1、 2013 年山东省潍坊市中考 真题 数学 一、选择题（本题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的 3 分不选或选出的答案超过一个均记 0 分） 1.（ 3 分）实数 0.5 的算术平方根等于（ ） A.2 B. C. D. 解析： （ ） 2=（ ） 2=0.5， 0.5 的算术平方根是： = = . 答案： C 2.（ 3 分）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错
2、误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： A. 3.（ 3 分） 2012 年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达 4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达 865.4 亿元，数据“865.4 亿元 ” 用科学记数法可表示为（ ）元 . A.86510 8 B.8.6510 9 C.8.6510 10 D.0.86510 11 解析： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .将 865.4 亿用科学记数法表示为： 8.6
3、510 10. 答案： C. 4.（ 3 分）如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯 视图正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：从上面看易得俯视图为圆环， 答案： B. 5.（ 3 分）在某校 “ 我的中国梦 ” 演讲比赛中，有 9 名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ） A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数 解析：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少 . 答案： D. 6.（ 3 分）设点 A（ x1
4、， y1）和 B（ x2， y2）是反比例函数 y= 图象上的两个点，当 x1 x2 0时， y1 y2，则一次函数 y= 2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 点 A（ x1， y1）和 B（ x2， y2）是反比例函数 y= 图象上的两个点，当 x1 x2 0 时，y1 y2， x 1 x2 0 时， y 随 x 的增大而增大， k 0， 一次函数 y= 2x+k 的图象不经过的象限是：第一象限 . 答案： A. 7.（ 3 分）用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是 （
5、） A. B. C. D. 解析： 因瓶子下面窄上面宽， 且相同的时间内注入的水量相同， 所以下面的高度增加的快， 上面增加的慢， 即图象应越来越缓， 解析四个图象只有 C 符合要求 . 答案： C. 8.（ 3 分）如图， O 的直径 AB=12， CD 是 O 的弦， CDAB ，垂足为 P，且 BP： AP=1： 5，则 CD 的长为（ ） A.4 B.8 C.2 D.4 解析： O 的直径 AB=12， OB= AB=6， BP ： AP=1： 5， BP= AB= 12=2 ， OP=OB BP=6 2=4， CDAB ， CD=2PC . 如图，连接 OC，在 RtOPC 中， O
6、C=6 ， OP=4， PC= = =2 ， CD=2PC=22 =4 . 答案： D. 9.（ 3 分）一渔船在海岛 A 南偏东 20 方向的 B 处遇险，测得海岛 A与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80 方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10 方向 匀速航行， 20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ） A.10 海里 /小时 B.30 海里 /小时 C.20 海里 /小时 D.30 海里 /小时 解析： CAB=10+20=30 ， CBA=80 20=60 ， C=90 ， AB
7、=20 海里， AC=ABcos30=10 （海里）， 救援船航行的速度为： 10 =30 （海里 /小时） . 答案： D. 10.（ 3 分）已知关于 x 的方程 kx2+（ 1 k） x 1=0，下列说法正确的是（ ） A.当 k=0 时，方程无解 B.当 k=1 时，方程有一个实数解 C.当 k= 1 时，方程有两个相等的实数解 D.当 k0 时，方程总有两个不相等的实数解 . 解析： 关于 x 的方程 kx2+（ 1 k） x 1=0， A、当 k=0 时， x 1=0，则 x=1，故此选项错误； B、当 k=1 时， x2 1=0 方程有两个实数解，故此选项错误； C、当 k= 1
8、 时， x2+2x 1=0，则（ x 1） 2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确； D、由 C 得此选项错误 . 答案： C. 11.（ 3 分）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所 随机地抽查了 10000 人，并进行统计 解析 .结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多 22 人 .如果设这 10000 人中，吸烟者患肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 设吸烟者患肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数为 y
9、，根据题意得： . 答案： B. 12.（ 3 分）对于实数 x，我们规定 x表示不大于 x 的最大整数，例如 1.2=1， 3=3， 2.5= 3，若 =5，则 x 的取值可以是（ ） A.40 B.45 C.51 D.56 解析：根据题意得： 5 5+1， 解得： 46x 56， 答案： C. 二、填空题（本大题共 6 个小题，共 18分，只要求填写最后结果，每小题对得 3分） 13.（ 3 分）方程 的根是 . 解析：方程两边都乘以（ x+1）得， x2+x=0， 解得 x1=0， x2= 1， 检验：当 x=0 时， x+1=0+1=10 ， 当 x= 1 时， x+1=1 1=0，
10、所以，原方程的解是 x=0. 答案 ： x=0. 14.（ 3 分）如图， ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使 ABCD 成为菱形（只需添加一个即可） 解析： OA=OC， OB=OD ， OA=OC， 四边形 ABCD 是平行四边形， ACBD ， 平行四边形 ABCD 是菱形， 答案： OA=OC. 15.（ 3 分）分解因式：（ a+2）（ a 2） +3a= . 解析： 先利用平方差公式计算， 再 利用因式分解法分解因式即可 . 答案：（ a 1）（ a+4） . 16.（ 3 分）一次函数 y= 2x+b 中，当 x=1 时， y 1，当
11、 x= 1 时， y 0.则 b 的取值范围是 . 解析：由题意，得 ， 解此不等式组，得 2 b 3. 答案 ： 2 b 3. 17.（ 3 分）当 n 等于 1， 2， 3 时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .（用 n 表示， n 是正整数） 解析：第 1 个图形：白色正方形 1 个，黑色正方形 41=4 个，共有 1+4=5个； 第 2 个图形：白色正方形 22=4 个，黑色正方形 42=8 个，共有 4+8=12 个； 第 3 个图形：白色正方形 32=9 个，黑色正方形 43=12 个，共有 9+12=
12、21 个； ， 第 n 个图形：白色正方形 n2个，黑色正方形 4n 个，共有 n2+4n 个 . 答案： n2+4n. 18.（ 3 分）如图，直角三角形 ABC 中， ACB=90 ， AB=10， BC=6，在线段 AB 上取一点 D，作 DFAB 交 AC 于点 F，现将 ADF 沿 DF折叠，使点 A落在线段 DB上，对应点记为 A1； AD的中点 E 的对应点记为 E1，若 E 1FA1E 1BF，则 AD= . 解析： ACB=90 ， AB=10， BC=6， AC= = =8， 设 AD=2x， 点 E 为 AD 的中点，将 ADF 沿 DF 折叠，点 A 对应点记为 A1，
13、点 E 的对应点为 E1， AE=DE=DE 1=A1E1=x， DFAB ， ACB=90 ， A=A ， ABCAFD ， = ， 即 = ， 解得 DF= x， 在 RtDE 1F 中， E1F= = = ， 又 BE 1=AB AE1=10 3x， E 1FA1E 1BF， = ， E 1F2=A1E1BE1， 即（ ） 2=x（ 10 3x）， 解得 x= ， AD 的长为 2 = . 答案： . 三、解答题（本大题共 6 个小题，解答要写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤） 19.（ 10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以对角线 BD 为直径作 O ，分别与 BC，
14、AD相交于点 E， F. （ 1）求证：四边形 BEDF 为矩形； （ 2） BD2=BEBC，试判断直线 CD 与 O 的位置关系，并说明理由 . 解析： （ 1）求出 DEB=DFB=90 ，根据平行四边形的性质推出 ADBC ，推出FBC=DFB=90 ， EDA=BED=90 ，根据矩形的判定推出即可； （ 2）根据已知求出 BEDBDC ，推出 BDC=BED=90 ，根据切线判定推出即可 . 答案： （ 1） BD 为 O 直径， DEB=DFB=90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， FBC=DFB=90 ， EDA=BED=90 ， FBC=DFB=EDA=B
15、ED=90 ， 四边形 BEDF 为矩形； （ 2）直线 CD 与 O 的位置关系式相切， 理由是： BD 2=BEBC， = ， DBC=CBD ， BEDBDC ， BDC=BED=90 ， 即 BDCD ， CD 与 O 相切 . 20.（ 10 分）为增强市民的节能意识，我市试行阶段电价，从 2013 年开始，按照每户的每年的用电量分三个档次计费，具体规定如图，小明统计了自家 2013 年前 5 个月的实际用电量为 1300 度，请帮助小明 解析 下面问题： （ 1）若小明家计划 2013 年全年的用电量不超过 2520 度，则 6至 12 月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保留
16、整数） （ 2）若小明家 2013 年 6 至 12 月份平均每月用电量等于前 5个月的平均每月用电量，则小明家 2013 年应交总电费多少元？ 解析： （ 1）根据 “ 小明家计划 2013 年全年的用电量不超过 2520 度 ” 得出不等式； （ 2）求出前 5 个月平均用电量，进而根据收费标准求出总电费 . 答案： （ 1）设小明家 6 至 12 月份平均每月用电量为 x 度，根据题意得出： 1300+7x2520 ， 解得： x 174.3 ， 答：小明家 6 至 12 月份平均每月用电量最多为 174 度； （ 2）小明家前 5 个月平均每月用电量 = =260（度）， 全年用电量
17、=26012=3120 （度）， 2520 3120 4800， 总电费 =25200.55+ （ 3120 2520） 0.6 =1386+360 =1746（元）， 答：小明家 2013 年应交总电费为 1746 元 . 21.（ 10 分）随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻，某部门对 15 个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示 . 城市 项目 北京 太原 杭州 沈阳 广州 深圳 上海 桂林 南通 海口 南京 温州 威海 兰州 中山 上班花费时间（分钟） 52 33 34 34 48 46 47 23 24 24 37 25 24 25 18 上班堵车时间（分钟）
18、 14 12 12 12 12 11 11 7 7 6 6 5 5 5 0 （ 1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整； （ 2）求 15 个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数） （ 3）规定：城市的堵车率 = 100% ，比如，北京的堵车率= ；沈阳的堵车率 = ，某人欲从北京，沈阳， 上海，温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率 . 解析： （ 1）根据数据表分别得出在 30 分钟到 40 分钟之间和 40 分钟到 50分钟的城市个数，进而得出条形图； （ 2）根据各城市堵车时间求出平均数即可； （ 3）根据图中数据分别
19、求出各城市堵车率进而利用概率公式求出即可 . 答案： （ 1）在 30 分钟到 40 分钟之间的城市有 4 个， 40 分钟到 50 分钟的城市有 3 个，进而得出条形图， 如图所示： （ 2）平均上班堵车的时间 = （ 14+124+112+72+62+53+0 ） = 8.3 （分钟）； （ 3）上海的堵车率： 100%=30.6% ， 温州的堵车率： 100%=25% ， 堵车率超过 30%的城市有北京、上海、沈阳； 从四个城市中选两个的所有方法有 6 种：（北京，沈阳），（北京，上海），（北京，温州），（沈阳，上海），（沈阳，温州），（上海，温州） . 其中两个城市堵车率均超过 30%
20、的情况有 3 种： （北京，沈阳），（北京，上海），（沈阳，上海） . 所以，选取的两个城市堵车率都超过 30%的概率 P= = . 22.（ 11 分）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至CEFD ，旋转角为 a. （ 1）当点 D 恰好落 在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （ 2）如图 2， G 为 BC 中点，且 0 a 90 ，求证： GD=ED ； （ 3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中， DCD 与 CBD 能
21、否全等？若能，直接写出旋转角 a 的值；若不能说明理由 . 解析： （ 1）根据旋转的性质得 CD=CD=2 ，在 RtCED 中， CD=2 ， CE=1，则CDE=30 ，然后根据平行线的性质即可得到 =30 ； （ 2）由 G 为 BC 中点可得 CG=CE，根据旋转的性质得 DCE=DCE=90 ， CE=CECE ，则 GCD= DCE=90+ ，然后根据 “SAS” 可判断 GCDECD ，则 GD=ED ； （ 3）根据正方形的性质得 CB=CD，而 CD=CD ，则 BCD 与 DCD 为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 BCD 与 DCD 为钝角三角形时，可计
22、算出 =135 ，当 BCD 与 DCD 为锐角三角形时，可计算得到 =315. 答案： （ 1） 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD ， CD=CD=2 ， 在 RtCED 中， CD=2 ， CE=1， CDE=30 ， CDEF ， =30 ； （ 2） G 为 BC 中点， CG=1 ， CG=CE ， 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD ， DCE=DCE=90 ， CE=CE=CG ， GCD=DCE=90+ ， 在 GCD 和 ECD 中 ， GCDECD （ SAS）， GD=ED ； （ 3）能 .理由如下： 四边形 ABCD 为正方形， CB
23、=CD ， CD=CD ， BCD 与 DCD 为腰相等的两等腰三角形， 当 BCD=DCD 时， BCDDCD ， 当 BC D 与 DCD 为钝角三角形时，则旋转角 = =135 ， 当 BCD 与 DCD 为锐角三角形时， BCD=DCD= BCD=45 则 =360 =315 ， 即旋转角 a 的值为 135 或 315 时， BCD 与 DCD 全等 . 23.（ 12 分）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在 RtABC 内修建矩形水池 DEFG，使顶点 D， E 在斜边 AB 上， F， G 分别在直角边 BC，AC 上；又分别以 AB、
24、BC、 AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中 AB=24 米， BAC=60 ，设 EF=x 米， DE=y米 . （ 1）求 y 与 x 之间的函数解析式； （ 2）当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积最大？最大面积是多少？ （ 3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 ？ 解析： （ 1）先解 RtABC ，得出 AC=12 米， BC=36 米， ABC=30 ，再根据三角函数的定义求出 AD= x， BE= x，然后根据 AD+DE+BE=AB，列出 y与 x
25、 之间的关系式，进而求解即可； （ 2）先根据矩形的面积公式得出 DEFG 的面积 =xy，再将（ 1）中求出的 y=24 x 代入，得出矩形 DEFG 的面积 =xy= x2+24 x，然后利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解； （ 3）先证明两弯新月的面积 =ABC 的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求解 . 答案： （ 1）在 RtABC 中， ACB=90 ， AB=24 米， BAC=60 ， AC= AB=12 米， BC= AC=36 米， ABC=30 ， A
26、D= = x， BE= = x， AD+DE+BE=AB ， x+y+ x=24 ， y=24 x x=24 x， 即 y 与 x 之间的函数解析式为 y=24 x（ 0 x 18）； （ 2） y=24 x， 矩形 DEFG 的面积 =xy=x（ 24 x） = x2+24 x= （ x 9） 2+108 ， 当 x=9 米时，矩形 DEFG 的面积最大，最大面积是 108 平方米； （ 3）记 AC、 BC、 AB 为直径的半圆面积分别为 S1、 S2、 S3，两弯新月面积为 S， 则 S1= AC 2， S2= BC 2， S3= AB 2， AC 2+BC2=AB2， S 1+S2=S
27、3， S 1+S2 S=S3 SABC ， S=S ABC ， 两弯新月的面积 S= ACBC= 12 36=216 （平方米） . 如果矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 ， 那么 （ x 9） 2+108 = 216 ， 化简整理，得（ x 9） 2=27， 解得 x=93 ，符合题意 . 所以当 x 为（ 93 ）米时，矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 . 24.（ 13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 关于直线 x=1 对称，与坐标轴交与 A， B， C 三点，且AB=4，点 D（ 2， ）在抛物线上，直线 l 是一次函数 y=kx 2（ k0 ）的图象，点 O
28、 是坐标原点 . （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积，求 k 的值； （ 3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线 l 交于 M， N两点，问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P，使得不论 k 取何值，直线 PM 与 PN 总是关于 y轴对称？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： （ 1）首先求出点 A、 B 的坐标，然后利用交点式、 待定系数法求出抛物线的解析式； （ 2）首先求出点 C 坐标，确定 CDOB ；由题意，直线 l 平分四边形 OBDC 的面积，则 S 梯形OEFC=S 梯形 FD
29、BE，据此列方程求出 k的值； （ 3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图 2 所示，然后证明 RtPMDRtPNE ，由相似三角形比例线段关系得到式 ： ，化简之后变为式 ：（ t+2）（ xm+xn）=2kxmxn；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出 t 的值 . 答案： （ 1）因为抛物线关于直线 x=1 对称， AB=4，所以 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， 设抛物线的解析式为 y=a（ x+1）（ x 3）， 点 D（ 2， ）在抛物线上， =a3 （ 1），解得 a= ， 抛物线解析式为： y= （ x+1）（ x 3） = x2+x+ . （ 2）抛物线解析式为
30、： y= x2+x+ ，令 x=0，得 y= ， C （ 0， ）， D （ 2， ）， CDOB ，直线 CD 解析式为 y= . 直线 l 解析式为 y=kx 2，令 y=0，得 x= ；令 y= ，得 x= ； 如答图 1 所示， 设直线 l 分别与 OB、 CD 交于点 E、 F，则 E（ ， 0）， F（ ， ）， OE= ， BE=3 ， CF= ， DF=2 . 直线 l 平分四边形 OBDC 的面积， S 梯形 OEFC=S 梯形 FDBE， （ OE+CF） OC= （ FD+BE） OC， OE+CF=FD+BE ，即： + =（ 3 ） +（ 2 ）， 解方程得： k=
31、，经检验 k= 是原方程的解且符合题意， k= . （ 3）假设存在符合题意的点 P，其坐标为（ 0， t） . 抛物线解析式为： y= x2+x+ = （ x 1） 2+2， 把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为： y= x2. 依题意画出图形，如答图 2 所示， 过点 M 作 MDy 轴于点 D， NEy 轴于点 E， 设 M（ xm， ym）， N（ xn， yn），则 MD= xm， PD=t ym； NE=xn， PE=t yn. 直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称， MPD=NPE ， 又 MDP=NEP=90 ， RtPMDRtPNE ， ，即 ， 点 M、 N 在直线 y=kx 2 上， y m=kxm 2， yn=kxn 2， 代入 式化简得：（ t+2）（ xm+xn） =2kxmxn 把 y=kx 2 代入 y= x2.，整理得： x2+2kx 4=0， x m+xn= 2k， xmxn= 4，代入 式解得： t=2，符合条件 . 所以在 y 轴正半轴上存在一个定点 P（ 0， 2），使得不论 k 取何值，直线 PM 与 PN 总是关于 y轴对称 .
