1、2013 年广西省贵港市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分 ) 1.(3 分 )-3 的绝对值是 ( ) A. - B. C. -3 D. 3 解析 ： -3 的绝对值是 3，即 |-3|=3. 答案： D. 2.(3 分 )纳米是非常小的长度单位， 1 纳米 =10-9米 .某种病菌的长度约为 50 纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是 ( ) A. 510 -10米 B. 510 -9米 C. 510 -8米 D. 510 -7米 解析 ： 50 纳米 =5010 -9米 =510 -8米 . 答案： C. 3.(3 分 )下列四种调查
2、： 调查某班学生的身高情况； 调查某城市的空气质量； 调查某风景区全年的游客流量； 调查某批汽车的抗撞击能力 . 其中适合用全面调查方式的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 调查某班学生的身高情况，由于人数少，范围小，可以采用全面调查的方式， 答案：项正确； 调查某城市的空气质量，由于工作量大，不便于检测，采用抽样调查， 答案： 项错误； 调查某风景区全年的游客流量，由于人数多，工作量大，采用抽样调查， 答案： 项错误； 调查某批汽车的抗撞击能力，由于具有破坏性，应当使用抽样调查， 答案： 项错误 . 答案： A. 4.(3 分 )下列四个式子中， x 的取值范围为 x2 的是 (
3、) A. B. C. D. 解析 ： A、 x-20 ，且 x-20 ，解得： x 2，故此选项错误； B、 x-2 0，解得： x 2，故此选项错误； C、 x-20 ，解得 x2 ，故此选项正确； D、 2-x0 ，解得 x2 ，故此选项错误； 答案： C. 5.(3 分 )下列计算结果正确的是 ( ) A. 3a-(-a)=2a B. a3( -a)2=a5 C. a5a=a 5 D. (-a2)3=a6 解析 ： A、由于 3a+a=4a2a ，故本选项错误； B、由于 a3( -a)2=a3a 2=a5，故本选项正确； C、由于 a5a=a 5-1=a4a 5，故本选项错误； D、由
4、于 (-a2)3=-a6，故本选项错误 . 答案： B. 6.(3 分 )如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有 “ 共 ” 字一面的相对面上的字是 ( ) A. 美 B. 丽 C. 家 D. 园 解析 ： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “ 共 ” 与 “ 园 ” 是相对面， “ 建 ” 与 “ 丽 ” 是相对面， “ 美 ” 与 “ 家 ” 是相对面 . 答案： D. 7.(3 分 )下列四个命题中，属于真命题的是 ( ) A. 若 ，则 a=m B. 若 a b，则 am bm C. 两个等腰三角形必定相似 D. 位似图形一定是相似图形 解析 ：
5、A、若 =m，则 |a|=m，故本选项错误； B、若 a b， m 0，则 am bm，故本选项错误； C、两个等腰三角形两腰对应成比例，夹角顶角不一定相等，所以两三角形不一定相似，故本选项错误； D、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )关于 x 的分式方程 的解是负数，则 m 的取值范围是 ( ) A. m -1 B. m -1 且 m0 C. m -1 D. m -1 且 m0 解析 ： 方程两边同乘 (x+1)，得 m=-x-1 解得 x=-1-m， x 0， -1-m 0，解得 m -1， 又 x+10 ， -1-m+10 ， m0 ，即 m
6、 -1 且 m0. 答案： B. 9.(3 分 )如图，直线 ab ，直线 c 与 a、 b 都相交，从所标识的 1 、 2 、 3 、 4 、 5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 列表得： 共有 20 种等可能的结果，所选取的两个角互为补角的有 12 种情况， 所选取的两个角互为补角的概率是： = . 答案： A. 10.(3 分 )如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 ，且 sin= ，则该圆锥的侧面积是 ( ) A. 24 B. 24 C. 16 D. 12 解析 ： sin= ，母线长为 6， 圆锥的
7、底面半径 = 6=2 ， 该圆锥的侧面积 =622=12. 答案： D. 11.(3 分 )如图，点 A(a， 1)、 B(-1， b)都在双曲线 y=- 上，点 P、 Q 分别是 x 轴、y 轴上的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时， PQ 所在直线的解析式是 ( ) A. y=x B. y=x+1 C. y=x+2 D. y=x+3 解析 ： 分别把点 A(a， 1)、 B(-1， b)代入双曲线 y=- 得 a=-3， b=3，则点 A 的坐标为 (-3， 1)、 B 点坐标为 (-1， 3)， 作 A 点关于 x 轴的对称点 C， B 点关于 y 轴的对称点 D，所以 C 点坐
8、标为 (-3， -1)， D 点坐标为 (1， 3)， 连结 CD 分别交 x 轴、 y 轴于 P 点、 Q点，此时四边形 PABQ的周长最小， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b， 把 C(-3， -1)， D(1， 3)分别代入 ，解得 ， 所以直线 CD 的解析式为 y=x+2. 答案： C. 12.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点， EBC 的平分线交 CD 于点 F，将 DEF沿 EF 折叠，点 D 恰好落在 BE 上 M点处，延长 BC、 EF交于点 N.有下列四个结论： DF=CF ； BFEN ； BEN 是等边三角形； S BEF =3SD
9、EF . 其中，将正确结论的序号全部选对的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 四边形 ABCD 是矩形， D=BCD=90 ， DF=MF， 由折叠的性质可得： EMF=D=90 ，即 FMBE ， CFBC ， BF 平分 EBC ， CF=MF ， DF=CF ；故 正确； BFM=90 -EBF ， BFC=90 -CBF ， BFM=BFC ， MFE=DFE=CFN ， BFE=BFN ， BFE+BFN=180 ， BFE=90 ，即 BFEN ，故 正确； 在 DEF 和 CNF 中， ， DEFCNF(ASA) ， EF=FN ， BE=BN ， 但无法求得 BEN
10、各角的度数， BEN 不一定是等边三角形；故 错误； BFM=BFC ， BMFM ， BCCF ， BM=BC=AD=2DE=2EM ， BE=3EM ， S BEF =3SEMF =3SDEF ； 故 正确 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )若超出标准质量 0.05 克记作 +0.05 克，则低于标准质量 0.03 克记作 克 . 解析 ： 超出标准质量 0.05 克记作 +0.05 克，则低于标准质量 0.03 克记作 -0.03 克 . 答案 ： -0.03. 14.(3 分 )分解因式： 3x2-18x+27= . 解
11、析 ： 3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2. 答案 ： 3(x-3)2. 15.(3 分 )若一组数据 1， 7， 8， a， 4 的平均数是 5、中位数是 m、极差是 n，则 m+n= . 解析 ： 平均数为 5， =5，解得： a=5， 这组数据按从小到大的顺序排列为： 1， 4， 5， 7， 8，则中位数为： 5，极差为： 8-1=7， 即 m=5， n=7，则 m+n=12. 答案 ： 12. 16.(3 分 )如图， AB 是 O 的弦， OHAB 于点 H，点 P 是优弧上一点，若 AB=2 ， OH=1，则 APB 的度数是 . 解析 ： 连接 OA， O
12、B， OHAB ， AB=2 ， AH= AB= ， OH=1 ， tanAOH= = = .AOH=60 ， AOB=2AOH=120 ， APB=AOB= 120=60. 答案 ： 60. 17.(3 分 )如图， ABC 和 FPQ 均是等边三角形，点 D、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点，点P 在 AB 边上，连接 EF、 QE.若 AB=6， PB=1，则 QE= . 解析 ： 连结 FD， ABC 为等边三角形， AC=AB=6 ， A=60 ， 点 D、 E、 F 分别是等边 ABC 三边的中点， AB=6， PB=1， AD=BD=AF=3 ， DP=DB-PB=3-1=
13、2， EF 为 ABC 的中位线， EFAB ， EF= AB=3， ADF 为等边三角形， FDA=60 ， 1+3=60 ， PQF 为等边三角形， 2+3=60 ， FP=FQ， 1=2 ， 在 FDP 和 FEQ 中 ， ， FDPFEQ(SAS) ， DP=QE ， DP=2 ， QE=2. 答案 ： 2. 18.(3 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在抛物线 y=ax2上， P 恒过点 F(0，n)，且与直线 y=-n 始终保持相切，则 n= (用含 a 的代数式表示 ). 解析 ： 如图，连接 PF.设 P 与直线 y=-n 相切于点 E，连接 PE.则 P
14、EAE. 动点 P 在抛物线 y=ax2上， 设 P(m， am2). P 恒过点 F(0， n)， PF=PE ，即 =am2+n.n= . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 8 小题，满分 66分 ) 19.(10 分 )(1)计算： -2cos60 ； (2)先化简： ( ) ，再选择一个恰当的 x 值代入求值 . 解析 ： (1)根据算术平方根的定义，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，任何非 0数的零次幂等于 1， 60 角的余弦等于 进行计算即可得解； (2)先把括号里面的通分并计算，再把除式的分母分解因式并把除法转化为乘法，约分后选择一个 x 值代入进行计算即可得解 .
15、答案： (1) -( )-1+(2- )0-2cos60=3 -2+1-2 =3-2+1-1=1； (2)( -1) = = =1-x， 要使分式有意义，则 (x+1)(x-1)0 ， x0 ，解得 x1 ， x0 ， 所以， x=2 时，原式 =1-2=-1. 20.(5 分 )如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-4， 3)、 B(-3，1)、 C(-1， 3). (1)请按下列要求画图： 将 ABC 先向右平移 4个单位长度、再向上平移 2个单位长度，得到 A 1B1C1，画出 A 1B1C1； A 2B2C2与 ABC 关于原点 O 成中心对称，画出 A
16、 2B2C2. (2)在 (1)中所得的 A 1B1C1和 A 2B2C2关于点 M成中心对称，请直接写出对称中心 M点的坐标 . 解析 ： (1) 根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构找出 A、 B、 C 关于原点 O 的中心对称点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可； (2)连接 B1B2， C1C2，交点就是对称中心 M. 答案： (1)A 1B1C1如图所示； A 2B2C2如图所示； (2)连接 B1B2， C1C2，得到对称中心 M 的坐标为 (2， 1). 21.(7 分 )如图，在平面直角坐标
17、系 xOy 中， ABC 的边 AC 在 x轴上，边 BCx 轴，双曲线y= 与边 BC 交于点 D(4， m)，与边 AB 交于点 E(2， n). (1)求 n 关于 m 的函数关系式； (2)若 BD=2， tanBAC= ，求 k 的值和点 B 的坐标 . 解析 ： (1)直接根据反比例函数中 k=xy 的特点进行解答即可； (2)过点 E 作 EFBC 于点 F，根据 (1)中 m、 n 的关系可得出 DF=m，故 BF=2-m，再由点 D(4，m)，点 E(2， n)可知 EF=4-2=2，再根据 EFx 轴可知 tanBAC=tanBEF= ，由此即可得出结论 . 答案： (1)
18、 点 D(4， m)，点 E(2， n)在双曲线 y= 上， 4m=2n ，解得 n=2m； (2)过点 E 作 EFBC 于点 F， 由 (1)可知 n=2m， DF=m ， BD=2 ， BF=2 -m， 点 D(4， m)，点 E(2， n)， EF=4 -2=2， EFx 轴， tanBAC=tanBEF= = = ，解得 m=1， D(4 ， 1)， k=41=4 ， B(4， 3). 22.(8 分 )在以 “ 关爱学生、安全第一 ” 为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有： A-结伴步行、 B-自行乘车、
19、 C-家人接送、 D-其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图 .请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽查的学生人数是多少人？ (2)请补全条形统计图； (3)请补全扇形统计图，并在图中标出 “ 自行乘车 ” 对应扇形的圆心角的度数； (4)如果该校学生有 2080 人，请你估计该校 “ 家人接送 ” 上学的学生约有多少人？ 解析 ： (1)根据 “ 家人接送 ” 的人数除以所占的百分比，即可得到调查学生数； (2)由总学生数求出 “ 结伴步行 ” 的人数，补全统计图即可； (3)求出 “ 结伴步行 ” 与 “ 自行乘车 ” 的百分比，补全扇形统计图，在图中标出 “ 自行
20、乘车 ”对应扇形的圆心角的度数即可； (4)由总人数乘以 “ 家人接送 ” 的百分比，即可得到结果 . 答案： (1)根据题意得： 3025%=120( 人 )，则本次抽查的学生人数是 120 人； (2)“ 结伴步行 ” 的人数为 120-(42+30+18)=30(人 )，补全统计图，如图所示： (3)“ 结伴步行 ” 所占的百分比为 100%=25% ； “ 自行乘车 ” 所占的百分比为100%=35% ， “ 自行乘车 ” 在扇形统计图中占的度数为 36035%=126 ，补全扇形统计图，如图所示； (4)估计该校 “ 家人接送 ” 上学的学生约有 208025%=520( 人 ).
21、23.(7 分 )如图，在直角梯形 ABCD 中， ADBC ， B=90 ， AGCD 交 BC 于点 G，点 E、 F 分别为 AG、 CD 的中点，连接 DE、 FG. (1)求证：四边形 DEGF 是平行四边形； (2)当点 G 是 BC 的中点时，求证：四边形 DEGF 是菱形 . 解析 ： (1)求出平行四边形 AGCD，推出 CD=AG，推出 EG=DF， EGDF ，根据平行四边形的判定推出即可； (2)连接 DG，求出 DGC=90 ，求出 DF=GF，根据菱形的判定推出即可 . 答案： (1)AGDC ， ADBC ， 四边形 AGCD 是平行四边形， AG=DC ， E
22、、 F 分别为 AG、 DC 的中点， GE= AG， DF= DC， 即 GE=DF， GEDF ， 四边形 DEGF 是平行四边形； (2)连接 DG， 四边形 AGCD 是平行四边形， AD=CG ， G 为 BC 中点， BG=CG=AD ， ADBG ， 四边形 ABGD 是平行四边形， ABDG ， B=90 ， DGC=B=90 ， F 为 CD 中点， GF=DF=CF ，即 GF=DF， 四边形 DEGF 是平行四边形， 四边形 DEGF 是菱形 . 24.(8 分 )在校园文化建设中，某学校原计划按每班 5 幅订购了 “ 名人字画 ” 共 90 幅 .由于新学期班数增加，决
23、定从阅览室中取若干幅 “ 名人字画 ” 一起分发，如果每班分 4 幅，则剩下 17 幅；如果每班分 5 幅，则最后一班不足 3 幅，但不少于 1幅 . (1)该校原有的班数是多少个？ (2)新学期所增加的班数是多少个？ 解析 ： (1)根据每班 5 幅订购了 “ 名人字画 ” 共 90 幅，可得原有 18 个班； (2)设增加后的班数为 x，则 “ 名人字画 ” 有 4x+17，再由每班分 5 幅，则最后一班不足 3幅，但不少于 1 幅，可得出不等式组，解出即可 . 答案： (1)原有的班数为： =18 个； (2)设增加后的班数为 x，则 “ 名人字画 ” 有 4x+17， 由题意得， ，解
24、得： 19 x21 ， x 为正整数， x 可取 20， 21，故新学期所增加的班数为 2 个或 3 个 . 25.(10 分 )如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，以点 D 为圆心、 DC为半径作 ，点 E在AB 上，且与 A、 B 两点均不重合，点 M在 AD 上，且 ME=MD，过点 E 作 EFME ，交 BC 于点 F，连接 DE、 MF. (1)求证： EF 是 所在 D 的切线； (2)当 MA= 时，求 MF 的长； (3)试探究： MFE 能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出 MF 的长度；若不是，请说明理由 . 解析 ： (1)过点 D 作 DGEF 于 G，根据
25、等边对等角可得 MDE=MED ，然后根据等角的余角相等求出 AED=GED ，再利用 “ 角角边 ” 证明 ADE 和 GDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AD=GD，再根据切线的定义即可得证； (2)求出 ME=MD= ，然后利用勾股定理列式求出 AE，再求出 BE，根据同角的余角相等求出1=3 ，然后求出 AME 和 BEF 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 EF，再利用勾股定理列式 计算即可得解； (3)假设 MFE 能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ME=EF，先利用 “ 角角边 ” 证明 AME 和 BEF 全等，根据全等三角形对边角相等可得 AM=
26、BE，设 AM=BE=x，然后表示出 MD， AE，再根据 ME=MD，从而得到 ME=AE，根据直角三角形斜边大于直角边可知 MEF不可能是等腰直角三角形 . 答案： (1)过点 D 作 DGEF 于 G， ME=MD ， MDE=MED ， EFME ， DEM+GED=90 ， DAB=90 ， MDE+AED=90 ， AED= GED， 在 ADE 和 GDE 中， ， ADEGDE(AAS) ， AD=GD ， 的半径为 DC，即 AD 的长度， EF 是 所在 D 的切线； (2)MA= 时， ME=MD=2- = ， 在 RtAME 中， AE= = =1， BE=AB -AE
27、=2-1=1， EFME ， 1+2=180 -90=90 ， B=90 ， 2+3=90 ， 1=3 ， 又 DAB=B=90 ， AMEBEF ， = ，即 = ，解得 EF= ， 在 RtMEF 中， MF= = = ； (3)假设 MFE 能是等腰直角三角形，则 ME=EF， 在 AME 和 BEF 中， ， AMEBEF(AAS) ， MA=BE ， 设 AM=BE=x，则 MD=AD-MA=2-x， AE=AB-BE=2-x， ME=MD ， ME=2 -x， ME=AE ， ME 、 AE 分别是 RtAME 的斜边与直角边， MEAE ， 假设不成立， 故 MFE 不能是等腰直
28、角三角形 . 26.(11 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c交 y 轴于点 C(0， 4)，对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D，顶点为 M，且 DM=OC+OD. (1)求该抛物线的解析式； (2)设点 P(x， y)是第一象限内该抛物线上的一个动点， PCD 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)在 (2)的条件下，若经过点 P 的直线 PE 与 y 轴交于点 E，是否存在以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等？若存在，请求出直线 PE 的解析式；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)首先求
29、出点 M 的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式； (2)如答图 1 所示，作辅助线构造梯形，利用 S=S 梯形 PEOC-SCOD -SPDE 求出 S 关于 x 的表达式；求出抛物线与 x 轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围； (3)由于三角形的各边，只有 OD=2 是确定长度的，因此可以以 OD 为基准进行分类讨论： OD=OP. 因为第一象限内点 P 到原点的距离均大于 4，因此 OPOD ，此种情形排除； OD=OE. 分析可知，只有如答图 2 所示的情形成立； OD=PE. 分析可知，只有如答图 3 所示的情形成立 . 答案： (1)由题意得： OC=4， OD
30、=2， DM=OC+OD=6 ， 顶点 M 坐标为 (2， 6). 设抛物线解析式为： y=a(x-2)2+6， 点 C(0， 4)在抛物线上， 4=4a+6 ，解得 a= . 抛物线的解析式为： y= (x-2)2+6= x2+2x+4. (2)如答图 1，过点 P 作 PEx 轴于点 E. P(x ， y)，且点 P 在第一象限， PE=y ， OE=x， DE=OE -OD=x-2. S=S 梯形 PEOC-SCOD -SPDE = (4+y)x - 24 - (x-2) y=y+2x-4. 将 y= x2+2x+4 代入上式得： S= x2+2x+4+2x-4= x2+4x. 在抛物线
31、解析式 y= x2+2x+4 中，令 y=0，即 x2+2x+4=0，解得 x=2 . 设抛物线与 x 轴交于点 A、 B，则 B(2+ ， 0)， 0 x 2+ . S 关于 x 的函数关系式为： S= x2+4x(0 x 2+ ). (3)存在 .若以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等，可能有以下情形： (I)OD=OP.由图象可知， OP 最小值为 4，即 OPOD ，故此种情形不存在 . (II)OD=OE.若点 E 在 y 轴正半轴上，如答图 2 所示： 此时 OPDOPE ， OPD=OPE ，即点 P 在第一象限的角平分线上， EO=DO=2， P 点坐标为： (4
32、， 4)， 直线 PE 的解析式为： y= x+2； 若点 E 在 y 轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在 . (III)OD=PE.OD=2 ， 第一象限内对称轴右侧的点到 y 轴的距离均大于 2， 则点 P 只能位于对称轴左侧或与顶点 M 重合 . 若点 P 位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知 OPE 为钝角三角形， 而 OPD 为锐角三角形，则不可能全等； 若点 P 与点 M 重合，如答图 3 所示，此时 OPDOPE ，四边形 PDOE为矩形， 直线 PE 的解析式为： y=6. 综上所述，存在以 O、 P、 E 为顶点的三角形与 OPD 全等 ，直线 PE 的解析式为 y=6， y= x+2.
