1、 2013 年山东省泰安市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的 3 分，选错，不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1.（ 3 分）（ 2） 2等于（ ） A. 4 B.4 C. D. 解析 ： 根据负整数指数幂的运算法则（ 2） 2= = . 答案： D. 2.（ 3 分）下列运算正确的是（ ） A.3x3 5x3= 2x B.6x32x 2=3x C.（ ） 2= x6 D. 3（ 2x 4） = 6x 12 解析 ： A、 3x3 5x3= 2x3，原式计算错误，故本选项错误； B、 6x32x
2、 2=3x5，原式计算错误，故本选项错误； C、（ ） 2= x6，原式计算正确，故本选项正确； D、 3（ 2x 4） = 6x+12，原式计算错误，故本选项错误； 答案： C. 3.（ 3 分） 2012 年我国国民生产总值约 52 万亿元人民币，用科学记数法表示 2012 年我国国民生产总值为（ ） A.5.210 12元 B.5210 12元 C.0.5210 14元 D.5.210 13元 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .将 52 万亿元 =52000000000000 用科学记数法表示为 5.210 13元 . 答案： D.
3、 4.（ 3 分）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ） A.13 B.11 C.10 D.8 解析 ：第一个图形是轴对称图形，有 1 条对称轴； 第二个图形是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第三个图形是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第四个图形是轴对称图形，有 6 条对称轴； 则所有轴对称图形的对称轴条数之和为 11. 答案： B. 5.（ 3 分）下列几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的几何体是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形 . A、主视图为矩形，俯视图为圆， 答案： 项正确； B、主视图为矩形，俯视图为矩形，
4、答案： 项错误； C、主视图为等腰三角形，俯视 图为带有圆心的圆， 答案： 项错误； D、主视图为矩形，俯视图为三角形， 答案： 项错误 . 答案： A. 6.（ 3 分）不等式组 的解集为（ ） A. 2 x 4 B.x 4 或 x 2 C. 2x 4 D. 2 x4 解析 ：， 解 得： x 2， 解 得： x 4， 不等式组的解集为： 2x 4， 答案： C. 7.（ 3 分）（ 2014呼伦贝尔）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下： 5， 4， 3， 5， 5， 2， 5， 3， 4， 1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ） A.4， 5 B.5
5、， 4 C.4， 4 D.5， 5 解析 ： 将数据从小到大排列为： 1， 2， 3， 3， 4， 4， 5， 5， 5， 5， 这组数据的众数为： 5； 中位数为： 4. 答案： A. 8.（ 3 分）如图，五边形 ABCDE 中， ABCD ， 1 、 2 、 3 分别是 BAE 、 AED 、 EDC的外角，则 1+2+3 等于（ ） A.90 B.180 C.210 D.270 解析 ： ABCD ， B+C=180 ， 4+5=180 ， 根据多边形的外角和定理， 1+2+3+4+5=360 ， 1+2+3=360 180=180 . 答案： B. 9.（ 3 分）如图，点 A， B
6、， C，在 O 上， ABO=32 ， ACO=38 ，则 BOC 等于（ ） A.60 B.70 C.120 D.140 解析 ：过 A 作 O 的直径，交 O 于 D； 在 OAB 中， OA=OB， 则 BOD=OBA+OAB=232=64 ， 同理可得： COD=OCA+OAC=238=76 ， 故 BOC=BOD+COD=140 . 答案： D 10.（ 3 分）对于抛物线 y= （ x+1） 2+3，下列结论： 抛物线的开口向下； 对称轴为直线 x=1； 顶点坐标为（ 1， 3）； x 1 时， y 随 x的增大而减小， 其中正确结论的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
7、解析 ： a= 0， 抛物线的开口向下，正确； 对称轴为直线 x= 1，故本小题错误； 顶点坐标为（ 1， 3），正确； x 1 时， y 随 x 的增大而减小， x 1 时， y 随 x 的增大而减小一定正确； 综上所述，结论正确的个数是 共 3 个 . 答案： C. 11.（ 3 分）在如图所示的单位正方形网格中， ABC 经过平移后得到 A 1B1C1，已知在 AC 上一点 P（ 2.4， 2）平移后的对应点为 P1，点 P1绕点 O 逆时针旋转 180 ，得到对应点 P2，则P2点的坐标为（ ） A.（ 1.4， 1） B. （ 1.5， 2） C. （ 1.6， 1） D. （ 2.
8、4， 1） 解析 ： A 点坐标为：（ 2， 4）， A1（ 2， 1）， 点 P（ 2.4， 2）平移后的对应点 P1为：（ 1.6， 1）， 点 P1绕点 O 逆时针旋转 180 ，得到对应点 P2， P 2点的坐标为：（ 1.6， 1） . 答案： C. 12.（ 3 分）有三张正面分别写有数字 1， 1， 2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点（ a， b）在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 解析 ：根据题意，画出树状图如下： 一共有 6 种情
9、况，在第二象限的点有（ 1， 1）（ 1， 2）共 2 个， 所以， P= = . 答案： B. 13.（ 3 分）如图，已知 AB 是 O 的直径， AD 切 O 于点 A，点 C 是 的中点，则下列结论不成立的是（ ） A.OCAE B.EC=BC C.DAE=ABE D.ACOE 解析 ： A、 点 C 是 的中点， OCBE ， AB 为圆 O 的直径， AEBE ， OCAE ，本选项正确； B、 = ， BC=CE ，本选项正确； C、 AD 为圆 O 的切线， ADOA ， DAE+EAB=90 ， EBA+EAB=90 ， DAE=EBA ，本选项正确； D、 AC 不一定垂直
10、于 OE，本选项错误， 答案： D 14.（ 3 分）化简分式 的结果是（ ） A.2 B. C. D. 2 解析 ： = + = =2. 答案 ： A. 15.（ 3 分）某电子元件厂准备生产 4600 个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3 倍，结果用 33 天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件 x 个，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 解析 ：设甲车间每天能加工 x 个，则乙车间每天能加工 1.3x 个，根据题意可得： + =33， 答案：
11、 B. 16.（ 3 分）在同一坐标系内，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+8x+b 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解析 ： x=0 时，两个函数的函数值 y=b， 所以，两个函数图象与 y 轴相交于同一点，故 B、 D 选项错误； 由 A、 C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以， a 0， 所以，一次函数 y=ax+b 经过第一三象限， 所以， A 选项错误， C 选项正确 . 答案： C. 17.（ 3 分）把直线 y= x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限，则 m的取值范围是（ ） A.1 m 7 B.3 m 4 C.m
12、1 D.m 4 解析 ：直线 y= x+3 向上平移 m 个单位后可得： y= x+3+m， 联立两直线解析式得： ， 解得： ， 即交点坐标为（ ， ）， 交点在第一象限， ， 解得： m 1. 答案： C. 18.（ 3 分）如图， AB， CD 是 O 的两条互相垂直的直径，点 O1， O2， O3， O4分别是 OA、 OB、OC、 OD 的中点，若 O 的半径为 2，则阴影部分的面积为（ ） A.8 B.4 C.4+4 D.4 4 解析 ：如图所示： 可得正方形 EFMN，边长为 2， 正方形中两部分阴影面积为： 22 1 2=4 ， 正方形内空白面积为： 4 2（ 4 ） =2 4
13、， O 的半径为 2， O 1， O2， O3， O4的半径为 1， 小圆的面积为： 1 2= ， 扇形 COB 的面积为： = ， 扇形 COB 中两空白面积相等， 阴影部分的面积为： 2 2 2（ 2 4） =8. 答案： A. 19.（ 3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4， BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E，与 DC 交于点 F，且点 F 为边 DC 的中点， DGAE ，垂足为 G，若 DG=1，则 AE 的边长为（ ） A.2 B.4 C.4 D.8 解析 ： AE 为 DAB 的平分线， DAE=BAE ， DCAB ， BAE=DFA ， DAE=D
14、FA ， AD=FD ， 又 F 为 DC 的中点， DF=CF ， AD=DF= DC= AB=2， 在 RtADG 中，根据勾股定理得： AG= ， 则 AF=2AG=2 ， 平行四边形 ABCD， ADBC ， DAF=E ， ADF=ECF ， 在 ADF 和 ECF 中， ， ADFECF （ AAS）， AF=EF ， 则 AE=2AF=4 . 答案 ： B 20.（ 3 分）观察下列等式： 31=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729， 37=2187 答案： 下列问题： 3+32+33+34+3 2013的末位数字是（ ） A.0 B.1 C
15、.3 D.7 解析 ： 3 1=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729， 37=2187 末尾数，每 4 个一循环， 20134=5031 ， 3+3 2+33+34+3 2013的末位数字相当于： 3+7+9+1+3 的末尾数为 3， 答案： C. 二、（本大题共 4小题，满分 12 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3分） 21.（ 3 分）分解因式： m3 4m= . 解析 ： 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 . 答案： m（ m 2）（ m+2） . 22.（ 3 分）化简： （ ） |
16、 3|= . 解析 ： （ ） | 3| = 3 2 （ 3 ）， = 6. 答案 ： 6. 23.（ 3 分）如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， AB 的垂直平分线 DE交 AC于 E，交 BC 的延长线于 F，若 F=30 ， DE=1，则 BE 的长是 . 解析 ： ACB=90 ， FDAB ， ACB=FDB=90 ， F=30 ， A=F=30 （同角的余角相等） . 又 AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E， EBA=A=30 ， 直角 DBE 中， BE=2DE=2. 答案 ： 2. 24.（ 3 分） 如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔
17、船 D 在南偏西 45方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45 方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60 方向，若海监船的速度为 50 海里 /小时，则 A， B 之间的距离为 海里（取 ，结果精确到 0.1 海里） . 解析 ： DBA=DAB=45 ， DAB 是等腰直角三角形， 过点 D 作 DEAB 于点 E，则 DE= AB， 设 DE=x，则 AB=2x， 在 RtCDE 中， DCE=30 ， 则 CE= DE= x， 在 RtBDE 中， DAE=45 ， 则 DE=BE=x， 由题意得， CB=CE BE= x x=25， 解得： x=
18、， 故 AB=25（ +1） =67.5（海里） . 答案 ： 67.5. 三、 答案： 题（本题共 5 小题，满分 48 分， 答案： 应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤） 25.（ 6 分）如图，四边形 ABCD 为正方形 .点 A 的坐标为（ 0， 2），点 B 的坐标为（ 0， 3），反比例函数 y= 的图象经过点 C，一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A、 C， （ 1）求反比例函数与一次函数的解析式； （ 2）求点 P 是反比例函数图象 上的一点， OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，求 P点的坐标 . 解析 ： （ 1）先根据正方形的性质求出点 C 的坐标为
19、（ 5， 3），再将 C 点坐标代入反比例函数 y= 中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点 A， C 的坐标代入一次函数 y=ax+b 中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式； （ 2）设 P 点的坐标为（ x， y），先由 OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，列出关于 x的方程，解方程求出 x 的值，再将 x 的值代入 y= ，即可求出 P 点的坐标 . 答案： （ 1） 点 A 的坐标为（ 0， 2），点 B 的坐标 为（ 0， 3）， AB=5 ， 四边形 ABCD 为正方形， 点 C 的坐标为（ 5， 3） . 反比例函数 y= 的图象经过点 C， 3=
20、 ，解得 k= 15， 反比例函数的解析式为 y= ； 一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A， C， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 y= x+2； （ 2）设 P 点的坐标为（ x， y） . OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， OA|x|=5 2， 2|x|=25 ， 解得 x=25 . 当 x=25 时， y= = ； 当 x= 25 时， y= = . P 点的坐标为（ 25， ）或（ 25， ） . 26.（ 11 分）如图，四边形 ABCD 中， AC 平分 DAB ， ADC=ACB=90 ， E 为 AB 的中点， （ 1）求证： AC2=ABAD； （ 2
21、）求证： CEAD ； （ 3）若 AD=4， AB=6，求 的值 . 解析 ： （ 1）由 AC 平分 DAB ， ADC=ACB=90 ，可证得 ADCACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2=ABAD； （ 2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE= AB=AE，继而 可证得 DAC=ECA ，得到 CEAD ； （ 3）易证得 AFDCFE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值 . 答案： （ 1） AC 平分 DAB ， DAC=CAB ， ADC=ACB=90 ， ADCACB ， AD ： AC=AC： AB
22、， AC 2=ABAD； （ 2） E 为 AB 的中点， CE= AB=AE， EAC=ECA ， DAC=CAB ， DAC=ECA ， CEAD ； （ 3）解： CEAD ， AFDCFE ， AD ： CE=AF： CF， CE= AB， CE= 6=3 ， AD=4 ， ， . 27.（ 8 分）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售
23、，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 解析 ： 根据纪念品的 进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可 . 答案： 由题意得出： 200 （ 10 6） +（ 10 x 6）（ 200+50x） +（ 4 6） （ 600 200）（ 200+50x） =1250， 即 800+（ 4 x）（ 200+50x） 2（ 200 50x） =1250， 整理得： x2 2x+1=0， 解得： x1=x2=1， 10 1=9. 答：第二周的销售价格为 9 元
24、. 28.（ 11 分）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， CB=CD， E 是 CD 上一点， BE 交 AC 于 F，连接DF. （ 1）证明： BAC=DAC ， AFD=CFE . （ 2）若 ABCD ，试证明四边形 ABCD 是菱形； （ 3）在（ 2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得 EFD=BCD ，并说明理由 . 解析 ： （ 1）首先利用 SSS定理证明 ABCADC 可得 BAC=DAC ，再证明 ABFADF ，可得 AFD=AFB ，进而得到 AFD=CFE ； （ 2）首先证明 CAD=ACD ，再根据等角对等边可得 AD=CD，再有条件 AB=AD，
25、 CB=CD 可得AB=CB=CD=AD，可得四边形 ABCD 是菱形； （ 3）首先证明 BCFDCF 可得 CBF=CDF ，再根据 BECD 可得 BEC=DEF=90 ，进而得到 EFD=BCD . 答案 ：（ 1）在 ABC 和 ADC 中， ， ABCADC （ SSS）， BAC=DAC ， 在 ABF 和 ADF 中， ， ABFADF （ SAS）， AFD=AFB ， AFB=CFE ， AFD=CFE ； （ 2） ABCD ， BAC=ACD ， 又 BAC=DAC ， CAD=ACD ， AD=CD ， AB=AD ， CB=CD， AB=CB=CD=AD ， 四边形
26、 ABCD 是菱形； （ 3）当 EBCD 时，即 E 为过 B 且和 CD垂直时垂线的垂足， EFD=BCD ， 理由： 四边形 ABCD 为菱形， BC=CD ， BCF=DCF ， 在 BCF 和 DCF 中， ， BCFDCF （ SAS）， CBF=CDF ， BECD ， BEC=DEF=90 ， EFD=BCD . 29.（ 12 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A， B，且B 点的坐标为（ 2， 0） . （ 1）求该抛物线 的解析式 . （ 2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC ，交 BC 于
27、 E，连接 CP，求 PCE 面积的最大值 . （ 3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标 . 解析 ： （ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （ 2）首先求出 PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （ 3） OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论 . 答案： （ 1）把点 C（ 0， 4）， B（ 2， 0）分别代入 y= x2+bx+c 中， 得 ， 解得 该抛物线的解析式为 y= x2+x 4. （ 2）令 y=0，即 x2+x 4=0，解得 x1= 4， x2=2， A （ 4，
28、0）， SABC = ABOC=12. 设 P 点坐标为（ x， 0），则 PB=2 x. PEAC ， BPE=BAC ， BEP=BCA ， PBEBAC ， ，即 ， 化简得： SPBE = （ 2 x） 2. SPCE =SPCB SPBE = PBOC SPBE = （ 2 x） 4 （ 2 x） 2 = x2 x+ = （ x+1） 2+3 当 x= 1 时， SPCE 的最大值为 3. （ 3） OMD 为等腰三角形，可能有三种情形： （ I）当 DM=DO 时，如答图 所示 . DO=DM=DA=2， OAC=AMD=45 ， ADM=90 ， M 点的坐标为（ 2， 2）； （ II）当 MD=MO 时，如答图 所示 . 过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点， DN=ON=1 ， AN=AD+DN=3， 又 AMN 为等腰直角三角形， MN=AN=3 ， M 点的坐标为（ 1， 3）； （ III）当 OD=OM 时， OAC 为等腰直角三角形， 点 O 到 AC 的距离为 4= ，即 AC 上的点与点 O之间的最小距离为 . 2， OD=OM 的情况不存在 . 综上所述，点 M 的坐标为（ 2， 2）或（ 1， 3） .
