1、 2013 年山东省烟台市中考 真题 数学 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3分，满分 36 分） 1.（ 3 分） 6 的倒数是（ ） A. B. C.6 D. 6 网版权所有 解析 ： 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数 . 答案： B. 2.（ 3 分）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 所有 解析 ： A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 答案： B. 3.（ 3 分） “ 厉行勤俭节约，反对铺张浪费 ” 势在
2、必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是 210000000 人一年的口粮 .将 210000000 用科学记数法表示为（ ） A.2.110 9 B.0.2110 9 C.2.110 8 D.2110 7 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .将 210000000用科学记数法表示为： 2.110 8. 答案： C. 4.（ 3 分）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 俯视图是从上往下看得到的视图 .A、俯视图是一个圆，故本选项错误； B、俯视图是一个圆，故本选项错误； C、俯
3、视图是一个正方形，不是圆，故本选项正确； D、俯视图是一个圆，故本选项错误； 答案： C. 5.（ 3 分）下列各运算中，正确的是（ ） A.3a+2a=5a2 B.（ 3a3） 2=9a6 C.a4a 2=a3 D.（ a+2） 2=a2+4 解析 ： A、 3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误； B、（ 3a3） 2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、 a4a 2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、（ a+2） 2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误； 答案： B. 6.（ 3 分）如图，将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，那么
4、点 A 的对应点 A 的坐标是（ ） A.（ 6， 1） B.（ 0， 1） C.（ 0， 3） D.（ 6， 3） 解析 ： 四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位， 因此点 A 也先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位， 由图可知， A 坐标为（ 0， 1） . 答案： B. 7.（ 3 分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720 ，那么原多边形的边数为（ ） A.5 B.5 或 6 C.5 或 7 D.5 或 6 或 7 解析 ： 设内角和为 720 的多边形的边数是 n，则（ n 2） 180=720， 解得： n=6. 则原多边形
5、的边数为 5 或 6 或 7. 答案： D. 8.（ 3 分）将正方形图 1 作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形 ，以此类推，根据以上操作，若要得到 2013 个正方形，则需要操作的次数是（ ） A.502 B.503 C.504 D.505 解析 ： 第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 42+1=9 个正方形 ， 以此类推，根据以上操作，若第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n
6、+1=2013， 解得： n=503. 答案： B. 9.（ 3 分）已知实数 a， b 分别满足 a2 6a+4=0， b2 6b+4=0，且 ab ，则 的值是（ ） A.7 B. 7 C.11 D. 11 解析 ： 根据已知两等式得到 a 与 b 为方程 x2 6x+4=0 的两根，利用根与系数的关系求出a+b 与 ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将 a+b 与 ab 的值代入计算即可求出值 . 答案： A 10.（ 3 分）如图，已知 O 1的半径为 1cm， O 2的半径为 2cm，将 O 1， O 2放置在直线 l上，如果 O 1在直
7、线 l 上任意滚动，那么圆心距 O1O2的长不可能是（ ） A.6cm B.3cm C.2cm D.0.5cm 解析 ： O 1的半径为 1cm， O 2的半径为 2cm， 当两圆内切时，圆心距为 1， O 1在直线 l 上任意滚动， 两圆不可能内含， 圆心距不能小于 1， 答案： D. 11.（ 3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= 1，且过点（ 3，0） .下列说法： abc 0； 2a b=0； 4a+2b+c 0； 若（ 5， y1），（ ， y2）是抛物线上两点，则 y1 y2. 其中说法正确的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 二次函
8、数的图象的开口向上， a 0， 二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， c 0， 二次函数图象的对称轴是直线 x= 1， = 1， b=2a 0， abc 0， 正确； 2a b=2a 2a=0， 正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x= 1，且过点（ 3， 0） . 与 x 轴的另一个交点的坐标是（ 1， 0）， 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c 0， 错误； 二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x= 1， 点（ 5， y1）关于对称轴的对称点的坐标是（ 3， y1）， 根据当 x 1 时， y 随 x 的
9、增大而增大， 3， y 2 y1， 正确； 答案： C. 12.（ 3 分）如图 1， E 为矩形 ABCD边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE ED DC 运动到点 C时停止，点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C时停止，它们运动的速度都是 1cm/s.若 P， Q 同时开始运动，设运动时间为 t（ s）， BPQ 的面积为 y（ cm2） .已知 y与 t 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是（ ） A.AE=6cm B.sinEBC= C.当 0 t10 时， y= t2 D.当 t=12s 时， PBQ 是等腰三角形 解析 ： （ 1）结论 A 正确 .理由如下： 解析
10、 函数图象可知， BC=10cm， ED=4cm，故 AE=AD ED=BC ED=10 4=6cm； （ 2）结论 B 正确 .理由如下： 如答图 1 所示，连接 EC，过点 E 作 EFBC 于点 F， 由函数图象可知， BC=BE=10cm， SBEC =40= BCEF= 10EF ， EF=8 ， sinEBC= = = ； （ 3）结论 C 正确 .理由如下： 如答图 2 所示，过点 P 作 PGBQ 于点 G， BQ=BP=t ， y=S BPQ = BQPG= BQBPsinEBC= tt = t2. （ 4）结论 D 错误 .理由如下： 当 t=12s 时，点 Q 与点 C
11、重合，点 P运动到 ED的中点，设为 N，如答图 3 所示，连接 NB，NC. 此时 AN=8， ND=2，由勾股定理求得： NB= ， NC= ， BC=10 ， BCN 不是等腰三角形，即此时 PBQ 不是等腰三角形 . 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3分，满分 18分） 13.（ 3 分）分解因式： a2b 4b3= .所有 解析 ： a2b 4b3=b（ a2 4b2） =b（ a+2b）（ a 2b） . 答案 ： b（ a+2b）（ a 2b） . 14.（ 3 分）不等式 的最小整数解是 . 解析 ： ， 解不等式 ，得 x1 ， 解不等式 ，得 x 2， 所以不等式组的
12、解集为 x 2， 所以最小整数解为 3. 答案 ： x=3. 15.（ 3 分）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形， ABC=60 ，若其四边满足长度的众数为 5，平均数为 ，上、下底之比为 1： 2，则 BD= . 解析 ： 设梯形的四边长为 5， 5， x， 2x， 则 = ， x=5， 则 AB=CD=5， AD=5， BC=10， AB=AD ， ABD=ADB ， ADBC ， ADB=DBC ， ABD=DBC ， ABC=60 ， DBC=30 ， 等腰梯形 ABCD， AB=DC， C=ABC=60 ， BDC=90 ， 在 RtBDC 中，由勾股定理得： BD= =5 ， 答
13、案 ： 5 . 16.（ 3 分）如图， ABCD 的周长为 36，对角线 AC， BD 相交于点 O.点 E 是 CD 的中点， BD=12，则 DOE 的周长为 . 解析 ： ABCD 的周长为 36， 2 （ BC+CD） =36，则 BC+CD=18. 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC， BD 相交于点 O， BD=12， OD=OB= BD=6. 又 点 E 是 CD 的中点， OE 是 BCD 的中位线， DE= CD， OE= BC， DOE 的周长 =OD+OE+DE= BD+ （ BC+CD） =6+9=15， 即 DOE 的周长为 15. 答案 ： 15. 17
14、.（ 3 分）如图， ABC 中， AB=AC， BAC=54 ， BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将 C 沿 EF（ E 在 BC 上， F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则 OEC 为 度 . 解析 ： 如图，连接 OB、 OC， BAC=54 ， AO 为 BAC 的平分线， BAO= BAC= 54=27 ， 又 AB=AC ， ABC= （ 180 BAC ） = （ 180 54 ） =63 ， DO 是 AB 的垂直平分线， OA=OB ， ABO=BAO=27 ， OBC=ABC ABO=63 27=36 ， AO 为 BAC 的平分线， A
15、B=AC， AOBAOC （ SAS）， OB=OC ， 点 O 在 BC 的垂直平分线上， 又 DO 是 AB 的垂直平分线， 点 O 是 ABC 的外心， OCB=OBC=36 ， 将 C 沿 EF（ E 在 BC 上， F 在 AC上）折叠，点 C与点 O恰好重合， OE=CE ， COE=OCB=36 ， 在 OCE 中， OEC=180 COE OCB=180 36 36=108 . 答案 ： 108. 18.（ 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC上，四边形 EFGB也是正方形，以 B为圆心， BA 长为半径画 ，连结 AF， CF，则图中阴影部分面积为
16、. 解析 ： 设正方形 EFGB 的边长为 a，则 CE=4 a， AG=4+a， 阴影部分的面积 =S 扇形 ABC+S 正方形 EFGB+SCEF SAGF = +a2+ a（ 4 a） a（ 4+a） =4+a 2+2a a2 2a a2 =4 . 答案 ： 4 . 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 46分） 19.（ 6 分）先化简，再求值： ，其中 x 满足 x2+x 2=0. 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值，把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = = = ， 由 x2+x 2=0，解得 x1= 2， x2=1， x1 ， 当
17、x= 2 时，原式 = = . 20.（ 6 分）如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60 方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援 .此时 C 地位于 A 北偏西 30 方向上， A 地位于 B 地北偏西 75 方向上， A、 B 两地之间的距离为 12 海里 .求 A、C 两地之间的距离（参考数据： 1.41 ， 1.73 ， 2.45 ，结果精确到 0.1） 解析 ： 过点 B 作 BDCA 交 CA 延长线于点 D，根据题意可得 ACB 和 ABC 的度数，然后根据三角形外角定理求出 DAB 的度数，已知 AB=12 海里
18、，可求出 BD、 AD 的长度，在 RtCBD中，解直角三角形求出 CD 的长度，继而可求出 A、 C 之间的距离 . 答案 ： 过点 B 作 BDCA 交 CA 延长线于点 D， 由题意得， ACB=60 30=30 ， ABC=75 60=15 ， DAB=DBA=45 ， 在 RtABD 中， AB=12， DAB=45 ， BD=AD=ABcos45=6 ， 在 RtCBD 中， CD= =6 ， AC=6 6 6.2 （海里） . 答： A、 C 两地之间的距离约为 6.2 海里 . 21.（ 7 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合， A、 C 分别
19、在坐标轴上，点 B 的坐标为（ 4， 2），直线 y= x+3 交 AB， BC 分别于点 M， N，反比例函数 y= 的图象经过点 M， N. （ 1）求反比例函数的解析式； （ 2）若点 P 在 y 轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标 . 解析 ： （ 1）求出 OA=BC=2，将 y=2 代入 y= x+3 求出 x=2，得出 M的坐标，把 M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （ 2）求出四边形 BMON 的面积，求出 OP 的值，即可求出 P 的坐标 . 答案 ： （ 1） B （ 4， 2），四边形 OABC 是矩形， OA=BC=2
20、， 将 y=2 代入 y= x+3 得： x=2， M （ 2， 2）， 把 M 的坐标代入 y= 得： k=4， 反比例函数的解析式是 y= ； （ 2） S 四边形 BMON=S 矩 形 OABC SAOM SCON =42 4=4， 由题意得： OPAM=4 ， AM=2 ， OP=4 ， 点 P 的坐标是（ 0， 4）或（ 0， 4） . 22.（ 9 分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点 .为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级： A.非常了解； B.比较了解； C.基本了解； D.不了解 .根据调查统计结
21、果，绘制了不完整的三种统计图表 . 对雾霾了解程度的统计表： 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 5% B.比较了解 m C.基本了解 45% D.不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题 . （ 1）本次参与调查的学生共有 人， m= ， n= ； （ 2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 度； （ 3）请补全图 1 示数的条形统计图； （ 4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从 “ 非常了解 ” 态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字 1， 2， 3， 4，然后放到一个不透明的袋中，一个
22、人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三 个球中随机摸出一个球 .若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去 .请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平 . 解析 ： （ 1）根据 “ 基本了解 ” 的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可得 m， n 的值； （ 2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360 的比可得出统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角； （ 3）根据 D 等级的人数为： 40035%=140 ；可得（ 3）的答案； （ 4）用树状图列举出所有可能，进而得出答案 . 答案 ： （ 1）利用条形
23、图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有： 18045%=400 ； m= 100%=15% ， n=1 5% 15% 45%=35%； （ 2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是： 36035%=126 ； （ 3） D 等级的人数为： 40035%=140 ； 如图所示： ； （ 4）列树状图得： 所以从树状图可以看出所有可能的结果有 12 种，数字之和为奇数的有 8 种， 则小明参加的概率为： P= = ， 小刚参加的概率为： P= = ， 故游戏规则不公平 . 答案 ： 400， 15%， 35%； 126. 23.（ 8 分）烟台享有 “ 苹果之乡 ” 的美誉
24、.甲、乙两超市分别用 3000 元以相同的进价购进质量相同的苹果 .甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果 400 千克，以进价的 2 倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价 10%销售 .乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价 .若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100 元（其它成本不计） .问： （ 1）苹果进价为每千克多少元？ （ 2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算 . 解析 ： （ 1）先 设苹果进价为每千克 x 元，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100元列出方程，求出 x 的值，再
25、进行检验即可求出答案； （ 2）根据（ 1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元，求出乙超市获利，再与甲超市获利 2100 元相比较即可 . 答案 ： （ 1）设苹果进价为每千克 x 元，根据题意得： 400x+10%x（ 400） =2100， 解得： x=5， 经检验 x=5 是原方程的解， 答：苹果进价为每千克 5 元 . （ 2）由（ 1）得，每个超市苹果总量为： =600（千克）， 大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元， 则乙超市获利 600 （ 5） =1650（元）， 甲超市获利 2100 元， 甲超市销售方式更合算 . 24.如图，
26、AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线，连接 AC 交 O 于点 D， E 为 上一点，连结AE， BE， BE 交 AC 于点 F，且 AE2=EFEB. （ 1）求证： CB=CF； （ 2）若点 E 到弦 AD 的距离为 1， cosC= ，求 O 的半径 . 解析 ： （ 1）如图 1，通过相似三角形（ AEFAEB ）的对应角相等推知， 1=EAB ；又由弦切角定理、对顶角相等证得 2=3 ；最后根据等角对等边证得结论； （ 2）如图 2，连接 OE 交 AC 于点 G，设 O 的半径是 r.根据（ 1）中的相似三角形的性质证得 4=5 ，所以由 “ 圆周角、弧、弦间的关系 ”
27、 推知点 E 是弧 AD 的中点，则 OEAD ；然后通过解直角 ABC 求得 cosC=sinGAO= = ，则以求 r 的值 . 答案 ： （ 1）证明：如图 1， AE 2=EFEB， = . 又 AEF=AEB ， AEF AEB ， 1=EAB . 1=2 ， 3=EAB ， 2=3 ， CB=CF ； （ 2）解：如图 2，连接 OE 交 AC 于点 G， 设 O 的半径是 r. 由（ 1）知， AEFAEB ，则 4=5 . = . OEAD ， EG=1 . cosC= ，且 C+GAO=90 ， sinGAO= ， = ，即 = ， 解得， r= ，即 O 的半径是 . 25
28、.（ 10 分）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A， B 重合），分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E， F， Q 为斜边 AB 的中点 . （ 1）如图 1，当点 P与点 Q重合时， AE与 BF的位置关系是 ， QE与 QF的数量关系式 ； （ 2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE与 QF 的数量关系，并给予证明； （ 3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（ 2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 . 解析 ： （ 1）证 BFQAEQ 即可； （ 2）证 FBQDAQ ，
29、推 出 QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （ 3）证 AEQBDQ ，推出 DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 . 答案 ： （ 1） AEBF ， QE=QF， 理由是：如图 1， Q 为 AB 中点， AQ=BQ ， BFCP ， AECP ， BFAE ， BFQ=AEQ=90 ， 在 BFQ 和 AEQ 中 BFQAEQ （ AAS）， QE=QF ， 答案 ： AEBF ； QE=QF. （ 2） QE=QF， 证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D， Q 为 AB 中点， AQ=BQ ， BFCP ， AECP ， BFAE ， QAD=FBQ
30、 ， 在 FBQ 和 DAQ 中 FBQDAQ （ ASA）， QF=QD ， AECP ， EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线， QE=QF=QD ， 即 QE=QF. （ 3）（ 2）中的结论仍然成立， 证明：如图 3， 延长 EQ、 FB 交于 D， Q 为 AB 中点， AQ=BQ ， BFCP ， AECP ， BFAE ， 1=D ， 在 AQE 和 BQD 中， ， AQEBQD （ AAS）， QE=QD ， BFCP ， FQ 是斜边 DE 上的中线， QE=QF . 26.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，二次函数 y=ax2+bx+
31、c的图象经过点 A， B，与 x 轴分别交于点 E， F，且点 E 的坐标为（ ， 0），以 0C 为直径作半圆，圆心为 D. （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）求证：直线 BE 是 D 的切线； （ 3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P， M 是线段 CB 上的一个动点（点 M与点 B， C不重合），过点 M 作 MNBE 交 x 轴与点 N，连结 PM， PN，设 CM 的长为 t， PMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写 出自变量 t 的取值范围 .S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）根据题意易得点 A、 B
32、 的坐标，然后把点 A、 B、 E 的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于 a、 b、 c 的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值； （ 2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G，构建相似三角形 EGDECB ，根据它的对应边成比例得到 = ，由此求得 DG=1（圆的半径是 1），则易证得结论； （ 3）利用待定系数法求得直线 BE 为： y= x+ .则易求 P（ 1， ） .然后由相似三角形MNCBEC 的对应边成 比例，线段间的和差关系得到 CN= t， DN= t 1.所以 S=SPND +S 梯形 PDCM SMNC = + t（ 0 t 2） .由抛物线的性质可以求得 S 的
33、最值 . 答案 ： （ 1）由题意，得 A（ 0， 2）， B（ 2， 2）， E 的坐标为（ ， 0）， 则 ， 解得， ， 该二次函数的解析式为： y= x2+ x+2； （ 2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G. 由题意，得 ED= +1= ， EC=2+ = ， BC=2， BE= = . BEC=DEG ， EGD=ECB=90 ， EGDECB ， = ， DG=1 . D 的半径是 1，且 DGBE ， BE 是 D 的切线； （ 3）由题意，得 E（ ， 0）， B（ 2， 2） . 设直线 BE 为 y=kx+h（ k0 ） .则 ， 解得， ， 直线 BE 为： y=
34、 x+ . 直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，对称轴直线为 x=1， 点 P 的纵坐标 y= ，即 P（ 1， ） . MNBE ， MNC=BEC . C=C=90 ， MNCBEC ， = ， = ，则 CN= t， DN= t 1， S PND = DNPD= （ t 1） = t . SMNC = CNCM= tt= t2. S 梯形 PDCM= （ PD+CM） CD= （ +t） 1= + t. S=S PND +S 梯形 PDCM SMNC = + t（ 0 t 2） . 抛物线 S= + t（ 0 t 2）的开口方向向下， S 存在最大值 .当 t=1 时， S 最大 = .
