2013年四川省成都市中考真题数学（2）.docx

1、2013 年四川省成都市中考真题数学 (2) 四、填空题 (本大题共 5 个小题，每小题 4分，共 20 分， ) 21.(4 分 )已知点 (3， 5)在直线 y=ax+b(a， b 为常数，且 a0 )上，则 的值为 _. 解 析 ： 将点 (3， 5)代入直线解析式，可得出 b-5 的值，继而代入可得出答案 . 答案 ： 点 (3， 5)在直线 y=ax+b 上， 5=3a+b ， b -5=-3a， 则 = = . 故答案为： - . 22.(4 分 )若正整数 n 使得在计算 n+(n+1)+(n+2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为 “ 本位数 ” .例如 2和 30

2、是 “ 本位数 ” ，而 5和 91 不是 “ 本位数 ” .现从所有大于 0 且小于 100 的 “ 本位数 ” 中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为 _. 解 析 ： 先确定出所有大于 0 且小于 100 的 “ 本位数 ” ，再根据概率公式计算即可得解 . 答案 ： 所有大于 0 且小于 100 的 “ 本位数 ” 有： 1、 2、 10、 11、 12、 20、 21、 22、 30、 31、32， 共有 11 个， 7 个偶数， 4 个奇数， 所以， P(抽到偶数 )= . 故答案为： . 23.(4 分 )若关于 t 的不等式组 ，恰有三个整数解，则关于 x 的一次函数的图象与反比

3、例函数 的图象的公共点的个数为 . 解 析 ： 不等式组的解为： at ， 不等式组恰有 3 个整数解， -2 a -1. 联立方程组 ， 得： x2-ax-3a-2=0， =a 2+3a+2=(a+ )2- =(a+1)(a+2) 这是一个二次函数，开口向上，与 x 轴交点为 (-2， 0)和 (-1， 0)，对称轴为直线 a=- ， 其图象如下图所示： 由图象可见： 当 a=-1 时， =0 ，此时一元二次方程有两个相等的根，即一次函数与反比例函数有一个交点； 当 -2 a -1 时， 0，此时一元二次方程无实数根，即一次函数与反比例函数没有交点 . 交点的个数为： 1 或 0. 答案：

4、1 或 0. 24.(4 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx(k 为常数 )与抛物线 y= x2-2 交于 A， B 两点，且 A 点在 y 轴左侧， P 点的坐标为 (0， -4)，连接 PA， PB.有以下说法： PO 2=PA PB； 当 k 0 时， (PA+AO)(PB-BO)的值随 k 的增大而增大； 当 k= 时， BP2=BO BA； PAB 面积的最小值为 . 其中正确的是 .(写出所有正确说法的序号 ) 解 析 ： 设 A(m， km)， B(n， kn)，其中 m 0， n 0. 联立 y= x2-2 与 y=kx 得： x2-2=kx，即 x2-3kx-

5、6=0， m+n=3k ， mn=-6. 设直线 PA 的解析式为 y=ax+b，将 P(0， -4)， A(m， km)代入得： ，解得 a= ， b=-4， y= ( )x-4. 令 y=0，得 x= ， 直线 PA 与 x 轴的交点坐标为 ( ， 0). 同理可得，直线 PB 的解析式为 y=( )x-4，直线 PB 与 x 轴交点坐标为 ( ， 0). + = = =0， 直线 PA、 PB 与 x 轴的交点关于 y 轴对称，即直线 PA、 PB关于 y轴对称 . (1)说法 错误 .理由如下： 如答图 1 所示， PA 、 PB 关于 y 轴对称， 点 A 关于 y 轴的对称点 A

6、落在 PB 上 . 连接 OA ，则 OA=OA ， POA=POA . 假设结论： PO2=PA PB 成立，即 PO2=PA PB， ， 又 BPO=BPO ， POAPBO ， POA=PBO ， AOP=PBO . 而 AOP 是 PBO 的外角， AOP PBO ，矛盾， 说法 错误 . (2)说法 错误 .理由如下： 易知： =- ， OB= - OA. 由对称可知， PO 为 APB 的角平分线， ， PB= - PA. (PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)- PA-(- OA)=- (PA+AO)(PA-OA)=- (PA2-AO2). 如答图 2 所示，过点 A 作

7、ADy 轴于点 D，则 OD=-km， PD=4+km. PA 2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+16， m+n=3k ， k= (m+n)， PA 2-AO2=8 (m+n) m+16= m2+ mn+16= m2+ (-6)+16= m2. (PA+AO)(PB-BO)=- (PA2-AO2)=- m2=- mn=- (-6)=16. 即： (PA+AO)(PB-BO)为定值，所以说法 错误 . (3)说法 正确 .理由如下： 当 k= 时，联立方程组： ，得 A( ， 2)， B( ， -1)， BP 2=12， B

8、O BA=26=12 ， BP 2=BO BA，故说法 正确 . (4)说法 正确 .理由如下： SPAB =SPAO +SPBO = OP (-m)+ OP n= OP (n-m)=2(n-m)=2 =2， 当 k=0 时， PAB 面积有最小值，最小值为 = . 故说法 正确 . 综上所述，正确的说法是： . 答案： . 25.(4 分 )如图， A， B， C 为 O 上相邻的三个 n 等分点， = ，点 E 在 上， EF为 O的直径，将 O 沿 EF 折叠，使点 A 与 A 重合，点 B与 B 重合，连接 EB ， EC， EA .设EB=b ， EC=c， EA=p .现探究 b，

9、 c， p 三者的数量关系：发现当 n=3 时， p=b+c.请继续探究 b， c， p 三者的数量关系：当 n=4 时， p= ；当 n=12 时， p= . (参考数据： sin15=cos75= ， cos15=sin75= ) 解 析 ： 如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形 .首先，在 AE 上取一点 D，使 ED=EC，连接 CD，则 ABC 与 CED 为顶角相等的两个等腰三角形，所以 ABCCED ，得到 ；其次，证明 ACDBCE ，得到 ；由 EA=ED+DA，整理得到 p 的通项公式为：p=c+2cos b.将 n=4， n=12 代入，即可求得答案 . 答案 ： 如解

10、答图所示，连接 AB、 AC、 BC. 由题意，点 A、 B、 C 为圆上的 n 等分点， AB=BC ， ACB= = (度 ). 在等腰 ABC 中，过顶点 B 作 BNAC 于点 N， 则 AC=2CN=2BC cosACB=2cos BC， =2cos . 连接 AE、 BE，在 AE 上取一点 D，使 ED=EC，连接 CD. ABC=CED ， ABC 与 CED 为顶角相等的两个等腰三角形， ABCCED . ， ACB=DCE . ACB=ACD+BCD ， DCE=BCE+BCD ， ACD=BCE . 在 ACD 与 BCE 中， ， ACD=BCE ， ACDBCE .

11、， DA= EB=2cos EB. EA=ED+DA=EC+2cos EB. 由折叠性质可知， p=EA=EA ， b=EB=EB ， c=EC. p=c+2cos b. 当 n=4 时， p=c+2cos45 b=c+ b； 当 n=12 时， p=c+2cos15 b=c+ b. 故答案为： c+ b， c+ b. 五、解答题 (本小题共三个小题，共 30 分 .答案写在答题卡上 ) 26.(8 分 )某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒，其运动速度 v(米每秒 )关于时间 t(秒 )的函数关系如图所示 .某学习小组经过探究发现：该物体前进 3 秒运动的路程在数值上等于矩形 A

12、ODB 的面积 .由物理学知识还可知：该物体前 t(3 t7 )秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和 . 根据以上信息，完成下列问题： (1)当 3 t7 时，用含 t 的式子表示 v； (2)分别求该物体在 0t3 和 3 t7 时，运动的路程 s(米 )关于时间 t(秒 )的函数关系式；并求该物体从 P 点运动到 Q 总路程的 时所用的时间 . 解 析 ： (1)设直线 BC 的解析式为 v=kt+b，运用待定系数法就可以求出 t 与 v 的关系式； (2)由路程 =速度 时间，就可以表示出物体在 0t3 和 3 t7 时，运动的路程 s(米 )关于时

13、间 t(秒 )的函数关系式，根据物体前 t(3 t7 )秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB的面积与梯形 BDNM 的面积之和求出总路程，然后将其 代入解析式就可以求出 t 值 . 答案 ： (1)设直线 BC 的解析式为 v=kt+b，由题意，得 ， 解得： 用含 t 的式子表示 v 为 v=2t-4； (2)由题意，得 根据图示知，当 0t3 时， S=2t； 当 3 t7 时， S=6+ (2+2t-4)(t-3)=t2-4t+9. 综上所述， S= ， P 点运动到 Q 点的路程为： 72-47+9=49 -28+9=30， 30 =21， t 2-4t+9=21， 整理得， t2-

14、4t-12=0， 解得： t1=-2(舍去 )， t2=6. 故该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间为 6 秒 . 27.(10 分 )如图， O 的半径 r=25，四边形 ABCD 内接圆 O ， ACBD 于点 H， P为 CA 延长线上的一点，且 PDA=ABD . (1)试判断 PD 与 O 的位置关系，并说明理由； (2)若 tanADB= ， PA= AH，求 BD 的长； (3)在 (2)的条件下，求四边形 ABCD 的面积 . 解 析 ： (1)首先连接 DO 并延长交圆于点 E，连接 AE，由 DE 是直径，可得 DAE 的度数，又由 PDA=ABD=E ，可

15、证得 PDDO ，即可得 PD 与圆 O 相切于点 D； (2)首先由 tanADB= ，可设 AH=3k，则 DH=4k，又由 PA= AH，易求得 P=30 ，PDH=60 ，连接 BE，则 DBE=90 ， DE=2r=50，可得 BD=DE cos30= ； (3)由 (2)易得 HC= ( -4k)，又由 PD2=PAPC ，可得方程：(8k)2=(4 -3)k4 k+ (25 -4k)，解此方程即可求得 AC 的长，继而求得四边形 ABCD的面积 . 答案 ： (1)PD 与圆 O 相切 . 理由：如图，连接 DO 并延长交圆于点 E，连接 AE， DE 是直径， DAE=90 ，

16、 AED+ADE=90 ， PDA=ABD=AED ， PDA+ADE=90 ， 即 PDDO ， PD 与圆 O 相切于点 D； (2)tanADB= 可设 AH=3k，则 DH=4k， PA= AH， PA= (4 -3)k， PH=4 k， 在 RtPDH 中， tanP= = ， P=30 ， PDH=60 ， PDDO ， BDE=90 -PDH=30 ， 连接 BE，则 DBE=90 ， DE=2r=50， BD=DE cos30= ； (3)由 (2)知， BH= -4k， HC= ( -4k)， 又 PD 2=PAPC ， (8k)2=(4 -3)k4 k+ (25 -4k)，

17、 解得： k=4 -3， AC=3k+ (25 -4k)=24 +7， S 四边形 ABCD= BD AC= 25 (24 +7)=900+ . 28.(12 分 )在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+bx+c(b， c 为常数 )的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 (0， -1)， C 的坐标为 (4， 3)，直角顶点 B 在第四象限 . (1)如图，若该抛物线过 A， B 两点，求该抛物线的函数表达式； (2)平移 (1)中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q. (i)若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前 (1)中的抛物

18、线上的点，当以 M、 P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； (ii)取 BC 的中点 N，连接 NP， BQ.试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)先求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； (2)(i)首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度，作为后续计算的基础 . 若 MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： 当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为 .此时，将直线 AC向右平移 4个单位后所得直线 (y=x-5)与抛物线的交点，即为所求之 M 点

19、； 当 PQ 为斜边时：点 M 到 PQ 的距离为 .此时，将直线 AC向右平移 2个单位后所得直线(y=x-3)与抛物线的交点，即为所求之 M 点 . (ii)由 (i)可知， PQ= 为定值，因此当 NP+BQ 取最小值时， 有最大值 . 如答图 2 所示，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ，由分析可知，当 B 、 Q、 F(AB 中点 )三点共线时， NP+BQ 最小，最小值为线段 BF 的长度 . 答案 ： (1) 等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为 (0， -1)， C 的坐标为 (4， 3) 点 B 的坐标为 (4， -1). 抛物线过 A(0， -1)， B(4，

20、 -1)两点， ，解得： b=2， c=-1， 抛物线的函数表达式为： y= x2+2x-1. (2)(i)A (0， -1)， C(4， 3)， 直线 AC 的解析式为： y=x-1. 设平移前抛物线的顶点为 P0，则由 (1)可得 P0的坐标为 (2， 1)，且 P0在直线 AC上 . 点 P 在直线 AC 上滑动， 可设 P 的坐标为 (m， m-1)， 则平移后抛物线的函数表达式为： y= (x-m)2+m-1. 解方程组： ， 解得 ， P (m， m-1)， Q(m-2， m-3). 过点 P 作 PEx 轴，过点 Q 作 QFy 轴，则 PE=m-(m-2)=2， QF=(m-1

21、)-(m-3)=2. PQ= =AP0. 若以 M、 P、 Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： 当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为 (即为 PQ的长 ). 由 A(0， -1)， B(4， -1)， P0(2， 1)可知， ABP 0为等腰直角三角形，且 BP0AC ， BP0= . 如答图 1，过点 B 作直线 l1AC ，交抛物线 y= x2+2x-1于点 M，则 M为符合条件的点 . 可设直线 l1的解析式为： y=x+b1， B (4， -1)， -1=4+b1，解得 b1=-5， 直线 l1的解析式为： y=x-5. 解方程组 ，得： ， M 1(4

22、， -1)， M2(-2， -7). 当 PQ 为斜边时： MP=MQ=2，可求得点 M 到 PQ 的距离为 . 如答图 2，取 AB 的中点 F，则点 F 的坐标为 (2， -1). 由 A(0， -1)， F(2， -1)， P0(2， 1)可知： AFP 0为等腰直角三角形，且点 F 到直线 AC 的距离为 . 过点 F 作直线 l2AC ，交抛物线 y= x2+2x-1 于点 M，则 M 为符合条件的点 . 可设直线 l2的解析式为： y=x+b2， F (2， -1)， -1=2+b2，解得 b2=-3， 直线 l2的解析式为： y=x-3. 解方程组 ，得： ， M 3(1+ ，

23、-2+ )， M4(1- ， -2- ). 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为： M1(4， -1)， M2(-2， -7)， M3(1+ ， -2+ )， M4(1- ， -2- ). ii) 存在最大值 .理由如下： 由 (i)知 PQ= 为定值，则当 NP+BQ 取最小值时， 有最大值 . 如答图 2，取点 B 关于 AC 的对称点 B ，易得点 B 的坐标为 (0， 3)， BQ=BQ . 连接 QF， FN， QB ，易得 FNPQ ，且 FN=PQ， 四边形 PQFN 为平行四边形 . NP=FQ . NP+BQ=FQ+BQFB= = . 当 B 、 Q、 F 三点共线时， NP+BQ 最小，最小值为 . 的最大值为 = .