1、2013 年广西省贺州市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，共 36分 ) 1.(3 分 )-3 的相反数是 ( ) A. - B. C. -3 D. 3 解析 ： -3 的相反数是 -(-3)=3. 答案： D. 2.(3 分 )下面各图中 1 和 2 是对顶角的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、 1 和 2 不是对顶角，故本选项错误； B、 1 和 2 是对顶角，故本选项正确； C、 1 和 2 不是对顶角，故本选项错误； D、 1 和 2 不是对顶角，是邻补角，故本选项错误 . 答案： B. 3.(3 分 )估计 的值在 ( ) A. 2 到 3
2、之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 解析 ： 2= =3， 3 4， 答案： B. 4.(3 分 )下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故本选项正确； B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故本选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故本选项错误； 答案： A. 5.(3 分 )为调查某校 2000 名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况 .随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所
3、示的扇形统计图 .根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱动画节目的学生约有 ( ) A. 500 名 B. 600 名 C. 700 名 D. 800 名 解析 ： 根据扇形统计图可得： 该校喜爱动画节目的学生占 1-35%-5%-10%-20%=30%， 则该校喜爱动画节目的学生约有 200030%=600( 名 )； 答案： B. 6.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. xx 2=x2 B. (xy)2=xy2 C. (x2)3=x6 D. x2+x2=x4 解析 ： A、 xx 2=x1+2=x3x 2，故本选项错误； B、 (xy)2=x2y2xy 2，故本选项错误； C、 (
4、x2)3=x23 =x6，故本选项正确； D、 x2+x2=2x2=x4，故本选项错误 . 答案： C. 7.(3 分 )如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据 (单位： cm)可求得这个几何体的体积为 ( ) A. 2cm3 B. 3cm3 C. 6cm3 D. 8cm3 解析 ： 该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体， 此长方体的长与宽都是 1，高为 3， 所以该几何体的体积为 113=3cm 3. 答案： B. 8.(3 分 )把 a3-2a2+a 分解因式的结果是 ( ) A. a2(a-2)+a B. a(a2-2a) C.
5、 a(a+1)(a-1) D. a(a-1)2 解析 ： a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2. 答案： D. 9.(3 分 )如图，在 ABC 中， ABC=45 ， AC=8cm， F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是 ( ) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm 解析 ： F 是高 AD 和 BE 的交点， ADC=ADB=AEF=90 ， CAD+AFE=90 ， DBF+BFD=90 ， AFE=BFD ， CAD=FBD ， ADB=90 ， ABC=45 ， BAD=45=ABD ， AD=BD ， 在 DBF 和 DAC 中 ，
6、 ， DBFDAC(ASA) ， BF=AC=8cm ， 答案： C. 10.(3 分 )当 a0 时，函数 y=ax+1 与函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 a 0 时， y=ax+1 过一、二、三象限， y= 过一、三象限； 当 a 0 时， y=ax+1 过一、二、四象限， y= 过二、四象限； 答案： C. 11.(3 分 )直线 AB 与 O 相切于 B 点， C 是 O 与 OA 的交点，点 D 是 O 上的动点 (D 与 B， C不重合 )，若 A=40 ，则 BDC 的度数是 ( ) A. 25 或 155 B. 50 或 1
7、55 C. 25 或 130 D. 50 或 130 解析 ： 当点 D 在优弧 BC 上时，如图，连结 OB， 直线 AB 与 O 相切于 B 点， OBBA ， OBA=90 ， A=40 ， AOB=50 ， BDC= AOB=25 ； 当点 D 在劣弧 BC 上时，即在 D 点处，如图， BDC+BDC=180 ， BDC=180 -25=155 ， BDC 的度数为 25 或 155. 答案： A. 12.(3 分 )2615个位上的数字是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析 ： 21的个位数字是 2， 22的个位数字是 4， 23的个位数字是 8， 24的个位数字
8、是 6， 25的个位数字是 2， 因为 615=4153+3 ，所以 2615的个位数字与 23的个位数字相同，即是 8. 答案： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 13.(3 分 )函数 的自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 依题意，得 2-x0 ，解得 x2. 答案： x2 14.(3 分 )地球距月球表面约为 383900 千米，那么这个距离用科学记数法应表示为 千米 .(结果保留三个有效数字 ) 解析 ： 383900=3.83910 53.8410 5. 答案 ： 3.8410 5. 15.(3 分 )调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
9、，这种调查适用 .(填全面调查或者抽样调查 ) 解析 ： 由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查 . 答案 ： 抽样调查 . 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=6，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60 后得到 DBE ，点 A经过的路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 . 解析 ： 根据旋转的性质知 ABD=60 ， ABCDBE ， S ABC -SDBE ， S 阴影 =S 扇形 ABD+SDBE -SABC =S 扇形 ABD= =6. 答案 ： 6. 17.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，给出以下结论： b 2 4ac
10、； abc 0； 2a -b=0； 8a+c 0； 9a+3b+c 0. 其中结论正确的是 .(填正确结论的序号 ) 解析 ： 由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则 =b 2-4ac 0， b 2 4ac，故 正确； 抛物线开口向上，得： a 0； 抛物线的对称轴为 x=- =1， b=-2a，故 b 0； 抛物线交 y 轴于负半轴，得： c 0；所以 abc 0； 故 正确； 抛物线的对称轴为 x=- =1， b=-2a， 2a+b=0 ，故 2a-b=0 错误； 根据 可将抛物线的解析式化为： y=ax2-2ax+c(a0) ； 由函数的图象知：当 x=-2 时， y 0；即 4a
11、-(-4a)+c=8a+c 0，故 错误； 根据抛物线的对称轴方程可知： (-1， 0)关于对称轴的对称点是 (3， 0)； 当 x=-1 时， y 0，所以当 x=3 时，也有 y 0，即 9a+3b+c 0；故 正确； 所以这结论正确的有 . 答案 ： . 18.(3 分 )如图， A、 B、 C 分别是线段 A1B， B1C， C1A 的中点，若 ABC 的面积是 1，那么 A 1B1C1的面积 . 解析 ： 如图，连接 AB1， BC1， CA1， A 、 B 分别是线段 A1B， B1C 的中点， S ABB1 =SABC =1， SA1AB1 =SABB1 =1， S A1BB1
12、=SA1AB1 +SABB1 =1+1=2， 同理： SB1CC1 =2， SA1AC1 =2， A 1B1C1的面积 =SA1BB1 +SB1CC1 +SA1AC1 +SABC =2+2+2+1=7. 答案 ： 7. 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分 ) 19.(6 分 )计算： |-1|+ +(3.14- )0-4cos60 . 解析 ： 根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可 . 答案： 原式 =1+(-3)+1-4 =1-3+1-2=-3. 20.(6 分 )解不等式组： . 解析 ： 求出每个不等式的解集，根据找不等式组解
13、集的规律找出即可 . 答案： 由 得： x8 ， 由 得： x 2， 不等式组的解集为 2 x8. 21.(6 分 )甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 2和 5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 4 和 9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为 1， 6，7.从这 3 个口袋中各随机取出一个小球 . (1)用树形图表示所有可能出现的结果； (2)若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率 . 解析 ： (1)依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果即可解答； (2)根据树状图结合三角形的三边关系列举出能够成三角形的情况，用能够成
14、三角形的情况数：总的情况数即可得到概率 . 答案： (1)如图所示： ， 所以共有 12 种可能出现的结果； (2)这些线段能够成三角形 (记为事件 A)的结果有 4 种： (5， 4， 6)； (5， 4， 7)； (5， 9， 6)(5，9， 7)，所以 P(A)= = . 22.(8 分 )如图，小明在楼上点 A 处测量大树的高，在 A 处测得大树顶部 B 的仰角为 25 ，测得大树底部 C 的俯角为 45 .已知点 A 距地面的高度 AD 为 12m，求大树的高度 BC.(最后结果精确到 0.1) 解析 ： 过 A 作 AEBC 于 E，在 RtACE 中，已知 CE 的长，可利用俯角
15、 CAE 的正切函数求出 AE 的值；进而在 RtABE 中，利用仰角 BAE 的正切函数求出 BE 的长；则 BC=BE+CE. 答案： 过 A 作 AEBC 于 E，则四边形 ADCE 是矩形， CE=AD=12m. 在 RtACE 中， EAC=45 ， AE=CE=12m ， 在 RtAEB 中， BAE=25 ，BE=AEtan25120.47=5.64m.BC=BE+CE5.64+1217.6. 答：大树的高度约为 17.6m. 23.(8 分 )如图， D 是 ABC 的边 AB 上一点， CNAB ， DN 交 AC于点 M，若 MA=MC. (1)求证： CD=AN； (2)
16、若 ACDN ， CAN=30 ， MN=1，求四边形 ADCN 的面积 . 解析 ： (1)利用 “ 平行四边形 ADCN 的对边相等 ” 的性质可以证得 CD=AN； (2)根据 “ 直角 AMN 中的 30 度角所对的直角边是斜边的一半 ” 求得 AN=2MN=2，然后由勾股定理得到 AM= ，则 S 四边形 ADCN=4SAMN =2 . 答案： (1)CNAB ， 1=2. 在 AMD 和 CMN 中， ， AMDCMN(ASA) ， AD=CN. 又 ADCN ， 四边形 ADCN 是平行四边形， CD=AN ； (2)ACDN ， CAN=30 ， MN=1， AN=2MN=2
17、， AM= = ， S AMN = AMMN= 1= . 四边形 ADCN 是平行四边形， S 四边形 ADCN=4SAMN =2 . 24.(10 分 )某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球 .其中篮球的单价比足球的单价多 40 元，用 1500 元购进的篮球个数与 900 元购进的足球个数相等 . (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)该校打算用 1000 元购买篮球和足球，问恰好用完 1000 元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？ 解析 ： (1)首先设足球单价为 x 元，则篮球单价为 (x+40)元，根据题意可得等量关系： 1500元购进的篮球个数 =900
18、元购进的足球个数，由等量关系可得方程 = ，再解方程可得答案； (2)设恰好用完 1000 元，可购买篮球 m 个和购买足球 n 个，根据题意可得篮球的单价 篮球的个数 m+足球的单价 足球的个数 n=1000，再求出整数解即可 . 答案： (1)设足球单价为 x 元，则篮球单价为 (x+40)元， 由题意得： = ，解得： x=60， 经检验： x=60 是原分式方程的解，则 x+40=100， 答：篮球和足球的单价各是 100 元， 60 元； (2)设恰好用完 1000 元，可购买篮球 m 个和购买足球 n 个， 由题意得： 100m+60n=1000，整理得： m=10- n， m 、
19、 n 都是整数， n=5 时， m=7， n=10 时， m=4， n=15 ， m=1； 有三种方案： 购买篮球 7 个，购买足球 5 个； 购买篮球 4 个，购买足球 10 个； 购买篮球 1 个，购买足球 15 个 . 25.(10 分 )已知： O 的直径为 3，线段 AC=4，直线 AC 和 PM分别与 O 相切于点 A， M. (1)求证：点 P 是线段 AC 的中点； (2)求 sinPMC 的值 . 解析 ： (1)连结 OM，根据切线的性质得 OMMP ， BAAC ，根据切线长定理得 PM=PA，则1+2=90 ， B+C=90 ，而 2=B ，所以 1=C ，于是得到 P
20、C=PM，则 PA=PC； (2)由于 PMC=C ，在 RtABC 中，先根据勾股定理计算出 BC=5，然后根据正弦的定义得到 sinC= = ，于是得到 sinPMC 的值 . 答案： (1)连结 OM，如图， 直线 AC 和 PM 分别与 O 相切于点 A， M， PM=PA ， OMMP ， BAAC ， OMP=90 ， BAC=90 ， 1+2=90 ， B+C=90 ， 而 2=B ， 1=C ， PC=PM ， PA=PC ， 点 P 是线段 AC 的中点； (2)由 (1)PMC=C ， 在 RtABC 中， AB=3， AC=4， BC= =5， sinC= = ，即 si
21、nPMC= . 26.(12 分 )直线 y= x-2 与 x、 y 轴分别交于点 A、 C.抛物线的图象经过 A、 C 和点 B(1， 0). (1)求抛物线的解析式； (2)在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 D，当 D 与直线 AC 的距离 DE 最大时，求出点 D 的坐标，并求出最大距离是多少？ 解析 ： (1)首先求出点 A，点 C 的坐标；然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)AC 为定值，当 DE 最大时， ACD 的面积最大，因此只需要求出 ACD 面积的最大值即可 .如解答图所示，作辅助线，利用 SACD =S 梯形 AGFC-SCDF -SADG 求出 SACD
22、的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值，并进而求出点 D 的坐标和 DE 的最大值 . 答案： (1)在直线解析式 y= x-2 中，令 x=0，得 y=-2；令 y=0，得 x=4， A(4 ， 0)， C(0， -2). 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 点 A(4， 0)， B(1， 0)， C(0， -2)在抛物线上， ， 解得 a= ， b= ， c=-2. 抛物线的解析式为： y= x2+ x-2. (2)设点 D 坐标为 (x， y)，则 y= x2+ x-2. 在 RtAOC 中， OA=4， OC=2，由勾股定理得： AC= . 如答图 1 所示，连接 CD、
23、AD. 过点 D 作 DFy 轴于点 F，过点 A 作 AGFD 交 FD 的延长线于点 G， 则 FD=x， DG=4-x， OF=AG=y， FC=y+2. SACD =S 梯形 AGFC-SCDF -SADG = (AG+FC)FG - FCFD - DGAG = (y+y+2)4 - (y+2)x - (4-x)y=2y -x+4 将 y= x2+ x-2 代入得： SACD =2y-x+4=-x2+4x=-(x-2)2+4， 当 x=2 时， ACD 的面积最大，最大值为 4. 当 x=2 时， y=1， D(2 ， 1). S ACD = ACDE ， AC= ， 当 ACD 的面积最大时，高 DE 最大， 则 DE 的最大值为： = = . 当 D 与直线 AC 的距离 DE 最大时，点 D的坐标为 (2， 1)，最大距离为 .
