1、2013 年广西省河池市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 .) 1.(3 分 )在 -2， -1， 1， 2 这四个数中，最小的是 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 解析 ： | -2|=2， |-1|=1， 四个数 -2， -1， 1， 2 中，两个负数中 -2 的绝对值最大， 最小的数为 -2. 答案： A. 2.(3 分 )如图，直线 ab ，直线 c 与 a、 b 相交， 1=70 ，则 2 的大小是 ( ) A. 20 B. 50 C. 70 D. 110 解析 ： 1=70 ， 3=70 ， ab ， 2=3=70 ，
2、答案： C. 3.(3 分 )如图所示的几何体，其主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从物体正面看，看到的是一个等腰梯形 . 答案： C. 4.(3 分 )2013 年河池市初中毕业升学考试的考生人数约为 3.2 万名，从中抽取 300 名考生的数学成绩进行分析，在本次调查中，样本指的是 ( ) A. 300 名考生的数学成绩 B. 300 C. 3.2 万名考生的数学成绩 D. 300 名考生 解析 ： 3.2 万名考生的数学成绩是总体， 300 名考生的数学成绩是样本， 300 是样本容量 . 答案： A. 5.(3 分 )把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是 ( )
3、A. B. C. D. 解析 ： 不等式组 的解集在数轴上表示为： 答案： B. 6.(3 分 )一个三角形的周长是 36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( ) A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 36cm 解析 ： 如图，点 D、 E、 F 分别是 AB、 AC、 BC 的中点， DE= BC， DF= AC， EF= AB， 原三角形的周长为 36cm，则新三角形的周长为 =18(cm). 答案： C. 7.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2+x3=x5 B. (x2)3=x8 C. x6x 2=x3 D. x4x 2=x6 解析 ： A、不
4、是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 (x2)3=x6，故本选项错误； C、 x6x 2=x4，故本选项错误； D、 x4x 2=x6，故本选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )如图 (1)，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合 .将 ACB 绕点 C 按顺时针方向旋转到 ACB 的位置，其中 AC 交直线 AD 于点 E， AB 分别交直线 AD、 AC于点 F、 G，则在图 (2)中，全等三角形共有 ( ) A. 5 对 B. 4 对 C. 3 对 D. 2 对 解析 ： 旋转后的图中，全等的三角形有： BCGDCE ， ABCADC ， AGFAEF ， ACEACG
5、，共 4 对 . 答案： B. 9.(3分 )如图， O 的弦 AB垂直半径 OC于点 D， CBA=30 ， OC=3 cm，则弦 AB的长为 ( ) A. 9cm B. 3 cm C. cm D. cm 解析 ： CBA=30 ， AOC=2CBA=60 ， ABOC ， ADO=90 ， OAD=30 ， OD= OA= 3 = (cm)， 由勾股定理得： AD= =4.5cm， ABOC ， OC 过 O， AB=2AD=9(cm) ， 答案： A. 10.(3 分 )如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 外一点，过点 C 作的 O 切线，切点为 B，连结AC 交 O 于 D，
6、C=38 .点 E在 AB 右侧的半圆上运动 (不与 A、 B 重合 )，则 AED 的大小是( ) A. 19 B. 38 C. 52 D. 76 解析 ： 连接 BD， AB 为 O 的直径， BC 是 O 的切线， ADB=90 ， ABBC ， C+BAC=BAC+ABD=90 ， ABD=C ， AED=ABD ， AED=C=38. 答案： B. 11.(3 分 )如图，在直角梯形 ABCD 中， AB=2， BC=4， AD=6， M是 CD 的中点，点 P 在直角梯形的边上沿 ABCM 运动，则 APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系用图象表示是 ( )
7、A. B. C. D. 解析 ： 连接 AC，过点 C 作 CEAD 于点 E，过点 M作 MFAB 于点 F，易得 CE=2， MF=5， ， 当点 P 于与点 B 重合，即 x=2 时， y= APMF= 25=5 ； 当点 P 于与点 C 重合，即 x=6 时， y= ADCE= 62=6 ； M 是 CD 中点， S APM = SAPD =3，即 x=6 时， y=3.结合函数图象可判断选项 D 正确 . 答案： D. 12.(3 分 )已知二次函数 y=-x2+3x- ，当自变量 x 取 m 对应的函数值大于 0，设自变量分别取 m-3， m+3 时对应的函数值为 y1， y2，则
8、 ( ) A. y1 0， y2 0 B. y1 0， y2 0 C. y1 0， y2 0 D. y1 0， y2 0 解析 ： 如图， 二次函数 y=-x2+3x- 的图象的对称轴为 x=- = ， 而抛物线与 y 轴的交点为 (0， - )， 抛物线与 x 轴两交点之间的距离小于 3， 当 x=m 时， y 0， 当 x=m-3 时， y1 0；当 x=m+3 时， y2 0. 答案： D. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 .) 13.(3 分 )若分式 有意义，则 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得： x-10 ，解得： x1 ， 答案 ： x1. 1
9、4.(3 分 )分解因式： ax2-4a= . 解析 ： ax2-4a=a(x2-4)=a(x+2)(x-2). 答案 ： a(x+2)(x-2) 15.(3 分 )袋子中装有 4 个黑球 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同 .在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是 . 解析 ： 袋子中装有 4 个黑球 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同 . 随机地从这个袋子中摸出一个球，这个球为白球的概率是： = . 答案 ： . 16.(3 分 )如图，点 O 是 ABC 的两条角平分线的交点，若 BOC=118 ，则 A 的大小是 . 解析 ： B
10、OC 中， BOC=118 ， 1+2=180 -118=62. BO 和 CO 是 ABC 的角平分线， ABC+ACB=2(1+2)=262=124 ， 在 ABC 中， ABC+ACB=124 ， A=180 -(ABC+ACB)=180 -124=56. 故答案为： 56. 17.(3 分 )如图，在 ABC 中， AC=6， BC=5， sinA= ，则 tanB= . 解析 ： 如图，过点 C 作 CDAB 于点 D. 在直角 ACD 中， AC=6， sinA= ， = = ，则 CD=4. 在直角 CDB 中，由勾股定理求得 BD= = =3， tanB= = . 答案 ： .
11、 18.(3 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 BC、 CD 上的两个动点，且 AEEF .则 AF 的最小值是 . 解析 ： 设 BE=x，则 EC=4-x， AEEF ， AEF=90 ， AEB+FEC=90 ， 而 AEB+BAE=90 ， BAE=FEC ， RtABERtECF ， = ，即 = ，解得 FC= ， DF=4 -FC=4- = x2-x+4= (x-2)2+3 当 x=2 时， DF 有最小值 3， AF 2=AD2+DF2， AF 的最小值为 =5. 答案 ： 5. 三、解答题 (本大题共 8 小题，共 66 分 ) 19.(6 分
12、)计算： 2cos30 - +(-3)2-|- |， (说明：本题不能使用计算器 ) 解析 ： 本题涉及平方根、特殊角的三角函数值、乘方、绝对值等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =2 -3+9- = +6- =6. 20.(6 分 )先化简，再求值： (x+2)2-(x+1)( x-1)，其中 x=1. 解析 ： 先根据整式乘法法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可 . 答案： (x+2)2-(x+1)( x-1)=x2+4x+4-x2+1=4x+5， 当 x=1 时，原式 =41+5=9. 21.(8 分 )请在图中补全坐标系及缺
13、失的部分，并在横线上写恰当的内容 .图中各点坐标如下：A(1， 0)， B(6， 0)， C(1， 3)， D(6， 2).线段 AB 上有一点 M，使 ACMBDM ，且相似比不等于 1.求出点 M 的坐标并证明你的结论 . 解： M( ， ) 证明： CAAB ， DBAB CAM=DBM= 度 . CA=AM=3 ， DB=BM=2 ACM=AMC ( )， BDM=BMD (同理 )， ACM= (180 - )=45 .BDM=45 (同理 ). ACM=BDM 在 ACM 与 BDM 中， ACMBDM (如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
14、) 解析 ： 根据各点坐标如下： A(1， 0)， B(6， 0)， C(1， 3)， D(6， 2).可以补全坐标系及缺失的部分，根据相似三角形的性质可得 M( 4， 0)，通过 AA 可证 ACMBDM. 答案： 如图所示： 当 ACMBDM 时， = ，解得 AM=3，则 M( 4， 0). 理由如下： CAAB ， DBAB CAM=DBM=90 度 . CA=AM=3 ， DB=BM=2 ACM=AMC( 等边对等角 )， BDM=BMD( 同理 )， ACM= (180 -90)=45.BDM=45( 同理 ).ACM=BDM 在 ACM 与 BDM 中， ， ACMBDM( 如果
15、一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 ) 22.(8 分 )为响应 “ 美丽河池 清洁乡村 美化校园 ” 的号召，红水河中学计划在学 校公共场所安装温馨提示牌和垃圾箱 .已知，安装 5 个温馨提示牌和 6 个垃圾箱需 730 元，安装 7个温馨提示牌和 12 个垃圾箱需 1310 元 . (1)安装 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需多少元？ (2)安装 8 个温馨提示牌和 15 个垃圾箱共需多少元？ 解析 ： (1)先设安装 1 个温馨提示牌需要 x 元， 1 个垃圾箱需要 y 元，根据安装 5 个温馨提示牌和 6 个垃圾箱需 730 元，安装 7 个温馨
16、提示牌和 12 个垃圾箱需 1310 元，列出方程组，求出方程组的解即可 . (2)根据安装 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需 50 元、 80 元，可得安装 8 个温馨提示牌和15 个 垃圾箱共需的钱数是： 508+8015 ，再进行计算即可 . 答案： (1)设安装 1 个温馨提示牌需要 x 元， 1 个垃圾箱需要 y 元， 根据题意得； ，解得： ， 答：安装 1 个温馨提示牌和 1 个垃圾箱各需 50 元、 80 元 . (2)安装 8 个温馨提示牌和 15 个垃圾箱共需的钱数是： 508+8015=1600( 元 )， 答：安装 8 个温馨提示牌和 15 个垃圾箱共需 1600
17、元 . 23.(8 分 )瑶寨中学食堂为学生提供了四种价格的午餐供其选择，这四种价格分别是： A.3元， B.4 元， C.5 元， D.6 元 .为了了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了甲、乙两班学生某天购买四种午餐的情况，依据统计数据制成如下的统计图表： 甲、乙两班学生购买午餐的情况统计表 (1)求乙班学生人数； (2)求乙班购买午餐费用的中位数； (3)已知甲、乙两班购买午餐费用的平均数为 4.44 元，从平均数和众数的角度分析，哪个班购买的午餐价格较高？ (4)从这次接受调查的学生中，随机抽查一人，恰好是购买 C 种午餐的学生的概率是多少？ 解析 ： (1)由乙班学生购买
18、C 午餐的人数为 25 人，占百分比为： 50%，即可求得乙班学生人数； (2)由乙班学生人数共 50 人，即可求得乙班购买午餐费用的中位数； (3)由甲、乙两班购买午餐费用的平均数为 4.44 元，可得甲班购买午餐费用的众数是：购买B 午餐： 4 元；乙班购买午餐费用的众数是：购买 C 午餐： 5 元；即可求得答案； (4)直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1) 乙班学生购买 C 午餐的人数为 25 人，占百分比为： 50%， 乙班学生人数为： 2550%=50( 人 )； (2) 乙班学生人数共 50 人， 乙班购买午餐费用的中位数应在 25 与 26 人的平均数， 乙班购买
19、午餐费用的中位数是：购买 C 午餐： 5 元； (3) 甲、乙两班购买午餐费用的平均数为 4.44 元，甲班购买午餐费用的众数是：购买 B午餐： 4 元；乙班购买午餐费用的众数是：购买 C 午餐： 5 元； 乙班购买的午餐价格较高； (4)恰好是购买 C 种午餐的学生的概率是： = . 24.(8 分 )华联超市欲购进 A、 B 两种品牌的书包共 400 个 .已知两种书包的进价和售价如下表所示 .设购进 A 种书包 x 个，且所购进的两种书包能全部卖出，获得的总利润为 w 元 . (1)求 w 关于 x 的函数关系式； (2)如果购进两种书包的总费不超过 18000 元，那么该商场如何进货才
20、能获得最大？并求出最大利润 .(提示利润率 =售价 -进价 ) 解析 ： (1)根据总利润 =每个的利润 数量就可以表示出 w 与 x 之间的关系式； (2)分别表示出购买 A、 B 两种书包的费用，由其总费用不超过 18000 元建立不等式组求出取值范围，再由一次函数的解析式据可以求出进货方案及最大利润 . 答案： 由题意，得 w=(65-47)x+(50-37)(400-x)， =5x+5200. w 关于 x 的函数关系式： w=5x+5200； (2)由题意，得 47x+37(400-x)18000 ，解得： x320. w=5x+5200 ， k=5 0， w 随 x 的增大而增大，
21、 当 x=320 时， w 最大 =6800. 进货方案是： A 种书包购买 320 个， B 种书包购买 80 个，才能获得最大利润，最大利润为6800 元 . 25.(10 分 )如图 (1)，在 RtABC ， ACB=90 ，分别以 AB、 BC 为一边向外作正方形 ABFG、BCED，连结 AD、 CF， AD 与 CF 交于点 M. (1)求证： ABDFBC ； (2)如图 (2)，已知 AD=6，求四边形 AFDC 的面积； (3)在 ABC 中，设 BC=a， AC=b， AB=c，当 ACB90 时， c2a 2+b2.在任意 ABC 中， c2=a2+b2+k.就 a=3
22、， b=2 的情形，探究 k 的取值范围 (只需写出你得到的结论即可 ). 解析 ： (1)根据四边形 ABFG、 BCED 是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等式的性质得到一对角相等，利用 SAS 即可得到三角形全等； (2)连接 FD，由 (1)的三角形全等，得到 AD=FC， BAD=BFC ，利用等式的性质及垂直定义得到 AD 与 CF 垂直，四边形 AFDC 面积 =三角形 ACD面积 +三角形 ACF面积 +三角形 DMF面积 -三角形 ACM 面积，求出即可； (3)根据 a， b及 c 为三角形三边长，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出关于 c 的不
23、等式，将 a与 b 的值代入求出 c 的范围，进而确定出 c2的范围，即 a2+b2+k 的范围，即可求出 k 的范围 . 答案： (1) 四边形 ABFG、 BCED 是正方形， AB=FB ， CB=DB， ABF=CBD=90 ， ABF+ABC=CBD+ABC ，即 ABD=CBF ， 在 ABD 和 FBC 中， ， ABDFBC(SAS) ； (2)连接 FD，设 CF 与 AB 交于点 N， ABDFBC ， AD=FC ， BAD=BFC ， AMF=180 -BAD -CNA=180 -(BFC+BNF)=180 -90=90 ， ADCF ， AD=6 ， FC=AD=6
24、， S 四边形 AFDC=SACD +SACF +SDMF -SACM = ADCM+ CFAM+ DMFM - AMCM=3CM+3AM+(6-AM)(6-CM)- AMCM=18 ； (3) 在 ABC 中，设 BC=a=3， AC=b=2， AB=c， a -b c a+b，即 1 c 5， 1 c2 25，即 1 a2+b2+k=13+k 25，解得： -12 k 12. 26.(12 分 )已知：抛物线 C1： y=x2.如图 (1)，平移抛物线 C1得到抛物线 C2， C2经过 C1的顶点O 和 A(2， 0)， C2的对称轴分别交 C1、 C2于点 B、 D. (1)求抛物线 C
25、2的解析式； (2)探究四边形 ODAB 的形状并证明你的结论； (3)如图 (2)，将抛物线 C2向 m 个单位下平移 (m 0)得抛物线 C3， C3的顶点为 G，与 y 轴交于M.点 N 是 M 关于 x 轴的对称点，点 P(- m， m)在直线 MG 上 .问：当 m 为何值时，在抛物线C3上存在点 Q，使得以 M、 N、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形？ 解析 ： (1)设设抛物线 C2的解析式为 y=x2+bx，把 A(2， 0)代入求出 b 的值即可； (2)四边形 ODAB 的形状为正方形，求出抛物线 C2的顶点坐标 D 为 (1， -1)和 B 的坐标为 (1，1)进而
26、证明四边形 ODAB 为菱形，再证明是正方形即可； (3)当 M、 N、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况： 若 MN 是平行四边形的一条边 若 MN 是平行四边形的一条对角线，在分别讨论求出满足题意的 m 值即可 . 答案： (1) 抛物线 C2经过 C1的顶点 O， 设抛物线 C2的解析式为 y=x2+bx， C 2经过 A(2， 0)， 4+2b=0 ，解得： b=-2， 求抛物线 C2的解析式为 y=x2-2x； (2)y=x 2-2x=(x-1)2-1， 抛物线 C2的顶点坐标 D 为 (1， -1)， 当 x=1 时， y=1， 点 B 的坐标为 (1， 1)， 根
27、据勾股定理得： OB=AB=OD=AD= ， 四边形 ODAB 是菱形， 又 OA=BD=2 ， 四边形 ODAB 是正方形； (3) 抛物线 C2向 m 个单位下平移 (m 0)得抛物线 C3， 抛物线 C3的解析式为 y=(x-1)2-1-m， 在 y=(x-1)2-1-m 中，令 x=0，得 y=-m， M(0 ， -m)， 点 N 是 M 关于 x 轴的对称点， N(0 ， m)， MN=2m ， 当 M、 N、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况： 若 MN 是平行四边形的一条边， 由 MN=PQ=2m 和点 P(- m， m)得 Q(- m， m)， 点 Q 在抛物线 C3上， m=(- m-1)2-1-m，解得： m= 或 m=0(舍去 )， 若 MN 是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称得 Q( m， - m) 点 Q 在抛物线 C3上， - m=( m-1)2-1-m，解得： m= 或 m=0(舍去 ) 综上所述，当 m= 或 时， 在抛物线 C3上存在点 Q，使得以 M、 N、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形 .
