1、2013 年四川省泸州市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 2 分，共 24分 ) 1.(2 分 )-2 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. 解 析 ： -2 的相反数是 2， 答案： A. 2.(2 分 )某校七年级有 5 名同学参加射击比赛，成绩分为为 7， 8， 9， 10， 8(单位：环 ).则这 5 名同学成绩的众数是 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解 析 ： 数据 8 出现 2 次，次数最多，所以众数是 8. 答案： B. 3.(2 分 )下列各式计算正确的是 ( ) A. (a7)2=a9 B. a7 a2=a14 C. 2a
2、2+3a3=5a5 D. (ab)3=a3b3 解 析 ： A、 (a7)2=a14，本选项错误； B、 a7 a2=a9，本选项错误； C、本选项不能合并，错误； D、 (ab)3=a3b3，本选项正确， 答案： D 4.(2 分 )如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的主视图应为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从正面看可得到图形 . 答案： A. 5.(2 分 )第六次全国人口普查数据显示：泸州市常住人口大约有 4220000 人，这个数用科学记数法表示正确的是 ( ) A. 4.2210 5 B. 42.210 5 C. 4.2210 6 D. 4.2210 7 解 析
3、： 将 4220000 用科学记数法表示为： 4.2210 6. 答案： C. 6.(2 分 )四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是 ( ) A. ABDC ， ADBC B. AB=DC， AD=BC C. AO=CO， BO=DO D. ABDC ， AD=BC 解 析 ： A、由 “ABDC ， ADBC” 可知，四边形 ABCD 的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形 .故本选项不符合题意； B、由 “AB=DC ， AD=BC” 可知，四边形 ABCD 的两组对边相等，则该四边形是平行四边形 .故本选项不符合题意；
4、C、由 “AO=CO ， BO=DO” 可知，四边形 ABCD 的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形 .故本选项不符合题意； D、由 “ABDC ， AD=BC” 可知，四边形 ABCD 的一组对边平行 ，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形 .故本选项符合题意； 答案： D. 7.(2 分 )函数 自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x1 且 x3 B. x1 C. x3 D. x 1 且 x3 解 析 ： 根据题意得， x-10 且 x-30 ， 解得 x1 且 x3 . 答案： A. 8.(2 分 )若关于 x 的一元二次方程 kx2-2x-1=0 有两个不相等的
5、实数根，则实数 k 的取值范围是 ( ) A. k -1 B. k 1 且 k0 C. k -1 且 k0 D. k -1 且 k0 解 析 ： 一元二次方程 kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数根， =b 2-4ac=4+4k 0，且 k0 ， 解得： k -1 且 k0 . 答案： D 9.(2 分 )已知 O 的直径 CD=10cm， AB 是 O 的弦， AB=8cm，且 ABCD ，垂足为 M，则 AC 的长为 ( ) A. cm B. cm C. cm 或 cm D. cm 或 cm 解 析 ： 连接 AC， AO， O 的直径 CD=10cm， ABCD ， AB=8cm，
6、AM= AB= 8=4cm ， OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， OA=5cm ， AM=4cm， CDAB ， OM= = =3cm， CM=OC+OM=5+3=8cm ， AC= = =4 cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， OC=5cm ， MC=5 -3=2cm， 在 RtAMC 中， AC= = =2 cm. 答案： C 10.(2 分 )设 x1、 x2是方程 x2+3x-3=0 的两个实数根，则 的值为 ( ) A. 5 B. -5 C. 1 D. -1 解 析 ： x 1、 x2是方程 x2+3x-3=0 的两个实数根， x
7、1+x2=-3， x1x2=-3， 则原式 = = =-5. 答案： B 11.(2 分 )如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把 ADE 沿 AE对折，点 D的对称点 F恰好落在 BC 上，已知折痕 AE=10 cm，且 tanEFC= ，那么该矩形的周长为 ( ) A. 72cm B. 36cm C. 20cm D. 16cm 解 析 ： 在矩形 ABCD 中， AB=CD， AD=BC， B=D=90 ， ADE 沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上， AFE=D=90 ， AD=AF， EFC+AFB=180 -90=90 ， BAF+AFB=90
8、， BAF=EFC ， tanEFC= ， 设 BF=3x、 AB=4x， 在 RtABF 中， AF= = =5x， AD=BC=5x ， CF=BC -BF=5x-3x=2x， tanEFC= ， CE=CF tanEFC=2x = x， DE=CD -CE=4x- x= x， 在 RtADE 中， AD2+DE2=AE2， 即 (5x)2+( x)2=(10 )2， 整理得， x2=16， 解得 x=4， AB=44=16cm ， AD=54=20cm ， 矩形的周长 =2(16+20)=72cm. 答案： A. 12.(2 分 )如图，在等腰直角 ACB 中， ACB=90 ， O 是
9、斜边 AB 的中点，点 D、 E 分别在直角边 AC、 BC 上，且 DOE=90 ， DE 交 OC 于点 P.则下列结论： (1)图形中全等的三角形只有两对； (2)ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍； (3)CD+CE= OA； (4)AD2+BE2=2OP OC.其中正确的结论有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解 析 ： 结论 (1)错误 .理由如下： 图中全等的三角形有 3 对，分别为 AOCBOC ， AODCOE ， CODBOE . 由等腰直角三角形的性质，可知 OA=OC=OB，易得 AOCBOC . OCAB ， ODOE
10、 ， AOD=COE . 在 AOD 与 COE 中， AODCOE (ASA). 同理可证： CODBOE . 结论 (2)正确 .理由如下： AODCOE ， S AOD =SCOE ， S 四边形 CDOE=SCOD +SCOE =SCOD +SAOD =SAOC = SABC ， 即 ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍 . 结论 (3)正确，理由如下： AODCOE ， CE=AD ， CD+CE=CD+AD=AC= OA. 结论 (4)正确，理由如下： AODCOE ， AD=CE ； CODBOE ， BE=CD . 在 RtCDE 中，由勾股定理得： CD2+C
11、E2=DE2， AD 2+BE2=DE2. AODCOE ， OD=OE ， 又 ODOE ， DOE 为等腰直角三角形， DE 2=2OE2， DEO=45 . DEO=OCE=45 ， COE=COE ， OEPOCE ， ，即 OP OC=OE2. DE 2=2OE2=2OP OC， AD 2+BE2=2OP OC. 综上所述，正确的结论有 3 个 . 答案： C 二、填空题 (共 4 个小题，每小题 4 分，共 16分 ) 13.(4 分 )分解因式： x2y-4y= . 解 析 ： x2y-4y， =y(x2-4)， =y(x+2)(x-2). 答案： y(x+2)(x-2) 14.
12、(4 分 )在一只不透明的口袋中放入红球 6 个，黑球 2 个，黄球 n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别 .搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为 ，则放入口袋中的黄球总数 n= . 解 析 ： 口袋中放入红球 6 个，黑球 2 个，黄球 n 个， 球的总个数为 6+2+n， 搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为 ， = ， 解得， n=4. 答案： 4. 15.(4 分 )如图，从半径为 9cm 的圆形纸片上剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥 (接缝处不重叠 )，那么这个圆锥的高为 cm. 解 析 ： 首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利
13、用勾股定理即可求得圆锥的高 . 答案 ： 圆心角是： 360 (1- )=240 ， 则弧长是： =12 (cm)， 设圆锥的底面半径是 r，则 2r=12 ， 解得： r=6， 则圆锥的高是： =3 (cm). 故答案是： 3 . 16.(4 分 )如图，点 P1(x1， y1)，点 P2(x2， y2)， ，点 Pn(xn， yn)在函数 (x 0)的图象上，P 1OA1， P 2A1A2， P 3A2A3， ， P nAn-1An都是等腰直角三角形，斜边 OA1、 A1A2、 A2A3， ，An-1An都在 x轴上 (n是大于或等于 2的正整数 )，则点 P3的坐标是 ；点 Pn的坐标是
14、 (用含 n 的式子表示 ). 解 析 ： 过点 P1作 P1Ex 轴于点 E，过点 P2作 P2Fx 轴于点 F，过点 P3作 P3Gx 轴于点 G，根据 P 1OA1， P 2A1A2， P 3A2A3都是等腰直角三角形，可求出 P1， P2， P3的坐标，从而总结出一般规律得出点 Pn的坐标 . 答案 ： 过点 P1作 P1Ex 轴于点 E，过点 P2作 P2Fx 轴于点 F，过点 P3作 P3Gx 轴于点 G， P 1OA1是等腰直角三角形， P 1E=OE=A1E= OA1， 设点 P1的坐标为 (a， a)， (a 0)， 将点 P1(a， a)代入 y= ，可得 a=1， 故点
15、P1的坐标为 (1， 1)， 则 OA1=2a， 设点 P2的坐标为 (b+2， b)，将点 P2(b+2， b)代入 y= ，可得 b= -1， 故点 P2的坐标为 ( +1， -1)， 则 A1F=A2F= -1， OA2=OA1+A1A2=2 ， 设点 P3的坐标为 (c+2 ， c)，将点 P3(c+2 ， c)代入 y= ，可得 c= - ， 故点 P3的坐标为 ( + ， - )， 综上可得： P1的坐标为 (1， 1)， P2的坐标为 ( +1， -1)， P3的坐标为 ( + ， - )， 总结规律可得： Pn坐标为： ( + ， - ). 故答案为： ( + ， - )、 (
16、 + ， - ). 三、 (共 3个小题，每小题 6 分，共 18分 ) 17.(6 分 )计算： . 解 析 ： 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项先利用平方根的定义化简，再计算除法运算，最后一项先计算零指数幂及特殊角的三角函数值，再计算乘法运算，即可得到结果 . 答案 ： 原式 =3-24+1 =3- + =3. 18.(6 分 )先化简： ，再求值，其中 a= . 解 析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值，把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = = =- ， 当 a= 时，原式 =- =1- . 19.(6 分 )如图，已知 ABCD 中，
17、F 是 BC 边的中点，连接 DF 并延长，交 AB 的延长线于点 E.求证： AB=BE. 解 析 ： 根据平行四边形性质得出 AB=DC， ABCD ，推出 C=FBE ， CDF=E ，证CDFBEF ，推出 BE=DC 即可 . 答案 ： F 是 BC 边的中点， BF=CF ， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=DC ， ABCD ， C=FBE ， CDF=E ， 在 CDF 和 BEF 中 CDFBEF (AAS)， BE=DC ， AB=DC ， AB=BE . 四、 (共 2个小题，每小题 7 分，共 14分 ) 20.(7 分 )某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举
18、办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画 .要求每位同学必须参加，且限报一项活动 .以九年级 (1)班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图 1、图 2 所示的两幅统计图 .请你结合图示所给出的信息解答下列问题 . (1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？ (2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？ (3)若该校九年级学生有 600 人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？ 解 析 ： (1)各个项目的人数的和就是总人数，然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人数即可求解； (2)利用对应的百分比乘以 360 度即可求解； (3)利用
19、总人数 600 乘以对应的百分比即可求解 . 答案 ： (1)学生的总数是： 14+20+10+6=50(人 )， 参加绘画比赛的学生所占的比例是： 100%=12% ； (2)参加书法比赛的学生所占的比例是： 1-12%-28%-40%=20%， 则扇形的圆心角的度数是： 36020%=72 ； (3)参加演讲比赛的人数是： 60028%=168 (人 )， 参加唱歌比赛的人数是： 60040%=240 (人 ). 21.(7 分 )某中学为落实市教育局提出的 “ 全员育人，创办特色学校 ” 的会议精神，决心打造 “ 书香校园 ” ，计划用不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本人文类
20、书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个 .已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本 . (1)符合题 意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； (2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？ 解 析 ： (1)设组建中型两类图书角 x 个、小型两类图书角 (30-x)个，由于组建中、小型两类图书角共 30 个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30
21、 本，人文类书籍 60 本 .若组建一个中型图书角的费用是 860本，组建一个小型图书角的费用是 570 本，因此可以列出不等式组 ，解不等式组然后去整数即可求解 . (2)根据 (1)求出的数，分别计算出每种方案的费用即可 . 答案 ： (1)设组建中型图书角 x 个，则组建小型图书角为 (30-x)个 . 由题意，得 ， 化简得 ， 解这个不等式组，得 18x20 . 由于 x 只能取整数， x 的取值是 18， 19， 20. 当 x=18 时， 30-x=12；当 x=19 时， 30-x=11；当 x=20 时， 30-x=10. 故有三种组建方案： 方案一，中型图书角 18 个，小
22、型图书角 12 个； 方案二，中型图书角 19 个，小型图书角 11 个； 方案三，中型图书角 20 个，小型图书角 10 个 . (2)方案一的费用是： 86018+57012=22320 (元 )； 方案二的费用是： 86019+57011=22610 (元 )； 方案三的费用是： 86020+57010=22900 (元 ). 故方案一费用最低，最低费用是 22320 元 . 五、 (共 2个小题，每小题 8 分，共 16分 ) 22.(8 分 )如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶D 的仰角为 30 ，在 A、 C 之间选择一点 B(A、 B、
23、 C 三点在同一直线上 ).用测角仪测得塔顶D 的仰角为 75 ，且 AB 间的距离为 40m. (1)求点 B 到 AD 的距离； (2)求塔高 CD(结果用根号表示 ). 解 析 ： (1)过点 B 作 BEAD 于点 E，然后根据 AB=40m， A=30 ，可求得点 B到 AD 的距离； (2)先求出 EBD 的度数，然后求出 AD 的长度，然后根据 A=30 即可求出 CD 的高度 . 答案 ： (1)过点 B 作 BEAD 于点 E， AB=40m ， A=30 ， BE= AB=20m， AE= =20 m， 即点 B 到 AD 的距离为 20m； (2)在 RtABE 中， A
24、=30 ， ABE=60 ， DBC=75 ， EBD=180 -60 -75=45 ， DE=EB=20m ， 则 AD=AE+EB=20 +20=20( +1)， 在 RtADC 中， A=30 ， DC= =10+10 . 答：塔高 CD 为 (10+10 )m. 23.(8 分 )如图，已知函数 y= x 与反比例函数 y= (x 0)的图象交于点 A.将 y= x 的图象向下平移 6 个单位后与双曲线 y= 交于点 B，与 x 轴交于点 C. (1)求点 C 的坐标； (2)若 =2，求反比例函数的解析式 . 解 析 ： (1)根据一次函数图象的平移问题由 y= x 的图象向下平移
25、6 个单位得到直线 BC 的解析式为 y= x-6，然后把 y=0 代入即可确定 C 点坐标； (2)作 AEx 轴于 E 点， BFx 轴于 F 点，易证得 RtOAERtCBF ，则 = = =2，若设 A 点坐标为 (a， a)，则 CF= a， BF= a，得到 B 点坐标为 ( + a， a)，然后根据反比例函数上点的坐标特征得 a a=( + a) a，解得 a=3，于是可确定点 A 的坐标为 (3， 4)，再利用待定系数法确定反比例函数的解析式 . 答案 ： (1)y= x 的图象向下平移 6 个单位后与双曲线 y= 交于点 B，与 x 轴交于点 C， 直线 BC 的解析式为 y
26、= x-6， 把 y=0 代入得 x-6=0，解得 x= ， C 点坐标为 ( ， 0)； (2)作 AEx 轴于 E 点， BFx 轴于 F 点，如图， OABC ， AOC=BCF ， RtOAERtCBF ， = = =2， 设 A 点坐标为 (a， a)，则 OE=a， AE= a， CF= a， BF= a， OF=OC+CF= + a， B 点坐标为 ( + a， a)， 点 A 与点 B 都在 y= 的图象上， a a=( + a) a，解得 a=3， 点 A 的坐标为 (3， 4)， 把 A(3， 4)代入 y= 得 k=34=12 ， 反比例函数的解析式为 y= . 六、 (
27、共 2个小题，其中第 24 小题 10分，第 25 小题 12 分，共 22 分 ) 24.(10 分 )如图， D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 CDA=CBD . (1)求证： CD2=CA CB； (2)求证： CD 是 O 的切线； (3)过点 B 作 O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12， tanCDA= ，求 BE 的长 . 解 析 ： (1)通过相似三角形 (ADCDBC )的对应边成比例来证得结论； (2)如图，连接 OD.欲证明 CD 是 O 的切线，只需证明 ODCD 即可； (3)通过相似三角形 EBCODC 的对应边成比例列出关于
28、 BE 的方程，通过解方程来求线段 BE 的长度即可 . 答案 ： (1)CDA=CBD ， C=C ， ADCDBC ， = ，即 CD2=CA CB； (2)如图，连接 OD. AB 是 O 的直径， ADB=90 ， 1+3=90 . OA=OD ， 2=3 ， 1+2=90 . 又 CDA=CBD ，即 4=1 ， 4+2=90 ，即 CDO=90 ， ODCD . 又 OD 是 O 的半径， CD 是 O 的切线； (3)如图，连接 OE. EB 、 CD 均为 O 的切线， ED=EB ， OEDB ， ABD+DBE=90 ， OEB+DBE=90 ， ABD=OEB ， CDA
29、=OEB . 而 tanCDA= ， tanOEB= = ， ODC=EBC=90 ， C=C ， RtCDORtCBE ， = = = ， CD=8 ， 在 RtCBE 中，设 BE=x， (x+8)2=x2+122， 解得 x=5. 即 BE 的长为 5. 25.(12 分 )如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 (-2， 0)，点 B 的坐标为 (1， - )，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0 )经过三点 A、 B、 O(O 为原点 ). (1)求抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由
30、； (3)如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点，那么 PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 .(注意：本题中的结果均保留根号 ) 解 析 ： (1)直接将 A、 O、 B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式； (2)因为点 A， O 关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C 点， C 点即为所求，求直线 AB 的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标； (3)设 P(x， y)(-2 x 0， y 0)，用割补法可表示 PAB 的面积，根据面积表达式再求取最大值时， x 的值 . 答案 ： (1)将 A(-2，
31、 0)， B(1， - )， O(0， 0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c(a0 )， 可得： ， 解得： ， 故所求抛物线解析式为 y=- x2- x； (2)存在 .理由如下： 如答图 所示， y= - x2- x=- (x+1)2+ ， 抛物线的对称轴为 x=-1. 点 C 在对称轴 x=-1 上， BOC 的周长 =OB+BC+CO； OB=2 ，要使 BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小， 点 O 与点 A 关于直线 x=-1 对称，有 CO=CA， BOC 的周长 =OB+BC+CO=OB+BC+CA， 当 A、 C、 B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称
32、轴的交点时， BC+CA 最小，此时 BOC的周长最小 . 设直线 AB 的解析式为 y=kx+t，则有： ，解得： ， 直线 AB 的解析式为 y=- x- ， 当 x=-1 时， y=- ， 所求点 C 的坐标为 (-1， - )； (3)设 P(x， y)(-2 x 0， y 0)， 则 y=- x2- x 如答图 所示，过点 P 作 PQy 轴于点 Q， PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点 F，过点 B 作 BEPQ 轴于点 E，则 PQ=-x， PG=y， 由题意可得： SPAB =S 梯形 AFEB-SAFP -SBEP = (AF+BE) FE- AF FP- PE BE = (y+ +y)(1+2)- y (2+x)- (1-x)( +y) = y+ x+ 将 代入 得： SPAB = (- x2- x)+ x+ =- x2- x+ =- (x+ )2+ 当 x=- 时， PAB 的面积最大，最大值为 ， 此时 y=- + = ， 点 P 的坐标为 (- ， ).
