1、2013 年四川省遂宁市中考真题数学 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1.(4 分 )-3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. 3 D. 解 析 ： -3 的相反数是 -(-3)=3. 答案： A. 2.(4 分 )下列计算错误的是 ( ) A. -|-2|=-2 B. (a2)3=a5 C. 2x2+3x2=5x2 D. 解 析 ： A、 -|-2|=-2，故 A 选项正确； B、 (a2)3=a6，故 B 选项错误； C、 2x2+3x2=5x2，故 C 选项正确； D、 =2 ，故 D 选项正
2、确 . 答案： B. 3.(4 分 )如图所示的是三通管的立体图，则这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：所给图形的俯视图是 A 选项所给的图形 . 答案： A. 4.(4 分 )以下问题，不适合用全面调查的是 ( ) A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B. 旅客上飞机前的安检 C. 学校招聘教师，对应聘人员面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱 解 析 ： A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故 A 选项错误； B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故 B 选项错误； C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故 C 选项
3、错误； D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故D 选项正确 . 答案： D. 5.(4 分 )已知反比例函数 y= 的图象经过点 (2， -2)，则 k 的值为 ( ) A. 4 B. - C. -4 D. -2 解 析 ： 反比例函数 y= 的图象经过点 (2， -2)， k=xy=2 (-2)=-4. 答案： C. 6.(4 分 )下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 A 选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 选项符
4、合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项不符合题意 . 答案： B. 7.(4 分 )将点 A(3， 2)沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A ，点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是 ( ) A. (-3， 2) B. (-1， 2) C. (1， 2) D. (1， -2) 解 析 ： 将点 A(3， 2)沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A ， 点 A 的坐标为 (-1， 2)， 点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是 (1， 2). 答案： C. 8.(4 分 )用半径为 3cm，圆心角是 12
5、0 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. 2cm B. 1.5cm C. cm D. 1cm 解 析 ：设此圆锥的底面半径为 r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2r= ， 解得： r=1cm. 答案： D. 9.(4 分 )一个不透明的口袋里有 4 张形状完全相同的卡片，分别写有数字 1， 2， 3， 4，口袋外有两张卡片，分别写有数字 2， 3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是 ( ) A. B. C. D. 1 解 析 ：列表如下： 共有 4 种等可能的结果数，其中三个数能构成三角形的有
6、2， 2， 3； 3， 2， 3； 4， 2， 3. 所以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率 = . 答案： C. 10.(4 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， B=30 ，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、 AC 于点 M 和 N，再分别以 M、 N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是 ( ) AD 是 BAC 的平分线； ADC=60 ； 点 D 在 AB 的中垂线上； S DAC ： SABC =1： 3. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 根据作图的过程
7、可知， AD 是 BAC 的平分线 . 故 正确； 如图， 在 ABC 中， C=90 ， B=30 ， CAB=60 . 又 AD 是 BAC 的平分线， 1=2= CAB=30 ， 3=90 -2=60 ，即 ADC=60 . 故 正确； 1=B=30 ， AD=BD ， 点 D 在 AB 的中垂线上 . 故 正确； 如图，在直角 ACD 中， 2=30 ， CD= AD， BC=CD+BD= AD+AD= AD， SDAC = AC CD= AC AD. S ABC = AC BC= AC AD= AC AD， S DAC ： SABC = AC AD： AC AD=1： 3. 故 正确
8、 . 综上所述，正确的结论是： ，共有 4 个 . 答案： D. 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题共 4分，共 20 分，把答案填在题中的横线上 . 11.(4 分 )我国南海海域的面积约为 3600000km2，该面积用科学记数法应表示为 km2. 解 析 ：科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： 将 3600000 用科学记数法表示为 3.610 6. 故
9、答案为 3.610 6. 12.(4 分 )如图，有一块含有 60 角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上 .如果1=18 ，那么 2 的度数是 . 解 析 ：如图， 1+3=90 -60=30 ， 而 1=18 ， 3=30 -18=12 ， ABCD ， 2=3=12 . 答案： 12 . 13.(4 分 )若一个多边形内角和等于 1260 ，则该多边形边数是 . 解 析 ： 一个多边形内角和等于 1260 ， (n-2)180=1260 ， 解得， n=9. 答案： 9. 14.(4分 )如图， ABC 的三个顶点都在 55 的网格 (每个小正方形的边长均为 1个单位长度 )的格点上，
10、将 ABC 绕点 B 逆时针旋转到 ABC 的位置，且点 A 、 C 仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 .(3.14 ，结果精确到 0.1) 解 析 ：由题意可得， AB=BA= = ， ABA=90 ， S 扇形 BAA= = ， SBAC = BCBC=3 ， 则 S 阴影 =S 扇形 BAA-SBAC = -37.2 . 答案： 7.2. 15.(4 分 )为庆祝 “ 六 一 ” 儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆 “ 金鱼 ” 比赛 .如图所示：按照上面的规律，摆第 (n)图，需用火柴棒的根数为 . 解 析 ：第 1 个图形有 8 根火柴棒， 第 2 个图形有 14 根火柴棒， 第
11、3 个图形有 20 根火柴棒， ， 第 n 个图形有 6n+2 根火柴棒 . 答案： 6n+2. 三、 (本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21分 ) 16.(7 分 )计算： |-3|+ . 解 析 ：本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案 ： 原式 =3+ -2-1 =3+1-2-1 =1. 17.(7 分 )先化简，再求值： ，其中 a= . 解 析 ：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = + = + = ， 当 a=1+ 时，原式
12、 = = = . 18.(7 分 )解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来 . 解 析 ：分别解两个不等式得到 x 1 和 x -4，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，最后用数轴表示解集 . 答案 ： ， 由 得： x 1 由 得： x4 所以这个不等式的解集是 1 x4 ， 用数轴表示为 . 四、 (本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27分 ) 19.(9 分 )如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， DEAB ， DFBC ，垂足分别是 E、 F，并且DE=DF.求证： (1)ADECDF ； (2)四边形 ABCD 是菱形 . 解 析 ： (1)首先根据平行
13、四边形的性质得出 A=C ，进而利用全等三角形的判定得出即可； (2)根据菱形的判定得出即可 . 答案 ： (1)DEAB ， DFBC AED=CFD=90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形 A=C ， 在 AED 和 CFD 中 AEDCFD (AAS)； (2)AEDCFD ， AD=CD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形 . 20.(9 分 )2013 年 4 月 20 日，我省雅安市芦山县发生了里氏 7.0级强烈地震 .某厂接到在规定时间内加工 1500 顶帐篷支援灾区人民的任务 .在加工了 300 顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，于
14、是提前 4 天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？ 解 析 ：设该厂原来每天生产 x 顶帐篷，提高效率后每天生产 1.5x 顶帐篷，根据原来的时间比实际多 4 天建立方程求出其解即可 . 答案 ： 设该厂原来每天生产 x 顶帐篷，提高效率后每天生产 1.5x 顶帐篷，据题意得： ， 解得： x=100. 经检验， x=100 是原分式方程的解 . 答：该厂原来每天 生产 100 顶帐篷 . 21.(9 分 )钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理 .如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A、 B， B
15、 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东 15 方向有一我国渔政执法船 C，求此时船C 与船 B 的距离是多少 .(结果保留根号 ) 解 析 ：首先过点 B 作 BDAC 于 D，由题意可知， BAC=45 ， ABC=90+15=105 ，则可求得 ACB 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案 . 答案 ： 过点 B 作 BDAC 于 D. 由题意可知， BAC=45 ， ABC=90+15=105 ， ACB=180 -BAC -ABC=30 ， 在 RtABD 中， BD=AB sinBAD=20 =10
16、 (海里 )， 在 RtBCD 中， BC= = =20 (海里 ). 答：此时船 C 与船 B 的距离是 20 海里 . 五、 (本大题 2个小题，每小题 10 分，共 20分 ) 22.(10 分 )我市某中学举行 “ 中国梦 校园好声音 ” 歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出 5 名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛 .两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如图所示 . (1)根据图示填写下表； (2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； (3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定 . 解 析 ： (1)根据成绩表加以计算可补全统计表
17、.根据平均数、众数、中位数的统计意义回答； (2)根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可； (3)分别求出初中、高中部的方差即可 . 答案 ： (1)填表：初中平均数为： (75+80+85+85+100)=85(分 )， 众数 85(分 )；高中部中位数 80(分 ). (2)初中部成绩好些 .因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， 所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些 . (3) = (75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2=70， = (70-85)2+(100-85)2+(100-85)2+(75-85)2+(80-
18、85)2=160. ，因此，初中代表队选手成绩较为稳定 . 23.(10 分 )四川省第十二届运动会将于 2014年 8月 18 日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务 .为此，学校需要采购一批演出服装， A、 B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商 .经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套 120 元，女装每套 100 元 .经洽谈协商： A 公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担 2200 元的运费； B 公司的优惠条件是男女装均按每套 100 元打八折，公司承担运费 .另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人
19、数应是男生人数的 2 倍 少 100 人，如果设参加演出的男生有 x 人 . (1)分别写出学校购买 A、 B 两公司服装所付的总费用 y1(元 )和 y2(元 )与参演男生人数 x 之间的函数关系式； (2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由 . 解 析 ： (1)根据总费用 =男生的人数 男生每套的价格 +女生的人数 女生每套的价格就可以分别表示出 y1(元 )和 y2(元 )与男生人数 x 之间的函数关系式； (2)根据条件可以知道购买服装的费用受 x 的变化而变化，分情况讨论，当 y1 y2 时，当y1=y2时，当 y1 y2时，求出 x 的范围就可以求出结论 . 答
20、案 ： (1)总费用 y1(元 )和 y2(元 )与参演男生人数 x 之间的函数关系式分别是： y1=0.7120x+100(2x-100)+2200=224x-4800， y2=0.8100(3x-100)=240x-8000； (2)由题意，得 当 y1 y2时，即 224x-4800 240x-8000，解得： x 200 当 y1=y2时，即 224x-4800=240x-8000，解得： x=200 当 y1 y2时，即 224x-4800 240x-8000，解得： x 200 答：当参演男生少于 200 人时，购买 B 公司的服装比较合算； 当参演男生等于 200 人时，购买两家
21、公司的服装总费用相同，可任一家公司购买； 当参演男生多于 200 人时，购买 A 公司的服装比较合算 . 六、 (本大题 2个小题，第 24 题 10 分，第 25题 12 分，共 22 分 ) 24.(10 分 )如图，在 O 中，直径 ABCD ，垂足为 E，点 M 在 OC 上， AM 的延长线交 O 于点G，交过 C 的直线于 F， 1=2 ，连结 CB 与 DG 交于点 N. (1)求证： CF 是 O 的切线； (2)求证： ACMDCN ； (3)若点 M 是 CO 的中点， O 的半径 为 4， cosBOC= ，求 BN的长 . 解 析 ： (1)根据切线的判定定理得出 1+
22、BCO=90 ，即可得出答案； (2)利用已知得出 3=2 ， 4=D ，再利用相似三角形的判定方法得出即可； (3)根据已知得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 EC， AC， BC 的长，即可得出 CD，利用 (2)中相似三角形的性质得出 NB 的长即可 . 答案 ： (1)BCO 中， BO=CO， B=BCO ， 在 RtBCE 中， 2+B=90 ， 又 1=2 ， 1+BCO=90 ， 即 FCO=90 ， CF 是 O 的切线； (2)AB 是 O 直径， ACB=FCO=90 ， ACB -BCO=FCO -BCO ， 即 3=1 ， 3=2 ， 4=D ， ACMDCN ；
23、 (3)O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4， 在 RtCOE 中， cosBOC= ， OE=CO cosBOC=4 =1， 由此可得： BE=3， AE=5，由勾股定理可得： CE= = = ， AC= = =2 ， BC= = =2 ， AB 是 O 直径， ABCD ， 由垂径定理得： CD=2CE=2 ， ACMDCN ， = ， 点 M 是 CO 的中点， CM= AO= 4=2 ， CN= = = ， BN=BC -CN=2 - = . 25.(12 分 )如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(2， 0)，交 y 轴于点 B(0， ).直线y=kx 过点
24、 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D. (1)求抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y=kx 的解析式； (2)设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点 (不与点 A、 D 重合 )，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AD 于点 M，作 DEy 轴于点 E.探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在 (2)的条件下，作 PNAD 于点 N，设 PMN 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l与 x的函数关系式，并求出 l 的最大值 . 解 析 ： (1)将 A， B 两点分别代入 y
25、= x2+bx+c 进而求出解析式即可； (2)首先假设出 P， M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标，进而得出CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可； (3)利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据 PMNCDE ，得出两三角形周长之比，求出 l与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可 . 答案 ： (1)y= x2+bx+c 经过点 A(2， 0)和 B(0， ) 由此得 ， 解得 . 抛物线的解析式是 y= x2- x+ ， 直线 y=kx- 经过点 A(2， 0) 2k - =0， 解得： k= ， 直线的解析式是
26、y= x- ， (2)设 P 的坐标是 (x， x2- x+ )，则 M 的坐标是 (x， x- ) PM= ( x2- x+ )-( x- )=- x2- x+4， 解方程 得： ， ， 点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是 (-8， -7 )，由 y= x- 得点 C 的坐标是 (0， - )， CE= - -(-7 )=6， 由于 PMy 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即 - x2- x+4=6 解这个方程得： x1=-2， x2=-4， 符合 -8 x 2， 当 x=-2 时， y=- (-2)2- (-2)+ =3， 当 x=-4 时， y=- (-4)2- (-4)+ = ， 因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点 P 的坐标是 (-2， 3)和 (-4， )； (3)在 RtCDE 中， DE=8， CE=6 由勾股定理得： DC= CDE 的周长是 24， PMy 轴， PMN=DCE ， PNM=DEC ， PMNCDE ， = ，即 = ， 化简整理得： l 与 x 的函数关系式是： l=- x2- x+ ， l=- x2- x+ =- (x+3)2+15， - 0， l 有最大值， 当 x=-3 时， l 的最大值是 15.
