1、2013 年广西省南宁市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )在 -2， 1， 5， 0 这四个数中，最大的数是 ( ) A. -2 B. 1 C. 5 D. 0 解析 ： 在 -2， 1， 5， 0 这四个数中，大小顺序为： -2 0 1 5，所以最大的数是 5. 答案： C. 2.(3 分 )如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 半圆绕它的直径旋转一周形成球体 . 答案： A. 3.(3 分 )2013 年 6 月 11 日，神舟十号飞船发射成功，神舟十号飞船身高 9米，重约
2、8吨，飞行速度约每秒 7900 米，将数 7900 用科学记数法表示，表示正确的是 ( ) A. 0.7910 4 B. 7.910 4 C. 7.910 3 D. 0.7910 3 解析 ： 将 7900 用科学记数法表示为： 7.910 3. 答案： C. 4.(3 分 )小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是 ( ) A. 三角形 B. 线段 C. 矩形 D. 平行四边形 解析 ： 将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段； 将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平
3、行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形 . 答案： A. 5.(3 分 )甲、乙、丙、丁四名选手参加 100 米决赛，赛场只设 1、 2、 3、 4 四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到 1 号跑道的概率是 ( ) A. 1 B. C. D. 解析 ： 设 1、 2、 3、 4 四个跑道，甲抽到 1 号跑道的只有 1 种情况， 甲抽到 1号跑道的概率是： . 答案： D. 6.(3 分 )若分式 的值为 0，则 x 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. -1 或 2 解析 ： 由题意得： x-2=
4、0，且 x+10 ，解得： x=2， 答案： C. 7.(3 分 )如图，圆锥形的烟囱底面半径为 15cm，母线长为 20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是 ( ) A. 1500cm 2 B. 300cm 2 C. 600cm 2 D. 150cm 2 解析 ： 烟囱帽所需要的铁皮面积 = 20215=300 (cm2). 答案： B. 8.(3 分 )下列各式计算正确的是 ( ) A. 3a3+2a2=5a6 B. C. a4 a2=a8 D. (ab2)3=ab6 解析 ： A、 3a3与 2a2不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 2 + =3 ，故本选项正确； C、
5、 a4 a2=a6，故本选项错误； D、 (ab2)3=a3b6，故本选项错误 . 答案： B. 9.(3 分 )陈老师打算购买气球装扮学校 “ 六一 ” 儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束(4 个气球 )为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 ( ) A. 19 B. 18 C. 16 D. 15 解析 ： 设笑脸形的气球 x 元一个，爱心形的气球 y 元一个， 由题意，得： ，解得： 2x+2y=16. 答案： C. 10.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图
6、象如图所示，下列说法错误的是 ( ) A.图象关于直线 x=1 对称 B.函数 y=ax2+bx+c(a0 )的最小值是 -4 C.-1 和 3 是方程 ax2+bx+c=0(a0 )的两个根 D.当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大 解析 ： A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线 x=1，则图象关于直线 x=1 对称，正确，故本选项不符合题意； B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为 (1， -4)，又抛物线开口向上，所以函数y=ax2+bx+c(a0 )的最小值是 -4，正确，故本选项不符合题意； C、由图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为 (-1， 0)，而对称轴为直线 x=1，所
7、以抛物线与 x轴的另外一个交点为 (3， 0)，则 -1 和 3 是方程 ax2+bx+c=0(a0 )的两个根，正确，故本选项不符合题意； D、由抛物线的对称轴为 x=1，所以当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意 . 答案： D. 11.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE=CD=8， BAC= BOD ，则 O的半径为 ( ) A. 4 B. 5 C. 4 D. 3 解析 ： BAC= BOD ， = ， ABCD ， AE=CD=8 ， DE= CD=4， 设 OD=r，则 OE=AE-r=8-r，在 RtODE
8、中， OD=r， DE=4， OE=8-r， OD 2=DE2+OE2，即 r2=42+(8-r)2，解得 r=5. 答案： B. 12.(3 分 )如图，直线 y= 与双曲线 y= (k 0， x 0)交于点 A，将直线 y= 向上平移 4个单位长度后，与 y 轴交于点 C，与双曲线 y= (k 0， x 0)交于点 B，若 OA=3BC，则 k 的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. D. 解析 ： 将直线 y= 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C， 平移后直线的解析式为 y= x+4， 分别过点 A、 B 作 ADx 轴， BEx 轴， CFBE 于点 F，设 A(3x，
9、 x)， OA=3BC ， BCOA ， CFx 轴， BCFAOD ， CF= OD， 点 B 在直线 y= x+4 上， B (x， x+4)， 点 A、 B 在双曲线 y= 上， 3x x=x( x+4)，解得 x=1， k=31 1= . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意，使二次根式 有意义，即 x-20 ，解得 x2 ； 答案 ： x2 . 14.(3 分 )一副三角板如图所示放置，则 AOB= . 解析 ： 根据三角板的度数可得： 2=45 ， 1=60
10、， AOB=1+2=45+60=105 ， 答案 ： 105. 15.(3 分 )分解因式： x2-25= . 解析 ： x2-25=(x+5)(x-5). 答案 ： (x+5)(x-5). 16.(3 分 )某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为 100 分，其中，期中考试成绩占 40%，期末考试成绩占 60%，小海这个学期的期中、期末成绩 (百分制 )分别是 80 分、 90 分，则小海这个学期的体育综合成绩是 分 . 解析 ： 小海这学期的体育综合成绩 =(8040%+9060% )=86(分 ). 答案 ： 86. 17.(3 分 )有这样一组数据 a1， a2， a3， a n，满
11、足以下规律：， (n2 且 n 为正整数 )，则 a2013的值为 (结果用数字表示 ). 解析 ： a1= ， a2= =2， a3= =-1， a4= = ， ， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， 20133=671 ， a 2013为第 671 循环组的最后一个数，与 a3相同，为 -1. 答案 ： -1. 18.(3 分 )如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆 (与角两边及三角形内切圆都相切的圆 )的内部挖去，则此三角形剩下部分 (阴影部分 )的面积为 . 解析 ： 如图，连接 OB、 OD； 设小圆的圆心为 P， P 与 O 的切点为 G；过 G 作两圆的
12、公切线 EF，交 AB 于 E，交 BC 于 F， 则 BEF=BFE=90 -30=60 ，所以 BEF 是等边三角形 . 在 RtOBD 中， OBD=30 ， 则 OD=BD tan30=1 = ， OB=2OD= ， BG=OB-OG= ； 由于 P 是等边 BEF 的内切圆，所以点 P 是 BEF 的内心，也是重心，故 PG= BG= ； S O = ( )2= ， SP = ( )2= ； S 阴影 =SABC -SO -3SP = - - =- . 答案 ： - . 三、 解答题 19.(6 分 )计算： 20130- +2cos60+ (-2) 解析 ： 分别进行零指数幂、二次
13、根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值合并即可得出答案 . 答案： 原式 =1-3 +2 -2=-3 . 20.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 x=-2. 解析 ： 先算括号里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后进行约分，最后把 x 的值代入进行计算即可得解 . 答案： ( + ) = = =x-1， 当 x=-2 时，原式 =-2-1=-3. 21.(8 分 )如图， ABC 三个定点坐标分别为 A(-1， 3)， B(-1， 1)， C(-3， 2). (1)请画出 ABC 关于 y 轴对称的 A 1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，将 A 1B1C1放大为
14、原来的 2 倍，得到 A 2B2C2，请在第三象限内画出 A 2B2C2，并求出 的值 . 解析 ： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 关于 y 轴的对称点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； (2)连接 A1O 并延长至 A2，使 A2O=2A1O，连接 B1O并延长至 B2，使 B2O=2B1O，连接 C1O并延长至 C2，使 C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答 . 答案： (1)A 1B1C1如图所示； (2)A 2B2C2如图所示， A 1B1C1放大为原来的 2 倍得到 A 2B2C2， A 1B1C1A 2B2C2，
15、且相似比为 ， S A1B1C1 ： SA2B2C2 =( )2= . 22.(8 分 )2013 年 6 月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以 “ 我最喜爱的书籍 ”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图 1 和图 2 提供的信息，解答下列问题： (1)在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ (2)请把折线统计图 (图 1)补充完整； (3)求出扇形统计图 (图 2)中，体育部分所对应的圆心角的度数； (4)如果这所中学共有学生 1800 名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数 . 解析 ： (1)用文学的人数
16、除以所占的百分比计算即可得解； (2)根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可； (3)用体育所占的百分比乘以 360 ，计算即可得解； (4)用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解 . 答案： (1)9030%=300 (名 )，故，一共调查了 300 名学生； (2)艺术的人数： 30020%=60 名，其它的人数： 30010%=30 名；补全折线图如图； (3)体育部分所对应的圆心角的度数为： 360=48 ； (4)1800 =480(名 ). 答： 1800 名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为 480. 23.(8 分 )如图，在菱形 ABCD 中， AC
17、 为对角线，点 E、 F 分别是边 BC、 AD的中点 . (1)求证： ABECDF ； (2)若 B=60 ， AB=4，求线段 AE 的长 . 解析 ： (1)首先根据菱形的性质，得到 AB=BC=AD=CD， B=D ，结合点 E、 F 分别是边 BC、AD 的中点，即可证明出 ABECDF ； (2)首先证明出 ABC 是等边三角形，结合题干条件在 RtAEB 中， B=60 ， AB=4，即可求出 AE 的长 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=AD=CD ， B=D ， 点 E、 F 分别是边 BC、 AD 的中点， BE=DF ， 在 ABE 和 CDF
18、 中， ， ABECDF (SAS)； (2)B=60 ， ABC 是等边三角形， 点 E 是边 BC 的中点， AE BC， 在 RtAEB 中， B=60 ， AB=4， sin60= = ，解得 AE=2 . 24.(10 分 )在一条笔直的公路上有 A、 B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y(km)与行驶时 x(h)之间的函数图象，根据图象解答以下问题： (1)写出 A、 B 两地之间的距离； (2)求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两人之间保持的距离不超过
19、 3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的取值范围 . 解析 ： (1)x=0 时甲的 y 值即为 A、 B 两地的距离； (2)根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点 M 的坐标以及实际意义； (3)分相遇前和相遇后两种情况求出 x 的值，再求出最后两人都到达 B 地前两人相距 3 千米的时间，然后写出两个取值范围即可 . 答案： (1)x=0 时，甲距离 B 地 30 千米，所以， A、 B 两地的距离为 30千米； (2)由图可知，甲的速度： 302=15 千米 /时， 乙的速度： 301=
20、30 千米 /时， 30 (15+30)= ， 30=20 千米， 所以，点 M 的坐标为 ( ， 20)，表示 小时后两车相遇，此时距离 B 地 20 千米； (3)设 x 小时时，甲、乙两人相距 3km， 若是相遇前，则 15x+30x=30-3，解得 x= ， 若是相遇后，则 15x+30x=30+3，解得 x= ， 若是到达 B 地前，则 15x-30(x-1)=3，解得 x= ， 所以，当 x 或 x2 时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系 . 25.(10 分 )如图，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC， AB 是 O 的直径， O 交 BC 于点 D， DEAC于点
21、 E， BE 交 O 于点 F，连接 AF， AF 的延长线交 DE于点 P. (1)求证： DE 是 O 的切线； (2)求 tanABE 的值； (3)若 OA=2，求线段 AP 的长 . 解析 ： (1)连接 AD、 OD，根据圆周角定理得 ADB=90 ，由 AB=AC，根据等腰三角形的直线得 DC=DB，所以 OD 为 BAC 的中位线，则 ODAC ，然后利用 DEAC 得到 ODDE ， 这样根据切线的判定定理即可得到结论； (2)易得四边形 OAED 为正方形，然后根据正切的定义计算 tanABE 的值； (3)由 AB 是 O 的直径得 AFB=90 ，再根据等角的余角相等得
22、 EAP=ABF ，则tanEAP=tanABE= ，在 RtEAP 中，利用正切的定义可计算出 EP，然后利用勾股定理可计算出 AP. 答案： (1)连接 AD、 OD，如图， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， AB=AC ， AD 垂直平分 BC，即 DC=DB， OD 为 BAC 的中位线， ODAC ， 而 DEAC ， ODDE ， DE 是 O 的切线； (2)OD DE， DEAC ， 四边形 OAED 为矩形，而 OD=OA， 四边形 OAED 为正方形， AE=AO ， tanABE= = ； (3)AB 是 O 的直径， AFB=90 ， ABF+FAB=90 ，
23、而 EAP+FAB=90 ， EAP=ABF ， tanEAP=tanABE= ， 在 RtEAP 中， AE=2， tanEAP= = ， EP=1 ， AP= = . 26.(10 分 )如图，抛物线 y=ax2+c(a0 )经过 C(2， 0)， D(0， -1)两点，并与直线 y=kx 交于A、 B 两点，直线 l 过点 E(0， -2)且平行于 x 轴，过 A、 B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M、 N. (1)求此抛物线的解析式； (2)求证： AO=AM； (3)探究： 当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时 的值； 试说明无论 k 取何值， 的值
24、都等于同一个常数 . 解析 ： (1)把点 C、 D 的坐标代入抛物线解析式求出 a、 c，即可得解； (2)根据抛物线解析式设出点 A 的坐标，然后求出 AO、 AM 的长，即可得证； (3)k=0 时，求出 AM、 BN 的长，然后代入 + 计算即可得解； 设点 A(x1， x12-1)， B(x2， x22-1)，然后表示出 + ，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出 x1+x2， x1 2，并求出 x12+x22， x12 x22，然后代入进行计算即可得解 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+c(a0 )经过 C(2， 0
25、)， D(0， -1)， ，解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y= x2-1； (2)设点 A 的坐标为 (m， m2-1)，则 AO= = m2+1， 直线 l 过点 E(0， -2)且平行于 x 轴， 点 M 的纵坐标为 -2， AM= m2-1-(-2)= m2+1， AO=AM ； (3)k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、 B 在 x 轴上， AM=BN=0 -(-2)=2， + = + =1； k 取任何值时，设点 A(x1， x12-1)， B(x2， x22-1)， 则 + = + = = ， 联立 ，消掉 y 得， x2-4kx-4=0，由根与系数的关系得， x1+x2=4k， x1 x2=-4， 所以， x12+x22=(x1+x2)2-2x1 x2=16k2+8， x12 x22=16， + = = =1， 无论 k 取何值， + 的值都等于同一个常数 1.
