1、2013 年山东省德州市中考 真题 数学 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分） 1.（ 3 分）下列计算正确的是（ ） A. =9 B. = 2 C.（ 2） 0= 1 D. 5 3|=2 解析 ： A、（ ） 2=9，该式计算正确，故本选项正确； B、 =2，该式计算错误，故本选项错误； C、（ 2） 0=1，该式计算错误，故本选项错误； D、 | 5 3|=8，该式计算错误，故本选项错误； 答案： A. 2.（ 3 分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝 .下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，是中
2、心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： C. 3.（ 3 分）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约 28.3 亿吨的有机物 .28.3 亿吨用科学记数法表示为（ ） A.28.310 7 B.2.8310 8 C.0.28310 10 D.2.8310 9 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数
3、相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案： D. 4.（ 3 分）如图， ABCD ，点 E 在 BC 上，且 CD=CE， D=74 ，则 B 的度数为（ ） A.68 B.32 C.22 D.16 解析 ： CD=CE ， D=DEC ， D=74 ， C=180 742=32 ， ABCD ， B=C=32 . 答案： B. 5.（ 3 分）图中三视图所对应的直观图是（ ） A. B. C. D. 解析 ：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同 . 只有 C 满足这两点 . 答案
4、： C. 6.（ 3 分）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s（米）与赛跑时间 t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点 C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多 解析 ：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快， 答案： B. 7.（ 3 分）下列命题中，真命题是（ ） A.对角线相等的四边形是等腰梯形 B.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是矩形 解析 ： A、根据对角线相等的四边形也可能是矩形，故此选项错误； B、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此
5、选项错误； C、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误； D、根据四个角相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项正确 . 答案 ： D. 8.（ 3 分）下列函数中，当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大的是（ ） A.y= x+1 B.y=x2 1 C.y= D.y= x2+1 解析 ： A、 y= x+1，一次函数， k 0，故 y 随着 x 增大而减小，故 A 错误； B、 y=x2 1（ x 0），故当图象在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而增大；而在对称轴左侧（ x 0）， y 随着 x 的增大而减小，故 B 正确 . C、 y= ， k=1 0，在每个象限里， y
6、随 x 的增大而减小，故 C 错误； D、 y= x2+1（ x 0），故当图象在对称轴右侧， y 随着 x 的增大而减小；而在对称轴左侧（ x 0）， y 随着 x 的增大而增大，故 D 错误； 答案 ： B. 9.（ 3 分）一项 “ 过关游戏 ” 规定：在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数）抛掷 n 次，若 n次抛掷所出现的点数之和大于 n2，则算过关；否则不算过关， 则能过第二关的概率是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 在过第 n 关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数）抛掷n 次， n 次抛掷所出现的点数之和大
7、于 n2，则算过关； 能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于 5， 列表得： 共有 36 种等可能的结果，能过第二关的有 26 种情况， 能过第二关的概率是： = . 答案： A. 10.（ 3 分）如图，扇形 AOB 的半径为 1， AOB=90 ，以 AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 解析 ：在 RtAOB 中， AB= = ， S 半圆 = （ ） 2= ， SAOB = OBOA= ， S 扇形 OBA= = ， 故 S 阴影 =S 半圆 +SAOB S 扇形 AOB= . 答案： C. 11.（ 3 分）函数 y=x2+bx+c 与 y=x
8、的图象如图所示，有以下结论： b 2 4c 0； b+c+1=0 ； 3b+c+6=0 ； 当 1 x 3 时， x2+（ b 1） x+c 0. 其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点， b 2 4ac 0； 故 错误； 当 x=1 时， y=1+b+c=1， 故 错误； 当 x=3 时， y=9+3b+c=3， 3b+c+6=0 ； 正确； 当 1 x 3 时，二次函数值小于一次函数值， x 2+bx+c x， x 2+（ b 1） x+c 0. 故 正确 . 答案： B. 12.（ 3 分）如图，动点 P 从（ 0，
9、3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ） A.（ 1， 4） B.（ 5， 0） C.（ 6， 4） D.（ 8， 3） 解析 ：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（ 0， 3）， 20136=3353 ， 当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 3次反弹， 点 P 的坐标为（ 8， 3） . 答案： D. 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分） 13.（ 4 分） cos30 的值是 . 解析 ： cos30= = . 答案 ： . 14.（ 4
10、 分）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 . 解析 ：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短 . 答案 ：两点之间线段最短 . 15.（ 4 分）甲乙两种水稻试验品中连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：吨 /公顷） 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 经计算， =10， =10，试根据这组数据估计 中水稻品种的产量比较稳定 . 解析 ：甲种水稻产量的方差是： （ 9.8 10） 2+（ 9.9 10） 2+（ 10.1 1
11、0） 2+（ 10 10） 2+（ 10.2 10） 2=0.02， 乙种水稻产量的方差是： （ 9.4 10） 2+（ 10.3 10） 2+（ 10.8 10） 2+（ 9.7 10） 2+（ 9.8 10） 2=0.224. 0.02 0.224， 产量比较稳定的水稻品种是甲， 答案 ：甲 16.（ 4 分）函数 y= 与 y=x 2 图象交点的横坐标分别为 a， b，则 + 的值为 . 解析 ：根据题意得 =x 2， 化为整式方程，整理得 x2 2x 1=0， 函数 y= 与 y=x 2 图象交点的横坐标分别为 a， b， a 、 b 为方程 x2 2x 1=0 的两根， a+b=2
12、， ab= 1， + = = = 2. 答案 ： 2. 17.（ 4 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、 F 分别在 BC和 CD 上，下列结论： CE=CF ； AEB=75 ； BE+DF=EF ； S 正方形 ABCD=2+ . 其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上） . 解析 ： 四边形 ABCD 是正方形， AB=AD ， AEF 是等边三角形， AE=AF ， 在 RtABE 和 RtADF 中， ， RtABERtADF （ HL）， BE=DF ， BC=DC ， BC BE=CD DF， CE=CF ， 说法正确； CE=CF
13、 ， ECF 是等腰直角三角形， CEF=45 ， AEF=60 ， AEB=75 ， 说法正确； 如图，连接 AC，交 EF 于 G 点， ACEF ，且 AC 平分 EF， CAFDAF ， DFFG ， BE+DFEF ， 说法错误； EF=2 ， CE=CF= ， 设正方形的边长为 a， 在 RtADF 中， AD2+DF2=AF2，即 a2+（ a ） 2=4， 解得 a= ， 则 a2=2+ ， S 正方形 ABCD=2+ ， 说法正确， 答案 ： . 三、 答案 题（共 7 小题，满分 64 分） 18.（ 6 分）先化简，再求值： ，其中 a= 1. 解析 ： 将括号内的部分通
14、分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值 . 答案 ： 原式 = = = = . 当 a= 1 时，原式 = =1. 19.（ 8 分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的 50 个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理： 4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7 4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5 3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2 5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6
15、.4 3.5 4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5 频数分布表 （ 1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整； （ 2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）； （ 3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收费，若要使 60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？ 解析 ： （ 1）根据题中给出的 50 个数据，从中分别找出 5.0 x6.5 与 6.5 x8.0 的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图； （ 2）本题答案不唯一 .例如：从直方图可
16、以看出： 居民月平均用水量大部分在 2.0 至6.5 之间； 居民月平均用水量在 3.5 x5 .0 范围内的最多，有 19 户； （ 3）由于 5060%=30 ，所以为了鼓励节约用水，要使 60%的家庭收费不受影响，即要使30 户的家庭收费不受影响，而 11+19=30，故家庭月均用水量应该定为 5 吨 . 答案 ：（ 1）频数分布表如下： 频数分布直方图如下： （ 2）从直方图可以看出： 居民月平均用水量大部分在 2.0 至 6.5 之间； 居民月平均用水量在 3.5 x5.0 范围内的最多，有 19 户； （ 3）要使 60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为 5 吨，因
17、为月平均用水量不超过 5 吨的有 30 户， 3050=60% . 20.（ 8 分）如图，已知 O 的半径为 1， DE 是 O 的直径，过点 D 作 O 的切线 AD， C是AD 的中点， AE 交 O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形 . （ 1）求 AD 的长； （ 2） BC 是 O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由 . 解析 ： （ 1）连接 BD，由 ED 为圆 O 的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到 DBE 为直角，由 BCOE 为平行四边形，得到 BC 与 OE 平行，且 BC=OE=1，在直角三角形 ABD 中， C为AD 的中点，利用斜边上的中线等
18、于斜边的一半求出 AD 的长即可； （ 2）连接 OB，由 BC 与 OD 平行， BC=OD，得到四边形 BCDO 为平行四边形，由 AD 为圆的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AD，可得出四边形 BCDO 为矩形，利用矩形的性质得到OB 垂直于 BC，即可得出 BC 为圆 O 的切线 . 答案 ： （ 1）连接 BD， DE 是直径 DBE=90 ， 四边形 BCOE 为平行四边形， BCOE ， BC=OE=1， 在 RtABD 中， C 为 AD 的中点， BC= AD=1， 则 AD=2； （ 2）是，理由如下： 如图，连接 OB.BCOD ， BC=OD， 四边形 BCDO
19、 为平行四边形， AD 为圆 O 的切线， ODAD ， 四边形 BCDO 为矩形， OBBC ， 则 BC 为圆 O 的切线 . 21.（ 10 分）某地计划用 120 180 天（含 120 与 180 天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 360 万米 3. （ 1）写出运输公司完成任务所需的时间 y（单位：天）与平均每天的工作量 x（单位：万米 3）之间的函数关系式，并给出自变量 x 的取值范围； （ 2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多 5000 米 3，工期比原计划减少了 24 天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米 3？ 解析 ： （
20、1）利用 “ 每天的工作量 天数 =土方总量 ” 可以得到两个变量之间的函数关系； （ 2）根据 “ 工期比原计划减少了 24 天 ” 找到等量关系并列出方程求解即可； 答案 ：（ 1）由题意得， y= 把 y=120 代入 y= ，得 x=3 把 y=180 代入 y= ，得 x=2， 自变量的取值范围为： 2x3 ， y= （ 2x3 ）； （ 2）设原计划平均每天运送土石方 x 万米 3，则实际平均每天运送土石方（ x+0.5）万米 3， 根据题意得： =24， 解得： x=2.5 或 x= 3 经检验 x=2.5 或 x= 3 均为原方程的根，但 x= 3 不符合题意，故舍去， 答：原
21、计划每天运送 2.5 万米 3，实际每天运送 3 万米 3. 22.（ 10 分）设 A 是由 24 个整数组成的 2 行 4 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次 “ 操作 ” . （ 1）数表 A 如表 1 所示，如果经过两次 “ 操作 ” ，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次 “ 操作 ” 后所得的数表；（写出一种方法即可） 表 1 1 2 3 7 2 1 0 1 （ 2）数表 A 如表 2 所示，若经过任意一次 “ 操作 ” 以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数
22、a 的值 . 表 2 a a2 1 a a2 2 a 1 a2 a 2 a2 解析 ： （ 1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次 “ 操作 ” ，先改变表 1 的第 4 列，再改变第 2 行即可； （ 2）根据每一列所有数之和分别为 2， 0， 2， 0，每一行所有数之和分别为 1， 1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案 . 答案 ： （ 1）根据题意得：原数表改变第 4 列得： 再改变第 2 行得： 1 2 3 7 2 1 0 1 （ 2） 每一
23、列所有数之和分别为 2， 0， 2， 0，每一行所有数之和分别为 1， 1，则： 如果操作第三列， a a2 1 a a2 2 a 1 a2 2 a a2 第一行之和为 2a 1，第二行之和为 5 2a， ， 解得： a ， 又 a 为整数， a=1 或 a=2， 如果操作第一行， a 1 a2 a a2 2 a 1 a2 a 2 a2 则每一列之和分别为 2 2a， 2 2a2， 2a 2， 2a2， 已知 2a20 ，则： ， 解得 a=1， 验证当 a=1 时，满足不等式， 综上可知： a=1. 23.（ 10 分）（ 1）如图 1，已知 ABC ，以 AB、 AC 为边向 ABC 外作
24、等边 ABD 和等边 ACE ，连接 BE， CD，请你完成图形，并证明： BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （ 2）如图 2，已知 ABC ，以 AB、 AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE， CD，BE 与 CD 有什么数量关系？简单说明理由； （ 3）运用（ 1）、（ 2） 答案 中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B， E 的距离，已经测得 ABC=45 ， CAE=90 ，AB=BC=100 米， AC=AE，求 BE 的长 . 解析 ： （ 1）分别以 A、 B 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点
25、 D，连接 AD， BD，同理连接 AE， CE，如图所示，由三角形 ABD 与三角形 ACE 都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为 60 度，利用等式的性质得到夹角相等，利用 SAS 得到三角形 CAD 与三角形 EAB 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （ 2） BE=CD，理由与（ 1）同理； （ 3）根据（ 1）、（ 2）的经验，过 A 作等腰直角三角形 ABD，连接 CD，由 AB=AD=100，利用勾股定理求出 BD 的长，由题意得到三角形 DBC 为直角三角形，利用勾股定理求出 CD 的长，即为 BE 的长 . 答案 ：（ 1）完成图形，如图所示： 证明：
26、ABD 和 ACE 都是等边三角形， AD=AB ， AC=AE， BAD=CAE=60 ， BAD+BAC=CAE+BAC ，即 CAD=EAB ， 在 CAD 和 EAB 中， ， CADEAB （ SAS）， BE=CD ； （ 2） BE=CD，理由同（ 1）， 四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形， AD=AB ， AC=AE， BAD=CAE=90 ， CAD=EAB ， 在 CAD 和 EAB 中， ， CADEAB （ SAS）， BE=CD ； （ 3）由（ 1）、（ 2）的解题经验可知，过 A 作等腰直角三角形 ABD， BAD=90 ， 则 AD=AB=100 米，
27、 ABD=45 ， BD=100 米， 连接 CD，则由（ 2）可得 BE=CD， ABC=45 ， DBC=90 ， 在 RtDBC 中， BC=100 米， BD=100 米， 根据勾股定理得： CD= =100 米， 则 BE=CD=100 米 . 24.（ 12 分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB， O 为坐标原点， OA=1，tanBAO=3 ，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90 ，得到 DOC ，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、 B、 C. （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t， 设抛物线对称轴 l 与
28、x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD于 F，求出当 CEF 与 COD 相似时，点 P 的坐标； 是否存在一点 P，使 PCD 的面积最大？若存在，求出 PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）先求出 A、 B、 C 的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式； （ 2） 由（ 1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当 CEF=90 时，当CFE=90 时，根据相似三角形的性质就可以求出 P 点的坐标； 先运用待定系数法求出直线 CD 的解析式，设 PM 与 CD 的交点为 N，根据 CD 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据 SPCD =SP
29、CN +SPDN 就可以表示出三角形 PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论 . 答案 ： （ 1）在 RtAOB 中， OA=1， tanBAO= =3， OB=3OA=3 . DOC 是由 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 而得到的， DOCAOB ， OC=OB=3 ， OD=OA=1， A 、 B、 C 的坐标分别为（ 1， 0），（ 0， 3）（ 3， 0） . 代入解析式为 ， 解得： . 抛物线的解析式为 y= x2 2x+3； （ 2） 抛物线的解析式为 y= x2 2x+3， 对称轴 l= = 1， E 点的坐标为（ 1， 0） . 如图，当 CEF=90 时， CEFC
30、OD .此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点， P（ 1， 4）； 当 CFE=90 时， CFECOD ，过 点 P 作 PMx 轴于点 M，则 EFCEMP . ， MP=3EM . P 的横坐标为 t， P （ t， t2 2t+3） . P 在第二象限， PM= t2 2t+3， EM= 1 t， t2 2t+3=3（ 1 t）， 解得： t1= 2， t2=3（点 P 在第二象限，所以舍去）， t= 2 时， y=（ 2） 2 2 （ 2） +3=3. P （ 2， 3） . 当 CEF 与 COD 相似时， P 点的坐标为：（ 1， 4）或（ 2， 3）； 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， 直线 CD 的解析式为： y= x+1. 设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（ t， t+1）， NM= t+1. PN=PM NM= t2 2t+3（ t+1） = t2 +2. S PCD =SPCN +SPDN ， S PCD = PNCM+ PNOM = PN（ CM+OM） = PNOC = 3 （ t2 +2） = （ t+ ） 2+ ， 当 t= 时， SPCD 的最大值为 .
