1、2013 年山东省临沂市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3分，共 42 分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.（ 3 分） 2 的绝对值是（ ） A.2 B. 2 C. D. 解析 ： 2 的绝对值是 2， 即 | 2|=2. 答案 ： A. 2.（ 3 分）拒绝 “ 餐桌浪费 ” ，刻不容缓 .据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A.0.510 11千克 B.5010 9千克 C.510 9千克 D.510 10千克 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a
2、| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： D. 3.（ 3 分）如图，已知 ABCD ， 2=135 ，则 1 的度数是（ ） A.35 B.45 C.55 D.65 解析 ： ABCD ， 1=3 ， 2=135 ， 3=180 135=45 ， 1=45 ， 答案 ： B. 4.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A.x2+x3=x5 B.（ x 2） 2=x2 4 C.2x2x3=2x5 D.（ x3） 4=x7 解
3、析 ： A、本选项不是同类项，不能合并，错误； B、（ x 2） 2=x2 4x+4，本选项错误； C、 2x2x3=2x5，本选项正确； D、（ x3） 4=x12，本选项错误， 答案 ： C 5.（ 3 分）计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析 ： =4 3 = ， 答案 ： B. 6.（ 3 分）化简 的结果是（ ） A. B. . D. 解析 ： = = . 答案 ： A. 7.（ 3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ） A.12cm 2 B.8cm 2 C.6cm 2 D.3cm 2 解析 ：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为 3cm，底面直径为
4、 2cm， 侧面积为： dh=23=6 ， 答案 ： C. 8.（ 3 分）不等式组 的解集是（ ） A.x8 B.x 2 C.0 x 2 D.2 x8 解析 ： 解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x8 ， 不等式组的解集为 2 x8 ， 答案 ： D. 9.（ 3 分）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下： 92， 88， 95， 93， 96， 95， 94.这组数据的众数和中位数分别是（ ） A.94， 94 B.95， 95 C.94， 95 D.95， 94 解析 ：这组数据按顺序排列为： 88， 92， 93， 94， 95， 95， 96， 故众数为： 95， 中位数为
5、： 94. 答案 ： D. 10.（ 3 分）如图，四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是（ ） A.AB=AD B.AC 平分 BCD C.AB=BD D.BECDEC 解析 ： AC 垂直平分 BD， AB=AD ， BC=CD， AC 平分 BCD ， EB=DE， BCE=DCE ， 在 RtBCE 和 RtDCE 中， ， RtBCERtDCE （ HL）， 答案 ： C. 11.（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1， A2在 x 轴上，点 B1， B2在 y轴上，其坐标分别为 A1（ 1， 0）， A2（ 2， 0）， B1（ 0
6、， 1）， B2（ 0， 2），分别以 A1、 A2、 B1、 B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 以 A1、 A2、 B1、 B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形， 画树状图得： 共可以组成 4 个三角形， 所作三角形是等腰三角形只有： OA 1B1， OA 2B2， 所作三角形是等腰三角形的概率是： = . 答案 ： D. 12.（ 3 分）如图，在 O 中， CBO=45 ， CAO=15 ，则 AOB 的度数是（ ） A.75 B.60 C.45 D.30 解析 ： 连接 OC， OB=OC=OA ，
7、 CBO=45 ， CAO=15 ， OCB=OBC=45 ， OCA=OAC=15 ， ACB=OCB OCA=30 ， AOB=2ACB=60 . 答案 ： B. 13.（ 3 分）如图，等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上，双曲线 在第一象限内的图象经过 OB 边的中点 C，则点 B 的坐标是（ ） A.（ 1， ） B.（ ， 1） C.（ 2， ） D.（ ， 2） 解析 ：过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，设点 B 的坐标为（ a， b）（ a 0）， 三角形 OAB 是等边三角形， BOA=60 ， 在 RtBOD 中， tan60= = ， b= a， 点 C 是
8、 OB 的中点， 点 C 坐标为（ ， ）， 点 C 在双曲线 上， a2= ， a=2 ， 点 B 的坐标是（ 2， 2 ） . 答案 ： C. 14.（ 3 分）如图，正方形 ABCD 中， AB=8cm，对角线 AC， BD 相交于点 O，点 E， F 分别从 B，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC， CD 运动，到点 C， D 时停止运动，设运动时间为 t（ s）， OEF 的面积为 s（ cm2），则 s（ cm2）与 t（ s）的函数关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 解析 ：根据题意 BE=CF=t， CE=8 t， 四边形 ABCD 为正方形， OB
9、=OC ， OBC=OCD=45 ， 在 OBE 和 OCF 中 ， OBEOCF （ SAS）， S OBE =SOCF ， S 四边形 OECF=SOBC = 8 2=16， S=S 四边形 OECF SCEF =16 （ 8 t） t= t2 4t+16= （ t 4） 2+8（ 0t8 ）， s （ cm2）与 t（ s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（ 4， 8），自变量为 0t8 . 答案 ： B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分）把答案填在题中横线上 . 15.（ 3 分）因式分解 4x x3= . 解析 ： 4x x3 = x（ x2 4） = x（
10、 x+2）（ x 2） . 答案 ： x（ x+2）（ x 2） . 16.（ 3 分）分式方程 的解是 . 解析 ：去分母得： 2x 1=3（ x 1）， 去括号得： 2x 1=3x 3， 解得： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案 ： x=2 17.（ 3 分）如图，菱形 ABCD 中， AB=4， B=60 ， AEBC ， AFCD ，垂足分别为 E， F，连接 EF，则 AEF 的面积是 . 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， BC=CD ， B=D=60 ， AEBC ， AFCD ， ABAE=ADAF ， BAE=DAF=30 ， AE=AF ， B=60 ，
11、 BAD=120 ， EAF=120 30 30=60 ， AEF 是等边三角形， AE=EF ， AEF=60 ， AB=4 ， AE=2 ， EF=AE=2 ， 过 A 作 AMEF ， AM=AEsin60=3 ， AEF 的面积是： EFAM= 2 3=3 . 答案 ： 3 . 18.（ 3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中， ADBC ， DEBC ， BDDC ，垂足分别为 E， D， DE=3，BD=5，则腰长 AB= . 解析 ： DE=3 ， BD=5， DEBC ， BE= = =4， 又 BDDC ， tanCBD= = ， 即 = ， 解得 CD= ， 梯形 ABCD
12、是等腰梯形， ADBC ， AB=CD= . 答案 ： . 19.（ 3 分）对于实数 a， b，定义运算 “ ” ： a b= .例如 4 2，因为 4 2，所以 4 2=42 42=8 .若 x1， x2是一元二次方程 x2 5x+6=0的两个根，则 x1x2= . 解析 ： x 1， x2是一元二次方程 x2 5x+6=0 的两个根， （ x 3）（ x 2） =0， 解得： x=3 或 2， 当 x1=3， x2=2 时， x1 x2=32 32=3 ； 当 x1=2， x2=3 时， x1 x2=32 32= 3. 答案 ： 3 或 3. 三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共 3小
13、题，共 21 分） 20.（ 7 分） 2013年 1月 1 日新交通法规开始实施 .为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就 “ 行人闯红灯现象 ” 进行问卷调查，调查分为 “A ：从不闯红灯； B：偶尔闯红灯； C：经常闯红灯； D：其他 ” 四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图 1）和部分扇形统计图（如图 2） .请根据图中信息， 答案 下列问题： （ 1）本次调查共选取 名居民； （ 2）求出扇形统计图中 “C” 所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （ 3）如果该社区共有居民 1600 人，估计有多少人从不闯红灯？ 解析 ：（ 1）根据为 A
14、 的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的居民人数； （ 2）求出为 C 的人数，得到所占的百分比，然后乘以 360 ，从而求出扇形统计图中 “C”所对扇形的圆心角的度数，然后补全条形统计图即可； （ 3）用全区总人数乘以从不闯红灯的人数所占的百分比，进行计算即可得解 . 答案 ：（ 1）本次调查的居民人数 =5670%=80 人； （ 2）为 “C” 的人数为： 80 56 12 4=8 人， “C” 所对扇形的圆心角的度数为： 360=36 补全统计图如图； （ 3）该区从不闯红灯的人数 =160070%=1120 人 . 21.（ 7 分）为支援雅安灾区，某学校计划用 “ 义捐义卖
15、” 活动中筹集的部分资金用于购买 A、B 两种型号的学习用品共 1000 件，已知 A 型学习用品的单价为 20 元， B型学习用品的单价为 30 元 . （ 1）若购买这批学习用品用了 26000 元，则购买 A、 B 两种学习用品各多少件？ （ 2）若购买这批学习用品的钱不超过 28000 元，则最多购买 B 型学习用品多少件？ 解析 ：（ 1）设购买 A 型学习用品 x 件， B 型学习用品 y 件，就有 x+y=1000， 20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论； （ 2）设可以购买 B 型学习用品 a 件，则 A 型学习用品（ 1000 a）件，根据
16、这批学习用品的钱不超过 28000 元建立不等式求出其解即可 . 答案 ：（ 1）设购买 A 型学习用品 x 件， B 型学习用品 y 件，由题意，得： ， 解得： . 答：购买 A 型学习用品 400 件， B 型学习用品 600 件； （ 2）设可以购买 B 型学习用品 a 件，则 A 型学习用品（ 1000 a） 件，由题意，得： 20（ 1000 a） +30a28000 ， 解得： a800 ， 答：最多购买 B 型学习用品 800 件 . 22.（ 7 分）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE 的延长线于点 F，
17、连接 CF. （ 1）求证： AF=DC； （ 2）若 ABAC ，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论 . 解析 ：（ 1）根据 AAS 证 AFEDBE ，推出 AF=BD，即可得出答案； （ 2）得出四边形 ADCF 是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出 CD=AD，根据菱形的判定推出即可 . 答案 ：（ 1）证明： AFBC ， AFE=DBE ， E 是 AD 的中点， AD 是 BC 边上的中线， AE=DE ， BD=CD， 在 AFE 和 DBE 中 AFEDBE （ AAS）， AF=BD ， AF=DC . （ 2）四边形 ADCF 是菱形， 证明： A
18、FBC ， AF=DC， 四边形 ADCF 是平行四边形， ACAB ， AD 是斜边 BC 的中线， AD= BC=DC， 平行四边形 ADCF 是菱 形 . 四、认真思考，你一定能成功！（本大题共 2小题，共 18 分） 23.（ 9 分）如图，在 ABC 中， ACB=90 ， E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作 O ， AB 与 O相切于点 D，连接 CD，若 BE=OE=2. （ 1）求证： A=2DCB ； （ 2）求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） . 解析 ： （ 1）连接 OD，求出 ODB=90 ，求出 B=30 ， DOB=60 ，求出 DCB 度数，关键三角
19、形内角和定理求出 A ，即可得出答案； （ 2）根据勾股定理求出 BD，分别求出 ODB 和扇形 DOE 的度数，即可得出答案 . 答案 ： （ 1）连接 OD， AB 是 O 切线， ODB=90 ， BE=OE=OD=2 ， B=30 ， DOB=60 ， OD=OC ， DCB=ODC= DOB=30 ， 在 ABC 中， ACB=90 ， B=30 ， A=60 ， A=2DCB ； （ 2） ODB=90 ， OD=2， BO=2+2=4，由勾股定理得： BD=2 ， 阴影部分的面积 S=SODB S 扇形 DOE= 2 2 =2 . 24.（ 9 分）某工厂投入生产一种机器的总成本
20、为 2000 万元 .当该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系，函数 y与自变量 x的部分对应值如下表： x（单位：台） 10 20 30 y（单位：万元 台） 60 55 50 （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）求该机器的生产数量； （ 3）市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元 台）之间满足如图所示的函数关系 .该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润 .（注：利润 =售价成本） 解析 ： （ 1）设
21、 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台就可以确定自变量的取值范围； （ 2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可； （ 3）设每月销售量 z（台）与售价 a（万元 台）之间的函数关系式为 z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，再将 z=25 代入解析式求出 a 的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润 . 答案 ： （ 1）设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， y= x+65. 该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台， 10x70
22、 ； （ 2）由题意，得 xy=2000， x2+65x=2000， x2+130x 4000=0， 解得： x1=50， x2=80 70（舍去） . 答：该机器的生产数量为 50 台； （ 3）设每月销售量 z（台）与售价 a（万元 台）之间的函数关系式为 z=ma+n，由函数图象，得 ， 解得： ， z= a+90. 当 z=25 时， a=65. 当 x=50 时， y=40 总利润为： 25（ 65 40） =625 万元 . 答：该厂第一个月销售这种机器的利润为 625 万元 . 五、相信自己，加油呀！（本大题共 2 小题，共 24分） 25.（ 11 分）如图，矩形 ABCD 中
23、， ACB=30 ，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC， BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保 证三角板的两直角边分别与边AB， BC 所在的直线相交，交点分别为 E， F. （ 1）当 PEAB ， PFBC 时，如图 1，则 的值为 ； （ 2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （ 0 60 ）角，如图 2，求 的值； （ 3）在（ 2）的基础上继续旋转，当 60 90 ，且使 AP： PC=1： 2 时，如图 3， 的值是否变化？证明你的结论 . 解析 ： （ 1）证明 APEPCF ，得 PE=CF；在 RtPCF 中，解直角三角形求得 的值； （ 2）如
24、答图 1 所示，作辅助线，构造直角三角形，证明 PMEPNF ，并利用（ 1）的结论，求得 的值； （ 3）如答图 2 所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明 APMPCN ，求得 的值；然后证明 PMEPNF ，从而由 求得 的值 .与（ 1）（ 2）问相比较， 的值发生了变化 . 答案 ： （ 1） 矩形 ABCD， ABBC ， PA=PC； PEAB ， BCAB ， PEBC ， APE=PCF ； PFBC ， ABBC ， PFAB ， PAE=CPF . 在 APE 与 PCF 中， APEPCF （ ASA）， PE=CF . 在 RtPCF 中， =tan30= ， =
25、. （ 2）如答图 1，过点 P 作 PMAB 于点 M， PNBC 于点 N，则 PMPN . PMPN ， PEPF ， EPM=FPN ， 又 PME=PNF=90 ， PMEPNF ， . 由（ 1）知， = ， = . （ 3）变化 . 证明：如答图 2，过点 P 作 PMAB 于点 M， PNBC 于点 N，则 PMPN ， PMBC ， PNAB . PMBC ， PNAB ， APM=PCN ， PAM=CPN ， APMPCN ， ，得 CN=2PM. 在 RtPCN 中， =tan30= ， = . PMPN ， PEPF ， EPM=FPN ， 又 PME=PNF=90
26、， PMEPNF ， = . 的值发生变化 . 26.（ 13 分）如图，抛物线经过 A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三点 . （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； （ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A， C， M， N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（ a0 ），再把 A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0，）三点代入求出 a、 b、 c 的值即
27、可； （ 2）因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为（ 5， 0），连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即可； （ 3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论 . 答案 ：（ 1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（ a0 ）， A （ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三点在抛物线上， ， 解得 . 抛物线的解析式为： y= x2 2x ； （ 2） 抛物线的解析式为： y= x2 2x ， 其对称轴为直线 x= = =2， 连接 BC，如图 1 所示， B （ 5， 0）， C（ 0， ）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（ k0 ）
28、， ， 解得 ， 直线 BC 的解析式为 y= x ， 当 x=2 时， y=1 = ， P （ 2， ）； （ 3）存在 . 如图 2 所示， 当点 N 在 x 轴下方时， 抛物线的对称轴为直线 x=2， C（ 0， ）， N 1（ 4， ）； 当点 N 在 x 轴上方时， 如图，过点 N2作 N2Dx 轴于点 D， 在 AN 2D 与 M 2CO 中， AN 2DM 2CO（ ASA）， N 2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为 . x2 2x = ， 解得 x=2+ 或 x=2 ， N 2（ 2+ ， ）， N3（ 2 ， ） . 综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（ 4， ），（ 2+ ， ）或（ 2 ， ） .
