1、2013 年四川省巴中市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 题，每小题 3分，满分 30 分 ) 1.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a2+a3=a5 B. a6a 2=a3 C. a2 a3=a6 D. (a4)3=a12 解 析 ： A、 a2与 a3，不是同类项不能直接合并，故本选项错误； B、 a6a 2=a4，故本选项错误； C、 a2 a3=a5，故本选项错误； D、 (a4)3=a12，计算正确，故本选项正确； 答案： D. 2.(3 分 )钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约 4400000 平方米，数据 4400000用科学记数法表示为 ( ) A
2、. 4410 5 B. 0.4410 5 C. 4.410 6 D. 4.410 5 解 析 ：将 4400000 用科学记数法表示为： 4.410 6. 答案： C. 3.(3 分 )如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中 “ 梦 ” 字所在的面相对的面上标的字是 ( ) A. 大 B. 伟 C. 国 D. 的 解 析 ：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面 “ 伟 ” 与面 “ 国 ” 相对，面 “ 大 ”与面 “ 中 ” 相对， “ 的 ” 与面 “ 梦 ” 相对 . 答案： D. 4.(3 分 )体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比
3、较稳定，通常需要比较两名同学成绩的 ( ) A. 平均数 B. 方差 C. 频 数分布 D. 中位数 解 析 ：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了 5 次短跑训练成绩的方差 . 答案： B. 5.(3 分 )在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力 )，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y(单位N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm)之间的函数关系的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：因为小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度 . 则露出
4、水面前读数 y 不变，出水面后 y 逐渐增大，离开水面后 y 不变 . 答案： C. 6.(3 分 )如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ，点 E、 F 分别是 AB、 CD 的中点且 EF=6，则 AD+BC的值是 ( ) A. 9 B. 10.5 C. 12 D. 15 解 析 ： E 和 F 分别是 AB 和 CD 的中点， EF 是梯形 ABCD 的中位线， EF= (AD+BC)， EF=6 ， AD+BC=62=12 . 答案： C. 7.(3 分 )下列命题是真命题的是 ( ) A. 无限小数是无理数 B. 相反数等于它本身的数是 0 和 1 C. 对角线互相平分且相等的四边
5、形是矩形 D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形 解 析 ： A、无限小数不一定是无理数，故原命题是假命题； B、相反数等于它本身的数是 0，故原命题是假命题； C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题； D、等边三角形是轴对称图形，故原命题是假命题； 答案： C. 8.(3 分 )如图，已知 O 是 ABD 的外接圆， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的弦， ABD=58 ，则 BCD 等于 ( ) A. 116 B. 32 C. 58 D. 64 解 析 ： AB 是 O 的直径， ADB=90 ， ABD=58 ， A=90 -ABD=32 ， BCD=A
6、=32 . 答案： B. 9.(3分 )如图，菱形 ABCD的两条对角线相交于 O，若 AC=6， BD=4，则菱形 ABCD的周长是 ( ) A. 24 B. 16 C. 4 D. 2 解 析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AC=6， BD=4， ACBD ， OA= AC=3， OB= BD=2， AB=BC=CD=AD， 在 RtAOB 中， AB= = ， 菱形的周长是： 4AB=4 . 答案： C. 10.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( ) A. ac 0 B. 当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小 C. b-
7、2a=0 D. x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a0 )的一个根 解 析 ：由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可得：抛物线开口向上，即 a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴，即 c 0， ac 0，选项 A 错误； 由函数图象可得：当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误； 对称轴为直线 x=1， - =1，即 2a+b=0，选项 C 错误； 由图象可得抛物线与 x 轴的一个交点为 (-1， 0)，又对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (3， 0)， 则 x=3 是方程 ax
8、2+bx+c=0 的一个根，选项 D 正确 . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 ) 11.(3 分 )分解因式： 2a2-8= . 解 析 ： 2a2-8 =2(a2-4)， =2(a+2)(a-2). 答案： 2(a+2)(a-2). 12.(3 分 )若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是 边形 . 解 析 ：设这个多边形的边数是 n，则 (n-2) 180=360 ， 解得 n=4. 答案： 四 . 13.(3 分 )函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解 析 ：根据题意得， x-30 且 2x+40 ， 解得 x3 且
9、x -2， 所以，自变量 x 的取值范围是 x3 . 答案： x3 . 14.(3 分 )如图，已知点 B、 C、 F、 E 在同一直线上， 1=2 ， BC=EF，要使 ABCDEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是 .(只需写出一个 ) 解 析 ：添加 CA=FD，可利用 SAS 判断 ABCDEF . 答案： CA=FD. 15.(3 分 )在 -1、 3、 -2 这三个数中，任选两个数的积作为 k 的值，使反比例函数 的图象在第一、三象限的概率是 .(用汉字表示 ) 解 析 ：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，任选两个数的积作为 k 的值，使反比例函数 的图象在第一、三象限的有
10、 2 种情况， 任选两个数的积作为 k 的值，使反比例函数 的图象在第一、三象限的概率是： = . 答案： . 16.(3 分 )底面半径为 1，母线长为 2 的圆锥的侧面积等于 . 解 析 ：圆锥的侧面积 =222=2 . 答案： 2 . 17.(3 分 )方程 x2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 . 解 析 ： x2-9x+18=0， (x-3)(x-6)=0， x -3=0， x-6=0， x 1=3， x2=6， 当等腰三角形的三边是 3， 3， 6 时， 3+3=6，不符合三角形的三边关系定理， 此时不能组成三角形， 当等腰三角形的三边是 3
11、， 6， 6 时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是 3+6+6=15， 答案： 15. 18.(3 分 )如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 . 解 析 ： DEBC ， ADEACB ，即 = ， 则 = ， h=1.5m . 答案： 1.5 米 . 19.(3 分 )若直角三角形的两直角边长为 a、 b，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为 5 . 解 析 ： ， a 2-6a+9=0， b-4=0， 解得 a=3， b=4， 直角三角形的两直角边长为 a、 b， 该直角三角形的斜边长 = = =5. 答案： 5. 20.(3
12、分 )观察下面的单项式： a， -2a2， 4a3， -8a4， 根据你发现的规律，第 8 个式子是 . 解析： 根据单项式可知 n 为双数时 a 的前面要加上负号，而 a 的系数为 2(n-1)， a 的指数为n. 答案： 第八项为 -27a8=-128a8. 三、计算 (本题共 3 个小题，每小题各 5分，共 15分 ) 21.(5 分 )计算： . 解析： 本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =2-1+1- =2-1+1-2 =0. 22.(5 分 )解不等式： ，并把解集表示在数轴上
13、 . 解析： 首先两边同时乘以 6 去分母，再利用乘法分配律去括号，移项、合并同类项，最后把x 的系数化为 1 即可 . 答案： 去分母得： 2(2x-1)-(9x+2)6 ， 去括号得： 4x-2-9x-26 ， 移项得： 4x-9x6+2+2 ， 合并同类项得： -5x10 ， 把 x 的系数化为 1 得： x -2. 23.(5 分 )先化简 ，然后 a 在 -1、 1、 2 三个数中任选一个合适的数代入求值 . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 a 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = + = + = ， 当 a=2 时，原式 = =5. 四、操作
14、(24 题 10分， 25 题 10 分，共 20分 ) 24.(10 分 )ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 . (1)作 ABC 关于点 C 成中心对称的 A 1B1C1. (2)将 A 1B1C1向右平移 4 个单位，作出平移后的 A 2B2C2. (3)在 x 轴上求作一点 P，使 PA1+PC2的值最小，并写出点 P的坐标 (不写解答过程，直接写出结果 ) 解析： (1)延长 AC 到 A1，使得 AC=A1C1，延长 BC到 B1，使得 BC=B1C1，即可得出图象； (2)根据 A 1B1C1将各顶点向右平移 4 个单位，得出 A 2B2C2； (3)作出 A1
15、关于 x 轴的对称点 A ，连接 AC 2，交 x 轴于点 P，再利用相似三角形的性质求出 P 点坐标即可 . 答案 ： (1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示：作出 A1关于 x 轴的对称点 A ，连接 AC 2，交 x 轴于点 P， 可得 P 点坐标为： ( ， 0). 25.(10 分 )为了把巴城建成省级文明城市，特在每个红绿灯处设置了文明监督岗，文明劝导员老张某天在市中心的一十字路口，对闯红灯的人数进行统计 .根据上午 7： 00 12： 00 中各时间段 (以 1 小时为一个时间段 )，对闯红灯的人数制作了如图所示的扇形统计图和条形统计图，但均不完整 .请你根据统计图解
16、答下列问题： (1)问这一天上午 7： 00 12： 00 这一时间段共有多少人闯红灯？ (2)请你把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中 9 10 点， 10 11 点所对应的圆心角的度数 . (3)求这一天上午 7： 00 12： 00 这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数 . 解析： (1)根据 11-12 点闯红灯的人数除以所占的百分比即可求出 7-12 这一时间段共有的人数； (2)根据 7-8 点所占的百分比乘以总人数即可求出 7-8 点闯 红灯的人数，同理求出 8-9 点及10-11 点的人数，补全条形统计图即可；求出 9-10 及 10-11 点的百分比，分别乘以
17、 360 度即可求出圆心角的度数； (3)找出这一天上午 7： 00 12： 00 这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数和中位数即可 . 答案 ： (1)根据题意得： 4040%=100 (人 )， 则这一天上午 7： 00 12： 00 这一时间段共有 100 人闯红灯； (2)根据题意得： 7-8 点的人数为 10020%=20 (人 )， 8-9 点的人数为 10015%=15 (人 )， 9-10 点占 =10%， 10-11 点占 1-(20%+15%+10%+40%)=15%，人数为 10015%=15 (人 )， 补全图形，如图所示： 9 10 点所对的圆心角为 10%360
18、=36 ， 10 11 点所对应的圆心角的度数为15%360=54 ； (3)根据图形得：这一天上午 7： 00 12： 00 这一时间段中，各时间段闯红灯的人数的众数为 15 人，中位数为 15 人 . 五、方程 (组 )的应用 (26题 6分， 27题 7分，共 13 分 ) 26.(6 分 )若 O 1和 O 2的圆心距为 4，两圆半径分别为 r1、 r2，且 r1、 r2是方程组的解，求 r1、 r2的值，并判断两圆的位置关系 . 解析： 首先由 r1、 r2是方程组 的解，解此方程组即可求得答案；又由 O 1和 O 2的圆心距为 4，根据两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R， r
19、的数量关系间的联系得出两圆位置关系 . 答案 ： ， 3 - 得： 11r2=11， 解得： r2=1， 把 r2=1 代入 得： r1=4； ， O 1和 O 2的圆心距为 4， 两圆的位置关系为相交 . 27.(7 分 )某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元， 3 月份的营业额比 2月份增加 10%， 5月份的营业额达到 633.6 万元 .求 3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率 . 解析： 本题是平均增长率问题，一般形式为 a(1+x)2=b， a 为起始时间的有关数量， b 为终止时间的有关数量 .如果设平均增长率为 x，那么结合到本题中 a 就是 400 (1+10%)
20、，即 3月份的营业额， b 就是 633.6 万元即 5 月份的营业额 .由此可求出 x 的值 . 答案 ： 设 3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 x， 根据题意得， 400 (1+10%)(1+x)2=633.6， 解得， x1=0.2=20%， x2=-2.2(不合题意舍去 ). 答： 3 月份到 5 月份营业额的月平均增长率为 20%. 六、推理论证 (28 题 10分， 29 题 10分，共 20 分 ) 28.(10 分 )2013 年 4 月 20 日，四川雅安发生里氏 7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地
21、面上两探测点 A、 B 相距 4 米，探测线与地面的夹角分别为 30 和 60 ，如图所示，试确定生命所在点 C 的深度 (结果精确到 0.1 米，参考数据 1.41 ， 1.73 ) 解析： 过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D，则 CAD=30 ， CBD=60 ，在 RtBDC 中， CD= BD，在 RtADC 中， AD= CD，然后根据 AB=AD-BD=4，即可得到 CD 的方程，解方程即可 . 答案 ： 如图，过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D. 探测线与地面的夹角为 30 和 60 ， CAD=30 ， CBD=60 ， 在 RtBDC 中， tan60= ，
22、BD= = ， 在 RtADC 中， tan30= ， AD= = ， AB=AD -BD=4， - =4， CD=2 3.5 (米 ). 答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米 . 29.(10 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC ，垂足为 E，连接 DE， F 为线段DE 上一点，且 AFE=B . (1)求证： ADFDEC ； (2)若 AB=8， AD=6 ， AF=4 ，求 AE 的长 . 解析： (1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似 ADFDEC ； (2)利用 ADFDEC ，可以求出线段 DE 的长度；然后在 RtADE 中，利用勾股定
23、理求出线段 AE 的长度 . 答案 ： (1) ABCD， ABCD ， ADBC ， C+B=180 ， ADF=DEC . AFD+AFE=180 ， AFE=B ， AFD=C . 在 ADF 与 DEC 中， ADFDEC . (2) ABCD， CD=AB=8 . 由 (1)知 ADFDEC ， ， DE= = =12. 在 RtADE 中，由勾股定理得： AE= = =6. 七、函数的运用 (30 题 10分 ) 30.(10 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b(k0 )的图象与反比例函数y= 的图象交于一、三象限内的 A、 B 两点，直线 AB 与
24、x 轴交于点 C，点 B 的坐标为 (-6， n)，线段 OA=5， E 为 x 轴正半轴上一点，且 tanAOE= . (1)求反比例函数的解析式； (2)求 AOB 的面积 . 解析： (1)过点 A作 ADx 轴，在直角三角形 AOD 中，根据已知的三角函数值和线段 OA 的长求出 AD 与 OD 的长，得到点 A 的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式； (2)把点 B 的横坐标代入反比例函数解析式中得到 B 的坐标，然后分别把点 A 和点 B的坐标代入一次函数解析式中，求出 k 与 b 的值即可得到一次函数解析式，从而求出点 C 的坐标，得到 OC 的长，最后利用三角形
25、的面积公式求出三角形 AOC 与三角形 BOC 的面积，相加即可得到三角形 AOB 的面积 . 答案 ： (1)过点 A 作 ADx 轴， 在 RtAOD 中， tanAOE= = ， 设 AD=4x， OD=3x， OA=5 ， 在 RtAOD 中，根据勾股定理解得 AD=4， OD=3， A (3， 4)， 把 A(3， 4)代入反比例函数 y= 中， 解得： m=12， 则反比例函数的解析式为 y= ； (2)把点 B 的坐标为 (-6， n)代入 y= 中， 解得 n=-2， 则 B 的坐标为 (-6， -2)， 把 A(3， 4)和 B(-6， -2)分别代入一次函数 y=kx+b(
26、k0 )得 ， 解得 ， 则一次函数的解析式为 y= x+2， 点 C 在 x 轴上，令 y=0，得 x=-3 即 OC=3， S AOB =SAOC +SBOC = 34+ 32=9 . 八、综合运用 (31 题 12分 ) 31.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 O， A 点坐标为 (4， 0)， B 点坐标为 (-1，0)，以 AB 的中点 P 为圆心， AB 为直径作 P 的正半轴交于点 C. (1)求经过 A、 B、 C 三点的抛物线所对应的函数解析式； (2)设 M 为 (1)中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式； (3)试说明直线 MC 与 P 的位置
27、关系，并证明你的结论 . 解析： (1)求出半径，根据勾股定理求出 C 的坐标，设经过 A、 B、 C 三点抛物线解析式是y=a(x-4)(x+1)，把 C(0， 2)代入求出 a 即可； (2)求出 M 的坐标，设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C(0， 2)， M( ， )代入得到方程组，求出方程组的解即可； (3)根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、 DC、 PD 的平方，根据勾股定理的逆定理得出PCD=90 ，即可求出答案 . 答案 ： (1)连接 PC， A (4， 0)， B(-1， 0)， AB=5 ，半径 PC=PB=PA= ， OP= -1= ， 在 CPO
28、 中，由勾股定理得： OC= =2， C (0， 2)， 设经过 A、 B、 C 三点抛物线解析式是 y=a(x-4)(x+1)， 把 C(0， 2)代入得： 2=a(0-4)(0+1)， a= - ， y= - (x-4)(x+1)=- x2+ x+2， 答：经过 A、 B、 C 三点抛物线解析式是 y=- x2+ x+2. (2)y=- x2+ x+2=- + ， M( ， )， 设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b， 把 C(0， 2)， M( ， )代入得： ， 解得： ， y= x+2， 答：直线 MC 对应函数表达式是 y= x+2. (3)MC 与 P 的位置关系是相切 . 证明：设直线 MC 交 x 轴于 D， 当 y=0 时， 0= x+2， x= - ， OD= ， D (- ， 0)， 在 COD 中，由勾股定理得： CD2=22+ = = ， PC2= = = ， PD2= = ， CD 2+PC2=PD2， PCD=90 ， PCDC ， PC 为半径， MC 与 P 的位置关系是相切 .
