1、 2013 年安徽省中考模拟数学（五） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把你认为正确的选项前字母填写在该题后面的括号中 1. 9 的相反数是（ ） A.9 B. 9 C. D. 解析 ： 根据相反数的定义，得 9 的相反数是 9 答案 ： A 2.今年 1 4 月份，芜湖市经济发展形势良好，已完成的固定资产投资快速增长，达 240.31亿元，用科学记数法可记作（ ） A.240.3110 8元 B.2.403110 10元 C.2.403110 9元 D.24.03110 9元 解析 ： 240.31 亿 =2.4
2、03110 10元 答案 ： B 3.关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图象可能正确的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 令 x=0，则函数 y=kx+k2+1 的图象与 y 轴交于点（ 0， k2+1）， k2+1 0， 图象与y 轴的交点在 y 轴的正半轴上 答案 ： C 4.下列命题中不成立的是（ ） A.矩形的对角线相等 B.三边对应相等的两个三角形全等 C.两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方 D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 解析 ： A、矩形的对角线相等，成立 B、三边对应相等的两个三角形全等，成立 C、两个相似三角形面积的比等于其相
3、似比的平方，成立 D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形 答案 ： D 5.分式方程 的解是（ ） A. 3 B.2 C.3 D. 2 解析 ： 方程两边都乘 x（ x 2）， 得 5x=3（ x 2）， 解得： x= 3， 检验：当 x= 3 时，（ x 2） x0 x= 3 是原方程的解 答案 ： A 6.在平面直角坐标系中有两点 A（ 6， 2）、 B（ 6， 0），以原点为位似中心，相似比为 1： 3，把线段 AB 缩小，则过 A 点对应点的反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 解析 ： A1B1O 和 ABO 以原点为位似中心， A1B1O ABO，相似
4、比为 1： 3， A1B1= ， OB1=2， A1的坐标为（ 2， ）或（ 2， ）， 设过此点的反比例函数解析式为 y= ，则 k= ， 所以解析式为 y= 答案 ： B 7.已知锐角 A 满足关系式 2sin2A 7sinA+3=0，则 sinA 的值为（ ） A. B.3 C. 或 3 D.4 解析 ： 设 sinA=y，则上式可化为 2y2 7y+3=0 2y2 7y+3=（ 2y 1）（ y 3） =0， 所以 y1=3， y2= A 为锐角， 0 sinA 1， 答案 ： A 8.如图所示的 44 正方形网格中， 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7=（ ） A.330 B.3
5、15 C.310 D.320 解析 ： 由图中可知： 4= 90=45 ， 1 和 7 的余角所在的三角形全等 1+ 7=90 同理 2+ 6=90 ， 3+ 5=90 4=45 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7=390+45=315 答案 ： B 9.如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过 A 点（ 3， 0），二次函数图象对称轴为 x=1，给出四个结论： b2 4ac； bc 0； 2a+b=0； a+b+c=0，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 图象与 x 轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根， b2 4ac 0， b2 4ac，正
6、确； 因为开口向下，故 a 0，有 0，则 b 0，又 c 0，故 bc 0，错误； 由对称轴 x= =1，得 2a+b=0，正确； 当 x=1 时， a+b+c 0，错误； 故 正确 答案 ： B 10.如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ） A.320cm B.395.24cm C.431.77cm D.480cm 解析 ： 根据题意，作出实际图形的上底，如图： AC， CD 是上底面的两边作 CB AD 于点B， 则 BC=15， AC=30， ACD=1
7、20 那么 AB=ACsin60=15 ， 所以 AD=2AB=30 ， 胶带的长至少 =30 6+206431.77cm 答案 ： C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）将正确的答案填在题中的横线上 11.计算 3352 +2154 = 解析 ： 相同单位相加，分满 60，向前进 1即可 3352 +2154 =54106 =5546 答案： 5546 12.已知 |a+1|+ =0，则 a b= 解析 ： |a+1|+ =0， |a+1|=0， 8 b=0， a= 1， b=8 则 a b= 1 8= 9 答案 ： 9 13.已知两圆的半径分别为 3cm和 4c
8、m，这两圆的圆心距为 1cm，则这两个圆的位置关系是 解析 ： 根据题意，得 R r=4 3=1， 两圆内切 答案：内切 14.当 m 满足 时，关于 x 的方程 x2 4x+m =0 有两个不相等的实数根 解析 ： 于 x 的方程 x2 4x+m =0 有两个不相等的实数根， =b2 4ac=16 4（ m ） 0， 解之得 m 答案： m 15.一组数据 3， 4， 5， 5， 8 的方差是 解析 ： 数据 3， 4， 5， 5， 8 的平均数为 =5， 故其方差 S2= （ 3 5） 2+（ 4 5） 2+（ 5 5） 2+（ 5 5） 2+（ 8 5） 2=2.8 答案： 2.8 16
9、.小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折旋转放置，做成科学方舟模型如图所示，该正五边形的边心距 OB长为 ，AC为科学方舟船头 A到船底的距离，请你计算 AC+ AB= （不能用三角函数表达式表示） 解析 ： 连接 OF， OE， AB EF， 则 S 五边形 =5S OEF=5 （ EFOB ） =2.5 EF=5 BE 有 2S 科学方舟 =S 五边形 ； 连接 AE， S 五边形 =2S 四边形 ABED=2 （ S ABE+S ADE） =2 （ ABBE +DEAC ） =ABBE+DEAC=ABBE+2BEAC=BE （ AB+2
10、AC） 由于 = ， 则 5 BE=BE （ AB+2AC） AB+2AC=5 ， 即 AC+ AB= 答案： 三、解答题（本大题共 8 小题，共 80 分）解答应写明文字说明和运算步骤 17.（ 1）计算：（ 1） 2009 （ ） 2+（ ） 0+|1 sin60| ； （ 2）解方程组 解析 ： （ 1）根据乘方的法则，绝对值的性质，三角函数的特殊值计算 （ 2）根据二元一次方程的代入法和加减消元法求解 答案 ： （ 1）原式 = 14+1+|1 | = 4+1+1 = 2 = （ 2）由 2+ 得： 7x=14， x=2， 把 x=2 代入 得： y= 2 18.如图，一艘核潜艇在海面
11、下 500 米 A 点处测得俯角为 30 正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60 正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据： 1.414 ，1.732 ， 2.236 ） 解析 ： 易证 BAC= BCA，所以有 BA=BC然后在直角 BCE 中，利用正弦函数求出 CE 答案 ： 由 C 点向 AB 作垂线，交 AB 的延长线于 E点，并交海面于 F点 已知 AB=4000（米）， BAC=30 ， EBC=60 ， BCA= EBC BAC=30 ， BAC= BCA BC=BA=4
12、000（米） 在 Rt BEC 中， EC=BC sin60=4000 =2000 （米） CF=CE+EF=2000 +5003964 （米） 答：海底黑匣子 C 点处距离海面的深度约为 3964 米 19.芜湖市 1985 年 2008 年各年度专利数一览表 （ 1）请你根据以上专利数数据，求出该组数据的中位数为 ；极差为 ； （ 2）请用折线图描述 2001 年 2008 年各年度的专利数； （ 3）请你根据这组数据，说出你得到的信息 解析 ： （ 1）利用中位数和极差的概念即可求解； （ 2）根据画折线图的具体步骤画图即可； （ 3）开放性题目，根据图中所获信息，描述合理即可 答案 ：
13、 （ 1）中位数为 46，极差为 1006； （ 2）如图： （ 3）芜湖的专利数从无到有，近几年专利数增加迅速（必须围绕专利数据来谈） 20.某县政府打算用 25 000 元用于为某乡福利院购买每台价格为 2 000 元的彩电和每台价格为 1 800 元的冰箱，并计划恰好全部用完此款 （ 1）问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台； （ 2）由于国家出台 “ 家电下乡 ” 惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得 13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买 两台冰箱？谈谈你的想法 解析 ： （ 1）应先找出等量关系列出方程求解本题的等量关系为 “ 计划恰好全部用完此款 ” （
14、 2） “ 县政府购买的彩电和冰箱可获得 13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下 ” 为此题的等量关系，列方程求解 答案 ： （ 1）设原计划购买彩电 x 台，冰箱 y 台，根据题意得： 2000x+1800y=25000， 化简得： 10x+9y=125 x， y 均为正整数， x=8， y=5， 答：原计划购买彩电 8 台和冰箱 5 台；） （ 2）该批家电可获财政补贴为： 2500013%=3250 （元） 由于多买的冰箱也可获得 13%的财政补贴，实际负担为总价的 87% 3250 （ 1 13%） 3735.6 21800 可多买两台冰箱 . 答：（ 2）能多购买两台冰箱
15、 我的想法：可以拿财政补贴款 3250 元，再借 350 元，先购买两台冰箱回来，再从总价 3600元冰箱的财政补贴 468 元中拿出 350 元用于归还借款，这样不会增加实际负担 . 21.如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， BD=CD， BDC=90 ， AD=3， BC=8求 AB 的长 解析 ： BD=CD， BDC=90 则 BDC 是等腰直角三角形，过点 D 作 DF BC，则 DF= BC，并且 DF 是梯形的高线，过点 A 作 AE BC，则 AE=DF，在直角 ABE 中根据勾股定理，就可以求出 AB 的长 答案 ： 作 AE BC 于 E， DF BC 于 F AE
16、 DF， AEF=90 ， AD BC， 四边形 AEFD 是矩形 EF=AD=3， AE=DF BD=CD， BDC=90 ， BDC 是等腰直角三角形， 又 DF BC， DF 是 BDC 的 BC 边上的中线 DF= BC=BF=4. AE=DF=4， BE=BF EF=4 3=1. 在 Rt ABE 中， AB2=AE2+BE2， AB= . 22. “ 六 一 ” 儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立从 A区（时代辉煌）、 B 区（科学启迪）、 C 区（智慧之光）、 D 区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务 （ 1）请用列表法或画树状图法说明
17、当天小明与小亮出现在各主题展区担任义务讲解员的所有可能情况（用字母表示） （ 2）求小明与小亮只单独出现在 B 区（科学启迪）、 C 区（智慧之光）、 D 区（儿童世界）三个主题展区中担任义务讲解员的概率 解析 ： （ 1）首先 解析 题意：根据题意作出树状图，通过列表统计事件的总情况数，或讨论事件的分类情况作树状图、列表时，按一定的顺序，做到不重不漏； （ 2）根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 答案 ： （ 1）当天小明与小亮出现在各主题展区担任义务讲解员的所有可能情况列表如下： 或画树形图为： （ 2）小明与小亮只单独出现在 B
18、区（科学启迪）、 C 区（智慧之光）、 D 区（儿童世界）三个主题展区中担任义务讲解员的情况有（ C， B）、（ D， B）、（ B， C）、（ D， C）、（ B， D）、（ C， D）6 种， 故所求概率为 . 23.如图，在 Rt ABC 中，斜边 BC=12， C=30 ， D 为 BC 的中点， ABD 的外接圆 O与AC 交于 F 点，过 A 作 O 的切线 AE交 DF的延长线于 E点 （ 1）求证： AE DE； （ 2）计算： AC AF 的值 解析 ： （ 1）连接 OA、 OB，证明 ABD 为等边三角形后根据三心合一的定理求出 OAC=60 ，求出四边形 ABDF 内接
19、于圆 O，利用切线的性质求出 AE DE； （ 2）由 1 可得 ABD 为等边三角形，易证 ADF ACD，可得 AD2=AC AF 答案 ： （ 1）在 Rt ABC 中， BAC=90 ， C=30 ， D 为 BC 的中点， ABD=60 ， AD=BD=DC ABD 为等边三角形 O 点为 ABD 的中心（内心，外心，垂心三心合一） 连接 OA， OB， BAO= OAD=30 ， OAC=60 又 AE 为 O 的切线， OA AE， OAE=90 EAF=30 AE BC 又 四边形 ABDF 内接于圆 O， FDC= BAC=90 AEF= FDC=90 ，即 AE DE （
20、2）由（ 1）知， ABD 为等边三角形， ADB=60 ADF= C=30 ， FAD= DAC ADF ACD，则 AD2=AC AF， 又 AD= BC=6 AC AF=36 24如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（ 1， 0）， B（ 0， ）， O（ 0， 0），将此三角板绕原点 O 顺时针旋转 90 ，得到 A B O （ 1）如图，一抛物线经过点 A， B， B ，求该抛物线解析式； （ 2）设点 P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形 PBAB 的面积达到最大时点 P 的坐标及面积的最大值 解析 ： （ 1）已知 A， B， C 三点的坐标，就可以得到
21、 OB 的长，而 OB =OB= ，因而 B的坐标就可以得到是（ ， 0），已知 A， B， B 的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式 （ 2） S 四边形 PBAB =S BAO+S PBO+S POB ， OAB 的面积是一个定值，不变， OB， OB 的长度可以求出， BAO 的边 OB 上的高是 P 点的横坐标，而 POB ， OB 边上的高是 P 的纵坐标，设 P（ x， y），则 BAO 和 POB 的面积都可以用 x， y 表示出来，从而得到函数解析式使四边形 PBAB 的面积达到最大时点 P 的坐标，就是求函数的最值问题，可以根据函数的性质得到 答案 ： （ 1） 抛物
22、线过 A（ 1， 0）， B （ ， 0） 设抛物线的解析式为 y=a（ x+1）（ x ）（ a0 ） 又 抛物线过 B（ 0， ）， 将坐标代入上解析式得 =a （ ） 即 a= 1 y=（ x+1）（ x ） 即满足件的抛物线解析式为 y= x2+（ 1） x+ （ 2）（解法一）：如图 1 P 为第一象限内抛物线上一动点 设 P（ x， y）则 x 0， y 0 P 点坐标满足 y= x2+（ 1） x+ 连接 PB， PO， PB S 四边形 PBAB =S BAO+S PBO+S POB = + x+ y= （ x+y+1） = x x2+（ 1） x+ +1= （ x ） 2+
23、当 x= 时， S 四边形 PBAB 最大， 此时， y= 即当动点 P 的坐标为（ ， ）时， S 四边形 PBAB 最大，最大面积为 （解法二）：如图 2，连接 BB P 为第一象限内抛物线上一动点 S 四边形 PBAB =S ABB +S PBB ，且 ABB 的面积为定值 S 四边形 PBAB 最大时 S PBB 必须最大 BB 长度为定值 S PBB 最大时点 P 到 BB 的距离最大 即将直线 BB 向上平移到与抛物线有唯一交点时， P 到 BB 的距离最大 设与直线 BB 平行的直线 l 的解析式为 y= x+m 联立 得 x2 x+m =0 令 =（ ） 2 4（ m ） =0 解得 m= + 此时直线 l 的解析式为 y= x+ + 解得 直线 l 与抛物线唯一交点坐标为 P（ ， ） 设 l 与 y 轴交于 E，则 BE= + = 过 B 作 BF l 于 F 在 Rt BEF 中， FEB=45 BF= sin45= 过 P 作 PG BB 于 G 则 P 到 BB 的距离 d=BF= 此时四边形 PBAB 的面积最大 S 四边形 PBAB 的最大值 = AB OB+ BB d= （ +1） + =
