1、2013 年山东省青岛市中考数学试卷 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8道小题，每小题 3 分） 1.（ 3 分） 6 的相反数是（ ） A. 6 B.6 C. D. 解析 ： 6 的相反数是 6， 答案 ： B. 2.（ 3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 答案 ： D. 3.（ 3 分）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 解析 ：所给图形的俯视图是 B 选项所给的图形
2、 . 答案 ： B. 4.（ 3 分） “ 十二五 ” 以来，我国积极推进国家创新体系建设 .国家统计局 2012 年国民经济和社会发展统计公报指出：截止 2012 年底，国内有效专利达 8750000 件，将 8750000件用科学记数法表示为（ ）件 . A.87510 4 B.87.510 5 C.8.7510 6 D.0.87510 7 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值是易错点，由于 8750000 有 7 位，所以可以确定 n=7 1=6. 答案 ： C. 5.（ 3 分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的
3、5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 100 次，其中有 10 次 摸到白球 .因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个 . A.45 B.48 C.50 D.55 解析 ： 小亮共摸了 100 次，其中 10 次摸到白球，则有 90 次摸到红球， 白球与红球的数量之比为 1： 9， 白球有 5 个， 红球有 95=45 （个）， 答案 ： A. 6.（ 3 分）已知矩形的面积为 36cm2，相邻的两条边长分别为 xcm 和 ycm，则
4、y与 x 之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 矩形的面积为 36cm2，相邻的两条边长分别为 xcm 和 ycm， xy=36 ， 函数解析式为： y= （ x 0， y 0） . 答案 ： A. 7.（ 3 分）直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O到直线 l的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ） A.r 6 B.r=6 C.r 6 D.r6 解析 ： 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离 d=6， r 6. 答案 ： C. 8.（ 3 分）如图， ABO 缩小后变为 ABO ，其中 A、 B 的对应点分别为 A 、 B 点
5、A、 B、A 、 B 均在图中在格点上 .若线段 AB 上有一点 P（ m， n），则点 P在 AB 上的对应点 P的坐标为（ ） A.（ ， n） B.（ m， n） C.（ m， ） D.（ ） 解析 ： ABO 缩小后变为 ABO ，其中 A、 B 的对应点分别为 A 、 B 点 A、 B、 A 、B 均在图中在格点上， 即 A 点坐标为：（ 4， 6）， B 点坐标为：（ 6， 2）， A 点坐标为：（ 2， 3）， B 点坐标为：（ 3，1）， 线段 AB 上有一点 P（ m， n），则点 P 在 AB 上的对应点 P 的坐标为：（ ） . 答案 ： D. 二、填空题（本题满分 18
6、 分共有 6 道题，每小题 3分） 9.（ 3 分）计算： 2 1+ = . 解析 ：原式 = +2 = . 答案 ： . 10.（ 3 分）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计 解析 ，结果如下：=1.69m， =1.69m， S2 甲 =0.0006， S2 乙 =0.00315，则这两名运动员中 的成绩更稳定 . 解析 ： S 2 甲 =0.0006， S2 乙 =0.00315， S 2 甲 S2 乙 ， 这两名运动员中甲的成绩更稳定 . 答案 ：甲 . 11.（ 3 分）某企业 2010 年底缴税 40 万元， 2012 年底缴税 48.4万元 .设这两年该企业交税的年平
7、均增长率为 x，根据题意，可得方程 . 解析 ：设该公司这两年缴税的年平均增长率为 x， 依题意得 40（ 1+x） 2=48.4. 答案 ： 40（ 1+x） 2=48.4. 12.（ 3 分）如图，一个正比例函数图象与一次函数 y= x+1 的图象相交于点 P，则这个正比例函数的表达式是 . 解析 ： 正比例函数图象与一次函数 y= x+1 的图象相交于点 P， P 点的纵坐标为 2， 2= x+1 解得： x= 1 点 P 的坐标为（ 1， 2）， 设正比例函数的解析式为 y=kx， 2= k 解得： k= 2 正比例函数的解析式为： y= 2x， 答案 ： y= 2x 13.（ 3 分
8、）如图， AB 是 O 的直径，弦 AC=2， ABC=30 ，则图中阴影部分的面积是 . 解析 ：如图，连接 OC. OB=OC ， OBC=OCB=30 BOC=180 30 30=120 . 又 AB 是直径， ACB=90 ， 在 RtABC 中， AC=2， ABC=30 ，则 AB=2AC=4， BC= =2 . OC 是 ABC 斜边上的中线， S BOC = SABC = ACBC= 22 = . S 阴影 =S 扇形 OBC SBOC = = . 答案 ： . 14.（ 3 分）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小正方体都只有三个面是现成
9、的 .其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来 .那么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需要用刀切 次 . 解析 ：分割成 8 个小正方体，需用长、宽、高都二等分的 3 刀， 分割成 27 个小正方体，需用长、宽、高都三等分的 32=6 刀， 分割成 64 个小正方体，需用长、宽、高都四等分的 33=9 刀 . 答案 ： 6； 9. 三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写做法，但 要保留作图痕迹。 15.（ 4 分）已知：如图，直线 AB 与直线 BC 相交于点 B，点 D是直线 BC上一点 . 求作：点 E，使直线 DEA
10、B ，且点 E 到 B， D 两点的距离相等 .（在题目的原图中完成作图） 结论： BE=DE. 解析 ： 首先以 D 为顶点， DC 为边作一个角等于 ABC ，再作出 DB 的垂直平分线，即可找到点 E. 答案 ： 如图所示： 点 E 即为所求， BE=DE 四、 答案 题（本题满分 74 分，共有 9道小题） 16.（ 8 分）（ 1）解方程组： ； （ 2）化简：（ 1+ ） . 解析 ： （ 1）方程组两方程相加消去 y 求出 x 的值，进而求出 y 的值，即可得到方程组的解； （ 2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果 . 答案 ：（ 1） ， +
11、得： 3x=3， 解得： x=1， 将 x=1 代入 得： 1 y=0，即 y=1， 则方程组的解为 ； （ 2）原式 = = . 17.（ 6 分）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告 2013 年 4 月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告 调查目的 了解八年级学生每天干家务活的平均时间 调查内容 光明中学八年级学生干家务活的平均时间 调查方式 抽样调查 调查步骤 1.数据的收集 （ 1）在光明中学八年级每班随机调查 5 名学生 （ 2）统计这些学生 2013 年 4 月每天干家务活的平均时间（单位： min）结果如下（其中 A 表示 10min， B 表示 20min
12、， C 表示 30min） B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2.数据的处理： 以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图 3.数据的 解析 ： 列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数） 调查结论 光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有 名学生每天干家务活的平均时间是 20min 解析 ： 先从图表中得出平均每天干家务活在 30min 的有 5 名学生，从而补全统计图，再根据 A 表示 10min， B 表示 20min， C 表示 30min 和学生数即可
13、求出随机调查的学生每天干家务活的平均时间，最后根据每天干家务活的平均时间是 20min 所占的百分比乘以 240，即可得出大约每天干家务活的平均时间是 20min 的学生数 . 答案 ： 从图表中可以看出 C 的学生数是 5 人， 如图： 每天干家务活平均时间是：（ 1010+1520+530 ） 3018 （ min）； 根据题意得： 240 =120（人）， 光明中学八年级共有 240名学生，其中大约有 120名学生每天干家务活的平均时间是 20min； 答案 ： 120. 18.（ 6 分）小明和小刚做摸纸牌游戏 .如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2 和 3，将两组牌背面朝
14、上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏 .当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得 2 分，否则小刚得 1 分 .这个游戏对双方公平吗？请说明理由 . 解析 ： 画出树状图，根据概率公式分别求出小明和小刚的得分，然后进行判断即可 . 答案 ： 根据题意，画出树状图如图： 一共有 4 种情况，积是偶数的有 3 种情况，积是奇数的有 1 种情况， 所以， P（小明胜） = 2= ， P（小刚胜） = 1= ， ， 这个游戏对双方不公平 . 19.（ 6 分）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600 元，第二次捐款总额为 7260元，第二次捐款人数比第一次多 30 人，而且两次人均捐款额
15、恰好相等 .求第一次的捐款人数 . 解析 ： 先设第一次的捐款人数是 x 人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出 x 的值，再进行检验即可求出答案 . 答案 ： 解：设第一次的捐款人数是 x 人，根据题意得： = ， 解得： x=300， 经检验 x=300 是原方程的解， 答：第一次的捐款人数是 300 人 . 20.（ 8 分）如图，马路的两边 CF， DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A， B 两点分别表示车站和超市 .CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽 20 米，A， B 相距 62 米， A=67 ， B=37 . （ 1）求 CD
16、 与 AB 之间的距离； （ 2）某人从车站 A 出发，沿折线 ADCB 去超市 B.求他沿折线 ADCB 到达超市比直接横穿马路多走多少米 . （参考数据： sin67 ， cos67 ， tan67 ， sin37 ， cos37 ，tan37 ） 解析 ： （ 1）设 CD 与 AB 之间的距离为 x，则在 RtBCF 和 RtADE 中分别用 x 表示 BF，AE，又 AB=AE+EF+FB，代入即可求得 x 的值； （ 2）在 RtBCF 和 RtADE 中，分别求出 BC、 AD 的长度，求出 AD+DC+CB AB的值即可求解 . 答案 ： （ 1） CD 与 AB 之间的距离为
17、 x， 则在 RtBCF 和 RtADE 中， =tan37 ， =tan67 ， BF= x， AE= x， 又 AB=62 ， CD=20， x+ x+20=62， 解得： x=24， 答： CD 与 AB 之间的距离约为 24 米； （ 2）在 RtBCF 和 RtADE 中， BC= =40， AD= =26， AD+DC+CB AB=40+20+26 62=24（米）， 答：他沿折线 ADCB 到达超市比直接横穿马路多走约 24 米 . 21.（ 8 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中， M， N 分别是边 AD、 BC 的中点， E， F 分别是线段BM， CM 的中点 . （
18、1）求证： ABMDCM ； （ 2）判断四边形 MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论； （ 3）当 AD： AB= 时，四边形 MENF 是正方形（只写结论，不需证明） 解析 ： （ 1）求出 AB=DC， A=D=90 ， AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可； （ 2）根据三角形中位线定理求出 NEMF ， NE=MF，得出平行四边形，求出 BM=CM，推出 ME=MF，根据菱形的判定推出即可； （ 3）求出 EMF=90 ，根据正方形的判定推出即可 . 答案 ： （ 1） 四边形 ABCD 是矩形， AB=DC ， A=D=90 ， M 为 AD 中点， AM=DM ，
19、在 ABM 和 DCM ， ABMDCM （ SAS）； （ 2）四边形 MENF 是菱形 . 证明： N 、 E、 F 分别是 BC、 BM、 CM 的中点， NECM ， NE= CM， MF= CM， NE=FM ， NEFM ， 四边形 MENF 是平行四边形， 由（ 1）知 ABMDCM ， BM=CM ， E 、 F 分别是 BM、 CM 的中点， ME=MF ， 平行四边形 MENF 是菱形； （ 3）当 AD： AB=2： 1 时，四边形 MENF 是正方形 . 理由是： M 为 AD 中点， AD=2AM ， AD ： AB=2： 1， AM=AB ， A=90ABM=AMB
20、=45 ， 同理 DMC= 45 ， EMF=180 45 45=90 ， 四边形 MENF 是菱形， 菱形 MENF 是正方形 . 答案： 2： 1. 22.（ 10 分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元 /件 .试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10件 . （ 1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （ 2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （ 3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、 B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销
21、售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 . 解析 ： （ 1）根据利润 =（单价进价） 销售量，列出函数关系式即可； （ 2）根据（ 1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （ 3）分别求出方案 A、 B 中 x 的取值范围，然后分别求出 A、 B 方案的最大利润，然后进行比较 . 答案 ： （ 1）由题意得，销售量 =250 10（ x 25） = 10x+500， 则 w=（ x 20）（ 10x+500） = 10x2+700x 10000； （ 2） w= 10x2+70
22、0x 10000= 10（ x 35） 2+2250. 10 0， 函数图象开口向下， w 有最大值， 当 x=35 时， w 最大 =2250， 故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大； （ 3） A 方案利润高 .理由如下： A 方案中： 20 x30 ， 故当 x=30 时， w 有最大值， 此时 wA=2000； B 方案中： ， 故 x 的取值范围为： 45x49 ， 函数 w= 10（ x 35） 2+2250，对称轴为直线 x=35， 当 x=45 时， w 有最大值， 此时 wB=1250， w A wB， A 方案利润更高 . 23.（ 10 分）在前面的学习中，我们通
23、过对同一面积的不同表达和比较，根据图 1 和图 2 发现并验证了平方差公式和完全平方公式 . 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化 . 【研究速算】 提出问题： 4743 ， 5654 ， 7971 ， 是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 4743 为例： （ 1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图 3，将这 个 4743 的矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到原矩形上面 . （ 2） 解析 ：原矩形面积可以有两种不同的表达方式： 4743 的
24、矩形面积或（ 40+7+3） 40的矩形与右上角 37 的矩形面积之和，即 4743= （ 40+10）40+37=54100+37=2021 . 用文字表述 4743 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4相乘，再乘以 100，加上个位数字 3 与 7 的积，构成运算结果 . 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述） 十位数字加 1 的和与十位数字相 乘，再乘以 100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 . 【研究方程】 提出问题：怎样图解一元二次方程 x2+2x 35=0（ x 0）？ 几何建模： （ 1）变形： x（ x+2
25、） =35. （ 2）画四个长为 x+2，宽为 x 的矩形，构造图 4 （ 3） 解析 ：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（ x+x+2） 2或四个长 x+2，宽x 的矩形面积之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积 . 即（ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x （ x+2） =35 （ x+x+2） 2=435+2 2 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5 归纳提炼：求关于 x 的一元二次方程 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 . 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长） 【研究不等关
26、系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（ y+3）（ y+2）与 2y+5 的大小关系（其中 y 0）？ 几何建模： （ 1）画长 y+3，宽 y+2 的矩形，按图 5 方式分割 （ 2）变形： 2y+5=（ y+3） +（ y+2） （ 3） 解析 ：图 5 中大矩形的面积可以表示为（ y+3）（ y+2）；阴影部分面积可以表示为（ y+3）1 ，画点部分的 面积可表示为 y+2，由图形的部分与整体的关系可知（ y+3）（ y+2）（ y+3）+（ y+2），即（ y+3）（ y+2） 2y+5 归纳提炼： 当 a 2， b 2 时，表示 ab 与 a+b 的大小关系 . 根据题意，设 a=2
27、+m， b=2+n（ m 0， n 0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长） 解析 ： 【研究速算】十位数字加 1 的和与十位数字相乘，再乘以 100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 【研究方程】画四个长为 x+b，宽为 x 的矩形，构造答图 1，则图中的 大正方形面积有两种不同的表达方式，由此建立方程求解即可； 【研究不等关系】画长为 2+m，宽为 2+n 的矩形，并按答图 2 方式分割 .图中大矩形面积可表示为（ 2+m）（ 2+n），阴影部分面积可表示为 2+m 与 2+n 的和 .由图形的部分与整体的关系可知，（ 2+m）
28、（ 2+n）（ 2+m） +（ 2+n），即 ab a+b. 答案 ： 解：【研究速算】 归纳提炼： 十位数字加 1 的和与十位数字相乘，再乘以 100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 . 【研究方程】 归纳提炼： 画四个长为 x+b，宽为 x 的矩形，构造答图 1，则图中的大正方 形面积可以有两种不同的表达方式：（ x+x+b） 2或四个长为 x+b，宽为 x 的矩形面积之和，加上中间边长为 b 的小正方形面积 . 即：（ x+x+b） 2=4x（ x+b） +b2 x （ x+b） =c， （ x+x+b） 2=4c+b2 （ 2x+b） 2=4c+b2 x 0， x= . 【研究不等
29、关系】 归纳提炼： （ 1）画长为 2+m，宽为 2+n 的矩形，并按答图 2 方式分割 . （ 2）变形： a+b=（ 2+m） +（ 2+n） （ 3） 解析 ：图中大矩形面积可表示为（ 2+m）（ 2+n），阴影部分面积可表示为 2+m 与 2+n 的和 .由图形的部分与整体的关系可知，（ 2+m）（ 2+n）（ 2+m） +（ 2+n），即 ab a+b. 24.（ 12 分）已知：如图， ABCD 中， AD=3cm， CD=1cm， B=45 ，点 P 从点 A 出发，沿 AD方向匀速运动，速度为 3cm/s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，连接
30、并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M，过 M作 MNBC ，垂足是 N，设运动时间为 t（ s）（ 0 t 1） 答案 下列问题： （ 1）当 t 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形？ （ 2）设四边形 ANPM 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t之 间的函数关系式： （ 3）是否存在某一时刻 t，使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，说明理由 . （ 4）连接 AC，是否存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC分成 ： 1 的两部分？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，说明理由 . 解析 ： （
31、 1）根据平行四边形的对角线互相平分得出 AP=DP，代入求出即可； （ 2）求出 AP 和 MN 的值，根据三角形的面积公式求出即可； （ 3）假设存在某一时刻 t，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半 .根据（ 2）中求出 的关系式，列方程求出 t 的值； （ 4）假设存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分，证APWCNW ，得出 = ，代入求出即可 . 答案 ： （ 1）连结 AQ， MD. 当 AP=PD 时，四边形 AQDM 是平行四边形， 即 3t=3 3t， t= ， 当 t= s 时，四边形 AQDM 是平行四边形 .
32、（ 2） 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ， AMPDQP ， = ， = ， AM=t ， MNBC ， MNB=90 ， B=45 ， BMN=45=B ， BN=MN ， BM=1+t ， 在 RtBMN 中，由勾股定理得： BN=MN= （ 1+t）， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， MNBC ， MNAD ， y= APMN = 3t （ 1+t） 即 y 与 t 之间的函数关系式为 y= t2+ t（ 0 t 1） . （ 3）假设存在某一时刻 t，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半 . 此时 t2+ t= 3 ， 整理得： t2+t 1=0， 解得 t1= ， t2= （舍去） 当 t= s 时，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半 . （ 4）存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分， 理由是：假设存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， APWCNW ， = ， 即 = 或 = ， t= 或 ， 两数都在 0 t 1 范围内，即都符合题意， 当 t= s 或 s 时， NP 与 AC 的交点把线段 AC分成 的两部分 .
