1、2013 年山东省莱芜市中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 36 分） . 1.（ 3 分）在 ， ， 2， 1 这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 2 D. 1 解析 ： | |= ， | |= ， | 2|=2， | 1|=1， 1 2， 1 2， 即最大的数是 ， 答案： B. 2.（ 3 分）在网络上用 “Google” 搜索引擎搜索 “ 中国梦 ” ，能搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记
2、数法表示为（ ） A.45110 5 B.45.110 6 C.4.5110 7 D.0.45110 8 解析 ： 45 100 000=4.5110 7， 答案 ： C. 3.（ 3 分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是正方形，圆柱的左视图是矩形， 所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体 . 答案： B. 4.（ 3 分）方程 =0 的解为（ ） A. 2 B.2 C.2 D. 解析 ：去分母得： x2 4=0， 解得： x=2 或 x= 2，
3、 经检验 x=2 是增根，分式方程的解为 x= 2. 答案： A 5.（ 3 分）一组数据： 10、 5、 15、 5、 20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A.10， 10 B.10， 12.5 C.11， 12.5 D.11， 10 解析 ： 这组数据按从小到大的顺序排列为： 5， 5， 10， 15， 20， 故平均数为： =11， 中位数为： 10. 答案： D. 6.（ 3 分）如图所示，将含有 30 角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若 1=35 ，则 2 的度数为（ ） A.10 B.20 C.25 D.30 解析 ：如图，延长 AB 交 CF 于
4、E， ACB=90 ， A=30 ， ABC=60 ， 1=35 ， AEC=ABC 1=25 ， GHEF ， 2=AEC=25 ， 答案： C. 7.（ 3 分）将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 解析 ：过 O 点作 OCAB ，垂足为 D，交 O 于点 C， 由折叠的性质可知， OD= OC= OA， 由此可得，在 RtAOD 中， A=30 ， 同理可得 B=30 ， 在 AOB 中，由内角和定理， 得 AOB=180 A B=120 弧 AB 的长为 =2 设围
5、成的圆锥的底面半径为 r， 则 2r=2 r=1cm 圆锥的高为 =2 答案： A. 8.（ 3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） 等边三角形； 矩形； 等腰梯形； 菱形； 正八边形； 圆 . A.2 B.3 C.4 D.5 解析 ： 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 . 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 . 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 . 综上可得符合题意的有 4 个 . 答案： C. 9.（ 3
6、分）如图，在 O 中，已知 OAB=22.5 ，则 C 的度数为（ ） A.135 B.122.5 C.115.5 D.112.5 解析 ： OA=OB ， OAB=OBA=22.5 ， AOB=180 22.5 22.5=135 . C= （ 360 135 ） =112.5 . 答案： D. 10.（ 3 分）下列说法错误的是（ ） A.若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心 B.2+ 与 2 互为倒数 C.若 a |b|，则 a b D.梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 解析 ： A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选
7、项正确，不符合题意； B、 2+ 与 2 = 互为倒数， 2+ 与 2 互为倒数，故此选项正确，不符合题意； C、若 a |b|，则 a b，此选项正确，不符合题意； D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意； 答案 ： D. 11.（ 3 分）在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 1， ）， M 为坐标轴上一点，且使得 MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 解析 ：如图，满足条件的点 M 的个数为 6. 分别为：（ 2， 0），（ 2， 0），（ 0， 2 ），（ 0， 2），（ 0， 2），（
8、0， ） . 答案： C. 12.（ 3 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3， N 为 AC 的三等分点，三角形边上的动点 M从点 A 出发，沿 ABC 的方向运动，到达点 C 时停止 .设点 M运动的路程为 x， MN2=y，则y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 解析 ： 等边三角形 ABC 的边长为 3， N 为 AC 的三等分点， AN=1 . 当点 M 位于点 A 处时， x=0， y=1. 当动点 M 从 A 点出发到 AM=0.5 的过程中， y 随 x 的增大而减小，故排除 D； 当动点 M 到达 C 点时， x=6， y=4，即此时 y 的值与
9、点 M 在点 A 处时的值不相等 .故排除 A、C. 答案： B. 二、填空题（本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共 20分） . 13.（ 3 分）分解因式： 2m3 8m= . 解析 ： 2m3 8m=2m（ m2 4） =2m（ m+2）（ m 2） . 答案 ： 2m（ m+2）（ m 2） . 14.（ 3 分）正十二边形每个内角的度数为 . 解析 ：正十二边形的每个外角的度数是： =30 ， 则每一个内角的度数是： 180 30=150 . 答案 ： 150 . 15.（ 4 分） M（ 1， a）是一次函数 y=3x+2 与反比例函数 图象的公共点，若
10、将一次函数y=3x+2 的图象向下平移 4 个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为 . 解析 ：将 M（ 1， a）代入一次函数解析式得： a=3+2=5，即 M（ 1， 5）， 将 M（ 1， 5）代入反比例解析式得： k=5，即 y= ， 一次函数解析式为 y=3x+2 4=3x 2， 联立得： ， 解得： 或 ， 则它与反比例函数图象的交点坐标为（ 1， 5）或（ ， 3） . 答案 ：（ 1， 5）或（ ， 3） 16.（ 4 分）如图，矩形 ABCD 中， AB=1， E、 F 分别为 AD、 CD 的中点，沿 BE 将 ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BF 上，则 AD= .
11、解析 ：连接 EF， 点 E、点 F 是 AD、 DC 的中点， AE=ED ， CF=DF= CD= AB= ， 由折叠的性质可得 AE=AE ， AE=DE ， 在 RtEAF 和 RtEDF 中， ， RtEAFRtEDF （ HL）， AF=DF= ， BF=BA+AF=AB+DF=1+ = ， 在 RtBCF 中， BC= = . AD=BC= . 答案 ： . 17.（ 3 分）已知 123456789101112997998999 是由连续整数 1至 999 排列组成的一个数，在该数中从左往右数第 2013 位上的数字为 . 解析 ： 共有 9 个 1 位数， 90 个 2 位数
12、， 900个 3位数 2013 9 180=1824， =608， 此 608 是继 99 后的第 608 个数 此数是 707，第三位是 7 故从左往右数第 2013 位上的数字为 7. 答案 ： 7. 三、 解答 题（本大题共 7 小题，共 64 分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 18.（ 9 分）先化简，再求值： ，其中 a= +2. 解析 ： 先计算括号里面的，再将除法转化为乘法，然后代入求值 . 答案 ： = = = . 当 a= 时，原式 = . 19.（ 8 分）在学校开展的 “ 学习交通安全知识，争做文明中学生 ” 主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学
13、生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况： A. 从不闯红灯； B.偶尔闯红灯； C 经常闯红灯 .德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息， 答案 下列问题 . （ 1）求本次活动共调查了多少名学生； （ 2）请补全（图二），并求（图一）中 B 区域的圆心角的度数； （ 3）若该校有 2400 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数 . 解析 ： （ 1）根据总数 =频数 百分比，可得共调查 的学生数； （ 2） B 区域的学生数 =总数减去 A、 C 区域的人数即可；再根据百分比 =频数 总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出
14、 B 区域的圆心角的度数； （ 3）用总人数乘以样本的概率即可 答案 . 答案 ： （ 1） （名） . 故本次活动共调查了 200 名学生 . （ 2）补全图二， 200 120 20=60（名） . . 故 B 区域的圆心角的度数是 108 . （ 3） （人） . 故估计该校不严格遵守信号灯指示的人数为 960 人 . 20.（ 9 分）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附 近两个小岛 A、 B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37 方向 C 处， B 岛在南偏东 66方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里， A
15、岛上维修船的速 度为每小时 20 海里， B 岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据： cos370.8 ， sin370.6 ， sin660.9 ， cos660.4 ） 解析 ： 作 ADBC 的延长线于点 D，先解 RtADB ，求出 AD， BD，再解 RtADC ，求出 AC，CD，则 BC=BD CD.然后分别求出 A 岛、 B 岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船 . 答案 ：作 ADBC 的延长线于点 D. 在 RtADB 中， AD=ABcosBAD=72cos66=720.4=28.8 （海
16、里）， BD=ABsinBAD=72sin66=720.9=64.8 （海里） . 在 RtADC 中， （海里）， CD=ACsinCAD=36sin37=360.6=21.6 （海里） . BC=BD CD=64.8 21.6=43.2（海里） . A 岛上维修船需要时间 （小时） . B 岛上维修船需要时间 （小时） . t A tB， 调度中心应该派遣 B 岛上的维修船 . 21.（ 9 分）如图，在 RtABC 中， C=90 ，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD，点 E为AB 的中点，连结 DE. （ 1）证明 DECB ； （ 2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时
17、，四边形 DCBE 是平行四边形 . 解析 ： （ 1）首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得 CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得 AD=CD，然后证明 ADECDE ，进而得到 ADE=CDE=30 ，再有 DCB=150可证明 DECB ； （ 2）当 AC= 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形 .若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE ， DCB+B=180 进而得到 B=30 ，再根据三角函数可推出 AC= 或 AB=2AC. 答案 ： （ 1）证明：连结 CE. 点 E 为 RtACB 的斜边 AB 的中点， CE= AB=AE. ACD 是等
18、边三角形， AD=CD . 在 ADE 与 CDE 中， ， ADECDE （ SSS）， ADE=CDE=30 . DCB=150 ， EDC+DCB=180 . DECB . （ 2） DCB=150 ， 若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE ， DCB+B=180 . B=30 . 在 RtACB 中， sinB= ， sin30= = ， AC= 或 AB=2AC. 当 AC= 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形 . 22.（ 10 分）某学校将周三 “ 阳光体育 ” 项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干 .已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍
19、多 4 元，且购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同 . （ 1）两种跳绳的单价各是多少元？ （ 2）若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 解析 ：（ 1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元；购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可； （ 2）设 学校购买 a 条长跳绳，购买资金不超过 2000 元，短跳绳的条数不超过长跳绳的 6倍，可得出不等式组，解出即可 . 答案 ：（ 1）设长跳绳的单价是
20、x 元，短跳绳的单价为 y 元 . 由题意得： ， 解得： . 答：长跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元 . （ 2）设学校购买 a 条长跳绳，则购买（ 200 a）条短跳绳， 由题意得： ， 解得： . a 为正整数， a 的整数值为 29， 30， 31， 32， 33. 答：学校共有 5 种购买方案可供选择 . 23.（ 10 分）如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交 O 于 C、 D 两点，直径 ABCD ，点 M 是直线 CD 上异于点 C、 O、 D 的一个动点， AM 所在的直线交于 O 于点 N，点 P 是直线CD 上另一点，且 PM=PN. （ 1
21、）当点 M 在 O 内部，如图一，试判断 PN 与 O 的关系，并写出证明过程； （ 2）当点 M 在 O 外部，如图二，其它条件不变时，（ 1）的结论是否还成立？请说明理由； （ 3）当点 M 在 O 外部，如图三， AMO=15 ，求图中阴影部分的面积 . 解析 ： （ 1）根据切线的判定得出 PNO=PNM+ONA=AMO +ONA 进而求出即可； （ 2）根据已知得出 PNM+ONA=90 ，进而得出 PNO=180 90=90 即可得出答案； （ 3）首先根据外角的性质得出 AON=30 进而利用扇形面积公式得出即可 . 答案 ： （ 1） PN 与 O 相切 . 证明：连接 ON，
22、 则 ONA=OAN ， PM=PN ， PNM=PMN . AMO=PMN ， PNM=AMO . PNO=PNM+ONA=AMO+OAN=90 . 即 PN 与 O 相切 . （ 2）成立 . 证明：连接 ON， 则 ONA=OAN ， PM=PN ， PNM=PMN . 在 RtAOM 中， OMA+OAM=90 ， PNM+ONA=90 . PNO=180 90=90 . 即 PN 与 O 相切 . （ 3）连接 ON，由（ 2）可知 ONP=90 . AMO=15 ， PM=PN， PNM=15 ， OPN=30 ， PON=60 ， AON=30 . 作 NEOD ，垂足为点 E，
23、 则 NE=ONsin60=1 = . S 阴影 =SAOC +S 扇形 AON SCON = OCOA+ CONE = 11+ 1 = + . 24.（ 12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）经过点 A（ 3， 0）、 B（ 1， 0）、 C（ 2， 1），交 y 轴于点 M. （ 1）求抛物线的表达式； （ 2） D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标； （ 3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、 A、 N为顶点的三角形与 MAO
24、相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： （ 1）把点 A、 B、 C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组 ，通过解该方程组即可求得系数的值； （ 2）由（ 1）中的抛物线解析式易求点 M 的坐标为（ 0， 1） .所以利用待定系数法即可求得直线 AM 的关系式为 y= x+1.由题意设点 D 的坐标为（ ），则点 F的坐标为（ ） .易求DF= = .根据二次函数最值的求法来求线段 DF 的最大值； （ 3）需要对点 P 的位置进行分类讨论：点 P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况 .此题主要利用相似三角形的对应边成比例进
25、行 答案 . 答案 ：由题意可知 .解得 . 抛物线的表达式为 y= . （ 2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1. 点 M 的坐标为（ 0， 1） . 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 . 解得 . 直线 MA 的表达式为 y= x+1. 设点 D 的坐标为（ ），则点 F 的坐标为（ ） . DF= = . 当 时， DF 的最大值为 . 此时 ，即点 D 的坐标为（ ） . （ 3）存在点 P，使得以点 P、 A、 N 为顶点的三角形与 MAO 相似 .设 P（ m， ） . 在 RtMAO 中， AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限
26、. 设点 P 在第二象限时， 点 P 不可能在直线 MN 上， 只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0.解得 m= 3（舍去）或 m= 8.又 3 m 0，故此时满足条件的点不存在 . 当点 P 在第三象限时， 点 P 不可能在直线 MA 上， 只能 PN=3AN， ，即 m2+11m+24=0. 解得 m= 3 或 m= 8.此时点 P 的坐标为（ 8， 15） . 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则 3 ，即 m2+m 6=0. 解得 m= 3（舍去）或 m=2. 当 m=2 时， .此时点 P 的坐标为（ 2， ） . 若 PN=3NA，则 ，即 m2 7m 30=0. 解得 m= 3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（ 10， 39） . 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ 8， 15）、（ 2， ）、（ 10， 39） .
