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1、 2013 年广东省中考模拟 数学 （六） 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母写在答题卷相应的位置） 1. 2011 的绝对值是（ ） A.2011 B. 2011 C. D. 解析 ： 计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号 .| 2011|=2011. 答案： A. 2. 2011 年 3 月 5 日，第十一届全国人民代表大会第四次会议在人民大会堂开幕，国务院总理温家宝作政府工作报告 .报告指出我国 2010 年国内生产总值达到 398000

2、 亿元 .“398000” 这个数据用科学记数法（保留两个有效数字）表示正确的是（ ） A.3.9810 5 B.3.9810 6 C.4.010 5 D.4.010 6 解析 ： 398000=3.9810 54 .010 5. 答案： C. 3.某青年排球队 11 名队员的年龄情况如下： 则这个队队员年龄的众数和中位数是（ ） A.19， 20 B.19， 19 C.19， 20.5 D.20， 19 解析 ： 把这组数据按从小到大的顺序排列为： 18， 19， 19， 19， 19， 20， 20， 20， 21， 21，22， 11 名队员年龄的中位数是 20， 众数是 19. 答案：

3、 A. 4.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边， 1=30 ， 2=70 ，则 3 等于（ ） A.20 B.30 C.40 D.50 解析 ： 根据题意得： a b， 4= 2=70 ， 4= 1+ 3， 3= 4 1=70 30=40 . 答案： C. 5.如图， P 内含于 O， O 的弦 AB 切 P 于点 C，且 AB OP，若阴影部分的面积为 9 ，则弦 AB 的长为（ ） A.3 B.4 C.6 D.9 解析 ： 设 PC=r， AO=R， 连接 PC， O 的弦 AB 切 P 于点 C，故 AB PC， 作 OD AB，则 OD PC. 又 AB OP， OD=PC=r，

4、阴影部分的面积为 9 ， R2 r 2=9 ，即 R2 r2=9， 于是 AD= =3. OD AB， AB=32=6 . 答案 ： C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 .请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置） 6.分解因式： x2y 2xy+y= . 解析 ： x2y 2xy+y， =y（ x2 2x+1）， =y（ x 1） 2. 答案 ： y（ x 1） 2. 7.平面直角坐标系中，一点 P（ 2， 3）关于原点的对称点 P 的坐标是 . 解析 ： 根据中心对称的性质，得点 P（ 2， 3）关于原点对称点 P 的坐标是（ 2， 3） . 答案 ：（ 2

5、， 3） . 8.将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20cm，点 O为正方形的中心， AB=5cm，则 CD 的长为 cm. 解析 ： 如图， 点 O 为正方形的中心， 四边形 BOCE 是正方形，边长 =202=10cm ， CE AO， DCE DOA， ， 即 ， 解得 DC=20cm. 答案 ： 20. 9.如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD BC， A=120 ， AD=8， BC=14，则梯形的周长为 . 解析 ： 过点 A 作 AE CD 交 BC 于点 E， AD BC， A=120 ， 四边形 AECD 是平行四边形， BAD+ B=1

6、80 ， AE=CD， AD=CE=8， B=60 ， BE=BC EC=14 8=6， AB=CD， AB=AE， AB=AE=BE=6， 梯形的周长为 AB+BC+CD+AD=6+14+6+8=34. 10.如果记 y= =f（ x），并且 f（ 1）表示当 x=1 时 y 的值，即 f（ 1） = = ； f（ ）表示当 x= 时 y 的值，即 f（ ） = = ，那么 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3）+f（ ） +f （ n） +f（ ） = .（结果用含 n 的代数式表示， n 为正整数） . 解析 ： 由 f（ 1） f（ ）可得： f（ 2） = = ；从而 f

7、（ 1） +f（ 2） +f（ ） = +1=2 .所以 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3） +f（ ） +f （ n） +f（ ） = （ n 为正整数） . 解答： f（ 1） = = ； f（ ） = = ， 得 f（ 2） = = ； f（ 1） +f（ 2） +f（ ） = +1=2 . 故 f（ 1） +f（ 2） +f（ ） +f（ 3） +f（ ） +f （ n） +f（ ） = .（ n 为正整数） 答案： 三、解答题（一）（本大题共 5 小题，每小题 6分，共 30 分） 11. . 解析 ： 根据二次根式的化简、特殊三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的法则

8、计算即可 . 答案 ： 原式 =2 2 +1 2= 1. 12.解方程： . 解析 ： 因为 4 x=（ x 4），所以最简公分母为（ x 4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 . 答案 ： 方程两边同乘（ x 4）， 得： 3+x+x 4= 1， 整理解得 x=0. 经检验 x=0 是原方程的解 . 13.如图：把一张给定大小的矩形卡片 ABCD 放在宽度为 10mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 =25 ，求长方形卡片的周长 .（精确到 1mm，参考数据： sin250 .4，cos250 .9， tan250 .5） . 解析 ： 作 AF l4于

9、F，交 l2于 E.在 Rt ABE中根据三角函数即可求得 AB的长；在直角 AFD中，根据三角函数即可求得 AD 的长，从而求得长方形卡片的周长 . 答案 ： 作 AF l4于 F，交 l2于 E，则 ABE 和 AFD均为直角三角形 . 在 Rt ABE 中， ABE= =25 ， sin ABE= ， AB= =50. FAD=90 BAE， =90 BAE， FAD= =25 . 在 Rt AFD 中， cos FAD= ， AD= 44 .4. 长方形卡片 ABCD 的周长为（ 44.4+50） 2189 （ mm） . 14.如图， AB CD， ACD=72 . （ 1）用直尺和

10、圆规作 C 的平分线 CE，交 AB 于 E，并在 CD 上取一点 F，使 AC=AF，再连接AF，交 CE 于 K；（要求保留作图痕迹，不必写出作法） （ 2）依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形，（图中不再增加字母和线段，不要求证明） . 解析 ： （ 1）首先作 C 的平分线 CE：以点 C 为圆心，以任意长为半径画弧；再以此弧与 C 两边的交点为圆心，以大于这两个交点连线的一半为半径画弧，过此两弧的交点作射线CE 即可；以点 A 为圆心，以 AC 的长为半径画弧，弧与 CD 的交点即为点 F； （ 2）根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角

11、形相似，可得 EAK CFK；由平行线的内错角相等、角平分线材的定义可得 ACE 是等腰三角形，可 得 AFC= ACF=72 ，易得 ACK= AEC= CAF=36 ，即可得 CKF ACF EAK， CAK CEA. 答案 ： （ 1） （ 2） CKF ACF EAK； CAK CEA 理由： AB CD， ACD=72 ， ECF= AEC， ECF= ACE= ACF=36 ， ACE= AEC=36 ， AC=AF， AFC= ACF=72 ， CKF=72 ， CAF=36 ， CKF ACF EAK， CAK CEA. 15.小兵和小宁玩纸牌游戏 .如图是同一副扑克中的 4

12、张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小兵先从中抽出一张，小宁从剩余的 3 张牌中也抽出一张 .小宁说： “ 若抽出的两张牌上的数都是偶数，你获胜；否则，我获胜 .” （ 1）请用树状图表示出抽牌可能出现的所有结果； （ 2）若按小宁说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由 . 解析 ： （ 1）根据题意画出树状图，有树状图即可求得抽牌可能出现的所有结果； （ 2）根据树状图，先求得两张牌的数字都是偶数的情况，然后利用概率公式即可求得小兵和小宁获胜的概率，由概率相等，即可 判定这个游戏公平 . 答案 ： （ 1）树状图为： 共有 12 种等可能的结果 . （ 2）游戏公平 . 两张

13、牌的数字都是偶数有 6 种结果： （ 6， 8），（ 6， 10），（ 8， 6），（ 8， 10），（ 10， 6），（ 10， 8） . 小兵获胜的概率 P= = ， 小宁获胜的概率也为 . 游戏公平 . 四、 答案 题（二）（本大题共 4 小题，每小题 7分，共 28 分） 16.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F. （ 1）求证： AC=BF； （ 2）当 D 与 AFD 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是矩形，并说明理由 . 解析 ： （ 1）根据平行四边形性质推出 AB CD，推出 BAE= CFE，根据 A

14、AS 证 ABEFCE，推出 AE=EF，得出平行四边形 ABFC，推出即可； （ 2）当 D= AFD 时，四边形 ABFC 是矩形，理由是：推出 AD=AF，根据平行四边形性质推出 FC=AB=FD，根据等腰三角形性质推出 AC FD，根据矩形的判定推出即可 . 答案 ： （ 1） 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， 即 AB CF， BAE= CFE， E 为 BC 的中点， BE=CE， 在 ABE 和 FCE 中 ， ABE FCE， AE=EF， BE=CE， 四边形 ABFC 是平行四边形， AC=BF； （ 2）当 D= AFD 时，四边形 ABFC 是矩形， 理由

15、是： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD， 由（ 1）知：四边形 ABFC 是平行四边形， AB=CF， CD=CF， D= AFD， AD=AF， AC FD， ACF=90 ， 四边形 ABFC 是平行四边形， 平行四边形 ABFC 是矩形， 即当 D= AFD 时，四边形 ABFC 是矩形 . 17.已知关于 x 的一元二次方程 x2 2（ m 1） x m（ m+2） =0. （ 1）若 x= 2 是这个方程的一个根，求 m 的值和方程的另一个根； （ 2）求证：对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根 . 解析 ： （ 1）把 x=2 代入方程得出关于 m 的方程，

16、求出 m 的值再代入原方程求出 x的另一个根 . （ 2）求证：对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根，只要证明 0，即可得出方程有两不相等的实数根 . 答案 ： （ 1）把 x= 2 代入方程，得 4 2（ m 1） （ 2） m（ m+2） =0. 即 m2 2m=0. 解得 m1=0， m2=2. 当 m=0 时，原方程为 x2+2x=0. 则方程的另一个根为 x=0. 当 m=2 时，原方程为 x2 2x 8=0，则方程的另一个根为 x=4. （ 2） = 2（ m 1） 2 4 m（ m+2） =8m2+4. 对于任意实数 m， m20 . 8m2+4 0. 对于任意实数

17、m，这个方程都有两个不相等的实数根 . 18.日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产 2 万套防辐射衣服的任务，计划 10 天完成，在生产 2 天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完成任务，于是公司从其他部门抽调了 50 名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前 2 天完成了生产任务 .求该公司原计划安排多少名工人生产防辐射衣服？ 解析 ： 等量关系为：原计划工效 （ 1+25%） =（工作量前 2 天的工作量） （工人总数 增加工人后所用天数），把相 关数值代入

18、计算即可 . 答案 ： 设公司原计划安排 x名工人生产防核辐射衣服，则每个工人每天生产 =件， 由题意得： ， 整理得： ， 解得： x=750， 经检验 x=750 是方程的解，也符合题意 . 答：公司原计划安排 750 名工人生产防核辐射衣服 . 19.广州亚运会的召开，让同学们熟悉了不少体育明星 .小红和小亮就本班同学 “ 我最喜爱的体育明星 ” 进行了一次调查统计，图 1 和图 2 是她们通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息， 答案 以下问题： （ 1）求该班共有多少名学生？ （ 2）在扇形统计图中， “ 刘翔 ” 部分所对应的圆心角的度数是多少？ （ 3）

19、若全校有 4000 名学生，请估计 “ 最喜爱郭晶晶 ” 的学生有多少名？ 解析 ： （ 1）从条形图可知喜欢林丹的有 20 人，才扇形图可知喜欢林丹的占总体的 40%，从而可求出解 . （ 2） 360 就是所占的圆心角度数，从条形图可知喜欢刘翔的有 15 人 . （ 3）先求出） “ 最喜爱郭晶晶 ” 的学生占有比例，再乘以 4000 就可以了 . 答案 ： （ 1）该班人数为： 2040%=50 （人）； （ 2）在扇形统计图中， “ 刘翔 ” 部分所对应的圆心角的度数是： =108 ； （ 3） “ 最喜爱郭晶晶 ” 的学生占有比例为： ， 故在全校 4000 名学生中 “ 最喜爱郭晶

20、晶 ” 的学生人数约有： 400020%=800 名 . 即约有 800 名同学 “ 最喜爱郭晶晶 ” . 五、 答案 题（三）（本大题共 3 小题，每小题 9分，共 27 分） 20.某企业获准生产 “ 上海世博会 ” 纪念徽章，若生产 A 种款式的纪念徽章 125 件， B 种款式的纪念徽章 150 件，需生产成本 700 元；若生产 A 种款式的纪念徽章 100 件， B 种款式的纪念徽章 450 件，需生产成本 1550 元 .已知 A、 B 两种纪念徽章的市场零售价分别为 2.3 元，3.5 元 . （ 1）求每个 A、 B 两种款式的纪念徽章的成本是多少元？ （ 2）随着上海世博会

21、的开幕，为了满足市场的需要，该企业现在每天要生产 A、 B 两种款式的纪念徽章共 4500 件，若要求每天投入成本不超过 1 万元，并且每天生产的 B 种款式的纪念徽章不少于 A 种款式纪念徽章的 .那么每天最多获利多少元，最少获利多少元？获利最多的方案如何设计 . 解析 ： （ 1）先设出成本的价格，然后列出函数关系式； （ 2）设每天生产 A、 B 两种款式纪念徽章的个数，根据题意列出关系式，进而求出最多利润 . 答案 ： （ 1）设每个 A 种款式纪念徽章的成本是 x 元，每个 B 种款式纪念徽章的成本是 y元 . 据题意，得 ， 解得 ， 答：每个 A、 B 两种款式的纪念徽章的成本分

22、别是 2 元， 3 元； （ 2）设现在每天生产 m 个 A 种款式的纪念徽章，则现在每天生产（ 4500 m）个 B 种款式的纪念徽章 据题意，得： ， 解得 3500m3600 且 m 是整数， 设每天共获利 w 元，则 w=（ 2.3 2） m+（ 3.5 3）（ 4500 m） 即 w= 0.2m+2250 k= 0.2 0 w 随 m 的增大而减少， 当 m=3600 时， w 的值最小为 w= 0.23600+2250=1530 元， 当 m=3500 时， w 的值最大为 w= 0.23500+2250=1550 元， 即当现在每天生产 A种款式纪念徽章 3500个， B种款式纪

23、念徽章 1000个时获利最多，是 1550元 . 21.如图， AB 是 ABC 外接圆 O 的直径， D 是 AB 延长线上一点，且 BD= AB， A=30 ，CE AB 于 E，过 C 的直径交 O 于点 F，连接 CD、 BF、 EF. （ 1）求证： CD 是 O 的切线； （ 2）求： tan BFE 的值 . 解析 ： （ 1）要证明 CD 是 O 的切线，只要证明 OC CD 即可； （ 2）过点 E作 EH BF于 H，设 EH=a，利用角之间的关系可得到 AC BF，从而得到 BH=EH=a ， BE=2EH=2a，进而可得到 BF 的长，此时可求得 FH 的长，再根据正切

24、的公式即可求得 tan BFE 的值 . 答案 ： （ 1） AB 是 O 的直径， ACB=90 ， A=30 ， BC= ， OB= ， BD= ， BC=OB=BD， BC= ， OC CD， OC 是半径， CD 是 O 的切线； （ 2）过点 E 作 EH BF 于 H，设 EH=a， CF 是 O 直径， CBF=90= ACB， CBF+ ACB=180 ， AC BF， ABF= A=30 ， BH= EH=a ， BE=2EH=2a， CE AB 于 E， A+ ABC=90= ECB+ ABC， ECB= A=30 ， BC=2BE=4a， BFC= A=30 ， CBF=

25、90 ， BF= =4a ， FH=BF BH=4a a =3a ， tan BFE= = = . 22.如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 M 的坐标是（ 3， 0），半径为 2 的 M 交 x 轴于 E、F 两点，过点 P（ 1， 0）作 M 的切线，切点为点 A，过点 A 作 AB x轴于点 C，交 M于点 B.抛物线 y=ax2+bx+c 经过 P、 B、 M 三点 . （ 1）求该抛物线的函数表达式； （ 2）若点 Q 是抛物线上一动点，且位于 P、 B 两点之间，设四边形 APQB 的面积为 S，点 Q的横坐标为 x，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大值和此时点

26、Q 的坐标； （ 3）如图 2，将弧 AEB 沿弦 AB 对折后得到弧 AE B，试判断直线 AF 与弧 AE B 的位置关系，并说明理由 . 解析 ： （ 1）连接 AM，则 AM PA，又 AB x 轴，可知 MAC= APM， Rt APM 中， sin APM= = ，故 APM=30 ，在 Rt ACM 中， AM=2， MAC= APM=30 ，解直角三角形可求 CM， AC，确定 A 点坐标，根据对称性求 B 点坐标，抛物线过 P、 M，设抛物线交点式，将B 点坐标代入即可； （ 2）如图 1，过 Q 点作 QH x 轴，垂足为 H，根据 S 四边形 APQB=S APC+S P

27、QH+S 梯 形 BCHQ表示面积，利用函数的性质求面积最大值及此时 Q 点的坐标； （ 3）相切 .如图 2，连接 AE，证明 的圆心为 E 点，判断 EAF=90 即可 . 答案 ： （ 1）连接 AM， PA 切 M 于点 A， AM PA，又 AB x 轴， MAC= APM， Rt APM 中， PM=PO+OM=1+3=4， AM=2， sin APM= = ， APM=30 ， 在 Rt ACM 中， AM=2， MAC= APM=30 ， CM=AM sin30=2 =1， AC=AM cos30=2 = ， OC=OM CM=3 1=2， A（ 2， ）， A、 B 两点关于

28、 x 轴对称， B（ 2， ）， 抛物线过 P（ 1， 0）、 M（ 3， 0），设抛物线解析式为 y=a（ x+1）（ x 3）， 将 B（ 2， ）代入，得 a（ 2+1）（ 2 3） = ，解得 a= ， y= （ x+1）（ x 3） = x2 x ； （ 2）如图 1，过 Q 点作 QH x 轴，垂足为 H，由（ 1）得 H（ x， 0）， Q（ x， x2 x ） S 四边形 APQB=S APC+S PQH+S 梯 形 BCHQ= PCAC+ PHQH+ （ QH+BC） CH = 3 + （ x+1） （ x2+ x+ ） + （ x2+ x+ ） （ 2 x） = x2+ x+4 ， 0，四边形 APQB 的面积有最大值， 当 x= 时，四边形 APQB 的面积最大值为 ，此时 Q（ ， ）； （ 3）直线 AF 与弧 AE B 相切 .如图 2，连接 AE， 由（ 1）可知， 度数为 60 ，根据对称性可知 度数为 60 ， AEE 为等边三角形， 的圆心为 E 点， EAF= EAC+ CAF=30+60=90 ， 直线 AF 与弧 AE B 相切 .