1、2013 年广西省梧州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )|6|=( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 解析 ： |6|=6. 答案： A. 2.(3 分 )化简： a+a=( ) A. 2 B. a2 C. 2a2 D. 2a 解析 ： 原式 =2a. 答案： D. 3.(3 分 )sin30= ( ) A. 0 B. 1 C. D. 解析 ： sin30= . 答案： C. 4.(3 分 )如图，直线 ABCD ， AB、 CD 与直线 BE 分别交与点 B、 E， B=70 ， BED= ( ) A. 110 B
2、. 50 C. 60 D. 70 解析 ： ABCD ， BED=B=70 . 答案： D. 5.(3 分 )如图， ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180 后得到 ABC .ED 是 ABC 的中位线，经旋转后为线段 ED .已知 BC=4，则 ED= ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 1.5 解析 ： ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 180 后得到 ABC ， ABCABC ， BC=BC=4 ， DE 是 ABC 的中位线， DE= BC= 4=2 . 答案： A. 6.(3 分 )如图，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是 ( ) A. B. C
3、. D. 解析 ： 该图形的主视图为： ，俯视图为： ，左视图为： ， A、该图形为原图形的主视图，本选项正确； B、该图形为原图形的俯视图，本选项正确； C、该图形为原图形的左视图，本选项正确； D、观察原图形，不能得到此平面图形，故本选项错误； 答案： D. 7.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中，已知 A=60 ， AB=5，则 ABD 的周长是 ( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AB=AD ， 又 A=60 ， ABD 是等边三角形， ABD 的周长 =3AB=15. 答案： C. 8.(3 分 )下列各组线段的长为边，能
4、组成三角形的是 ( ) A. 2cm， 3cm， 4cm B. 2cm， 3cm， 5cm C. 2cm， 5cm， 10cm D. 8cm， 4cm， 4cm 解析 ： 根据三角形任意两边的和大于第三边，可知 A、 2+3 4，能组成三角形，故本选项正确； B、 2+3=5，不能组成三角形，故本选项错误； C、 2+5 10，不能够组成三角形，故本选项错误； D、 4+4=8，不能组成三角形，故本选项错误； 答案： A. 9.(3 分 )如图，把矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，若 1=20 ，则 2= ( ) A. 80 B. 70 C. 40 D. 20 解析 ： 过 G 点作 GHA
5、D ，如图， 2=4 ， 矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠， 3+4=B=90 ， ADBC ， HGBC ， 1=3=20 ， 4=90 -20=70 ， 2=70 . 答案： B. 10.(3 分 )小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数， 偶数一共有 4 个， 小李报到偶数的概率是： . 答案： ： B. 11.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， AB 垂直于弦 CD， BOC=70 ，则 ABD= ( )
6、A. 20 B. 46 C. 55 D. 70 解析 ： 连接 BC， OC=OB ， OBC=OCB= = =55 ， ABCD ， = ， ABD=OBC=55 . 答案： C. 12.(3 分 )父子两人沿周长为 a 的圆周骑自行车匀速行驶 .同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为 11 倍 .已知儿子的速度为 v，则父亲的速度为 ( ) A. 1.1v B. 1.2v C. 1.3v D. 1.4v 解析 ： 设父亲的速度为 x，根据题意得出： = ，解得： x=1.2V. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分
7、)计算： 0-7= . 解析 ： 0-7=-7； 答案 ： -7. 14.(3 分 )若反比例函数 的图象经过点 (2， 4)，则 k 的值为 . 解析 ： 点 (2， 4)在反比例函数 y= 的图象上， 4= ，即 k=8. 答案 ： 8. 15.(3 分 )若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形的周长扩大为原来的 倍 . 解析 ： 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍， 扩大后的三角形与原三角形相似， 相似三角形的周长的比等于相似比， 这个三角形的周长扩大为原来的 5 倍， 答案 ： 5. 16.(3 分 )分解因式： ax2-9a= . 解析 ： ax2-9a=a(x2-
8、9)=a(x+3)(x-3). 答案 ： a(x+3)(x-3). 17.(3 分 )若一条直线经过点 (-1， 1)和点 (1， 5)，则这条直线与 x 轴的交点坐标为 . 解析 ： 设经过点 (-1， 1)和点 (1， 5)的直线方程为 y=kx+b(k0 )， 则 ，解得， ，所以该直线方程为 y=2x+3. 令 y=0，则 x=- ，故这条直线与 x 轴的交点坐标为 (- ， 0). 答案 ： (- ， 0). 18.(3 分 )如图， ACBC ， AC=BC=4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心， BC为半径作 .过点 O 作 BC 的平行线交两弧于点 D、
9、E，则阴影部分的面积是 . 解析 ： 如图，连接 CE. ACBC ， AC=BC=4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心， BC 为半径作 ， ACB=90 ， OA=OC=OD=2， BC=CE=4.又 OEBC ， AOE=COE=90 . 在直角 OEC 中， OC= CE， OEC=30 ， OE=2 .ECB=OEC=30 ， S 阴影 =S 扇形 ACB-S 扇形 AOD-S 扇形 ECB-SOCE = - - - 22 = -2 . 答案 ： -2 . 三、解答题 (本大题共 8 分，满分 66 分 .) 19.(6 分 )解方程： . 解析 ： 方程去括号
10、，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解 . 答案： 方程去括号得： 3x+2=8+x， 移项合并得： 2x=6， 解得： x=3. 20.(6 分 )如图，已知： ABCD ， BEAD ，垂足为点 E， CFAD ，垂足为点 F，并且 AE=DF. 求证：四边形 BECF 是平行四边形 . 解析 ： 通过全等三角形 (AEBDFC )的对应边相等证得 BE=CF，由 “ 在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行 ” 证得 BECF .则四边形 BECF 是平行四边形 . 答案： BEAD ， CFAD ， AEB=DFC=90 ， ABCD ， A=D ， 在 AEB 与 D
11、FC 中， ， AEBDFC (ASA)， BE=CF . BEAD ， CFAD ， BECF . 四边形 BECF 是平行四边形 . 21.(6 分 )某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： (1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人 甲 将被录取 . (2)如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们 6和 4 的权 .计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取 . 解析 ： (1)根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案； (
12、2)根据题意先算出按 6 和 4 的甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案 . 答案： (1)甲的平均数是： (85+92)2=88.5 (分 )， 乙的平均数是： (91+85)2=88 (分 )， 丙的平均数是： (80+90)2=85 (分 )， 甲的平均成绩最高， 候选人甲将被录取 . 故答案为：甲 . (2)根据题意得： 甲的平均成绩为： (856+924 )10=87.8 (分 )， 乙的平均成绩为： (916+854 )10=88.6 (分 )， 丙的平均成绩为： (806+904 )10=84 (分 )， 因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取 . 22.(8 分 )某工厂
13、现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需要的时间与原计划生产 450 台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ 解析 ： 本题考查列分式方程解实际问题的能力，因为现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同 .所以可得等量关系为：现在生产 600 台机器时间 =原计划生产 450台时间 . 答案： 设：现在平均每天生产 x 台机器，则原计划可生产 (x-50)台 . 依题意得： .(4 分 )解得： x=200. 检验：当 x=200 时， x(x-50)0 .x=200 是原分式方程的解 . 答：现在平均每天生产 200 台机
14、器 .(8 分 ) 23.(8 分 )海上有一小岛，为了测量小岛两端 A、 B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知 B 点是 CD 的中点， E 是 BA 延长线上的一点，测得 AE=8.3 海里， DE=30 海里，且 DEEC ， cosD= . (1)求小岛两端 A、 B 的距离； (2)过点 C 作 CFAB 交 AB 的延长线于点 F，求 sinBCF 的值 . 解析 ： (1)在 RtCED 中，利用三角函数求出 CE， CD 的长，根据中点的定义求得 BE 的长，AB=BE-AE 即可求解； (2)设 BF=x 海里 .在 RtCFB 中，利用勾股定理求得 CF2
15、=CB2-BF2=252-x2=625-x2.在 RtCFE中，列出关于 x 的方程，求得 x 的值，从而求得 sinBCF 的值 . 答案： (1)在 RtCED 中， CED=90 ， DE=30 海里， cosD= ， CE=40 (海里 )， CD=50(海里 ). B 点是 CD 的中点， BE= CD=25(海里 )AB=BE -AE=25-8.3=16.7(海里 ). 答：小岛两端 A、 B 的距离为 16.7 海里 . (2)设 BF=x 海里 .在 RtCFB 中， CFB=90 ， CF 2=CB2-BF2=252-x2=625-x2. 在 RtCFE 中， CFE=90
16、， CF 2+EF2=CE2，即 625-x2+(25+x)2=1600.解得 x=7. sinBCF= . 24.(10 分 )我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价 15 元，售价 20 元；乙种每件进价35 元，售价 45 元 . (1)若商家同时购进甲、乙两种商品 100 件，设甲商品购进 x 件，售完此两种商品总利润为y 元 .写出 y 与 x 的函数关系式 . (2)该商家计划最多投入 3000 元用于购进此两种商品共 100 件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？ (3)“ 五 一 ” 期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到
17、该商场一次性付款 324 元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？ 解析 ： (1)根据利润 =甲种商品的利润 +乙种商品的利润就可以得出结论； (2)根据 “ 商家计划最多投入 3000 元用于购进此两种商品共 100 件 ” 列出不等式，解不等式求出其解，再根据一次函数的性质，求出商家可获得的最大利润； (3)设小王到该商场购买甲种商品 m 件，购买乙种商品 n 件 .分两种情况讨论： 打折前一次性购物总金额不超过 400； 打折前一次性购物总金额超过 400. 答案： (1)设甲商品购进 x 件，则乙商品购进 (100-x)件， 由题意，得 y=(20-15)x+(45-
18、35)(100-x)=-5x+1000， 故 y 与 x 之间的函数关系式为： y=-5x+1000； (2)由题意，得 15x+35(100-x)3000 ，解之，得 x25 . y= -5x+1000， k=-5 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x 取最小值 25 时， y 最大值，此时 y=-525+1000=875 (元 )， 至少要购进 25 件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是 875 元； (3)设小王到该商场购买甲种商品 m 件，购买乙种商品 n 件 . 当打折前一次性购物总金额不超过 400 时，购物总金额为 3240.9=360 (元 )， 则 20m+
19、45n=360， m=18- n 0， 0 n 8. n 是 4 的倍数， n=4 ， m=9.此时的利润为： 324-(159+354 )=49(元 )； 当打折前一次性购物总金额超过 400 时，购物总金额为 3240.8=405 (元 )， 则 20m+45n=405， m= 0， 0 n 9. m 、 n 均是正整数， m=9 ， n=5 或 m=18， n=1. 当 m=9， n=5 的利润为： 324-(915+535 )=14(元 )； 当 m=18， n=1 的利润为： 324-(1815+135 )=19(元 ). 综上所述，商家可获得的最小利润是 14 元，最大利润是 49
20、 元 . 25.(10 分 )已知，点 C 在以 AB 为直径的半圆上， CAB 的平分线 AD交 BC于点 D， O 经过A、 D 两点，且圆心 O 在 AB 上 . (1)求证： BD 是 O 的切线 . (2)若 ， ，求 O 的面积 . 解析 ： (1)连接 OD，求出 CAD=OAD=ADO ，推出 ODAC ，推出 ODCB ，根据切线判定推出即可； (2)根据勾股定理求出 AC= ， AB=4 .设 O 的半径为 r，证 BODBAC ，得出 ，代入求出 r 即可 . 答案： (1)连接 OD. AB 为直径， ACB=90 ， OA=OD ， ODA=OAD ， AD 平分 C
21、AB ， OAD=CAD ， ODA=CAD ， ODAC ， ODB=ACB=90 ， BD 是 O 的切线 . (2) ， AB=4AC ， BC 2=AB2-AC2， 15AC 2=80， AC= ， AB=4 . 设 O 的半径为 r， ODAC ， BODBAC ， ，解得： r= r 2= ( )2= ， O 的面积为 . 26.(12 分 )如图，抛物线 y=a(x-h)2+k 经过点 A(0， 1)，且顶点坐标为 B(1， 2)，它的对称轴与 x 轴交于点 C. (1)求此抛物线的解析式 . (2)在第一象限内的抛物线上求点 P，使得 ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，请求
22、出此时点P 的坐标 . (3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标 . 解析 ： (1)由抛物线 y=a(x-h)2+k 的顶点坐标是 B(1， 2)知： h=1， k=2，则 y=a(x-1)2+2，再把 A 点坐标代入此解析式即可； (2)易知 OAC 是等腰直角三角形，可得 AC 的垂直平分线是直线 y=x，根据 “ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点 的距离相等 ” 知直线 y=x 与抛物线的交点即为点 P，解方程组即可求出 P 点坐标； (3)先求出第一象限内此抛物线上与 AC距离最远
23、的点的坐标，再与 P点的坐标比较进行判断 .满足条件的点一定是与直线 AC 平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线 AC 的解析式，设出与 AC 平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点 P 是否重合来判断点 P 是否是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点 . 答案： (1) 抛物线 y=a(x-h)2+k 顶点坐标为 B(1， 2)， y=a (x-1)2+2， 抛物线经过点 A(0， 1)， a (0-1)2+2=1， a= -1， 此抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+2 或 y=-x2+2x+1； (2)A
24、 (0， 1)， C(1， 0)， OA=OC ， OAC 是等腰直角三角形 . 过点 O 作 AC 的垂线 l，根据等腰三角形的 “ 三线合一 ” 的性质知： l 是 AC的中垂线， l 与抛物线的交点即为点 P. 如图，直线 l 的解析式为 y=x， 解方程组 ，得 ， (不合题意舍去 )， 点 P 的坐标为 ( ， )； (3)点 P 不是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点 . 由 (1)知，点 C 的坐标为 (1， 0). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 ， 直线 AC 的解析式为 y=-x+1. 设与 AC 平行的直线的解析式为 y=-x+m.解方程组 ， 代入消元，得 -x2+2x+1=-x+m， 此点与 AC 距离最远， 直线 y=-x+m 与抛物线有且只有一个交点， 即方程 -x2+2x+1=-x+m 有两个相等的实数根 . 整理方程得： x2-3x+m-1=0， =9 -4(m-1)=0，解之得 m= . 则 x2-3x+ -1=0，解之得 x1=x2= ，此时 y= . 第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标为 ( ， ).
