1、 2013年 山东莱芜 市中考试题 数 学 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 第一部分（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 36 分） . 1.（ 2013 山东莱芜， 1， 3 分） 如 在 12， 13， 2， 1 这四个数中，最大的数是（ ） A. 12B. 13C. 2 D. 1 【答案】 B 2. （ 2013 山东莱芜， 2， 3 分）在网络上用“ Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的
2、结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为（ ） A. 451 105 B. 45.1 106 C. 4.51 107 D. 0.451 10 【答案】 C 3. （ 2013 山东莱芜， 3， 3 分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） 球体 圆锥 正方体 圆柱 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 【答案】 B 4. （ 2013 山东莱芜， 4， 3 分）方程 2 42xx=0 的解为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 12【答案】 A 5. （ 2013 山东莱芜， 5， 3 分）一组数据： 10、 5、 15、 5、 20，则这组数
3、据的平均数和中位数分别是（ ） A. 10， 10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11， 10 【答案】 D 6. （ 2013 山东莱芜， 6， 3 分）如图所示，将含有 30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若 1=35，则 2 的度数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D.30 【答案】 C 7. （ 2013 山东莱芜， 7， 3 分）将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆柱的高为（ ） A. 22 B. 2 C. 10 D. 【答案】 A 8. （ 20
4、13 山东莱芜， 8， 3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） 等边三角形；矩形；等腰梯形；菱形；正八边形；圆 A. 2 B. 3 C. 4 D.5 【答案】 C 9. （ 2013 山东莱芜， 9， 3 分）如图，在 O 中，已知 OAB=22.5，则 C 的度数为（ ） A. 135 B. 122.5 C. 115.5 D.112.5 【答案】 D 10. （ 2013 山东莱芜， 10， 3 分）下列说法 错误 的是（ ） A.若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分吧必过两圆的圆心 B.2 3 与 2 3 互为倒数 C.若 a，则 a b D.梯形的面积等于梯形的
5、中位线与高的乘积的一半 【答案】 D 11. （ 2013 山东莱芜， 11， 3 分）在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ 13 ）， M 为坐标轴上一点，且使得 MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ） A.4 B. 5 C. 6 D.8 【答案】 C 12. （ 2013 山东莱芜， 12， 3 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3， N 为 AC 的三等分点，三角形边上的动点 M 从点 A 出发，沿 A B C 的方向运动，到达点 C 时停止 .设点 M 运动的路程为 x， MN2=y，则 y 关于 x的函数图象大致为（ ） 【答案】 B 二、
6、填空题（本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共 20 分） . 13. （ 2013 山东莱芜， 13， 4 分）分解因式： 2m3 8m= . 【答案】 2m（ m+2）（ m 2） 14. （ 2013 山东莱芜， 14， 4 分）正十二边形每个内角的度数为 . 【答案】 150 15. （ 2013 山东莱芜， 15， 4 分） M（ 1， a）是一次函数 y=3x 2 与反比例函数 kyx图象的公共点，若将一次函数 y=3x 2 的图象向下平移 4 个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为 . 【答案】 （ 1， 5），（ 5 ,33） 16. （ 2013
7、山东莱芜， 16， 4 分）如图，矩形 ABCD 中， AB=1， E、 F 分别为 AD、 CD 的中点，沿 BE 将 ABE折叠，若点 A 恰好落在 BF 上，则 AD= . 【答案】 2 17. （ 2013 山东莱芜， 17， 4 分）已知 123456789101112 997998999 是由连续整数 1 至 999 排列组成的一个数，在该数种从左往右数第 2013 位上的数字为 . 【答案】 7 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 18. （ 2013 山东莱芜， 18， 9 分）先化简，再求值： 24()44a aaa
8、，其中 a= 3 +2. 解： 22 4 2 4 4()4 4 4 4a a a aaa a a a 2244 ( 2)aaa a 12a . 当 a= 32 时，原式 1 1 1 3 .233 2 2 3a 19（ 2013 山东莱芜， 19， 8 分）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况： A.从不闯红灯；B.偶尔闯红灯； C 经常闯红灯 .德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整 的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题 . （ 1）求本次活动共调查了多少名学生； （ 2）请
9、补全（图二），并求（图一）种 B 区域的圆心角的度数； （ 3）若该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数 . 解：（ 1） 3 6 12 0 2 0 2 0 0 .3 6 0 1 0 本次活 动共调查了 200 名学生 . （ 2）补全图二 200 120 20=60. 603 6 0 1 0 8 .200 B 区域的圆心角的度数是 108. （ 3） 6 0 2 0 22 4 0 0 2 4 0 0 9 6 0 .2 0 0 5 估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人 . 20. （ 2013 山东莱芜， 20， 9 分）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，
10、急需抢修，调度中心通知附近两个小岛 A、 B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37方向 C 处， B 岛在南偏东 66方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里， A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里， B岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据： cos37 0.8， sin37 0.6， sin66 0.9， cos66 0.4） 解 :作 ADBC 的延长线于点 D，在 RtADB 中， AD=ABcosBAD=72cos66=720.4=28.8 （海里） BD=ABsin
11、BAD=72sin66=720.9=64.8 （海里 ） . 在 RtADC 中， 2 8 . 8 2 8 . 8 36c o s c o s 3 7 0 . 8ADAC D A C （海里） . CD=ACsinCAD=36sin37=360.6=21.6 （海里） . BC=BD CD=64.8 21.6=43.2(海里 ). A 岛上维修船需要时间 36 1 .82 0 2 0A ACt (小时 ). B 岛上维修船需要时间 4 3 .2 1 .52 8 .8 2 8 .8B BCt (小时 ). , 调度中心应该派遣 B 岛上的维修船 . 21. （ 2013 山东莱芜， 21， 9
12、分）在 Rt ABC 中， C=90，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD，点 E 为AB 的中点，连结 DE. （ 1）证明 DE CB； （ 2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形 . 解：（ 1）证明：连结 CE. 点 E 为 Rt ACB 的斜边 AB 的中点， CE=AB=AE. ACD 是等边三角形， AD=CD. 在 ADE 与 CDE 中， AD=CD,DE=DE,AE=CE, ADE CDE. ADE= CDE=30 . DCB=150， EDC+ DCB=180 . DE CB. (2) DCB=150 ,若四边形 DCBE 是平
13、行四边形，则 DC BE, DCB+ B=180 . B=30 . 在 Rt ACB 中， sinB=ACBC,sin30 = 12ACBC， AC=12AB或 AB=2AC. 当 AC=12AB或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形 . 22. （ 2013 山东莱芜， 22， 10 分）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干 .已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同 . (1)两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳
14、绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 解：（ 1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元 . 由题意得： 2425xyxy. 解得： 208xy.所以长跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元 . （ 2）设学校购买 a 条长跳绳，由题意得： 2 0 0 62 0 8 ( 2 0 0 ) 2 0 0 0aaaa . 解得 : 4128 3373a. a 为正整数， a 的整数值为 29， ,3,31,32,33. 所以学校共有 5 种购买方案可供选择 . 23. （ 2013 山东莱芜， 23， 10 分）如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心
15、O，交 O于 C、 D 两点，直径AB CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、 O、 D 的一个动点， AM 所在的直线交于 O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN. (1)当点 M 在 O 内部，如 图一，试判断 PN 与 O 的关系，并写出证明过程； (2)当点 M 在 O 外部，如图二，其它条件不变时，（ 1）的结论是否还成立？请说明理由； (3)当点 M 在 O 外部，如图三， AMO=15，求图中阴影部分的面积 . 解：（ 1） PN 与 O 相切 . 证明：连结 ON,则 ONA= OAN, PM=PN, PNM= PMN. AMO= PMN, PNM=
16、AMO. PNO= PNM+ ONA= AMO+ ONA=90 . 即 PN 与 O 相切 . （ 2）成立 . 证明：连结 ON，则 ONA= OAN, PM=PN, PNM= PMN. 在 Rt AOM 中， OMA+ OAM=90 , PNM+ ONA=90 . PNO=180 90 =90 . 即 PN 与 O 相切 . （ 3）连结 ON，由（ 2）可知 ONP=90 . AMO=15， PM=PN, PNM=15 , OPN=30， PON=60， AON=30 . 作 NE OD,垂足为点 E,则 NE=ON sin60 =1 32= 32. ONA O NA O C CS S
17、S S 阴 影 扇 形=OC OA+ 230 11360 2 CO NE = 1 1 1 3 1 1 31 1 12 1 2 2 2 2 1 2 4 . 24. （ 2013 山东莱芜， 24， 12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a 0）经过点 A（ 3， 0）、 B(1,0)、 C( 2，1)，交 y 轴于点 M. (1)求抛物线的表达式； (2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、 A、 N
18、 为顶点的三角形与 MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解：由题意可知 9 3 004 2 1a b cabca b c .解得13231abc. 抛物线的表达式为 y= 212133xx. （ 2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1.点 M 的坐标为（ 0,1） . 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 131.kb 130bkb .解得 k=， b=1.直线 MA 的表达式为 y=x+1. 设点 D 的坐标为（ 20 0 012,133x x x ），则点 F 的坐标为（001,13xx） . DF= 20 0 01 2 11 ( 1 )3 3 3
19、x x x = 220 0 01 1 3 3()3 3 2 4x x x . 当0 32x 时， DF 的最大值为 . 此时 2001 2 513 3 4xx ，即点 D 的坐标为（ 35,24） . （ 3）存在点 P，使得以点 P、 A、 N 为顶点的三角形与 MAO 相似 . 在 Rt MAO 中， AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限 . 设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM, 212 1 3 ( 3 )33m m m ，即 2 1 1 2 4 0mm . 解得 m= 3（舍去）或 m= 8.又 3M0,故此时满足
20、条件的点不存在 . 当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM, 212 1 3 ( 3 )33m m m ，即 2 1 1 2 4 0mm . 解得 m= 3 或 m=8.此时点 P 的坐标为（ 8， ,15） . 当点 P 在第四象限时， 若 AN=3PN 时 ,则 3 212( 1 ) 333m m m ，即 2 60mm . 解得 m= 3（舍去）或 m=2. 当 m=2 时， 2001 2 513 3 3xx .此时点 P 的坐标为（ 2，） . 若 PN=3NA,则 212( 1 ) 3 ( 3 )33m m m ，即 2 7 3 0 0mm . 解得 m= 3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（ 10， ,39） . 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（ 8， ,15）、（ 2，）、（ 10， ,39） .
