1、2013 年四川省达州市中考真题数学 一 .选择题： (本题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 )-2013 的绝对值是 ( ) A. 2013 B. -2013 C. D. 解 析 ： -2013 的绝对值是 2013. 答案： A. 2.(3 分 )某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元 .这一数据用科学记数法表示为 ( ) A. 21310 3元 B. 2.1310 4元 C. 2.1310 5元 D. 0.21310 6元 解 析 ：将二十一万三千元用科学记数法表示为 2.1310 5. 答案：
2、 C. 3.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 一样 解 析 ：设商品原
3、价为 x， 甲超市的售价为： x(1-20%)(1-10%)=0.72x； 乙超市售价为： x(1-15%)2=0.7225x； 丙超市售价为： x(1-30%)=70%x=0.7x； 故到丙超市合算 . 答案： C. 5.(3 分 )下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是( ) A. (3)(1)(4)(2) B. (3)(2)(1)(4) C. (3)(4)(1)(2) D. (2)(4)(1)(3) 解 析 ：西为 (3)，西北为 (4)，东北为 (1)，东为 (2)， 将它们按时间先后顺序排列为 (3)(4)(1)(2). 答案： C. 6.(3 分 )
4、若方程 3x2-6x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 解 析 ： 方程 3x2-6x+m=0 有两个不相等的实数根， 0， (-6)2-43m 0， 解得： m 3， 在数轴上表示为： 答案： B. 7.(3 分 )下列说法正确的是 ( ) A. 一个游戏中奖的概率是 ，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B. 为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C. 一组数据 0， 1， 2， 1， 1 的众数和中位数都是 1 D. 若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据稳定 解析： A、一个游戏中奖的
5、概率是 ，则做 100 次这样的游戏有可能中奖一次，该说法错误，故本选项错误； B、为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用抽样调查的方式，该说法错误，故本选项错误； C、这组数据的众数是 1，中位数是 1，故本选项正确； D、方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，则甲组数据比乙组稳定，故本选项错误； 答案： C. 8.(3分 )如图，一条公路的转变处是一段圆弧 (即图中弧 CD，点 O是弧 CD的圆心 )，其中 CD=600米， E 为弧 CD 上一点，且 OECD ，垂足为 F， OF= 米，则这段弯路的长度为 ( ) A. 200 米 B. 100 米 C. 400 米 D.
6、300 米 解 析 ：设这段弯路的半径为 R 米 OF= 米， OECD CF= CD= 600=300 根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2 即 R2=3002+(300 )2 解之，得 R=600， sinCOF= = ， COF=30 ， 这段弯路的长度为： =200 (m). 答案： A. 9.(3 分 )如图，在 RtABC 中， B=90 ， AB=3， BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的所有 ADCE 中， DE 最小的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ： 在 RtABC 中， B=90 ， BCAB . 四边形 ADCE 是平行
7、四边形， OD=OE ， OA=OC. 当 OD 取最小值时， DE 线段最短，此时 ODBC . ODAB . 又点 O 是 AC 的中点， OD 是 ABC 的中位线， OD= AB=1.5， ED=2OD=3 . 答案： B. 10.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 与一次函数 y=cx+a 在同一平面直角坐标系中的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：根据二次函数图象与 y 轴的交点可得 c 0，根据抛物线开口向下可得 a 0，由对称轴在 y 轴右边可得 a、 b 异号，故 b 0， 则反比例函数 的图象在第一、三象限， 一次函数
8、y=cx+a 在第一、三、四象限， 答案： B. 二 .填空题： (本题 6 个小题，每小题 3分，共 18分 .把最后答案直接填在题中的横线上 ) 11.(3 分 )分解因式： x3-9x= . 解 析 ： x3-9x， =x(x2-9)， =x(x+3)(x-3). 答案： x(x+3)(x-3) 12.(3 分 )某校在今年 “ 五 四 ” 开展了 “ 好书伴我成长 ” 的读书活动 .为了解八年级 450 名学生的读书情况，随机调查了八年级 50 名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有 名 . 解 析 ：由扇形统计图可知，样本中读书
9、册数等于 3 册所占的百分比为： 1-6%-24%-30%-6%=34%，即 m%=34%， 所以该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有： 45034%=153 (名 ). 答案： 153. 13.(3 分 )已知 (x1， y1)， (x2， y2)为反比例函数 y= 图象上的点，当 x1 x2 0时， y1 y2，则 k 的一个值可为 .(只需写出符合条件的一个 k 的值 ) 解 析 ： x 1 x2 0， A (x1， y1)， B(x2， y2)同象限， y1 y2， 点 A， B 都在第二象限， k 0，例如 k=-1 等 . 答案： -1 14.(3 分 )如果实数 x 满足 x
10、2+2x-3=0，那么代数式 的值为 . 解 析 ：原式 = (x+1) =x2+2x+2， 实数 x 满足 x2+2x-3=0， x 2+2x=3， 原式 =3+2=5. 答案： 5. 15.(3 分 )如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在 AB、BC 上 (含端点 )，且 AB=6， BC=10.设 AE=x，则 x 的取值范围是 . 解 析 ：设折痕为 PQ，点 P 在 AB 边上，点 Q 在 BC 边上 . 如图 1，当点 Q 与点 C 重合时，根据翻折对称性可得 EC=BC=10， 在 RtCDE 中， CE2=CD2+ED2， 即
11、102=(10-AE)2+62， 解得： AE=2，即 x=2. 如图 2，当点 P 与点 A 重合时，根据翻折对称性可得 AE=AB=6，即 x=6； 所以， x 的取值范围是 2x6 . 答案： 2x6 . 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， A=m ， ABC 和 ACD 的平分线交于点 A1，得 A 1； A 1BC和 A 1CD 的平分线交于点 A2，得 A 2； A 2012BC 和 A 2012CD 的平分线交于点 A2013，则 A 2013= 度 . 解析 ： A 1B 平分 ABC ， A1C 平分 ACD ， A 1BC= ABC ， A 1CA= ACD ， A
12、1CD=A 1+A 1BC， 即 ACD=A 1+ ABC ， A 1= (ACD -ABC )， A+ABC=ACD ， A=ACD -ABC ， A 1= A ， A 1= m ， A 1= A ， A 2= A 1= A ， 以此类推 A 2013= A= . 答案： . 三 .解答题 (72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(6 分 )计算： . 解析： 先根据 0 指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =1+2 - +9 =10+ . 18.(7 分 )钓鱼岛自古以来就是中国领土 .中
13、国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测 .如图， E、 F 为钓鱼岛东西两端 .某日，中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF= 海里，在 A点测得钓鱼岛最西端 F在点 A的北偏东 30方向；航行 22 海里后到达 B 点，测得最东端 E 在点 B 的东北方向 (C、 F、 E 在同一直线上 ).求钓鱼岛东西两端的距离 .( ， ，结果精确到 0.1) 解析： 首先根据已知得出 CAF=30 ， FC=20 海里， AB=22 海里， CBE=45 ，进而得出AC， BC，以及 EF 长度即可 . 答案： 由题意可得出： CAF=30 ， FC=20
14、海里， AB=22 海里， CB E=45 ， AC= =60(海里 )， BC=EC=60 -22=38(海里 )， EF=38 -20 3.4 (海里 ). 答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 海里 . 19.(7 分 )已知 f(x)= ，则 f(1)= f(2)= ，已知 f(1)+f(2)+f(3)+f (n)= ，求 n 的值 . 解析： 把 f(x)裂项为 - ，然后进行计算即可得解 . 答案： f (x)= = - ， f (1)+f(2)+f(3)+f (n)=1- + - + - + - =1- ， f (1)+f(2)+f(3)+f (n)= ， 1 - = ， 解得
15、n=14. 经检验： n=14 是原分式方程的解 故：原分式方程的解为 n=14. 20.(7 分 )某中学举行 “ 中国梦 我的梦 ” 演讲比赛 .志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张 .如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽 .这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明 . 解析： 首先判断运算正确的卡片的数量，再利用树状图表示出所有可能，然后利用概率的公式求解即可 . 答案： 由题
16、意可画树状图得： 四张卡片中 B 和 D 正确，两张都正确的只有 2 种情况，两张卡片上的算式都错误的只有AC， CA 两种情况， 班长去的概率为： = ，学习委员去的概率为： = . 故此游戏公平 . 21.(8 分 )已知反比例函数 的图象与一次函数 y=k2x+m 的图象交于 A(-1， a)、 B( ， -3)两点，连结 AO. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点 C 在 y 轴上，且与点 A、 O 构成等腰三角形，请直接写出点 C的坐标 . 解析： (1)将点 A(-1， a)、 B( ， -3)代入反比例函数 中得： -3 =(-1)a=k 1，可求k1、 a；再将
17、点 A(-1， a)、 B( ， -3)代入 y2=k2x+m 中，列方程组求 k2、 m即可； (2)分三种情况： OA=OC ； AO=AC ； CA=CO ；讨论可得点 C 的坐标 . 答案： (1) 反比例函数 的图象经过 B( ， -3)， k 1=3 (-3)=-3， 反比例函数 的图象经过点 A(-1， a)， a=1 . 由直线 y2=k2x+m 过点 A， B 得： ， 解得 . 反比例函数关系式为 y=- ，一次函数关系式为 y=-3x-2； (2)点 C 在 y 轴上，且与点 A、 O 构成等腰三角形，点 C的坐标为： (0， - )或 (0， )或(0， 2)或 (0，
18、 1). 如图，线段 OA 的垂直平分线与 y 轴的交点，有 1 个； 以点 A 为圆心、 AO 长为半径的圆与 y 轴的交点，有 1 个； 以点 O 为圆心、 OA 长为半径的圆与 y 轴的交点，有 2 个 . 以上四个点为所求 . 22.(8 分 )选取二次三项式 ax2+bx+c(a0 )中的两项，配成完全平方式的过程叫配方 .例如 选取二次项和一次项配方： x2-4x+2=(x-2)2-2； 选取二次项和常数项配方： ，或 选取一次项和常数项配方： 根据上述材料，解决下面问题： (1)写出 x2-8x+4 的两种不同形式的配方； (2)已知 x2+y2+xy-3y+3=0，求 xy的值
19、 . 解析： (1)根据配方法的步骤根据二次项系数为 1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可 . (2)根据配方法的步骤把 x2+y2+xy-3y+3=0 变形为 (x+ y)2+ (y-2)2=0，再根据 x+ y=0，y-2=0，求出 x， y 的值，即可得出答案 . 答案： (1)x2-8x+4 =x2-8x+16-16+4 =(x-4)2-12； x2-8x+4 =(x-2)2+4x-8x =(x-2)2-4x； (2)x2+y2+xy-3y+3=0， (x+ y)2+ (y-2)2=0， x+ y=0， y-2=0， x=-1， y=2， 则 x
20、y=(-1)2=1； 23.(8 分 )今年， 6 月 12 日为端午节 .在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2元的粽子的销售情况 .请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题 . (1)小华的问题解答： ； (2)小明的问题解答： . 解析： (1)设定价为 x 元，利润为 y 元，根据利润 =(定价 -进价 ) 销售量，列出函数关系式，结合 x 的取值范围，求出当 y 取 800 时，定价 x的值即可； (2)根据 (1)中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时 x 的值即可 . 答案： (1)设定价为 x 元，利润为 y 元，则销售量为： (500- 10 )，
21、由题意得， y=(x-2)(500- 10 ) =-100x2+1000x-1600 =-100(x-5)2+900， 当 y=800 时， -100(x-5)2+900=800， 解得： x=4 或 x=6， 售价不能超过进价的 240%， x2240% ， 即 x4.8 ， 故 x=4， 即小华问题的解答为：当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润； (2)由 (1)得 y=-100(x-5)2+900， -100 0， 函数图象开口向下，且对称轴为直线 x=5， x4.8 ， 故当 x=4.8 时函数能取最大值， 即 ymax=-100(4.8-5)2+900=896. 故小
22、明的问题的解答为： 800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8 元时，每天的销售利润最大 . 24.(9 分 )通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的 .下面是一个案例，请补充完整 . 原题：如图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45 ，连接 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由 . (1)思路梳理 AB=AD ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADG ，可使 AB 与 AD重合 . ADC=B=90 ， FDG=180 ，点 F、 D、 G 共线 . 根据 ，易证 AFG ，得 EF=BE+DF. (2)类
23、比引申 如图 2，四边形 ABCD 中， AB=AD， BAD =90 点 E、 F 分别在边 BC、 CD 上， EAF=45 .若B 、 D 都不是直角，则当 B 与 D 满足等量关系 时，仍有 EF=BE+DF. (3)联想拓展 如图 3，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC，点 D、 E 均在边 BC 上，且 DAE=45 .猜想 BD、DE、 EC 应满足的等量关系，并写出推理过程 . 解析： (1)把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADG ，可使 AB与 AD 重合，再证明 AFGAFE进而得到 EF=FG，即可得 EF=BE+DF； (2)B+D=180 时，
24、 EF=BE+DF，与 (1)的证法类同； (3)根据 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABE ，根据旋转的性质，可知 AECABE得到 BE=EC ， AE=AE ， C=ABE ， EAC=EAB ，根据 RtABC 中的， AB=AC 得到EBD=90 ，所以 EB 2+BD2=ED 2，证 AEDAED ，利用 DE=DE 得到 DE2=BD2+EC2； 答案： (1)AB=AD ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADG ，可使 AB 与 AD重合 . BAE=DAG ， BAD=90 ， EAF=45 ， BA E+DAF=45 ， EAF=FAG ， ADC
25、=B=90 ， FDG=180 ，点 F、 D、 G 共线， 在 AFE 和 AFG 中 ， AFEAFG (SAS)， EF=FG ， 即： EF=BE+DF. (2)B+D=180 时， EF=BE+DF； AB=AD ， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADG ，可使 AB 与 AD重合， BAE=DAG ， BAD=90 ， EAF=45 ， BAE+DAF=45 ， EAF=FAG ， ADC+B=180 ， FDG=180 ，点 F、 D、 G 共线， 在 AFE 和 AFG 中 ， AFEAFG (SAS)， EF=FG ， 即： EF=BE+DF. (3)猜想： D
26、E2=BD2+EC2， 证明：根据 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABE ， AECABE ， BE=EC ， AE=AE ， C=ABE ， EAC=EAB ， 在 RtABC 中， AB=AC ， ABC=ACB=45 ， ABC+ABE=90 ， 即 EBD=90 ， EB 2+BD2=ED 2， 又 DAE=45 ， BAD+EAC=45 ， EAB+BAD=45 ， 即 EAD=45 ， 在 AED 和 AED 中， AEDAED (SAS)， DE=DE ， DE 2=BD2+EC2. 25.(12 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 交 x 轴于点 A(5，
27、0)，交 y轴于点 B， AO是 M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3.取 BO 的中点 D，连接 CD、 MD和 OC. (1)求证： CD 是 M 的切线； (2)二次函数的图象经过点 D、 M、 A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、 PM，求 PDM 的周长最小时点 P 的坐标； (3)在 (2)的条件下，当 PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使 SQAM = SPDM ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)连接 CM，可以得出 CM=OM，就有 MOC=MCO ，由 OA 为直径，就有 ACO=90 ， D为 OB 的中点，
28、就有 CD=OD， DOC=DCO ，由 DOC+MOC=90 就可以得出 DCO+MCO=90而得出结论； (2)根据条件可以得出 ACOAOB 而求出 ，从而求出 AB，在 RtAOB 中由勾股定理就可以求出 OB 的值，根据 D是 OB 的中点就可以求出 D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接 AD 交对称轴于 P，先求出 AD 的解析式就可以求出 P 的坐标； (3)根据 SPDM =SADM -SAPM 而求出其值就可以表示出 SQAM 的大小，设 Q的纵坐标为 m，根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论 . 答案： (1)连接 C
29、M， AO 是直径， M 是圆心， CM=OM ， ACO=90 ， MOC=MCO . D 为 OB 的中点， CD=OD ， DOC=DCO . DOC+MOC=90 ， DCO+MCO=90 ， 即 MCD=90 ， CD 是 M 的切线； (2)ACO=AOB=90 ， OAB=OAB ， ACOAOB ， ， ， AB= . 在 RtAOB 中，由勾股定理，得 BO= ， D 为 OB 的中点， OD= OB= ， D (0， ). OM=AM= OA= ， M ( ， 0).设抛物线的解析式为 y=a(x- )(x-5)，由题意，得 =a(0- )(0-5)， 解得： a= ， 抛
30、物线的解析式为： y= (x- )(x-5)， = (x- )2- . 连接 AD 交对称轴于 P，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， 直线 AD 的解析式为： y=- x+ ， 当 x= 时， y= ， P ( ， )； (3)存在 . S PDM =SADM -SAPM ， S PDM = - ， = ， S QAM = = . 设 Q 的纵坐标为 m，由题意，得 ， |m|= ， m= ， 当 m= 时， = (x- )2- . x1= ， x2= ， 当 m=- 时， - = (x- )2- . x= . Q ( ， )， ( ， )， ( ， - ).
