1、2013 年山东省济宁市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1.（ 3 分）一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m，记作 +2m，则水面离跳台 10m 可以记作（ A. 10m B. 12m C.+10m D.+12m 解析 ：跳水的最高点离跳台 2m，记作 +2m， 则水面离跳台 10m 可以记作 10m. 答案： A. 2.（ 3 分）如果整式 xn 2 5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n等于（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ：由题意得： n 2=3， 解得： n=5. 答案
2、： C 3.（ 3 分） 2013 年国家财政支出将大幅向民生倾斜，民生领域里流量最大的开销是教育，预算支出达到 23 000 多亿元 .将 23 000 用科学记数法表示应为（ ） A.2.310 4 B.0.2310 6 C.2.310 5 D.2310 4 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案： A. 4.（ 3 分）已知 ab=4，若 2b 1，则 a
3、 的取值范围是（ ） A.a 4 B.a 2 C. 4a 1 D. 4a 2 解析 ：由 ab=4，得 b= ， 2b 1， 2 1， 4a 2. 答案： D. 5.（ 3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（ a0 ）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A.a 0 B.当 1 x 3 时， y 0 C.c 0 D.当 x1 时， y 随 x 的增大而增大 解析 ： A、抛物线的开口方向向下，则 a 0.故本选项错误； B、根据图示知，抛物线的对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴的一交点的横坐标是 1，则抛物线与 x 轴的另一交点的横坐标是 3， 所以当 1 x 3 时， y 0.故本选
4、项正确； C、根据图示知，该抛物线与 y 轴交与正半轴，则 c 0.故本选项错误； D、根据图示知，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小，故本选项错误 . 答案： B. 6.（ 3 分）下列说法正确的是（ ） A.中位数就是一组数据中最中间的一个数 B.8， 9， 9， 10， 10， 11 这组数据的众数是 9 C.如果 x1， x2， x3， ， xn的平均数是 ，那么（ x1 ） +（ x2 ） + （ xn ） =0 D.一组数据的方差是这组数据的极差的平方 解析 ： A、当数据是奇数个时，按大小排列后，中位数就是一组数据中最中间的一个数，数据个数为偶数个时，按大小排列后，最中间的
5、两个的平均数是中位数，故此选项错误； B、 8， 9， 9， 10， 10， 11 这组数据的众数是 9 和 10，故此选项错误； C、如果 x1， x2， x3， ， xn的平均数是 ，那么（ x1 ） +（ x2 ） + （ xn ） =x1+x2+x3+x n n =0，故此选项正确； D、一组数据的方差与极差没有关系，故此选项错误； 答案 ： C. 7.（ 3 分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为 300 元，若按标价的八折销售，仍可获利 60 元，则这款服装每件的标价比进价多（ ） A.180 元 B.120 元 C.80 元 D.60 元 解析 ：设这款服装的进价为 x 元，由
6、题意，得 3000.8 x=60， 解得： x=180. 300 180=120， 这款服装每件的标价比进价多 120 元 . 答案： B. 8.（ 3 分）如图，在直角坐标系中，点 A、 B 的坐标分别为（ 1， 4）和（ 3， 0），点 C是 y 轴上的一个动点，且 A、 B、 C 三点不在同一条直线上，当 ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（ ） A.（ 0， 0） B.（ 0， 1） C.（ 0， 2） D.（ 0， 3） 解析 ：作 B 点关于 y 轴对称点 B 点，连接 AB ，交 y轴于点 C ， 此时 ABC 的周长最小， 点 A、 B 的坐标分别为（ 1， 4）和（ 3，
7、 0）， B 点坐标为：（ 3， 0）， AE=4， 则 BE=4 ，即 BE=AE ， COAE ， BO=CO=3 ， 点 C 的坐标是（ 0， 3），此时 ABC 的周长最小 . 答案 ： D. 9.（ 3 分）如图，矩形 ABCD 的面积为 20cm2，对角线交于点 O；以 AB、 AO 为邻边做平行四边形 AOC1B，对角线交于点 O1；以 AB、 AO1为邻边做平行四边形 AO1C2B； ；依此类推，则平行四边形 AO4C5B 的面积为（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 解析 ：设矩形 ABCD 的面积为 S=20cm2， O 为矩形 ABCD 的对角线
8、的交点， 平行四边形 AOC1B 底边 AB 上的高等于 BC 的 ， 平行四边形 AOC1B 的面积 = S， 平行四边形 AOC1B 的对角线交于点 O1， 平行四边形 AO1C2B 的边 AB 上的高等于平行四边形 AOC1B底边 AB上的高的 ， 平行四边形 AO1C2B 的面积 = S= ， ， 依此类推，平行四边形 AO4C5B 的面积 = = = （ cm2） . 答案 ： B. 10.（ 3 分）如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、 AC 于点 E、 D， DF是圆的切线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G.若 AF 的长为 2，则 F
9、G的长为（ ） A.4 B. C.6 D. 解析 ：连接 OD， DF 为圆 O 的切线， ODDF ， ABC 为等边三角形， AB=BC=AC ， A=B=C=60 ， OD=OC ， OCD 为等边三角形， CDO=A=60 ， ABC=DOC=60 ， ODAB ， 又 O 为 BC 的中点， D 为 AC 的中点，即 OD 为 ABC 的中 位线， ODAB ， DFAB ， 在 RtAFD 中， ADF=30 ， AF=2， AD=4 ，即 AC=8， FB=AB AF=8 2=6， 在 RtBFG 中， BFG=30 ， BG=3 ， 则根据勾股定理得： FG=3 . 答案： B
10、 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15分） 11.（ 3 分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为 20cm，到屏幕的距离为 60cm，且幻灯片中的图形的高度为 6cm，则屏幕上图形的高度为 cm. 解析 ： DEBC ， AEDABC = 设屏幕上的小树高是 x，则 = 解得 x=18cm. 答案： 18. 12.（ 3 分）如图， ABC 和 ABC 是两个完全重合的直角三角板， B=30 ，斜边长为10cm.三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A 落在 AB 边上时， CA 旋转所构成的扇形的弧长为 cm. 解析
11、： 在 RtABC 中， B=30 ， AB=10cm， AC= AB=5cm. 根据旋转的性质知， AC=AC ， AC= AB=5cm， 点 A 是斜边 AB 的中点， AA= AB=5cm， AA=AC=AC ， ACA=60 ， CA 旋转所构成的扇形的弧长为： = （ cm） . 答案 ： . 13.（ 3 分）甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 . 解析 ：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有 4 种情况， 甲、乙二人相邻的概率是： = . 答案 ： . 14.（ 3 分）三棱柱的三视图如图所示， EFG 中， EF=8cm， EG=12
12、cm， EGF=30 ，则 AB的长为 cm. 解析 ：过点 E 作 EQFG 于点 Q， 由题意可得出： EQ=AB， EG=12cm ， EGF=30 ， EQ=AB= 12=6 （ cm） . 答案 ： 6. 15.（ 3 分）在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫 “ 宝塔装灯 ” ，内容为 “ 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ” （倍加增指从塔的顶层到底层） .请你算出塔的顶层有 盏灯 . 解析 ：假设顶层的红灯有 x 盏，由题意得： x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381， 127x=381， x=3； 答：塔
13、的顶层是 3 盏灯 . 答案 ： 3. 三、 解答 题：本大题共 8 小题，共 55 分 . 16.（ 5 分）计算：（ 2 ） 2012（ 2+ ） 2013 2 （ ） 0. 解析 ： 根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算，分别进行计算，再把所得的结果合并即可 . 答案 ： （ 2 ） 2012（ 2+ ） 2013 2 （ ） 0=（ 2 ）（ 2+ ） 2012（ 2+ ） 1 =2+ 1 =1. 17.（ 5 分）以 “ 光盘 ” 为主题的公益活动越来越受到社会的关注 .某校为培养学生勤俭节约的习惯，随机抽查了部分学生（态度分为：赞成、无所谓、反对），并将抽查结果绘制
14、成图1 和图 2（统计图不完整） .请根据图中提供的信息， 答案 下列问题： （ 1）此次抽样调查中，共抽查了多少名学生？ （ 2）将图 1 补充完整； （ 3）根据抽样调查结果，请你估计该校 3000 名学生中有多少名学生持反对态度？ 解析 ：（ 1）根据赞成是 130 人，占 65%即可求得总人数； （ 2）利用总人数减去另外两项的人数，求得反对的人数，从而作出统计图； （ 3）利用 3000 乘以持反对态度的比例即可 . 答案 ： （ 1） 13065%=200 名； （ 2） 200 130 50=20 名； （ 3） 3000 =300 名 . 18.（ 6 分）钓鱼岛及其附属岛屿是
15、中国固有领土（如图 1）， A、 B、 C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图 2），点 C 在点 A 的北偏东 47 方向，点 B 在点 A 的南偏东 79 方向，且 A、 B 两点的距离约为 5.5km；同时，点 B 在点 C 的南偏西 36 方向 .若一艘中国渔船以 30km/h 的速度从点 A 驶向点 C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据： sin540.81 ， cos540.59 ， tan471.07 ， tan360.73 ， tan110.19 ） 解析 ： 过点 B 作 BDAC 交 AC 于点 D，根据方向角分别求出 DAB 和 DCB 的
16、度数，然后在RtABD 和 RtBCD 中，分别解直角三角形求出 AD、 CD 的长度，然后根据时间 =路程 速度即可求出需要的时间 . 答案 ： 过点 B 作 BDAC 交 AC 于点 D， 由题意得， DAB=180 47 79=54 ， DCB=47 36=11 ， 在 RtABD 中， AB=5.5 ， DAB=54 ， =cos54 ， =sin54 ， AD=5.50.59=3.245 ， BD=4.455， 在 RtBCD 中， BD=4.455 ， DCB=11 ， =tan11 ， CD= =23.447， AC=AD+CD=3.245+23.447=26.69226.70
17、（ km）， 则时间 t=26.70300.89 （ h） . 答：需要 0.89h 到达 . 19.（ 6 分）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下： “ 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 .” 请你根据对这段话的理解，解决下面问题： 已知关于 x 的方程 =0 无解，方程 x2+kx+6=0 的一个根是 m. （ 1）求 m 和 k 的值； （ 2）求方程 x2+kx+6=0 的另一个根 . 解析 ： （ 1）分式方
18、程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将 x=1 代入整式方程，即可求出 m 的值，将 m 的值代入已知方程即可 求出 k 的值； （ 2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根 . 答案 ：（ 1）分式方程去分母得： m 1 x=0， 由题意将 x=1 代入得： m 1 1=0，即 m=2， 将 m=2 代入方程得： 4+2k+6=0，即 k= 5； （ 2）设方程另一根为 a，根据根与系数的关系：则有 2a=6，即 a=3. 20.（ 6 分）如图 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是边 AD、 DC 上的点，且 AFBE . （ 1）求证： AF=BE； （ 2）如图 2，
19、在正方形 ABCD 中， M、 N、 P、 Q 分别是边 AB、 BC、 CD、 DA 上的点，且 MPNQ .MP与 NQ 是否相等？并说明理由 . 解析 ： （ 1）根据正方形的性质可得 AB=AD， BAE=D=90 ，再根据同角的余角相等求出 ABE=DAF ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 ABE 和 DAF 全等，再根据全等三角形的证明即可； （ 2）过点 A 作 AFMP 交 CD 于 F，过点 B 作 BENQ 交 AD 于 E，然后与（ 1）相同 . 答案 ： （ 1）证明：在正方形 ABCD 中， AB=AD， BAE=D=90 ， DAF+BAF=90 ， AFBE ，
20、ABE+BAF=90 ， ABE=DAF ， 在 ABE 和 DAF 中， ， ABEDAF （ ASA）， AF=BE ； （ 2）解： MP 与 NQ 相等 . 理由如下：如图，过点 A 作 AFMP 交 CD 于 F，过点 B 作 BENQ 交 AD 于 E， ABCD ， ADBC ， 四边形 AMPF 与四边形 BNQE 是平行四边形， AF=PM ， BE=NQ， 在正方形 ABCD 中， AB=AD， BAE=D=90 ， DAF+BAF=90 ， AFBE ， ABE+BAF=90 ， ABE=DAF ， 在 ABE 和 DAF 中， ， ABEDAF （ ASA）， AF=B
21、 E； MP=NQ . 21.（ 7 分）阅读材料： 若 a， b 都是非负实数，则 a+b .当且仅当 a=b 时， “=” 成立 . 证明： （ ） 20 ， a +b0 . a+b .当且仅当 a=b 时， “=” 成立 . 举例应用： 已知 x 0，求函数 y=2x+ 的最小值 . 解： y=2x+ =4.当且仅当 2x= ，即 x=1 时， “=” 成立 . 当 x=1 时，函数取得最小值， y 最小 =4. 问题解决： 汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度 .某种汽车在每小时 70 110 公里之间行驶时（含 70 公里和 110 公里），每公里耗油（ + ）升 .若该汽车以每小
22、时 x 公里的速度匀速行驶， 1 小时的耗油量为 y 升 . （ 1）求 y 关于 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围）； （ 2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位） . 解析 ： （ 1）根据耗油总量 =每公里的耗油量 行驶的速度列出函数关系式即可； （ 2）经济时速就是耗油量最小的形式速度 . 答案 ： 解：（ 1） 汽车在每小时 70 110 公里之间行驶时（含 70 公里和 110 公里），每公里耗油（ + ）升 . y=x （ + ） = （ 70x110 ）； （ 2）根据材料得：当 时 有最小值， 解得： x=90 该汽车的经济时速为 9
23、0 千米 /小时； 当 x=90 时百公里耗油量为 100 （ + ） 11.1 升 . 22.（ 8 分）如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， P 是反比例函数 y= （ x 0）图象上任意一点，以 P 为圆心， PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、 B. （ 1）求证：线段 AB 为 P 的直径； （ 2）求 AOB 的面积； （ 3）如图 2， Q 是反比例函数 y= （ x 0）图象上异于点 P 的另一点，以 Q 为圆心， QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C、 D. 求证： DOOC=BOOA. 解析 ： （ 1） AOB=90 ，由圆周角定理的推论，可以证明 AB
24、 是 P 的直径； （ 2）将 AOB 的面积用含点 P 坐标的表达式表示出来，容易计算出结果； （ 3）对于反比例函数上另外一点 Q， Q 与坐标轴所形成的 COD 的面积，依然不变，与 AOB的面积相等 . 答案 ： （ 1）证明： AOB=90 ，且 AOB 是 P 中弦 AB 所对的圆周角， AB 是 P 的直径 . （ 2）解：设点 P 坐标为（ m， n）（ m 0， n 0）， 点 P 是反比例函数 y= （ x 0）图象上一点， mn=12 . 如答图，过点 P 作 PMx 轴于点 M， PNy 轴于点 N，则 OM=m， ON=n. 由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点
25、 N 为 OB中点， OA=2OM=2m ， OB=2ON=2n， S AOB = BOOA= 2n2m=2mn=212=24 . （ 3）证明： 以 Q 为圆心， QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C、 D， COD=90 ， DC 是 Q 的直径 . 若点 Q 为反比例函数 y= （ x 0）图象上异于点 P 的另一点， 参照（ 2），同理可得： SCOD = DOCO=24， 则有： SCOD =SAOB =24，即 BOOA= DOCO， DOOC=BOOA . 23.（ 12 分）如图，直线 y= x+4 与坐标轴分别交于点 A、 B，与直线 y=x 交于点 C.在线段OA 上，动
26、点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A出发向点 O 做匀速运动，当点 P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动 .分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、 OC 于点 E、 F，连接 EF.若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、 Q 重合除外） . （ 1）求点 P 运动的速度是多少？ （ 2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ （ 3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值 . 解析 ： （ 1）根据直线 y= x+4 与坐标轴分别交于点 A、 B，
27、得出 A， B 点的坐标，再利用EPBO ，得出 = = ，据此可以求得点 P 的运动速度； （ 2）当 PQ=PE 时，以及当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，分别求出即可； （ 3）根据（ 2）中所求得出 s 与 t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可 . 答案 ： 解：（ 1） 直线 y= x+4 与坐标轴分别交于点 A、 B， x=0 时， y=4， y=0 时， x=8， = = ， 当 t 秒时， QO=FQ=t，则 EP=t， EPBO ， = = ， AP=2t ， 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A做匀速运动， 点 P 运动的速度是
28、每秒 2 个单位长度； （ 2）如图 1，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， 则 OQ=FQ=t ， PA=2t， QP=8 t 2t=8 3t， 8 3t=t， 解得： t=2； 如图 2，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， OQ=t ， PA=2t， OP=8 2t， QP=t （ 8 2t） =3t 8， t=3t 8， 解得： t=4； （ 3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时， OQ=t ， PA=2t， QP=8 t 2t=8 3t， S 矩形 PEFQ=QPQF=（ 8 3t） t=8t 3t2， 当 t= = 时， S 矩形 PEFQ的最大值为： = ， 如图 2，当 Q 在 P 点的右边时， OQ=t ， PA=2t， 2t 8 t， t ， QP=t （ 8 2t） =3t 8， S 矩形 PEFQ=QPQF=（ 3t 8） t=3t2 8t， 当点 P、 Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， t4 ， 当 t= = 时， S 矩形 PEFQ的最大， t=4 时， S 矩形 PEFQ的最大值为： 34 2 84=16 ， 综上所述，当 t=4 时， S 矩形 PEFQ的最大值为： 16.
