四边形 BDFG 的周长为 . 解 析 ： AGBD ， BD=FG， 四边形 BGFD 是平行四边形， CFBD ， CFAG ， 又 点 D 是 AC 中点， BD=DF= AC， 四边形 BGFD 是菱形， 设 GF=x，则 AF=13-x， AC=2x， 在 RtACF 中， CFA=90 ， AF 2+CF2=AC2
10、，即 (13-x)2+62=(2x)2， 解得： x=5， 故四边形 BDFG 的周长 =4GF=20. 答案： 20. 16.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 G，点 F是 CD上一点，且满足 = ，连接 AF 并延长交 O 于点 E，连接 AD、 DE，若 CF=2， AF=3.给出下列结论： ADFAED ； FG=2 ； tanE= ； S DEF =4 . 其中正确的是 (写出所有正确结论的序号 ). 解 析 ： AB 是 O 的直径，弦 CDAB ， = ， DG=CG， ADF=AED ， FAD=DAE (公共角 )， ADFAED ； 故 正确；
11、= ， CF=2， FD=6 ， CD=DF+CF=8 ， CG=DG=4 ， FG=CG -CF=2； 故 正确； AF=3 ， FG=2， AG= = ， 在 RtAGD 中， tanADG= = ， tanE= ； 故 错误； DF=DG+FG=6 ， AD= = ， S ADF = DF AG= 6 =3 ， ADFAED ， =( )2， = ， S AED =7 ， S DEF =SAED -SADF =4 ； 故 正确 . 答案： . 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 72 分 .解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ) 17.(10 分 )(1)计算： |-2|+
12、-4sin45 -1-2 (2)化简： . 解 析 ： (1)本题涉及绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，直接根据定义或性质解答即可； (2)将括号内的部分通分，将分子、分母因式分解，然后将除法转化为乘法解答即可 . 答案 ： (1)原式 =2+2 -4 -1 =2+2 -2 -1 =1； (2)原式 = ( - ) = = = . 18.(6 分 )如图：已知 D、 E 分别在 AB、 AC 上， AB=AC， B=C ，求证： BE=CD. 解 析 ： 要证明 BE=CD，把 BE 与 CD 分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三
13、个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用 ASA 可得出三角形 ABE 与三角形 ACD 全等，利用全等三角形的对应边相等可得证 . 答案 ： 在 ABE 和 ACD 中， ， ABEACD (ASA)， BE=CD (全等三角形的对应边相等 ). 19.(8 分 )为响应我市 “ 中国梦 ” “ 宜宾梦 ” 主题教育活动，某中学在全校学生中开展了以 “ 中国梦 我的梦 ” 为主题的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖 .小明同学根据获奖结果，绘制成如图所示的统计表和数学统计图 . 请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)a= ， b= ， n=
14、. (2)学校决定在获得一等奖的作者中，随机推荐两名作者代表学校参加市级比赛，其中王梦、李刚都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中这二人的概率 . 解 析 ： (1)首先利用频数、频率之间的关系求得参赛人数，然后乘以一等奖的频率即可求得a 值，乘以三等奖的频率即可求得 b 值，用三等奖的频率乘以 360 即可求得 n 值； (2)列表后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率； 答案 ： (1)观察统计表知，二等奖的有 10 人，频率为 0.2， 故参赛的总人数为 100.2=50 人， a=500.1=5 人， b=500.4=20 . n=0.4360=144
15、， 故答案为： 5， 20， 144； (2)列表得： 共有 20 种等可能的情况，恰好是王梦、李刚的有 2 种情况， 恰好选中王梦和李刚两位同学的概率 P= = . 20.(8 分 )2013 年 4 月 20 日，我省芦山县发生 7.0 级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷 .某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷 .如果按原来的生产速度，每天生产 120 顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的 90%.为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产 160 顶帐篷，刚好提前一天完成任务 .问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？ 解 析 ： 设规定时间为
16、 x 天，生产任务是 y 顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成任务的90%，即提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可 . 答案 ： 设规定时间为 x 天，生产任务是 y 顶帐篷， 由题意得， ， 解得： . 答：规定时间是 6 天，生产任务是 800 顶帐篷 . 21.(8 分 )宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一 (如图 ).喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代 (一说是唐代韦皋所建 )，后毁于兵火，乾隆乙酉年(1765 年 )重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一 .小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度 .如图 ，他利用测角仪站在 B
17、 处测得大观楼最高点 P 的仰角为 45 ，又前进了 12米到达 A处，在 A处测得 P的仰角为 60 .请你帮助小伟算算大观楼的高度 .(测角仪高度忽略不计， 1.7 ，结果保留整数 ). 解 析 ： 设大观楼的高 OP=x，在 RtPOB 中表示出 OB，在 RtPOA 中表示出 OA，再由 AB=12米，可得出方程，解出即可得出答案 . 答案 ： 设大观楼的高 OP=x， 在 RtPOB 中， OBP=45 ， 则 OB=OP=x， 在 RtPOA 中， OAP=60 ， 则 OA= = x， 由题意得， AB=OB-OA=12m，即 x- x=12， 解得： x=18+6 ， 故大观楼
18、的高度 OP=18+6 28 (米 ). 答：大观楼的高度约为 28 米 . 22.(10 分 )如图，直线 y=x-1 与反比例函数 y= 的图象交于 A、 B 两点，与 x 轴交于点 C，已知点 A 的坐标为 (-1， m). (1)求反比例函数的解析式； (2)若点 P(n， -1)是反比例函数图象上一点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，延长 EP交直线 AB于点 F，求 CEF 的面积 . 解 析 ： (1)将点 A 的坐标代入直线解析式求出 m 的值，再将点 A 的坐标代入反比例函数解析式可求出 k 的值，继而得出反比例函数关系式； (2)将点 P 的纵坐标代入反比例函数解析式可求
19、出点 P 的横坐标，将点 P 的横坐标和点 F的横坐标相等，将点 F 的横坐标代入直线解析式可求出点 F 的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算 CEF 的面积 . 答案 ： (1)将点 A 的坐标代入 y=x-1，可得： m=-1-1=-2， 将点 A(-1， -2)代入反比例函数 y= ，可得： k=-1 (-2)=2， 故反比例函数解析式为： y= . (2)将点 P 的纵坐标 y=-1，代入反比例函数关系式可得： x=-2， 将点 F 的横坐标 x=-2 代入直线解析式可得： y=-3， 故可得 EF=3， CE=OE+OC=2+1=3， 故可得 SCEF = CEEF= .
20、 23.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径， B=CAD . (1)求证： AC 是 O 的切线； (2)若点 E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，当 BD=5， CD=4 时，求 AF 的值 . 解 析 ： (1)证明 ADCBAC ，可得 BAC=ADC=90 ，继而可判断 AC 是 O 的切线 . (2)根据 (1)所得 ADCBAC ，可得出 CA 的长度，继而判断 CFA=CAF ，利用等腰三角形的性质得出 AF 的长度，继而得出 DF 的长，在 RtAFD 中利用勾股定理可得出 AF的长 . 答案 ： (1)AB 是 O 的直径， ADB=ADC=90 ， B=
21、CAD ， C=C ， ADCBAC ， BAC=ADC=90 ， BAAC ， AC 是 O 的切线 . (2)BD=5 ， CD=4， BC=9 ， ADCBAC (已证 )， = ，即 AC2=BCCD=36 ， 解得： AC=6， 在 RtACD 中， AD= =2 ， CAF=CAD+DAE=ABF+BAE=AFD ， CA=CF=6 ， DF=CA -CD=2， 在 RtAFD 中， AF= =2 . 24.(12 分 )如图，抛物线 y1=x2-1交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B，将此抛物线向右平移 4 个单位得抛物线 y2，两条抛物线相交于点 C. (1)请直接写
22、出抛物线 y2的解析式； (2)若点 P 是 x 轴上一动点，且满足 CPA=OBA ，求出所有满足条件的 P 点坐标； (3)在第四象限内抛物线 y2上，是否存在点 Q，使得 QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值？若存在，请求出点 Q 的坐标及 h 的最大值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； (2)根据抛物线解析式求出点 A、 B 的坐标，然后求出 OBA=45 ，再联立两抛物线解析式求出交点 C 的坐标，再根据 CPA=OBA 分点 P 在点 A 的左边和右边两种情况求解； (3)先求出直线 OC 的解析式为 y=
23、 x，设与 OC 平行的直线 y= x+b，与抛物线 y2联立消掉 y得到关于 x 的一元二次方程，再根据与 OC 的距离最大时方 程有且只有一个根，然后利用根的判别式 =0 列式求出 b 的值，从而得到直线的解析式，再求出与 x 轴的交点 E 的坐标，得到 OE 的长度，再过点 C 作 CDx 轴于 D，然后根据 COD 的正弦值求解即可得到 h的值 . 答案 ： (1)抛物线 y1=x2-1 向右平移 4 个单位的顶点坐标为 (4， -1)， 所以，抛物线 y2的解析式为 y2=(x-4)2-1； (2)x=0 时， y=-1， y=0 时， x2-1=0，解得 x1=1， x2=-1，
24、所以，点 A(1， 0)， B(0， -1)， OBA=45 ， 联立 ， 解得 ， 点 C 的坐标为 (2， 3)， CPA=OBA ， 点 P 在点 A 的左边时，坐标为 (-1， 0)， 在点 A 的右边时，坐标为 (5， 0)， 所以，点 P 的坐标为 (-1， 0)或 (5， 0)； (3)存在 . 点 C(2， 3)， 直线 OC 的解析式为 y= x， 设与 OC 平行的直线 y= x+b， 联立 ， 消掉 y 得， 2x2-19x+30-2b=0， 当 =0 ，方程有两个相等的实数根时， QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值， 此时 x1=x2= (- )= ， 此时 y=( -4)2-1=- ， 存在第四象限的点 Q( ， - )，使得 QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值， 此时 =19 2-42 (30-2b)=0， 解得 b=- ， 过点 Q 与 OC 平行的直线解析式为 y= x- ， 令 y=0，则 x- =0，解得 x= ， 设直线与 x 轴的交点为 E，则 E( ， 0)， 过点 C 作 CDx 轴于 D，根据勾股定理， OC= = ， 则 sinCOD= = ， 解得 h 最大 = = .
