1、2013 年四川省德阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3分，共 36 分 )在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1.(3 分 )-5 的绝对值是 ( ) A. 5 B. C. - D. -5 解 析 ：根据负数的绝对值是它的相反数，得 |-5|=5. 答案： A. 2.(3 分 )已知空气的单位体积质量为 1.2410 -3克 /厘米 3， 1.2410 -3用小数表示为 ( ) A. 0.000124 B. 0.0124 C. -0.00124 D. 0.00124 解 析 ：把数据 “1.2410 -3中 1.24 的小数点向左移动 3
2、位就可以得到为 0.001 24. 答案： D. 3.(3 分 )如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是 ( ) A. 长方体 B. 圆柱体 C. 球体 D. 三棱柱 解 析 ：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；球的三种视图都是圆形 . 答案： C. 4.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. (a-b)2=a2-b2 B. (2x)3x=8x 2 C. aa =a D. 解 析 ： A、 (a-b)2=a2-2ab+b2，本选项错误； B、 (2x)3x=8x 3x=8x 2，本选项正确；
3、 C、 aa =1 = ，本选项错误； D、 =|-4|=4，本选项错误， 答案： B. 5.(3 分 )如图， O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G， DCF=20 ，则 EOD 等于 ( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 解 析 ： O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G， DCF=20 ， 弧 DF=弧 DE，且弧的度数是 40 ， DOE=40 ， 答案： C. 6.(3 分 )如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30 ，看这栋高楼底部 C的俯角为 60 ，热气球 A与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼 BC的高度为 ( )
4、A. B. C. D. 解 析 ：过 A 作 ADBC ，垂足为 D. 在 RtABD 中， BAD=30 ， AD=120m， BD=AD tan30=120 =40 m， 在 RtACD 中， CAD=60 ， AD=120m， CD=AD tan60=120 =120 m， BC=BD+CD=40 +120 =160 m. 答案： D. 7.(3 分 )某校八年级二班的 10 名团员在 “ 情系芦山 ” 的献爱心捐款活动中，捐款情况如下(单位：元 )： 10， 8， 12， 15， 10， 12， 11， 9， 13， 10.则这组数据的 ( ) A. 众数是 10.5 B. 方差是 3
5、.8 C. 极差是 8 D. 中位数是 10 解 析 ：这组数据 10， 8， 12， 15， 10， 12， 11， 9， 13， 10 中， 10 出现了 3 次，出现的次数最多， 则众数是 10； 平均数是 (10+8+12+15+10+12+11+9+13+10)10=11 ， 则方差= 3 (10-11)2+(8-11)2+2 (12-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(9-11)2+(13-11)2=3.8； 极差是： 15-8=7； 把这组数据从小到大排列为： 8， 9， 10， 10， 10， 11， 12， 12， 13， 15， 最中间两个数的平均数是 (10+
6、11)2=10.5 ； 答案： B. 8.(3 分 )适合不等式组 的全部整数解的和是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解 析 ： ， 解不等式 得： x - ， 解不等式 得： x1 ， 不等式组的解集为 - x1 ， 不等式组的整数解为 -1， 0， 1， -1+0+1=0， 答案： B. 9.(3 分 )如果三角形的两边分别为 3 和 5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是 ( ) A. 5.5 B. 5 C. 4.5 D. 4 解 析 ：设三角形的三边分别是 a、 b、 c，令 a=3， b=5， 2 c 8， 10 三角形的周长 16， 5 中点三角形
7、周长 8. 答案： A. 10.(3 分 )如图，在 ABCD 中， AB=6， AD=9， BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC的延长线于点 F， BGAE ，垂足为 G，若 BG= ，则 CEF 的面积是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： AE 平分 BAD ， DAE=BAE ； 又 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， BEA=DAE=BAE ， AB=BE=6 ， BGAE ，垂足为 G， AE=2AG . 在 RtABG 中， AGB=90 ， AB=6， BG=4 ， AG= =2， AE=2AG=4 ； S ABE = AE BG= 44 =8 .
8、BE=6 ， BC=AD=9， CE=BC -BE=9-6=3， BE ： CE=6： 3=2： 1. ABFC ， ABEFCE ， S ABE ： SCEF =(BE： CE)2=4： 1， 则 SCEF = SABE =2 . 答案： A. 11.(3 分 )为了了解我市 6000 名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200 名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法： (1)这 6000 名学生的数学会考成绩的全体是总体； (2)每个考生是个体； (3)200 名考生是总体的一个样本； (4)样本容量是 200，其中说法正确的有 ( ) A. 4 个 B. 3 个
9、C. 2 个 D. 1 个 解 析 ：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是 200 名考生的数学会考成绩，故 (2)和 (3)错误； 总体是我市 6000 名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是 200.故 (1)和 (4)正确 . 答案： C. 12.(3 分 )如图，在 O 上有定点 C 和动点 P，位于直径 AB 的异侧，过点 C作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点 Q，已知： O 半径为 ， tanABC= ，则 CQ 的最大值是 ( ) A. 5 B. C. D. 解 析 ： AB 为 O 的直径， AB=5 ， ACB=90 ， tanABC= ， =
10、， CPCQ ， PCQ=90 ， 而 A=P ， ACBPCQ ， = ， CQ= PC= PC， 当 PC 最大时， CQ 最大，即 PC 为 O 的直径时， CQ 最大，此时 CQ= 5= . 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分，将答案填在答卡对应的号后的横线上 ) 13.(3 分 )从 1 9 这 9 个自然数中任取一个，是 3 的倍数的概率是 _ . 解 析 ：先从 1 9 这九个自然数中找出是 3 的倍数的有 3、 6、 9 共 3个，然后根据概率公式求解即可 . 答案 ： 1 9 这九个自然数中，是 3 的倍数的数有： 3、 6、 9，共 3 个， 从 1
11、9 这九个自然数中任取一个，是 3 的倍数的概率是： 39= . 故答案为 . 14.(3 分 )已知一个多边形的每一个内角都等于 108 ，则这个多边形的边数是 . 解 析 ： 多边形的每一个内角都等于 108 ， 多边形的每一个外角都等于 180 -108=72 ， 边数 n=36072=5 . 答案： 5. 15.(3 分 )已知关于 x 的方程 的解是正数，则 m 的取值范围为 . 解 析 ：原方程整理得： 2x+m=3x-6 解得： x=m+6， x 0， m+6 0， m -6. 又 原式是分式方程， x2 ， m+62 ， m -4. 由 可得，则 m 的取值范围为 m -6 且
12、 m -4. 答案： m -6 且 m -4. 16.(3 分 )用一个圆心角为 120 ，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 _ . 解 析 ：利用底面周长 =展开图的弧长可得 . 答案 ： ，解得 r= . 17.(3 分 )若 ，则 = . 解 析 ： ， +(b+1)2=0， a 2-3a+1=0， b+1=0， a+ =3， (a+ )2=32， a 2+ =7； b=-1. =7-1=6. 答案： 6. 18.(3 分 )已知二次函数的 y=ax2+bx+c(a0 )图象如图所示，有下列 5 个结论： abc 0；b a+c； 4a+2b+c 0； 2c
13、3b； a+b m(am+b)(m1 的实数 )，其中正确结论的番号有 . 解 析 ： 由图象可知： a 0， b 0， c 0， abc 0，故此选项正确； 当 x=-1 时， y=a-b+c 0，即 b a+c，错误； 由对称知，当 x=2 时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c 0，故此选项正确； 当 x=3 时函数值小于 0， y=9a+3b+c 0，且 x=- =1， 即 a=- ， 代入得 9(- )+3b+c 0，得 2c 3b，故此选项正确； 当 x=1 时， y 的值最大 .此时， y=a+b+c， 而当 x=m 时， y=am2+bm+c， 所以 a+b+c am2+b
14、m+c， 故 a+b am2+bm，即 a+b m(am+b)，故此选项错误 . 故 正确 . 答案： . 三、解答题 (共 66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 ) 19.(7 分 )计算： . 解 析 ：首先计算乘方，化简二次根式，去掉绝对值符号，然后进行乘法，加减即可 . 答案 ： 原式 =-1+4-3 +3+3 ， =-1+4+3， =6. 20.(10 分 )为了了解学生对体育活动的喜爱情况，某校对参加足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四个课外活动小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下里面问题： (1)此次共调
15、查了多少名同学？ (2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中的篮球部分的圆心角的度数； (3)如果该校共有 1000 名学生参加这四个课外活动小组，而每个教师最多只能辅导本组 20名学生，请通过计算确定每个课外活动小组至少需要准备多少名教师？ 解 析 ： (1)用足球小组的人 数除以对应的百分比即可求解； (2)用总人数减去其他三个小组的人数可求得参加羽毛球项目的人数，从而将条形统计图补充完整；用篮球项目人数与总人数的百分比，再乘以 360 度即可求出扇形统计图中的篮球部分的圆心角的度数； (3)利用样本估计总体的方法求出各小组的人数，再除以 20 即可解答 . 答案 ： (1)9045%
16、=200 . 故此次共调查了 200 名同学； (2)由 200-20-30-90=60 为参加羽毛球项目的学生数，所以补全的条形图如下所示； 参加篮球项目的学生数占 20200=10% ，所以扇形统计图中篮球部分的圆心角的度数为：36010%=36 ； (3)足球组： 100045%20=22.5 ，至少需要准备 23 名教师； 篮球组： 100010%20=5 ，至少需要准备 5 名教师； 乒乓球组： 30200100020=7.5 ，至少需要准备 8 名教师； 羽毛球组： 60200100020=15 人，至少需要准备 15 名教师 . 21.(10 分 )如图，直线 y=kx+k(k0
17、 )与双曲线 交于 C、 D 两点，与 x 轴交于点 A. (1)求 n 的取值范围 和点 A 的坐标； (2)过点 C 作 CBy 轴，垂足为 B，若 SABC =4，求双曲线的解析式； (3)在 (1)(2)的条件下，若 AB= ，求点 C 和点 D 的坐标，并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量 x 的取值范围 . 解 析 ： (1)由反比例函数图象位于第二、四象限，得到比例系数小于 0 列出关于 n 的不等式，求出不等式的解集即可得到 n 的范围，对于直线解析式，令 y=0 求出 x 的值，确定出 A 的坐标即可； (2)设 C(a， b)，表示出三角形 ABC 的
18、面积，根据已知的面积列出关于 a 与 b 的关系式，利用反比例函数 k 的几何意义即可求出 k 的值，确定出反比例解析式； (3)由 CB 垂直于 y 轴，得到 B， C 纵坐标相同，即 B(0， b)，在直角三角形 AOB 中，由 AB 与OA 的长，利用勾股定理求出 OB 的长，确定出 B 坐标，进而确定出 C 坐标，将 C 代入直线解析式求出 k 的值，确定出一次函数解析式，与反比例解析式联立求出 D 的坐标，由 C， D两点的横坐标，利用图象即可求出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量 x 的取值范围 . 答案 ： (1)由图象得： n+1 0， 解得： n -1， 由 y=kx+
19、k，令 y=0，解得： x=-1， 则 A 坐标为 (-1， 0)； (2)设 C(a， b)， S ABC = a (-b)=4， ab= -8， 点 C 在双曲线上， y= - ； (3)CBy 轴， B (0， b)， 在 RtAOB 中， AB= ， OA=1， 根据勾股定理得： OB=4， B (0， -4)， C (2， -4)， 将 C 代入直线 y=kx+k 中，得： 2k+k=-4，即 k=- ， 直线 AC 解析式为 y=- x- ， 联立直线与反比例解析式得： ， 解得： 或 ， D (-3， )， 则由图象可得：当 x -3 或 0 x 2 时，反比例函数的值小于一次函
20、数的值 . 22.(11 分 )一项工程，甲队单独做需 40 天完成，若乙队先做 30 天后，甲、乙两队一起合做20 天恰好完成任务，请问： (1)乙队单独做需要多少天能完成任务？ (2)现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了 x 天，乙队做另一部分工程用了 y天，若 x、 y 都是整数，且甲队做的时间不到 15 天，乙队做的时间不到 70 天，那么两队实际各做了多少天？ 解 析 ： (1)根据题意，甲工作 20 天完成的工作量 +乙工作 50 天完成的工作量 =1. (2)根据 甲完成的工作量 +乙完成的工作量 =1 得 x 与 y 的关系式；根据 x、 y 的取值范围得不等式，求整
21、数解 . 答案 ： (1)设乙队单独做需要 m 天完成任务 . 根据题意得 20+ (30+20)=1. 解得 m=100. 经检验 m=100 是原方程的解 . 答：乙队单独做需要 100 天完成任务 . (2)根据题意得 + =1. 整理得 y=100- x. y 70， 100 - x 70. 解得 x 12. 又 x 15 且为整数， x=13 或 14. 当 x=13 时， y 不是整数，所以 x=13 不符合题意，舍去 . 当 x=14 时， y=100-35=65. 答：甲队实际做了 14 天，乙队实际做了 65 天 . 23.(14 分 )如图，已知 AB 是 O 直径， BC
22、 是 O 的弦，弦 EDAB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 作 O 的切线与 ED 的延长线交于点 P. (1)求证： PC=PG； (2)点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若点 G是 BC 的中点，试探究 CG、 BF、 BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程； (3)在满足 (2)的条件下，已知 O 的半径为 5，若点 O 到 BC 的距离为 时，求弦 ED的长 . 解 析 ： (1)连结 OC，根据切线的性质得 OCPC ，则 OCG+PCG=90 ，由 EDAB 得B+BGF=90 ，而 B=OCG ，所以 PCG=BGF ，根据对顶角相等得 BGF=PGC ，
23、 于是 PGC=PCG ，所以 PC=PG； (2)连结 OG，由点 G 是 BC 的中点，根据垂径定理的推论得 OGBC ， BG=CG，易证得RtBOGRtBGF ，则 BG： BF=BO： BG，即 BG2=BO BF，把 BG用 CG 代换得到 CG2=BO BF； (3)连结 OE， OG=OG= ，在 RtOBG 中，利用勾股定理计算出 BG=2 ，再利用 BG2=BO BF可计算出 BF，从而得到 OF=1，在 RtOEF 中，根据勾股定理计算出 EF=2 ，由于 ABED ，根据垂径定理可得 EF=DF，于是有 DE=2EF=4 . 答案 ： (1)连结 OC，如图， PC 为
24、 O 的切线， OCPC ， OCG+PCG=90 ， EDAB ， B+BGF=90 ， OB=OC ， B=OCG ， PCG=BGF ， 而 BGF=PGC ， PGC=PCG ， PC=PG ； (2)CG、 BF、 BO 三者之间的数量关系为 CG2=BO BF.理由 如下： 连结 OG，如图， 点 G 是 BC 的中点， OGBC ， BG=CG， OGB=90 ， OBG=GBF ， RtBOGRtBGF ， BG ： BF=BO： BG， BG 2=BO BF， CG 2=BO BF； (3)连结 OE，如图， 由 (2)得 OGBC ， OG= ， 在 RtOBG 中， OB
25、=5， BG= =2 ， 由 (2)得 BG2=BO BF， BF= =4， OF=1 ， 在 RtOEF 中， EF= =2 ， ABED ， EF=DF ， DE=2EF=4 . 24.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中有一矩形 ABCO(O 为原点 )，点 A、 C 分别在 x 轴、 y轴上，且 C 点坐标为 (0， 6)，将 BCD 沿 BD 折叠 (D 点在 OC 上 )，使 C 点落在 OA 边的 E 点上，并将 BAE 沿 BE 折叠，恰好使点 A 落在 BD 边的 F 点上 . (1)求 BC 的长，并求折痕 BD 所在直线的函数解析式； (2)过点 F 作 FGx 轴，垂
26、足为 G， FG 的中点为 H，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过 B、 H、 D 三点，求抛物线解析式； (3)点 P 是矩形内部的点，且点 P 在 (2)中的抛物线上运动 (不含 B、 D 点 )，过点 P 作 PNBC ，分别交 BC 和 BD 于点 N、 M，是否存在这样的点 P，使 SBNM =SBPM ？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)首先由折叠性质得到 CBD=DBE=ABE=30 ，然后解直角三角形得到点 D、点 B的坐标，最后用待定系数法求出直线 BD 的解析式； (2)点 B、 D 坐标已经求出，关键是求出点 H 的坐标 .在 R
27、tFGE 中，解直角三角形求出点 H的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； (3)由 SBNM =SBPM ，且这两个三角形等高，所以得到 PM=MN.由此结论，列出方程求出点 P 的坐标 . 答案 ： (1)由翻折可知： BCDBED ， CBD=DBE . 又 ABEFBE ， DBE=ABE . 又 四边形 OCBA 为矩形， CBD=DBE=ABE=30 . 在 RtDOE 中， ODE=60 ， DE=CD=2OD . OC=OD+CD=6 ， OD+2OD=6 ， OD=2 ， D(0， 2)， CD=4 . 在 RtCDB 中， BC=CD tan60= ， B ( ， 6
28、). 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b， 由题意得： ，解得 ， 直线 BD 的解析式为： y= x+2. (2)在 RtFGE 中， FEG=60 ， FE=AE. 由 (1)易得： OE= ， FE=AE= . FG=3 ， GE= .OG= . H 是 FG 的中点， H ( ， ). 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 B、 H、 D 三点， ，解得 ， y= x2 x+2. (3)存在 . P 在抛物线上， 设 P(x， x2 x+2)， M(x， x+2)， N(x， 6). S BNM =SBPM ， PM=MN . 即： - x2+ x=4- x， 整理得： x2-6 x+24=0， 解得： x= 或 x= . 当 x= 时， y= x2 x+2=2； 当 x= 时， y= x2 x+2=6，与点 B 重合，不符合题意，舍去 . P ( ， 2). 存在点 P，使 SBNM =SBPM ，点 P 的坐标为 ( ， 2).
