1、2013 年山东省东营市中考 真题 数学 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来 .每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 . 1.（ 3 分） 的算术平方根是（ ） A.4 B.4 C.2 D.2 解析 ： =4， 4 的算术平方根是 2， 的算术平方根是 2； 答案： D. 2.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A.a3 a2=a B.a2a3=a6 C.（ a3） 2=a6 D.（ 3a） 3=9a3 解析 ： A、不是同类项，不能合并，选项错误； B、 a2a3=a5，选项错误； C、正确； D、（ 3
2、a） 3=27a3，选项错误 . 答案： C. 3.（ 3 分）国家卫生和计划生育委员会公布 H7N9 禽流感病毒直径约为 0.0000001m，则病毒直径 0.0000001m 用科学记数法表示为（ ）（保留两位有效数字） . A.0.1010 6m B.110 7m C.1.010 7m D.0.110 6m 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值是易错点，由于 0.0000001中 1 的前面有 7 个 0，所以可以确定 n= 7.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字 .用科学记
3、数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关 . 答案 ： C. 4.（ 3 分）如图，已知 ABCD ， AD 和 BC 相交于点 O， A=50 ， AOB=105 ，则 C 等于（ ） A.20 B.25 C.35 D.45 解析 ： A=50 ， AOB=105 ， B=180 A AOB=25 ， ABCD ， C=B=25 ， 答案： B. 5.（ 3 分）将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转 90 至 AOB的位置，点 B 的横坐标为 2，则点 A 的坐标为（ ） A.（ 1， 1） B.（ ） C.（ 1， 1） D.（ ）
4、 解析 ：如图，过点 A 作 ACOB 于 C，过点 A 作 ACOB 于 C ， AOB 是等腰直角三角形，点 B 的横坐标为 2， OC=AC= 2=1 ， AOB 是 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 得到， OC=OC=1 ， AC=AC=1 ， 点 A 的坐标为（ 1， 1） . 答案： C. 6.（ 3 分）若定义： f（ a， b） =（ a， b）， g（ m， n） =（ m， n），例如 f（ 1， 2） =（ 1，2）， g（ 4， 5） =（ 4， 5），则 g（ f（ 2， 3） =（ ） A.（ 2， 3） B.（ 2， 3） C.（ 2， 3） D.（ 2， 3
5、） 解析 ：根据定义， f（ 2， 3） =（ 2， 3）， 所以， g（ f（ 2， 3） =g（ 2， 3） =（ 2， 3） . 答案： B. 7.（ 3 分）已知 O 1的半径 r1=2， O 2的半径 r2是方程 的根， O 1与 O 2的圆心距为 1，那么两圆的位置关系为（ ） A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 解析 ：解方程 得： x=3 r 1=2， O 1与 O 2的圆心距为 1， 3 2=1 两圆内切， 答案： B 8.（ 3 分）如图，正方形 ABCD 中，分别以 B、 D 为圆心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（
6、） A.a B.2a C. D.3a 解析 ： 四边形 ABCD 是边长为 a 正方形， B=D=90 ， AB=CB=AD=CD=a， 树叶形图案的周长 = 2=a . 答案： A. 9.（ 3 分） 2013 年 “ 五 一 ” 期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ） A. B. C. D. 解析 ：用 A、 B、 C 表示：东营港、黄河入海口、龙悦湖； 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，则两家抽到同一景点的有 3 种情况， 则两家抽到同一景点的概率是： = . 答案： A. 10.（ 3
7、 分）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A.只有 1 个 B.可以有 2 个 C.有 2 个以上，但有限 D.有无数个 解析 ：根据题意，两条边长分别是 6 和 8 的直角三角形有两种可能，一种是 6 和 8 为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为 10；另一种可能是 6 是直角边，而 8 是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为 . 所以另一个 与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是 ，解得 x=5； 第二种是 ，解得 x= .所以可以有 2 个 . 答案 ： B. 11.（ 3 分）要组织一
8、次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21场比赛，则参赛球队的个数是（ ） A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 解析 ：设有 x 个队，每个队都要赛（ x 1）场，但两队之间只有一场比赛， x（ x 1） 2=21 ， 解得 x=7 或 6（舍去） . 故应邀请 7 个球队参加比赛 . 答案： C. 12.（ 3 分）如图， E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、 AD 上的点，且 CE=DF， AE、 BF相交于点 O，下列结论： （ 1） AE=BF；（ 2） AEBF ；（ 3） AO=OE；（ 4） SAOB =S 四边形 DEOF中正确的有
9、（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析 ： 四边形 ABCD 为正方形， AB=AD=DC ， BAD=D=90 ， 而 CE=DF， AF=DE ， 在 ABF 和 DAE 中 ， ABFDAE ， AE=BF ，所以（ 1）正确； ABF=EAD ， 而 EAD+EAB=90 ， ABF+EAB=90 ， AOB=90 ， AEBF ，所以（ 2）正确； 连结 BE， BE BC， BABE ， 而 BOAE ， OAOE ，所以（ 3）错误； ABFDAE ， S ABF =SDAE ， S ABF SAOF =SDAE SAOF ， S AOB =S 四边形 DE
10、OF，所以（ 4）正确 . 答案： B. 二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4分 . 13.（ 4 分）分解因式： 2a2 8b2= . 解析 ： 2a2 8b2， =2（ a2 4b2）， =2（ a+2b）（ a 2b） . 答案： 2（ a 2b）（ a+2b） 14.（ 4 分）一组数据 1， 3， 2， 5， 2， a 的众数是 a，这组数据的中位数是 . 解析 ： 1， 3， 2， 5， 2， a 的众数是 a， a=2 ， 将数据从小到大排列为： 1， 2， 2， 2， 3， 5， 中位数为： 2. 答案 ： 2. 15.（ 4 分）
11、某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60 ，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30 ，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为 3 米，则旗杆 AB 的高度为 米 . 解析 ：过点 D 作 DEAB ，垂足为 E，由题意可知，四边形 ACDE 为矩形， 则 AE=CD=6 米， AC=DE. 设 BE=x 米 . 在 RtBDE 中， BED=90 ， BDE=30 ， DE= BE= x 米， AC=DE= x 米 . 在 RtABC 中， BAC=90 ， ACB =60 ， AB= AC= x=3x 米， AB
12、 BE=AE， 3x x=6， x=3 ， AB=33=9 （米） . 即旗杆 AB 的高度为 9 米 . 故答案为 9. 16.（ 4 分）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计） . 解析 ： 如图 ， 高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处， AD=0.5m ， BD=1.2m，
13、 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A ， 连接 AB ，则 AB 即为最短距离， AB= = =1.3（ m） . 答案 ： 1.3. 17.（ 4 分）如图，已知直线 l： y= x，过点 A（ 0， 1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y轴的垂线交直线 l于点 B1，过点 B1作直线l 的垂线交 y 轴于点 A2； 按此作法继续下去，则点 A2013的坐标为 . 解析 ： 直线 l 的解析式为： y= x， l 与 x 轴的夹角为 30 ， ABx 轴， ABO=30 ， OA=1 ， AB= ， A 1B
14、l ， ABA 1=60 ， AA 1=3， A 1（ 0， 4）， 同理可得 A2（ 0， 16）， ， A 2013纵坐标为： 42013， A 2013（ 0， 42013） . 答案 ：（ 0， 42013）或（ 0， 24026） 三、 答案 题：本大题共 7 小题，共 64 分 .答案 要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.（ 7 分）（ 1）计算： . （ 2）先化简再计算： ，再选取一个你喜欢的数代入求值 . 解析 ： （ 1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，第四项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的
15、代数意义化简，计算即可得到结果； （ 2）原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将 a=0代入计算即可求出值 . 答案 ： （ 1）原式 = +1 2 2 （ 1 3 ） = +1 2 1+3 = ； （ 2）原式 = =1 = ， 当 a=0 时，原式 =1. 19.（ 8 分）东营市 “ 创建文明 城市 ” 活动如火如荼的展开 .某中学为了搞好 “ 创城 ” 活动的宣传，校学生会就本校学生对东营 “ 市情市况 ” 的了解程度进行了一次调查测试 .经过对测试成绩的 解析 ，得到如图所示的两幅不完整的统计图（ A： 59 分及以下； B： 60 69 分； C：
16、70 79 分； D： 80 89 分； E： 90 100 分） .请你根据图中提供的信息 答案 以下问题： （ 1）求该校共有多少名学生； （ 2）将条形统计图补充完整； （ 3）在扇形统计图中，计算出 “60 69 分 ” 部分所对应的圆心角的度数； （ 4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为 “90 100 分 ” 的概率是多少？ 解析 ：（ 1）根据扇形图可得 70 79 分的学生占总体的 30%，由条形图可得 70 79 分的学生有 300 人，利用总数 =频数 所占百分比进行计算即可； （ 2）首先计算出 59 分及以下、 80 89 分的学生人数，再补图； （ 3）首先计算出
17、60 69 分部分的学生所占百分比，再利用 360 百分比即可； （ 4）成绩为 “90 100 分 ” 的学生有 50 人，用 50：总人数 1000 即可 . 答案 ： （ 1）该学校的学生人数是： 30030%=1000 （人） . （ 2） 100010%=100 （人）， 100035%=350 （人）， 条形统计图如图所示 . （ 3）在扇形统计图中， “60 69 分 ” 部分所对应的圆心角的度数是： 360 （ 100% ）=72 ； （ 4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为 “90 100 分 ” 的概率是： = . 20.（ 8 分）如图， AB 为 O 的直径，点 C
18、为 O 上一点，若 BAC=CAM ，过点 C作直线 l垂直于射线 AM，垂足为点 D. （ 1）试判断 CD 与 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若直线 l 与 AB 的延长线相交于点 E， O 的半径为 3，并且 CAB=30 ，求 CE 的长 . 解析 ： （ 1）连接 OC，根据 OA=OC，推出 BAC=OCA ，求出 OCA=CAM ，推出 OCAM ，求出 OCCD ，根据切线的判定推出即可； （ 2）根据 OC=OA 推出 BAC=ACO ，求出 COE=2CAB=60 ，在 RtCOE 中，根据CE=OCtan60 求出即可 . 答案 ：（ 1）直线 CD 与 O 相切
19、 . 理由如下：连接 OC. OA=OC ， BAC=OCA ， BAC=CAM ， OCA=CAM ， OCAM ， CDAM ， OCCD ， OC 为半径， 直线 CD 与 O 相切 . （ 2） OC=OA ， BAC=ACO ， CAB=30 ， COE=2CAB=60 ， 在 RtCOE 中， OC=3， CE=OCtan60= . 21.（ 9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=nx+2（ n0 ）的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，线段 OA=5， C 为 x轴正半轴上一点，且 sinAOC= . （ 1）求一次函数和反比例函数的解析
20、式； （ 2）求 AOB 的面积 . 解析 ： （ 1）过 A 点作 ADx 轴于点 D，根据已知的 AOC 的正弦值以及 OA的长，利用三角形函数的定义求出 AD 的长，再利用勾股定理求出 OD 的长，即可得到点 A 的坐标，把点 A的坐标分别代入到反比例函数和一次函数的解析式中即可确定出两函数的解析式； （ 2）根据 x 轴上点的特征，令一次函数的 y=0，求出 x 的值，确定出点 B 的坐标，得到线段 OB 的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形 AOB 的面积 . 答案 ： （ 1）过 A 点作 ADx 轴于点 D， sinAOC= = ， OA=5， AD=4 ， 在 RtAOD
21、中，由勾股定理得： DO=3， 点 A 在第一象限， 点 A 的坐标为（ 3， 4）， 将 A 的坐标为（ 3， 4）代入 y= ，得 4= ， m=12 ， 该反比例函数的解析式为 y= ， 将 A 的坐标为（ 3， 4）代入 y=nx+2 得： n= ， 一次函数的解析式是 y= x+2； （ 2）在 y= x+2 中，令 y=0，即 x+2=0， x= 3， 点 B 的坐标是（ 3， 0） OB=3 ，又 AD=4， S AOB = OBAD= 34=6 ， 则 AOB 的面积为 6. 22.（ 10 分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知
22、，购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元，购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元 . （ 1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （ 2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共 30 台，总费用不超过 30 万元，但不低于 28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低 . 解析 ： （ 1）先设每台电脑 x 万元，每台电子白板 y 万元，根据购买 1 台电脑和 2台电子白板需要 3.5 万元，购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5万元列出 方程组，求出 x， y的值即可； （ 2）先设需购进电脑 a 台，则购进电子白板（ 30 a）台，根据需购
23、进电脑和电子白板共30 台，总费用不超过 30 万元，但不低于 28 万元列出不等式组，求出 a 的取值范围，再根据 a 只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案 . 答案 ： 解：（ 1）设每台电脑 x 万元，每台电子白板 y 万元，根据题意得： ， 解得： ， 答：每台电脑 0.5 万元，每台电子白板 1.5 万元； （ 2）设需购进电脑 a 台，则购进电子白板（ 30 a）台，根据题意得： ， 解得： 15a17 ， a 只能取整数， a=15 ， 16， 17， 有三种购买方案， 方案 1：需购进电脑 15 台，则
24、购进电子白板 15 台， 方案 2：需购进电脑 16 台，则购进电子白板 14 台， 方案 3：需购进电脑 17 台，则购进电子白板 13 台， 方案 1： 150.5+1.515=30 （万元）， 方案 2： 160.5+1.514=29 （万元）， 方案 3： 170.5+1.513=28 （万元）， 28 29 30， 选择方案 3 最省钱，即 购买电脑 17 台，电子白板 13 台最省钱 . 23.（ 10 分）（ 1）如图（ 1），已知：在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC，直线 m 经过点 A， BD直线 m， CE 直线 m，垂足分别为点 D、 E. 证明： DE=BD
25、+CE. （ 2）如图（ 2），将（ 1）中的条件改为：在 ABC 中， AB=AC， D、 A、 E 三点都在直线 m 上，并且有 BDA=AEC=BAC= ，其中 为任意锐角或钝角 .请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 . （ 3）拓展与应用：如图（ 3）， D、 E 是 D、 A、 E 三点所在直线 m 上的两动点（ D、 A、 E 三点互不重合），点 F 为 BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接 BD、 CE，若 BDA=AEC=BAC ，试判断 DEF 的形状 . 解析 ： （ 1）根据 BD 直线 m，
26、CE 直线 m 得 BDA=CEA=90 ，而 BAC=90 ，根据等角的余角相等得 CAE=ABD ，然后根据 “AAS” 可判断 ADBCEA ， 则 AE=BD， AD=CE，于是 DE=AE+AD=BD+CE； （ 2）与（ 1）的证明方法一样 ； （ 3）与前面的结论得到 ADBCEA ，则 BD=AE， DBA=CAE ，根据等边三角形的性质得ABF=CAF=60 ，则 DBA+ABF=CAE+CAF ，则 DBF=FAE ， 利用 “SAS” 可判断 DBFEAF ，所以 DF=EF， BFD=AFE ，于是DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60 ，根据等边三角形的判定方法
27、可得到 DEF 为等边三角形 . 答案 ： （ 1） BD 直线 m， CE 直线 m， BDA=CEA=90 ， BAC=90 ， BAD+CAE=90 ， BAD+ABD=90 ， CAE=ABD ， 在 ADB 和 CEA 中 ， ADBCEA （ AAS）， AE=BD ， AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE ； （ 2）成立 . BDA=BAC= ， DBA+BAD=BAD+CAE=180 ， CAE=ABD ， 在 ADB 和 CEA 中 ， ADBCEA （ AAS）， AE=BD ， AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE ； （ 3） DEF 是等边三角形 . 由
28、（ 2）知 ， ADBCEA ， BD=AE， DBA=CAE ， ABF 和 ACF 均为等边三角形， ABF=CAF=60 ， DBA+ABF=CAE+CAF ， DBF=FAE ， BF=AF 在 DBF 和 EAF 中 ， DBFEAF （ SAS）， DF=EF ， BFD=AFE ， DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60 ， DEF 为等边三角形 . 24.（ 12 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A（ 2， 0），与 y 轴的交点为 B（ 0， 1） . （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C，使以 BC 为直径的圆经过抛物线
29、的顶点 A.并求出点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标 . （ 3）在（ 2）的基础上，设直线 x=t（ 0 t 10）与抛物线交于点 N，当 t 为何值时， BCN的面积最大，并求出最大值 . 解析 ： （ 1）利用顶点式写出二次函数解析式，进而得出 a 的值，得出解析式即可； （ 2）首先得出 AOBCDA ，进而得出 y 与 x 之间的函数关系，即可得出点 C 的坐标，根据 PH= （ OB+CD）求出 P 点坐标即可； （ 3）首先设点 N 的坐标为（ t， t2+t 1），得出 ，求出直线 BC 的解析式，进而表示出 M 点坐标，即可得出 BCN 与 t 的函数关系式，求出最
30、值即可 . 答案 ： （ 1） 抛物线的顶点是 A（ 2， 0）， 设抛物线的解析式为 y=a（ x 2） 2. 由抛物线过 B（ 0， 1）得： 4a= 1， ， 抛物线的解析式为 . 即 . （ 2）如图 1，设 C 的坐标为（ x， y） . A 在以 BC 为直径的圆上 .BAC=90 . 作 CDx 轴于 D，连接 AB、 AC. OAB+DAC=90 ， OAB+ABO=90 ， ABO=CAD ， BOA=ADC=90 ， AOBCDA ， OBCD=OAAD . 即 1|y|=2（ x 2） .|y|=2x 4. 点 C 在第四象限 . y= 2x+4， 由 ， 解得 ， .
31、点 C 在对称轴右侧的抛物线上 . 点 C 的坐标为 （ 10， 16）， P 为圆心， P 为 BC 中点 . 取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 OBCD的中位线 . PH= （ OB+CD） = . D （ 10， 0） H （ 5， 0） P （ 5， ） . 故点 P 坐标为（ 5， ） . （ 3）如图 2，设点 N 的坐标为（ t， t2+t 1），直线 x=t（ 0 t 10）与直线 BC 交于点M. ， ， 所以 ， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，直线 BC 经过 B（ 0， 1）、 C （ 10， 16）， 所以 成立， 解得： ， 所以直线 BC 的解析式为 ，则点 M 的坐标为（ t， t 1）， MN= = ， ， = = ， 所以，当 t=5 时， SBCN 有最大值，最大值是 .
