2013年山东省临沂市中考真题数学.docx

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1、2013 年山东省临沂市中考数学试卷 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3分,共 42 分)在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.( 3 分) 2 的绝对值是( ) A.2 B. 2 C. D. 解析 : 2 的绝对值是 2, 即 | 2|=2. 答案 : A. 2.( 3 分)拒绝 “ 餐桌浪费 ” ,刻不容缓 .据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000千克,这个数据用科学记数法表示为( ) A.0.510 11千克 B.5010 9千克 C.510 9千克 D.510 10千克 解析 : 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式,其中 1|a

2、| 10, n 为整数 .确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时, n 是正数;当原数的绝对值 1 时, n 是负数 . 答案 : D. 3.( 3 分)如图,已知 ABCD , 2=135 ,则 1 的度数是( ) A.35 B.45 C.55 D.65 解析 : ABCD , 1=3 , 2=135 , 3=180 135=45 , 1=45 , 答案 : B. 4.( 3 分)下列运算正确的是( ) A.x2+x3=x5 B.( x 2) 2=x2 4 C.2x2x3=2x5 D.( x3) 4=x7 解

3、析 : A、本选项不是同类项,不能合并,错误; B、( x 2) 2=x2 4x+4,本选项错误; C、 2x2x3=2x5,本选项正确; D、( x3) 4=x12,本选项错误, 答案 : C 5.( 3 分)计算 的结果是( ) A. B. C. D. 解析 : =4 3 = , 答案 : B. 6.( 3 分)化简 的结果是( ) A. B. . D. 解析 : = = . 答案 : A. 7.( 3 分)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是( ) A.12cm 2 B.8cm 2 C.6cm 2 D.3cm 2 解析 :观察三视图知:该几何体为圆柱,高为 3cm,底面直径为

4、 2cm, 侧面积为: dh=23=6 , 答案 : C. 8.( 3 分)不等式组 的解集是( ) A.x8 B.x 2 C.0 x 2 D.2 x8 解析 : 解不等式 得: x 2, 解不等式 得: x8 , 不等式组的解集为 2 x8 , 答案 : D. 9.( 3 分)在一次歌咏比赛中,某选手的得分情况如下: 92, 88, 95, 93, 96, 95, 94.这组数据的众数和中位数分别是( ) A.94, 94 B.95, 95 C.94, 95 D.95, 94 解析 :这组数据按顺序排列为: 88, 92, 93, 94, 95, 95, 96, 故众数为: 95, 中位数为

5、: 94. 答案 : D. 10.( 3 分)如图,四边形 ABCD 中, AC 垂直平分 BD,垂足为 E,下列结论不一定成立的是( ) A.AB=AD B.AC 平分 BCD C.AB=BD D.BECDEC 解析 : AC 垂直平分 BD, AB=AD , BC=CD, AC 平分 BCD , EB=DE, BCE=DCE , 在 RtBCE 和 RtDCE 中, , RtBCERtDCE ( HL), 答案 : C. 11.( 3 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A1, A2在 x 轴上,点 B1, B2在 y轴上,其坐标分别为 A1( 1, 0), A2( 2, 0), B1( 0

6、, 1), B2( 0, 2),分别以 A1、 A2、 B1、 B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是( ) A. B. C. D. 解析 : 以 A1、 A2、 B1、 B2其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形, 画树状图得: 共可以组成 4 个三角形, 所作三角形是等腰三角形只有: OA 1B1, OA 2B2, 所作三角形是等腰三角形的概率是: = . 答案 : D. 12.( 3 分)如图,在 O 中, CBO=45 , CAO=15 ,则 AOB 的度数是( ) A.75 B.60 C.45 D.30 解析 : 连接 OC, OB=OC=OA ,

7、 CBO=45 , CAO=15 , OCB=OBC=45 , OCA=OAC=15 , ACB=OCB OCA=30 , AOB=2ACB=60 . 答案 : B. 13.( 3 分)如图,等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上,双曲线 在第一象限内的图象经过 OB 边的中点 C,则点 B 的坐标是( ) A.( 1, ) B.( , 1) C.( 2, ) D.( , 2) 解析 :过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D,设点 B 的坐标为( a, b)( a 0), 三角形 OAB 是等边三角形, BOA=60 , 在 RtBOD 中, tan60= = , b= a, 点 C 是

8、 OB 的中点, 点 C 坐标为( , ), 点 C 在双曲线 上, a2= , a=2 , 点 B 的坐标是( 2, 2 ) . 答案 : C. 14.( 3 分)如图,正方形 ABCD 中, AB=8cm,对角线 AC, BD 相交于点 O,点 E, F 分别从 B,C 两点同时出发,以 1cm/s 的速度沿 BC, CD 运动,到点 C, D 时停止运动,设运动时间为 t( s), OEF 的面积为 s( cm2),则 s( cm2)与 t( s)的函数关系可用图象表示为( ) A. B. C. D. 解析 :根据题意 BE=CF=t, CE=8 t, 四边形 ABCD 为正方形, OB

9、=OC , OBC=OCD=45 , 在 OBE 和 OCF 中 , OBEOCF ( SAS), S OBE =SOCF , S 四边形 OECF=SOBC = 8 2=16, S=S 四边形 OECF SCEF =16 ( 8 t) t= t2 4t+16= ( t 4) 2+8( 0t8 ), s ( cm2)与 t( s)的函数图象为抛物线一部分,顶点为( 4, 8),自变量为 0t8 . 答案 : B. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3分,共 15分)把答案填在题中横线上 . 15.( 3 分)因式分解 4x x3= . 解析 : 4x x3 = x( x2 4) = x(

10、 x+2)( x 2) . 答案 : x( x+2)( x 2) . 16.( 3 分)分式方程 的解是 . 解析 :去分母得: 2x 1=3( x 1), 去括号得: 2x 1=3x 3, 解得: x=2, 经检验 x=2 是分式方程的解 . 答案 : x=2 17.( 3 分)如图,菱形 ABCD 中, AB=4, B=60 , AEBC , AFCD ,垂足分别为 E, F,连接 EF,则 AEF 的面积是 . 解析 : 四边形 ABCD 是菱形, BC=CD , B=D=60 , AEBC , AFCD , ABAE=ADAF , BAE=DAF=30 , AE=AF , B=60 ,

11、 BAD=120 , EAF=120 30 30=60 , AEF 是等边三角形, AE=EF , AEF=60 , AB=4 , AE=2 , EF=AE=2 , 过 A 作 AMEF , AM=AEsin60=3 , AEF 的面积是: EFAM= 2 3=3 . 答案 : 3 . 18.( 3 分)如图,等腰梯形 ABCD 中, ADBC , DEBC , BDDC ,垂足分别为 E, D, DE=3,BD=5,则腰长 AB= . 解析 : DE=3 , BD=5, DEBC , BE= = =4, 又 BDDC , tanCBD= = , 即 = , 解得 CD= , 梯形 ABCD

12、是等腰梯形, ADBC , AB=CD= . 答案 : . 19.( 3 分)对于实数 a, b,定义运算 “ ” : a b= .例如 4 2,因为 4 2,所以 4 2=42 42=8 .若 x1, x2是一元二次方程 x2 5x+6=0的两个根,则 x1x2= . 解析 : x 1, x2是一元二次方程 x2 5x+6=0 的两个根, ( x 3)( x 2) =0, 解得: x=3 或 2, 当 x1=3, x2=2 时, x1 x2=32 32=3 ; 当 x1=2, x2=3 时, x1 x2=32 32= 3. 答案 : 3 或 3. 三、开动脑筋,你一定能做对!(本大题共 3小

13、题,共 21 分) 20.( 7 分) 2013年 1月 1 日新交通法规开始实施 .为了解某社区居民遵守交通法规情况,小明随机选取部分居民就 “ 行人闯红灯现象 ” 进行问卷调查,调查分为 “A :从不闯红灯; B:偶尔闯红灯; C:经常闯红灯; D:其他 ” 四种情况,并根据调查结果绘制出部分条形统计图(如图 1)和部分扇形统计图(如图 2) .请根据图中信息, 答案 下列问题: ( 1)本次调查共选取 名居民; ( 2)求出扇形统计图中 “C” 所对扇形的圆心角的度数,并将条形统计图补充完整; ( 3)如果该社区共有居民 1600 人,估计有多少人从不闯红灯? 解析 :( 1)根据为 A

14、 的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的居民人数; ( 2)求出为 C 的人数,得到所占的百分比,然后乘以 360 ,从而求出扇形统计图中 “C”所对扇形的圆心角的度数,然后补全条形统计图即可; ( 3)用全区总人数乘以从不闯红灯的人数所占的百分比,进行计算即可得解 . 答案 :( 1)本次调查的居民人数 =5670%=80 人; ( 2)为 “C” 的人数为: 80 56 12 4=8 人, “C” 所对扇形的圆心角的度数为: 360=36 补全统计图如图; ( 3)该区从不闯红灯的人数 =160070%=1120 人 . 21.( 7 分)为支援雅安灾区,某学校计划用 “ 义捐义卖

15、” 活动中筹集的部分资金用于购买 A、B 两种型号的学习用品共 1000 件,已知 A 型学习用品的单价为 20 元, B型学习用品的单价为 30 元 . ( 1)若购买这批学习用品用了 26000 元,则购买 A、 B 两种学习用品各多少件? ( 2)若购买这批学习用品的钱不超过 28000 元,则最多购买 B 型学习用品多少件? 解析 :( 1)设购买 A 型学习用品 x 件, B 型学习用品 y 件,就有 x+y=1000, 20x+30y=26000,由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论; ( 2)设可以购买 B 型学习用品 a 件,则 A 型学习用品( 1000 a)件,根据

16、这批学习用品的钱不超过 28000 元建立不等式求出其解即可 . 答案 :( 1)设购买 A 型学习用品 x 件, B 型学习用品 y 件,由题意,得: , 解得: . 答:购买 A 型学习用品 400 件, B 型学习用品 600 件; ( 2)设可以购买 B 型学习用品 a 件,则 A 型学习用品( 1000 a) 件,由题意,得: 20( 1000 a) +30a28000 , 解得: a800 , 答:最多购买 B 型学习用品 800 件 . 22.( 7 分)如图,在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD的中点,过点 A作 BC的平行线交 BE 的延长线于点 F,

17、连接 CF. ( 1)求证: AF=DC; ( 2)若 ABAC ,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论 . 解析 :( 1)根据 AAS 证 AFEDBE ,推出 AF=BD,即可得出答案; ( 2)得出四边形 ADCF 是平行四边形,根据直角三角形斜边上中线性质得出 CD=AD,根据菱形的判定推出即可 . 答案 :( 1)证明: AFBC , AFE=DBE , E 是 AD 的中点, AD 是 BC 边上的中线, AE=DE , BD=CD, 在 AFE 和 DBE 中 AFEDBE ( AAS), AF=BD , AF=DC . ( 2)四边形 ADCF 是菱形, 证明: A

18、FBC , AF=DC, 四边形 ADCF 是平行四边形, ACAB , AD 是斜边 BC 的中线, AD= BC=DC, 平行四边形 ADCF 是菱 形 . 四、认真思考,你一定能成功!(本大题共 2小题,共 18 分) 23.( 9 分)如图,在 ABC 中, ACB=90 , E 为 BC 上一点,以 CE 为直径作 O , AB 与 O相切于点 D,连接 CD,若 BE=OE=2. ( 1)求证: A=2DCB ; ( 2)求图中阴影部分的面积(结果保留 和根号) . 解析 : ( 1)连接 OD,求出 ODB=90 ,求出 B=30 , DOB=60 ,求出 DCB 度数,关键三角

19、形内角和定理求出 A ,即可得出答案; ( 2)根据勾股定理求出 BD,分别求出 ODB 和扇形 DOE 的度数,即可得出答案 . 答案 : ( 1)连接 OD, AB 是 O 切线, ODB=90 , BE=OE=OD=2 , B=30 , DOB=60 , OD=OC , DCB=ODC= DOB=30 , 在 ABC 中, ACB=90 , B=30 , A=60 , A=2DCB ; ( 2) ODB=90 , OD=2, BO=2+2=4,由勾股定理得: BD=2 , 阴影部分的面积 S=SODB S 扇形 DOE= 2 2 =2 . 24.( 9 分)某工厂投入生产一种机器的总成本

20、为 2000 万元 .当该机器生产数量至少为 10 台,但不超过 70 台时,每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系,函数 y与自变量 x的部分对应值如下表: x(单位:台) 10 20 30 y(单位:万元 台) 60 55 50 ( 1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; ( 2)求该机器的生产数量; ( 3)市场调查发现,这种机器每月销售量 z(台)与售价 a(万元 台)之间满足如图所示的函数关系 .该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润 .(注:利润 =售价成本) 解析 : ( 1)设

21、 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b,运用待定系数法就可以求出其关系式,由该机器生产数量至少为 10 台,但不超过 70 台就可以确定自变量的取值范围; ( 2)根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可; ( 3)设每月销售量 z(台)与售价 a(万元 台)之间的函数关系式为 z=ma+n,运用待定系数法求出其解析式,再将 z=25 代入解析式求出 a 的值,就可以求出每台的利润,从而求出总利润 . 答案 : ( 1)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b,由题意,得 , 解得: , y= x+65. 该机器生产数量至少为 10 台,但不超过 70 台, 10x70

22、 ; ( 2)由题意,得 xy=2000, x2+65x=2000, x2+130x 4000=0, 解得: x1=50, x2=80 70(舍去) . 答:该机器的生产数量为 50 台; ( 3)设每月销售量 z(台)与售价 a(万元 台)之间的函数关系式为 z=ma+n,由函数图象,得 , 解得: , z= a+90. 当 z=25 时, a=65. 当 x=50 时, y=40 总利润为: 25( 65 40) =625 万元 . 答:该厂第一个月销售这种机器的利润为 625 万元 . 五、相信自己,加油呀!(本大题共 2 小题,共 24分) 25.( 11 分)如图,矩形 ABCD 中

23、, ACB=30 ,将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC, BD 的交点处,以点 P 为旋转中心转动三角板,并保 证三角板的两直角边分别与边AB, BC 所在的直线相交,交点分别为 E, F. ( 1)当 PEAB , PFBC 时,如图 1,则 的值为 ; ( 2)现将三角板绕点 P 逆时针旋转 ( 0 60 )角,如图 2,求 的值; ( 3)在( 2)的基础上继续旋转,当 60 90 ,且使 AP: PC=1: 2 时,如图 3, 的值是否变化?证明你的结论 . 解析 : ( 1)证明 APEPCF ,得 PE=CF;在 RtPCF 中,解直角三角形求得 的值; ( 2)如

24、答图 1 所示,作辅助线,构造直角三角形,证明 PMEPNF ,并利用( 1)的结论,求得 的值; ( 3)如答图 2 所示,作辅助线,构造直角三角形,首先证明 APMPCN ,求得 的值;然后证明 PMEPNF ,从而由 求得 的值 .与( 1)( 2)问相比较, 的值发生了变化 . 答案 : ( 1) 矩形 ABCD, ABBC , PA=PC; PEAB , BCAB , PEBC , APE=PCF ; PFBC , ABBC , PFAB , PAE=CPF . 在 APE 与 PCF 中, APEPCF ( ASA), PE=CF . 在 RtPCF 中, =tan30= , =

25、. ( 2)如答图 1,过点 P 作 PMAB 于点 M, PNBC 于点 N,则 PMPN . PMPN , PEPF , EPM=FPN , 又 PME=PNF=90 , PMEPNF , . 由( 1)知, = , = . ( 3)变化 . 证明:如答图 2,过点 P 作 PMAB 于点 M, PNBC 于点 N,则 PMPN , PMBC , PNAB . PMBC , PNAB , APM=PCN , PAM=CPN , APMPCN , ,得 CN=2PM. 在 RtPCN 中, =tan30= , = . PMPN , PEPF , EPM=FPN , 又 PME=PNF=90

26、, PMEPNF , = . 的值发生变化 . 26.( 13 分)如图,抛物线经过 A( 1, 0), B( 5, 0), C( 0, )三点 . ( 1)求抛物线的解析式; ( 2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA+PC 的值最小,求点 P 的坐标; ( 3)点 M为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A, C, M, N 四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 . 解析 : ( 1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c( a0 ),再把 A( 1, 0), B( 5, 0), C( 0,)三点代入求出 a、 b、 c 的值即

27、可; ( 2)因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为( 5, 0),连接 BC 交对称轴直线于点 P,求出 P 点坐标即可; ( 3)分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论 . 答案 :( 1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c( a0 ), A ( 1, 0), B( 5, 0), C( 0, )三点在抛物线上, , 解得 . 抛物线的解析式为: y= x2 2x ; ( 2) 抛物线的解析式为: y= x2 2x , 其对称轴为直线 x= = =2, 连接 BC,如图 1 所示, B ( 5, 0), C( 0, ), 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b( k0 )

28、, , 解得 , 直线 BC 的解析式为 y= x , 当 x=2 时, y=1 = , P ( 2, ); ( 3)存在 . 如图 2 所示, 当点 N 在 x 轴下方时, 抛物线的对称轴为直线 x=2, C( 0, ), N 1( 4, ); 当点 N 在 x 轴上方时, 如图,过点 N2作 N2Dx 轴于点 D, 在 AN 2D 与 M 2CO 中, AN 2DM 2CO( ASA), N 2D=OC= ,即 N2点的纵坐标为 . x2 2x = , 解得 x=2+ 或 x=2 , N 2( 2+ , ), N3( 2 , ) . 综上所述,符合条件的点 N 的坐标为( 4, ),( 2+ , )或( 2 , ) .

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