1、 2013 年山东省枣庄市中考 真题 数学 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来 .每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分 . 1.（ 3 分）下列计算正确的是（ ） A. | 3|= 3 B.30=0 C.3 1= 3 D. =3 解析 ： A、 | 3|= 3，此选项正确； B、 30=1，此选项错误； C、 3 1= ，此选项错误； D、 =3，此选项错误 . 答案： A. 2.（ 3 分）如图， ABCD ， CDE=140 ，则 A 的度数为（ ） A.140 B.60 C.50 D.40 解析 ：
2、CDE=140 ， ADC=180 140=40 ， ABCD ， A=ADC=40 . 答案： D. 3.（ 3 分）估计 的值在（ ） A.2 到 3 之间 B.3 到 4 之间 C.4 到 5 之间 D.5 到 6 之间 解析 ： 利用 ” 夹逼法 “ 得出 的范围， 2= =3， 3 4， 答案： B. 4.（ 3 分）（ 2014南通）化简 的结果是（ ） A.x+1 B.x 1 C. x D.x 解析 ： = = = =x， 答案： D. 5.（ 3 分）某商品每件的标价是 330 元，按标价的八折销售时，仍可获利 10%，则这种商品每件的进价为（ ） A.240 元 B.250
3、元 C.280 元 D.300 元 解析 ： 设这种商品每件的进价为 x 元， 由题意得： 3300.8 x=10%x， 解得： x=240，即这种商品每件的进价为 240 元 . 答案： A. 6.（ 3 分）如图， ABC 中， AB=AC=10， BC=8， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 CDE 的周长为（ ） A.20 B.12 C.14 D.13 解析 ： AB=AC ， AD 平分 BAC ， BC=8， ADBC ， CD=BD= BC=4， 点 E 为 AC 的中点， DE=CE= AC=5， CDE 的周长 =CD+DE+C
4、E=4+5+5=14. 答案： C. 7.（ 3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2 2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A.m 1 B.m 1 C.m 1 D.m 1 解析 ： 根据题意得 =2 2 4m 0， 解得 m 1. 答案： B. 8.（ 3 分）对于非零的实数 a、 b，规定 ab= .若 2 （ 2x 1） =1，则 x=（ ） A. B. C. D. 解析 ： 2 （ 2x 1） =1， =1， 去分母得 2（ 2x 1） =2（ 2x 1）， 解得 x= ， 检验：当 x= 时， 2（ 2x 1） 0 ， 故分式方程的解为 x= . 答案： A
5、. 9.（ 3 分）图（ 1）是一个长为 2a，宽为 2b（ a b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（ 2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） A.ab B.（ a+b） 2 C.（ a b） 2 D.a2 b2 解析 ： 中间部分的四边形是正方形，边长是 a+b 2b=a b， 则面积是（ a b） 2. 答案： C. 10.（ 3 分）如图，已知线段 OA 交 O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是 O 上的一个动点，那么 OAP的最大值是（ ） A.90 B.60 C.45 D.30 解析 ： 当 AP 与 O
6、相切时， OAP 有最大值，连结 OP，如图， 则 OPAP ， OB=AB ， OA=2OP ， PAO=30 . 答案： D. 11.（ 3 分）将抛物线 y=3x2向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ） A.y=3（ x 2） 2 1 B.y=3（ x 2） 2+1 C.y=3（ x+2） 2 1 D.y=3（ x+2） 2+1 解析 ： 抛物线 y=3x2向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线顶点坐标为（2， 1）， 所得抛物线为 y=3（ x+2） 2 1. 答案： C. 12.（ 3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 为
7、边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为（ ） A. B. C. D. 解析 ： 四边形 ABCD 是正方形， M 为边 DA 的中点， DM= AD= DC=1， CM= = ， ME=MC= ， ED=EM DM= 1， 四边形 EDGF 是正方形， DG=DE= 1. 答案： D. 二、填空题：本大题共 6 小题，满分 24分 .只要求填写最后结果，每小题填对得 4分 . 13.（ 4 分）若 ， ，则 a+b 的值为 . 解析 ： a 2 b2=（ a+b）（ a b） = ， a b= ， a+
8、b= . 答案 ： . 14.（ 4 分）在方格纸中，选择标有序号 中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是 . 解析 ： 如图，把标有序号 的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形 . 答案 ： . 15.（ 4 分）从 1、 2、 3、 4 中任取一个数作为十位上的数，再从 2、 3、 4 中任取一个数作为个位上的数，那么组成的两位数是 3 的倍数的概率是 . 解析 ： P（两位数是 3 的倍数） =412= . 答案 ： . 16.（ 4 分）从棱长为 2 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为 1 的小正方体，得到一个如图所示的零件
9、，则这个零件的表面积为 . 解析 ： 挖去一个棱长为 1 的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等， 则表面积是 226=24 . 答案 ： 24. 17.（ 4 分）已知正比例函数 y= 2x 与反比例函数 y= 的图象的一个交点坐标为（ 1， 2），则另一个交点的坐标为 . 解析 ： 根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（ 1， 2） . 答案 ：（ 1， 2） . 18.（ 4 分）已知矩形 ABCD 中， AB=1，在 BC 上取一点 E，将 ABE 沿 AE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点 .若四边形 EFDC 与矩形 ABCD相似，则 AD= . 解析 ： AB
10、=1 ， 设 AD=x，则 FD=x 1， FE=1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， = ， = ， 解得 x1= ， x2= （不合题意舍去）， 经检验 x1= 是原方程的解 . 答案 ： . 三、解答题：本大题共 7 小题，满分 60分 .解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 19.（ 8 分）先化简，再求值： （ m+2 ） .其中 m 是方程 x2+3x 1=0 的根 . 解析 ： 先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于 m 是方程 x2+3x 1=0 的根，那么 m2+3m 1=0，可得 m2+3m 的值，再把 m2+3m 的值整体代入化简后
11、的式子，计算即可 . 答案： 原式 = = = = ； m 是方程 x2+3x 1=0 的根 . m 2+3m 1=0， 即 m2+3m=1， 原式 = . 20.（ 8 分）图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，点 A 和点 B 在小正方形的顶点上 . （ 1）在图 1 中画出 ABC （点 C 在小正方形的顶点上），使 ABC 为直角三角形（画一个即可）； （ 2）在图 2 中画出 ABD （点 D 在小正方形的顶点上），使 ABD 为等腰三角形（画一个即可） . 解析 ： （ 1）利用网格结构，过点 A 的竖直线与过点 B 的水平线相交于
12、点 C，连接即可，或过点 A 的水平线与过点 B 的竖直线相交于点 C，连接即可； （ 2）根据网格结构，作出 BD=AB 或 AB=AD，连接即可得解 . 答案： （ 1）如图 1， 、 ，画一个即可；（ 2）如图 2， 、 ，画一个即可 . 21.（ 8 分） “ 六 一 ” 前夕，质检部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了 300件儿童用品 .以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图： 类别 儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 75 135 请根据上述统计表和扇形图提供的信息，完成下列问题： （ 1）补全上述统计表和扇形图； （ 2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的
13、合格率分别为 90%、 88%、 80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少？ 解析 ： （ 1）根据童车的数量是 30025% ，童装的数量是 300 75 90，儿童玩具占得百分比是 100% ，童装占得百分比 1 30% 25%=45%，即可补全统计表和统计图； （ 2）先分别求出儿童玩具、童车、童装中合格的数量之和，再根据概率公式计算即可 . 答案： （ 1）解：（ 1）童车的数量是 30025%=75 ， 童装的数量是 300 75 90=135， 儿 童玩具占得百分比是 100%=30% ， 童装占得百分比 1 30% 25%=45%， 如图； 类别
14、儿童玩具 童车 童装 抽查件数 90 75 135 （ 2）根据题意得出： . 答：从该超市这三类儿童用品中随机购买一件买到合格品的概率是 0.85. 22.（ 8 分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载 .某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A、 B，使 CAD=30 ， CBD=60 . （ 1）求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据： =1.73， =1.41）； （ 2）已知本路段对校车
15、限速为 40 千米 /小时，若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2秒，这辆校车是否超速？说明理由 . 解析 ： （ 1）分别在 RtADC 与 RtBDC 中，利用正切函数，即可求得 AD 与 BD的长，继而求得 AB 的长； （ 2）由从 A 到 B 用时 2 秒，即可求得这辆校车的速度，比较与 40千米 /小时的大小，即可确定这辆校车是否超速 . 答案： （ 1）由題意得， 在 RtADC 中， AD= =36.33（米）， 2 分 在 RtBDC 中， BD= =12.11（米）， 4 分 则 AB=AD BD=36.33 12.11=24.2224.2 （米） 6 分 （ 2）超速 .
16、 理由： 汽车从 A 到 B 用时 2 秒， 速度为 24.22=12.1 （米 /秒）， 12.13600=43560 （米 /时）， 该车速度为 43.56 千米 /小时， 9 分 大于 40 千米 /小时， 此校车在 AB 路段超速 .10 分 23.（ 8 分）如图，在平面直角坐标中，直角梯形 OABC 的边 OC、 OA 分别在 x 轴、 y 轴上， ABOC ，AOC=90 ， BCO=45 ， BC=12 ，点 C 的坐标为（ 18， 0） （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=4， OD=2BD，求直线 D
17、E 的解析式 . 解析 ： （ 1）先过点 B 作 BFx 轴于 F，根据 BCO=45 ， BC= ，求出 CF=BF 的长，再根据点 C 的坐标，求出 AB=OF 的值，从而求出点 B 的坐标 . （ 2）先过点 D 作 DGy 轴于点 G，根据 ABDG ，得出 ODGOBA ，再根据 AB=6， OA=12，求出 DG 与 OG 的值，从而求出点 D 与点 E 的坐标，最后设直线 DE 的解析式为 y=kx+b（ k0 ），再把 D 与 E 点的坐标代入，即可求出直线 DE 的解析式 . 答案： （ 1）过点 B 作 BFx 轴于 F， 在 RtBCF 中， BCO=45 ， CBF=
18、45 ， BC= ， CF=BF=12 ， 点 C 的坐标为（ 18， 0）， AB=OF=18 12=6. 点 B 的坐标为（ 6， 12） . （ 2）过点 D 作 DGy 轴于点 G. ABDG ， ODGOBA ， = = = ， AB=6 ， OA=12， DG=4 ， OG=8. D （ 4， 8）， E（ 0， 4）， 设直线 DE 的解析式为 y=kx+b（ k0 ），将 D（ 4， 8）， E（ 0， 4）代入，得 ， 解得 ， 直线 DE 解析式为 y= x+4. 24.（ 10 分）如图， AB 是 O 的直径， AC 是弦，直线 EF 经过点 C， ADEF 于点 D，
19、 DAC=BAC . （ 1）求证： EF 是 O 的切线； （ 2）求证： AC2=ADAB； （ 3）若 O 的半径为 2， ACD=30 ，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： （ 1）连接 OC，根据 OA=OC 推出 BAC=OCA=DAC ，推出 OCAD ，得出 OCEF ，根据切线的判定推出即可； （ 2）证 ADCACB ，得出比例式，即可推出答案； （ 3）求出等边三角形 OAC，求出 AC、 AOC ，在 RtACD 中，求出 AD、 CD，求出梯形 OCDA和扇形 OCA 的面积，相减即可得出答案 . 答案： （ 1）连接 OC， OA=OC ， BAC=OCA ， DA
20、C=BAC ， OCA=DAC ， O CAD ， ADEF ， OCEF ， OC 为半径， EF 是 O 的切线 . （ 2）连接 BC， AB 为 O 直径， ADEF ， BCA=ADC=90 ， DAC=BAC ， ACBADC ， = ， AC 2=ADAB. （ 3） ACD=30 ， OCD=90 ， OCA=60 ， OC=OA ， OAC 是等边三角形， AC=OA=OC=2 ， AOC=60 ， 在 RtACD 中， AD= AC= 2=1 ， 由勾股定理得： DC= ， 阴影部分的面积是 S=S 梯形 OCDA S 扇形 OCA= （ 2+1） = . 25.（ 10
21、分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 C（ 0， 3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 . （ 1）求这个二次函数的表达式 . （ 2）连接 PO、 PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC ，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . （ 3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 . 解析 ： （ 1）
22、将 B、 C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （ 2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形 POPC 为菱形，那么 P 点必在 OC 的垂直平分线上，据此可求出 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出 P 点的坐标； （ 3）由于 ABC 的面积为定值，当四边形 ABPC 的面积最大时， BPC 的面积最大；过 P作y 轴的平行线，交直线 BC 于 Q，交 x 轴于 F，易求得直线 BC 的解析式，可设出 P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线 BC 的解析式求出 Q、 P 的纵坐标，即可得到 PQ 的长，以 PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得 BPC 的面积
23、，由此可得到关于四边形 ACPB 的面积与 P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形 ABPC 的最大面积及对应的 P 点坐标 . 答案： （ 1）将 B、 C 两点的坐标代入得 ， 解得： ； 所以二次函数的表达式为： y=x2 2x 3（ 3 分） （ 2）存在点 P，使四边形 POPC 为菱形； 设 P 点坐标为（ x， x2 2x 3）， PP 交 CO 于 E 若四边形 POPC 是菱形，则有 PC=PO； 连接 PP ，则 PECO 于 E， C （ 0， 3）， CO=3 ， 又 OE=EC ， OE=EC= y= ；（ 6 分） x 2 2x 3= 解得 x1= ，
24、 x2= （不合题意，舍去）， P 点的坐标为（ ， ）（ 8 分） （ 3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（ x， x2 2x 3）， 设直线 BC 的解析式为： y=kx+d， 则 ， 解得： 直线 BC 的解析式为 y=x 3， 则 Q 点的坐标为（ x， x 3）； 当 0=x2 2x 3， 解得： x1= 1， x2=3， AO=1 ， AB=4， S 四边形 ABPC=SABC +SBPQ +SCPQ = ABOC+ QPBF+ QPOF = = （ 10 分） 当 时，四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 .（ 12 分）
