1、 2013 年山东省威海市中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分） 1.（ 3 分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克 =1000毫克，那么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为（ ） A.3.710 5克 B.3.710 6克 C.3710 7克 D.3.710 8克 所有 解析： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 . 答案 D. 2.（ 3 分）下列各式化简结果
2、为无理数的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、 = 3，是有理数，故 A 选项错误； B、（ 1） 0=1，是有理数，故 B 选项错误； C、 =2 ，是无理数，故 C 选项正确； D、 =2，是有理数，故 D 选项错误； 答案： C. 3.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A.3x2+4x2=7x4 B.2x33x3=6x3 C.x6+x3=x2 D.（ x2） 4=x8 解析： A、 3x 2+4x2=7x27x 4，故本选项错误； B、 2x 33x3=23x 3+36x 3，故本选项错误； C、 x 6和 x3不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、 （ x2） 4=x2
3、4 =x8，故本选项正确 . 答案 D. 4.（ 3 分）若 m n= 1，则（ m n） 2 2m+2n 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D. 1 解析： m n= 1， （ m n） 2 2m+2n=（ m n） 2 2（ m n） =1+2=3. 答案 A. 5.（ 3 分）如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体 .将正方体 移走后，所得几何体（ ） A.主视图改变，左视图改变 B.俯视图不变，左视图不变 C.俯视图改变，左视图改变 D.主视图改变，左视图不变 解析： 将正方体 移走前的主视图正方形的个数为 1， 2， 1；正方体 移走后的主视图正方形的个数为 1， 2；发生
4、改变 . 将正方体 移走前的左视图正方形的个数为 2， 1， 1；正方体 移走后的左视图正方形的个数为 2， 1， 1；没有发生改变 . 将正方体 移走前的俯视图正 方形的个数为 1， 3， 1；正方体 移走后的俯视图正方形的个数， 1， 3；发生改变 . 答案 D. 6.（ 3 分）已知关于 x 的一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ） A.m B.m0 C.m1 D.m2 权所有 解析： （ x+1） 2 m=0， （ x+1） 2=m， 一元二次方程（ x+1） 2 m=0 有两个实数根， m0 ， 答案： B. 7.（ 3 分）不等式组 的解集在
5、数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 解析： ，由 得， x 0；由 得， x1 ， 故此不等式组的解集为： x 0， 在数轴上表示为： 答案 B. 8.（ 3 分）如图，在 ABC 中， A=36 ， AB=AC， AB 的垂直平分线 OD 交 AB 于点 O，交 AC于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ） A.C=2A B.BD 平分 ABC C.SBCD =SBOD D.点 D 为线段 AC 的黄金分割点 解析： A、 A=36 ， AB=AC， C=ABC=72 ， C=2A ，正确， B、 DO 是 AB 垂直平分线， AD=BD ， A=ABD=36 ， DBC=72
6、36=36=ABD ， BD 是 ABC 的角平分线，正确， C，根据已知不能推出 BCD 的面积和 BOD 面积相等，错误， D、 C=C ， DBC=A=36 ， DBCCAB ， = ， BC 2=CDAC， C=72 ， DBC=36 ， BDC=72=C ， BC=BD ， AD=BD ， AD=BC ， AD 2=CDAC， 即点 D 是 AC 的黄金分割点，正确， 答案 C. 9.（ 3 分）甲、乙两辆摩托车同时从相距 20km 的 A， B 两地出发，相向而行 .图中 l1， l2分别表示甲、乙两辆摩托车到 A 地的距离 s（ km）与行驶时间 t（ h）的函数关系 .则下列说
7、法错误的是（ ） A.乙摩托车的速度较快 B.经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A， B 两地的中点 C.经过 0.25 小时两摩托车相遇 D.当乙摩托车到达 A 地时，甲摩托车距离 A 地 km 解析： A、由图可知，甲行驶完全程需要 0.6 小时，乙行驶完全程需要 0.5 小，所以，乙摩托车的速度较快正确，故 A 选项不符合题意； B、因为甲摩托车行驶完全程需要 0.6 小时，所以经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A， B 两地的中点正确，故 B 选项不符合题意； C、设两车相遇的时间为 t，根据题意得， + =20， t= ，所以，经过 0.25 小时两摩托车相遇错误，故 C 选项符合题
8、意； D、当乙摩托车到达 A 地时，甲摩托车距离 A 地： 0.5= km 正确，故 D 选项不符合题意 . 答案： C. 10.（ 3 分）如图，在 ABC 中， ACB=90 ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB于点E，且 BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ） A.BC=AC B.CFBF C.BD=DF D.AC=BF 解析： EF 垂直平分 BC， BE=EC ， BF=CF， BF=BE ， BE=EC=CF=BF ， 四边形 BECF 是菱形； 当 BC=AC 时， ACB=90 ， 则 A=45 时，菱形 BECF 是正方
9、形 . A=45 ， ACB=90 ， EBC=45 EBF=2EBC=245=90 菱形 BECF 是正方形 . 答案项 A 正确，但不符合题意； 当 CFBF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，答案项 B 正确，但不符合题意； 当 BD=DF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，答案项 C 正确，但不符合题意； 当 AC=BF 时，无法得出菱形 BECF 是正方形，答案项 D 错误，符合题意 . 答案： D. 11.（ 3 分）一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和 2 个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球 .两
10、次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D.解析：列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率 。 列表如下： 红 红 红 绿 绿 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 红 （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） 绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） 得到所有可能的情况数为 20 种，其中两次都为红球的情况有 6 种， 则 P 两次红 = = . 答案 ： A 12.（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中， AOB=90 ，
11、OAB=30 ，反比例函数 的图象经过点 A，反比例函数 的图象经过点 B，则下列关于 m， n 的关系正确的是（ ） A.m= 3n B.m= n C.m= n D.m= n 解析： 过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 A 作 AFx 轴于点 F， OAB=30 ， OA= OB， 设点 B 坐标为（ a， ），点 A 的坐标为（ b， ）， 则 OE= a， BE= ， OF=b， AF= ， BOE+OBE=90 ， AOF+BOE=90 ， OBE=AOF ， 又 BEO=OFA=90 ， BOEOAF ， = = ，即 = = ， 解得： m= ab， n= ， 故可得： m=
12、3n. 答案 ： A. 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分） 13.（ 3 分）将一副直角三角板如图摆放，点 C 在 EF 上， AC 经过点 D.已知 A=EDF=90 ，AB=AC.E=30 ， BCE=40 ，则 CDF= . 解析： 由 A= EDF=90 ， AB=AC. E=30 ， BCE=40 ，可求得 ACE 的度数，又由三角形 AB=AC ， A=90 ， ACB=B=45 ， EDF=90 ， E=30 ， F=90 E=60 ， ACE=CDF+F ， BCE=40 ， CDF=ACE F=BCE+ACB F=45+40 60=25 . 答案 ： 2
13、5 . 14.（ 3 分）分解因式： = . 解析： 3x2+2x ， = （ 9x2 6x+1）， = （ 3x 1） 2. 答案 ： （ 3x 1） 2. 15.（ 3 分）如图， ACCD ，垂足为点 C， BDCD ，垂足为点 D， AB 与 CD 交于点 O.若 AC=1，BD=2， CD=4，则 AB= . 解析： 过点 B 作 BECD ，交 AC 的延长线于点 E， ACCD ， BDCD ， ACBD ， D=90 ， 四边形 BDCE 是平行四边形， 平行四边形 BDCE 是矩形， CE=BD=2 ， BE=CD=4， E=90 ， AE=AC+CE=1+2=3 ， 在 R
14、tABE 中， AB= =5. 答案： 5. 16.（ 3 分）若关于 x 的方程 无解，则 m= . 解析： 分式方程去分母得： 2（ x 1） = m， 将 x=5 代入得： m= 8. 答案 ： 8 17.（ 3 分）如图 ，将四边形纸片 ABCD 沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图 所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形 ABCD 需要满足的条件是 . 解析： 对角线 AC=BD 时，密铺后的平行四边形为矩形 . 密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角 . 如 答案 图所示，连接 EF、 FG、 GH、 HE，设 EG 与 HF 交于点
15、 O， 连接 AC、 BD，由中位线定理得： EFACGH ，且 EF=GH= AC， EHBDFG ，且 EH=FG= BD， AC=BD ， 中点四边形 EFGH 为菱形 . EGHF . 答案 ： AC=BD. 18.（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B， C 的坐标分别为（ 1， 0），（ 0， 1），（ 1，0） .一个电动玩具从坐标原点 0 出发，第一次跳跃到点 P1.使得点 P1与点 O 关于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P2，使得点 P2与点 P1关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点 P3，使得点 P3与点 P2关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点 P4
16、，使得点 P4与点 P3关于点 A 成中心对称；第五次跳跃到点 P5，使得点 P5与点 P4关于点 B 成中心对称； 照此规律重复下去，则点 P2013的坐标为 . 解析：点 P1（ 2， 0）， P2（ 2， 2）， P3（ 0， 2）， P4（ 2， 2）， P5（ 2， 0）， P6（ 0， 0）， P7（ 2， 0）， 从而可得出 6 次一个循环， =3353 ， 点 P2013的坐标为（ 0， 2） . 答案 ：（ 0， 2） . 三、 答案 题（共 7 小题，满分 66 分） 19.（ 7 分）先化简，再求值： ，其中 x= 1. 解析： 这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是
17、先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分 .最后代值计算 . 答案 ： （ 1） = = . 当 x= 1 时， 原式 = = = . 20.（ 8 分）如图， CD 为 O 的直径， CDAB ，垂足为点 F， AOBC ，垂足为点 E， AO=1. （ 1）求 C 的大小； （ 2）求阴影部分的面积 . 解析： （ 1）根据垂径定理可得 = ， C = AOD ，然后在 RtCOE 中可求出 C 的度数 . （ 2）连接 OB，根据（ 1）可求出 AOB=
18、120 ，在 RtAOF 中，求出 AF， OF，然后根据 S 阴影 =S 扇形 OAB SOAB ，即可得出答案 . 答案 ： （ 1） CD 是圆 O 的直径， CDAB ， = ， C= AOD ， AOD=COE ， C= COE ， AOBC ， C=30 . （ 2）连接 OB， 由（ 1）知， C=30 ， AOD=60 ， AOB=120 ， 在 RtAOF 中， AO=1， AOF=60 ， AF= ， OF= ， AB= ， S 阴影 =S 扇形 OADB SOAB = = . 21.（ 9 分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100 分
19、 .前 6 名选手的得分如下： 序号 项目 1 2 3 4 5 6 笔试成绩 /分 85 92 84 90 84 80 面试成绩 /分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100 分） （ 1）这 6 名选手笔试成绩的中位数是 分，众数是 分 . （ 2）现得知 1 号选手的综合成绩为 88 分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比 . （ 3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选 . 解析： （ 1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出出现
20、的次数最多的数即是众数； （ 2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是 x， y，根据题意列出方程组，求出 x， y 的值即可； （ 3）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余五名选手的综合成绩，即可得出答案 . 答案 ：（ 1）把这组数据从小到大排列为， 80， 84， 84， 85， 90， 92， 最中间两个数的平均数是（ 84+85） 2=84.5 （分）， 则这 6 名选手笔试成绩的中位数是 84.5， 84 出现了 2 次，出现的次数最多， 则这 6 名选手笔试成绩的众数是 84； 故答案为： 84.5， 84； （ 2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是 x， y，根据
21、题意得： ， 解得： ， 笔试成绩和面试成绩各占的百分比是 40%， 60%； （ 3） 2 号选手的综合成绩是 920.4+880.6=89.6 （分）， 3 号选手的综合成绩是 840.4+860.6=85.2 （分）， 4 号选手的综合成绩是 900.4+900.6=90 （分）， 5 号选手的综合成绩是 840.4+800.6=81.6 （分）， 6 号选手的综合成绩是 800.4+850.6=83 （分）， 则综合成绩排序前两名人选是 4 号和 2 号 . 22.（ 9 分）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c与 x 轴交于点 A， B， AB=2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线
22、 x=2. （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）设 P 为对称轴上一动点，求 APC 周长的最小值； （ 3）设 D 为 抛物线上一点， E 为对称轴上一点，若以点 A， B， D， E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 . 解析： （ 1）根据抛物线对称轴的定义易求 A（ 1， 0）， B（ 3， 0） .所以 1、 3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根 .由韦达定理易求 b、 c 的值； （ 2）如图，连接 AC、 BC， BC 交对称轴于点 P，连接 PA.根据抛物线的对称性质得到 PA=PB，则 APC 的周长的最小值 =AC+AP+PC=AC+BC，
23、所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可； （ 3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，所以根据抛物线 解析式利用顶点坐标公式即可求得点 D的坐标 . 答案 ： （ 1）如图， AB=2 ，对称轴为直线 x=2. 点 A 的坐标是（ 1， 0），点 B 的坐标是（ 3， 0） . 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A， B， 1 、 3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根 . 由韦达定理，得 1+3= b， 13=c ， b= 4， c=3， 抛物线的函数表达式为 y=x2 4x+3； （ 2）如图 1，连接 AC、 BC， BC 交对称轴于点 P，
24、连接 PA. 由（ 1）知抛物线的函数表达式为 y=x2 4x+3， A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C （ 0， 3）， BC= =3 ， AC= = . 点 A、 B 关于对称轴 x=2 对称， PA=PB ， PA+PC=PB+PC. 此时， PB+PC=BC. 点 P 在对称轴上运动时，（ PA+PC）的最小值等于 BC. APC 的周长的最小值 =AC+AP+PC=AC+BC=3 + ； （ 3）如图 2，根据 “ 菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性 ” 得到点 D 是抛物线 y=x2 4x+3 的顶点坐标，即（ 2， 1）， 当 E、 D 点在 x 轴的上
25、方，即 DEAB ， AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意， 故点 D 的坐标 为：（ 2， 1） . 故答案是：（ 2， 1） . 23.（ 10 分）要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路 .下面分别是小亮和小颖的设计方案 . （ 1）求小亮设计方案中甬路的宽度 x； （ 2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的 x 与小亮设计方案中的 x 取值相同） 解析： （ 1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可； （ 2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可； 答案
26、 ： （ 1）根据小亮的设计方案列方程得：（ 52 x）（ 48 x） =2300 解得： x=2 或 x=98（舍去） 小亮设计方案中甬道的宽度为 2m； （ 2）作 AICD ，垂足为 I， ABCD ， 1=60 ， ADI=60 ， BCAD ， 四边形 ADCB 为平行四边形， BC=AD 由（ 1）得 x=2， BC=HE=2=AD 在 RtADI 中， AI=2sin60= 小颖设计方案中四块绿地的总面积为 5248 522 482+ （ ） 2=2299 平方米 . 24.（ 11 分）操作发现 将一副直角 三角板如图 摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30 角
27、的直角三角板 DEF 的长直角边 DE 重合 . 问题解决 将图 中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30 ，点 C 落在 BF 上， AC与 BD交于点O，连接 CD，如图 . （ 1）求证： CDO 是等腰三角形； （ 2）若 DF=8，求 AD 的长 . 解析： （ 1）根据题意可得 BC=DE，进而得到 BDC=BCD ，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得 DOC=DBC+BCA ，进而算出度数，根据角度可得 CDO 是等腰三角形； （ 2）作 AGBC ，垂足为点 G， DHBF ，垂足为点 H，首先根据 F=60 ， DF=8，可以
28、算出DH=4 ， HF=4， DB=8 ， BF=16，进而得到 BC=8 ，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4 ，证明四边形 AGHD 为矩形，根据线段的和差关系可得 AD 长 . 答案 ： （ 1）证明：由图 知 BC=DE， BDC=BCD ， DEF=30 ， BDC=BCD=75 ， ACB=45 ， DCO+BCO=75 DCO=30 DCO+CDO+DOC=180 ， DOC =30+45=75 ， DOC=BDC ， CDO 是等腰三角形； （ 2）解：作 AGBC ，垂足为点 G， DHBF ，垂足为点 H， 在 RtDHF 中， F=60 ， DF=8， DH=4 ，
29、 HF=4， 在 RtBDF 中， F=60 ， DF=8， DB=8 ， BF=16， BC=BD=8 ， AGBC ， ABC=45 ， BG=AG=4 ， AG=DH ， AGDH ， AGBC ， 四边形 AGHD 为矩形， AD=GH=BF BG HF=16 4 4=12 4 . 25.（ 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，点 B 在直线y= x+ 上， BOA=90 .抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A， O， B，顶点为点 E. （ 1）求点 A， B 的坐标； （ 2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标； （ 3）设直线
30、y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E作 FEx 轴，交直线 AB 于点 F，连接 OD， CF， CF 交 x 轴于点 M.试判断 OD与 CF是否平行，并说明理由 . 解析： （ 1）由直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，列出方程组 ，通过解该方程组即可求得点 A 的坐标；根据 BOA=90 得到直线 OB 的解析式为 y= x，则 ，通过解该方程组来求点 B 的坐标即可； （ 2）把点 A、 B、 O 的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数 a、 b、 c 的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式； （ 3）如图，作 DNx 轴
31、于点 N.欲证明 OD 与 CF 平行，只需证明同位角 CMN 与 DON 相等即可 . 答案 ： （ 1）由直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，得 ， 解得， ， 点 A 的坐标是（ 3， 3） . BOA=90 ， OBOA ， 直线 OB 的解析 式为 y= x. 又 点 B 在直线 y= x+ 上， ， 解得， ， 点 B 的坐标是（ 1， 1） . 综上所述，点 A、 B 的坐标分别为（ 3， 3），（ 1， 1） . （ 2）由（ 1）知，点 A、 B 的坐标分别为（ 3， 3），（ 1， 1） . 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A， O， B， ， 解得， ， 该
32、抛物线的解析式为 y= x2 x，或 y= （ x ） 2 . 顶点 E 的坐标是（ ， ）； （ 3） OD 与 CF 平行 .理由如下： 由（ 2）知，抛物线的对称轴是 x= . 直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C， C （ ， ） . 设直线 BC 的表达式为 y=kx+b（ k0 ），把 B（ 1， 1）， C（ ， ）代入，得 ， 解得， ， 直线 BC 的解析式为 y= x+ . 直线 BC 与抛物线交于点 B、 D， x+ = x2 x， 解得， x1= ， x2= 1. 把 x1= 代入 y= x+ ，得 y1= ， 点 D 的坐标是（ ， ） . 如图，作 DNx 轴于点 N. 则 tanDON= = . FEx 轴，点 E 的坐标为（ ， ） . 点 F 的纵坐标是 . 把 y= 代入 y= x+ ，得 x= ， 点 F 的坐标是（ ， ）， EF= + = . CE= + = ， tanCFE= = ， CFE=DON. 又 FEx 轴， CMN=CFE ， CMN=DON ， ODCF ，即 OD 与 CF 平行 .
