1、2013 年四川省雅安市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 )每小题的四个选项中，有且仅有一个正确的。 1.(3 分 )- 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. D. - 解 析 ： - 的相反数是 . 答案： C. 2.(3 分 )五边形的内角和为 ( ) A. 720 B. 540 C. 360 D. 180 解 析 ： 五边形的内角和为： (5-2)180=540 . 答案： B. 3.(3 分 )已知 x1， x2是一元二次方程 x2-2x=0 的两根，则 x1+x2的值是 ( ) A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 解 析 ： x
2、 1， x2是一元二次方程 x2-2x=0 的两根， x 1+x2=2. 答案： B 4.(3 分 )如图， ABCD ， AD 平分 BAC ，且 C=80 ，则 D 的度数为 ( ) A. 50 B. 60 C. 70 D. 100 解 析 ： AD 平分 BAC ， BAD=CAD ， ABCD ， BAD=D ， CAD=D ， 在 ACD 中， C+D+CAD=180 ， 80+D+D=180 ， 解得 D=50 . 答案： A. 5.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. (-2)2=-2 B. a2+a3=a5 C. (3a2)2=3a4 D. x6x 2=x4 解 析 ：
3、A、 (-2)2=4，故此选项错误； B、 a2、 a3不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、 (3a2)2=9a4，故此选项错误； D、 x6x 2=x4，故此选项正确； 答案： D. 6.(3 分 )一组数据 2， 4， x， 2， 4， 7 的众数是 2，则这组数据的平均数、中位数分别为 ( ) A. 3.5， 3 B. 3， 4 C. 3， 3.5 D. 4， 3 解 析 ： 这组数据的众数是 2， x=2 ， 将数据从小到大排列为： 2， 2， 2， 4， 4， 7， 则平均数 =3.5 中位数为： 3. 答案： A. 7.(3 分 )不等式组 的整数解有 ( ) 个 . A.
4、1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 由 2x-1 3，解得： x 2， 由 - 1 ，解得 x -2， 故不等式组的解为： -2x 2， 整数解为： -2， -1， 0， 1.共有 4 个 . 答案： D. 8.(3 分 )如图， DE 是 ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF=DE，连接 CF，则 SCEF ： S 四边形 BCED的值为 ( ) A. 1： 3 B. 2： 3 C. 1： 4 D. 2： 5 解 析 ： DE 为 ABC 的中位线， AE=CE . 在 ADE 与 CFE 中， ， ADECFE (SAS)， S ADE =SCFE . DE 为 ABC
5、 的中位线， ADEABC ，且相似比为 1： 2， S ADE ： SABC =1： 4， S ADE +S 四边形 BCED=SABC ， S ADE ： S 四边形 BCED=1： 3， S CEF ： S 四边形 BCED=1： 3. 答案： A. 9.(3 分 )将抛物线 y=(x-1)2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 ( ) A. y=(x-2)2 B. y=(x-2)2+6 C. y=x2+6 D. y=x2 解 析 ： 将抛物线 y=(x-1)2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为： y=(x-1+1)2+3，即 y=x2+3；
6、再向下平移 3 个单位为： y=x2+3-3，即 y=x2. 答案： D. 10.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， C、 D 是 O 上的点， CDB=30 ，过点 C 作 O 的切线交AB 的延长线于 E，则 sinE 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 连接 OC， CE 是 O 切线， OCCE ， 即 OCE=90 ， CDB=30 ， COB=2CDB=60 ， E=90 -COB=30 ， sinE= . 答案： A. 11.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的大
7、致图象为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 二次函数图象开口方向向上， a 0， 对称轴为直线 x=- 0， b 0， 与 y 轴的正半轴相交， c 0， y=ax+b 的图象经过第一三象限，且与 y 轴的负半轴相交， 反比例函数 y= 图象在第一三象限， 只有 B 选项图象符合 . 答案： B. 12.(3 分 )如图，正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 BC、 CD 上， AEF 是等边三角形，连接 AC交 EF 于 G，下列结论： BE=DF ， DAF=15 ， AC 垂直平分 EF， BE+DF=EF ， S CEF =2SABE .其中正确结论有 ( )个 . A
8、. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD ， B=BCD=D=BAD=90 . AEF 等边三角形， AE=EF=AF ， EAF=60 . BAE+DAF=30 . 在 RtABE 和 RtADF 中， ， RtABERtADF (HL)， BE=DF (故 正确 ). BAE=DAF ， DAF+DAF=30 ， 即 DAF=15 (故 正确 )， BC=CD ， BC -BE=CD-DF，即 CE=CF， AE=AF ， AC 垂直平分 EF.(故 正确 ). 设 EC=x，由勾股定理，得 EF= x， CG= x， AG=A
9、Esin60=EFsin60=2CGsin60= x， AC= ， AB= ， BE= -x= ， BE+DF= x-x x， (故 错误 )， S CEF = ， SABE = = ， 2S ABE = =SCEF ， (故 正确 ). 综上所述，正确的有 4 个， 答案： C. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 3 分，满分 15分 ) 13.(3 分 )已知一组数 2， 4， 8， 16， 32， ，按此规律，则第 n 个数是 . 解 析 ： 先观察所给的数，得出第几个数正好是 2 的几次方，从而得出第 n 个数是 2 的 n 次方 . 答案 ： 第一个数是 2=21， 第二个数是 4
10、=22， 第三个数是 8=23， 第 n 个数是 2n； 故答案为： 2n. 14.(3 分 )从 -1， 0， ， ， 3 中随机任取一数，取到无理数的概率是 _ . 解 析 ： 数据 -1， 0， ， ， 3 中无理数只有 ，根据概率公式求解即可 . 答案 ： 数据 -1， 0， ， ， 3 中无理数只有 ， 取到无理数的概率为： ， 故答案为： 15.(3 分 )若 (a-1)2+|b-2|=0，则以 a、 b 为边长的等腰三角形的周长为 . 解 析 ： 根据题意得， a-1=0， b-2=0， 解得 a=1， b=2， 若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、 1、
11、2， 1+1=2 ， 不能组成三角形， 若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、 2、 1， 能组成三角形， 周长 =2+2+1=5. 答案： 5. 16.(3 分 )如图，在 ABCD 中， E 在 AB 上， CE、 BD 交于 F，若 AE： BE=4： 3，且 BF=2，则 DF=_ . 解 析 ： 由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD ， AB=CD，继而可判定 BEFDCF ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 BF： DF=BE： CD 问题得解 . 答案 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ， AB=CD， AE ： BE=4： 3，
12、 BE ： AB=3： 7， BE ： CD=3： 7. ABCD ， BEFDCF ， BF ： DF=BE： CD=3： 7， 即 2： DF=3： 7， DF= . 故答案为： . 17.(3 分 )在平面直角坐标系中，已知点 A(- ， 0)， B( ， 0)，点 C 在坐标轴上，且 AC+BC=6，写出满足条件的所有点 C 的坐标 . 解 析 ： 如图， 当点 C 位于 y 轴上时，设 C(0， b). 则 + =6，解得， b=2 或 b=-2， 此时 C(0， 2)，或 C(0， -2). 如图， 当点 C 位于 x 轴上时，设 C(a， 0). 则 |- -a|+|a- |=6
13、，即 2a=6 或 -2a=6， 解得 a=3 或 a=-3， 此时 C(-3， 0)，或 C(3， 0). 综上所述，点 C 的坐标是： (0， 2)， (0， -2)， (-3， 0)， (3， 0). 答案： (0， 2)， (0， -2)， (-3， 0)， (3， 0). 三、解答题 (共 7 小题，满分 69 分 ) 18.(12 分 )(1)计算： 8+|-2|-4sin45 - (2)先化简，再求值： (1- ) ，其中 m=2. 解 析 ： (1)根据绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答； (2)将括号内的部分通分后相减，再将除式因式分解，然后将除法转化为乘法解答
14、. 答案 ： (1)原式 =8+2-4 - =8+2-2 -3 =7-2 ； (2)原式 =( - ) = = ， 当 m=2 时，原式 = = . 19.(9 分 )在 ABCD 中，点 E、 F 分别在 AB、 CD 上，且 AE=CF. (1)求证： ADECBF ； (2)若 DF=BF，求证：四边形 DEBF 为菱形 . 解 析 ： (1)首先根据平行四边形的性质可得 AD=BC， A=C ，再加上条件 AE=CF 可利用 SAS证明 ADECBF ； (2)首先证明 DF=BE，再加上条件 ABCD 可得四边形 DEBF 是平行四边形，又 DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱
15、形证出结论 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC ， A=C ， 在 ADE 和 CBF 中， ， ADECBF (SAS)； (2) 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ， AB=CD， AE=CF ， DF=EB ， 四边形 DEBF 是平行四边形， 又 DF=FB ， 四边形 DEBF 为菱形 . 20.(8 分 )甲、乙二人在一环形场地上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的 速度是乙的 2.5 倍， 4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑 300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长 .(列方程 ( 组 ) 求解 ) 解 析 ： 设乙的速度为
16、 x 米 /分，则甲的速度为 2.5x 米 /分，环形场地的周长为 y 米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程 -慢者走的路程 =环形周长建立方程求出其解即可 . 答案 ： 设乙的速度为 x 米 /分，则甲的速度为 2.5x 米 /分，环形场地的周长为 y 米，由题意，得 ， 即 解得： ， 乙的速度为： 150 米 /分， 甲的速度为： 2.5150=375 米 /分； 答：乙的速度为 150 米 /分，甲的速度为 375 米 /分，环形场地的周长为 900 米 . 21.(8 分 )某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目： A.篮球 B.乒乓球C
17、.羽毛球 D.足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请你将条形统计图 (2)补充完整； (3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率 (用树状图或列表法解答 ) 解 析 ： (1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数； (2)由总人数减去喜欢 A， B 及 D 的人数求出喜欢 C 的人数，补全统计图即可； (3)根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况
18、数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得： 20 =200(人 )， 则这次被调查的学生共有 200 人； (2)补全图形，如图所示： (3)列表如下： 所有等可能的结果为 12 种，其中符合要求的只有 2 种， 则 P= = . 22.(10 分 )如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b(k0 )的图象与反比例函数y= (m0 )的图象交于 A、 B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A的坐标为 (n， 6)，点 C的坐标为(-2， 0)，且 tanACO=2 . (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求点 B 的坐标； (3)在 x 轴上求点 E，使 AC
19、E 为直角三角形 .(直接写出点 E 的坐标 ) 解 析 ： (1)过点 A 作 ADx 轴于 D，根据 A、 C 的坐标求出 AD=6， CD=n+2，已知 tanACO=2 ，可求出 n 的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式； (2)求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可； (3)分两种情况： AEx 轴， EAAC ，分别写出 E 的坐标即可 . 答案 ： (1)过点 A 作 ADx 轴于 D， C 的坐标为 (-2， 0)， A 的坐标为 (n， 6)， AD=6 ， CD=n+2， tanACO=2 ， = =2， 解得： n=1，经检验 n=1 为原方程
20、解； 故 A(1， 6)， m=16=6 ， 反比例函数表达式为： y= ， 又 点 A、 C 在直线 y=kx+b 上， ， 解得： ， 一次函数的表达式为： y=2x+4； (2)由 得： =2x+4， 解得： x=1 或 x=-3， A (1， 6)， B (-3， -2)； (3)分两种情况： 当 AEx 轴时， 即点 E 与点 D 重合， 此时 E1(1， 0)； 当 EAAC 时， 此时 ADECDA ， 则 = ， DE= =12， 又 D 的坐标为 (1， 0)， E 2(13， 0). 综上所述， E1(1， 0)， E2(13， 0). 23.(10 分 )如图， AB 是
21、 O 的直径， BC 为 O 的切线， D 为 O 上的一点， CD=CB，延长 CD交 BA 的延长线于点 E. (1)求证： CD 为 O 的切线； (2)若 BD 的弦心距 OF=1， ABD=30 ，求图中阴影部分的面积 .(结果保留 ) 解 析 ： (1)首先连接 OD，由 BC 是 O 的切线，可得 ABC=90 ，又由 CD=CB， OB=OD，易证得 ODC=ABC=90 ，即可证得 CD 为 O 的切线； (2)在 RtOBF 中， ABD=30 ， OF=1，可求得 BD 的长， BOD 的度数，又由 S 阴影 =S 扇形 OBD-SBOD ，即可求 得答案 . 答案 ：
22、(1)连接 OD， BC 是 O 的切线， ABC=90 ， CD=CB ， CBD=CDB ， OB=OD ， OBD=ODB ， ODC=ABC=90 ， 即 ODCD ， 点 D 在 O 上， CD 为 O 的切线； (2)在 RtOBF 中， ABD=30 ， OF=1， BOF=60 ， OB=2， BF= ， OFBD ， BD=2BF=2 ， BOD=2BOF=120 ， S 阴影 =S 扇形 OBD-SBOD = - 2 1= - . 24.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点，其顶点为 D，对称轴
23、是直线 l， l 与 x 轴交于点 H. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值； (3)如图 (2)，若 E 是线段 AD 上的一个动点 ( E 与 A、 D 不重合 )，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m， ADF 的面积为 S. 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； (2)根据 BC 是定值，得到当 P
24、B+PC 最小时， PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可； (3)设点 E 的横坐标为 m，表示出 E(m， 2m+6)， F(m， -m2-2m+3)，最后表示出 EF 的长，从而表示出 S 于 m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可 . 答案 ： (1)由题意可知： 解得： 抛物线的解析式为： y=-x2-2x+3； (2)PBC 的周长为： PB+PC+BC BC 是定值， 当 PB+PC 最小时， PBC 的周长最 小， 点 A、点 B 关于对称轴 l 对称， 连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点 AP=BP PBC 的周长最小是： PB+PC+BC=A
25、C+BC A (-3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)， AC=3 ， BC= ； 故 PBC 周长的最小值为 3 + . (3) 抛物线 y=-x2-2x+3 顶点 D 的坐标为 (-1， 4) A (-3， 0) 直线 AD 的解析式为 y=2x+6 点 E 的横坐标为 m， E (m， 2m+6)， F(m， -m2-2m+3) EF= -m2-2m+3-(2m+6) =-m2-4m-3 S=S DEF +SAEF = EF GH+ EF AG = EF AH = (-m2-4m-3)2 =-m2-4m-3； S= -m2-4m-3 =-(m+2)2+1； 当 m=-2 时， S 最大，最大值为 1 此时点 E 的坐标为 (-2， 2).
