1、在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2013 年 A 卷及答案解析(总分：100.00，做题时间：45 分钟)一、第二部分 数学基础能力测试(总题数：25，分数：100.00)1.下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是_（分数：4.00）A.B.C.D.2.1.2342+0.7662+2.4680.766 的值是_ （分数：4.00）A.5B.4C.3D.23.如图所示，某山区公路旁依次有甲、乙、丙、丁四家工厂，每家工厂都有小公路通到大公路，已知沿公路由甲厂到乙厂的路程为 9 千米，由甲厂到丙厂的路程为 15 千米，由乙厂到丙厂的路程为 10 千米，由乙厂到丁厂的路程为 18 千米，则
2、甲厂到丁厂的路程为_千米 （分数：4.00）A.21B.23C.25D.264.两个正数算术平均值等于 ，乘积的算术平方根等于 （分数：4.00）A.4B.C.6D.5.数列 a1，a 2，a n，按如下规则构成：a 1=5，a k=(ak-12的数字和)+1，k=2，3，4，如果 a2=8，则 a50=_ （分数：4.00）A.5B.7C.8D.116.如图所示，已知ABC，ACD，ADE，AEF 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 30 平方厘米，则图中阴影部分的面积是_平方厘米 （分数：4.00）A.22B.20C.18D.167.某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax2+bx+c=0
3、的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_（分数：4.00）A.b2=a2-4acB.b2=a2+4acC.b2=a2-2acD.b2=a2+2ac8.反比例函数 y=1/x，y=2/x 和 y=3/x 在第一象限的图像如图所示，自 y=3/x 的图像上的任一点 B 向两坐标轴引垂线 BA 和 BC，分别交另两条曲线 E，F 和 G，H。连接 AG，EH，则阴影四边形 AEHG 的面积是_ （分数：4.00）A.4/5B.3/4C.2/3D.1/29.定义在实数集上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x)，且在区间-1，0上严格单调增，则_（分数：4.00）A.B.C.D.10.i
4、为虚数单位，z=(1+i)2/(i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9)，则复数 z 的虚部是_（分数：4.00）A.0B.1C.D.211.如图所示，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90，过 A，D，B 三点作圆 O。若 M 为 AC的中点，AB=5，DM= ，则圆 O 的半径等于_ （分数：4.00）A.2B.3C.4D.512.设函数 （分数：4.00）A.15B.21C.32D.4013.四面体 ABCD 沿棱 DA，DB，DC 剪开，将面 ADB，面 ADC 和面 BDC 展开落在平面 ABC 上，恰构成一个边长为 1 厘米的正方形 AEGF(如图所
5、示)，则原四面体的体积是_立方厘米 （分数：4.00）A.1/24B.1/18C.1/15D.1/1214.在分别写有 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为_（分数：4.00）A.3/28B.3/4C.3/14D.9/1415.如图所示双曲线 X2/4-Y2/9=1 的左右焦点分别记为 F1，F2，双曲线上的点 P 使得F1PF2=60，则PF1F2 的面积等于_ （分数：4.00）A.B.C.D.16.若函数 f(x)和 g(x)满足 f(x)=ex+4，fg(x)=x2，则 g(x)的定义域是_ （分数：4.00）A.(-2，2)B.(0
6、，+)C.(2，+)D.(-，-2)(2，+)17.若函数 f(x)连续， ，则当 x0 +时，g(x)是 （分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶(非等价)无穷小18.设函数 （分数：4.00）A.n-2B.n-1C.n0D.n119.设函数 f(x)可导，f(1)=f(1)=1/4，若 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-，0)上有唯一零点 x0=-1，且 f(x0)=1，则函数 （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(-1，1)D.(1，+)21.设函数 f(x)可导，且满足 f(0)=f(2)=2
7、，|f(x)|1，若 （分数：4.00）A.(1，2)B.(2，3)C.(3，5)D.(5，7)22.设向量 1=(1，1，2) T， 2=(2，1，4) T， 3=(t，3，6) T， 4=(0，2，2t) T。若向量组 1， 2， 3， 2的秩是 3，矩阵 A=( 1， 2， 3)的秩是 2，则参数 t=_（分数：4.00）A.2B.3C.4D.623.设 3 阶非零矩阵 A 的秩为 r(A)， （分数：4.00）A.2 与-3B.1 与-3C.2 与 3D.1 与 324.3 阶矩阵 A 满足 A2-A-2E=0，其中 E 是 3 阶单位矩阵，若 A 的第 1 行是(-1，0，0)。则(
8、A+2E) -3的第一行是_（分数：4.00）A.(1，0，0)B.(-1，0，0)C.(-1，0，-1)D.(1，0，1)25.设 A 是 3 阶不可逆矩阵，E 是 8 阶单位矩阵，若线性齐次方程组(A-3E)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则行列式|A+E|=_ （分数：4.00）A.2B.4C.8D.16在职硕士学位入学资格考试 GCT 数学真题 2013 年 A 卷答案解析(总分：100.00，做题时间：45 分钟)一、第二部分 数学基础能力测试(总题数：25，分数：100.00)1.下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析
9、选项 A 中的图形，关于和斜杠垂直的直线对称，是轴对称图形。选 A。2.1.2342+0.7662+2.4680.766 的值是_ （分数：4.00）A.5B.4 C.3D.2解析：解析 1.2342+0.7662+21.2340.766=(1.234+0.766)2=4。选 B。3.如图所示，某山区公路旁依次有甲、乙、丙、丁四家工厂，每家工厂都有小公路通到大公路，已知沿公路由甲厂到乙厂的路程为 9 千米，由甲厂到丙厂的路程为 15 千米，由乙厂到丙厂的路程为 10 千米，由乙厂到丁厂的路程为 18 千米，则甲厂到丁厂的路程为_千米 （分数：4.00）A.21B.23 C.25D.26解析：解
10、析 记甲、乙、丙、丁厂的小公路长分别为 a，b，c，d 四家工厂小公路与大公路的交点将甲厂到丁厂的大公路分割为长度分别是 x，y，z 的 3 段，则 x+a+b=9 x+y+a+c=15 y+b+c=10 y+z+b+d=18 式-式得 x+a-b=5 式+式得 x+y+z+a+b=23，则甲厂到丁厂的路程为 23 千米。选 B。4.两个正数算术平均值等于 ，乘积的算术平方根等于 （分数：4.00）A.4B.C.6 D.解析：解析 设这两个数为 a 和 b，不妨令 ab，由题得： (a-b)2=(a+b)2-4ab=48-12=36，从而 a-b=6，选 C。5.数列 a1，a 2，a n，按
11、如下规则构成：a 1=5，a k=(ak-12的数字和)+1，k=2，3，4，如果 a2=8，则 a50=_ （分数：4.00）A.5B.7C.8 D.11解析：解析 写出前 n 项，得到数值规律：a 1=5，a 2=8，a 3=11，a 4=5，a 5=8，a 6=11，则数列a1，a 2，a n是周期为 3 的数列，a 50=a2=8。选 C。 考查一般数列，须写出前数项，寻找规律。6.如图所示，已知ABC，ACD，ADE，AEF 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 30 平方厘米，则图中阴影部分的面积是_平方厘米 （分数：4.00）A.22B.20 C.18D.16解析：解析 设 AB
12、=BC=a，则 AC=CD=，AD=DE=2a，AE=EF=，则(a2+2a2+4a2+8a2)=30，得 a2=4。又AF=4a， 则阴影部分的面积是 S=(AB+AF)AD=(a+4a)2a=5a2=20cm2。选 B。 考查等腰直角形三角形边的比例关系及三角形面积计算。7.某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax2+bx+c=0 的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_（分数：4.00）A.b2=a2-4acB.b2=a2+4acC.b2=a2-2acD.b2=a2+2ac 解析：解析 sin，cos 是 ax2+bx+c=0 的不同的两个根，则 a0，sin+cos=，sincos=
13、，由韦达定理得： sin2+cos2=(sin+cos)2-2sincos=1，b2=a2+2ac，选 D。8.反比例函数 y=1/x，y=2/x 和 y=3/x 在第一象限的图像如图所示，自 y=3/x 的图像上的任一点 B 向两坐标轴引垂线 BA 和 BC，分别交另两条曲线 E，F 和 G，H。连接 AG，EH，则阴影四边形 AEHG 的面积是_ （分数：4.00）A.4/5B.3/4C.2/3 D.1/2解析：解析 方法一 设，则 则四边形 AEHG 的面积。选 C。 方法二 设，则。 ，则四边形 AEHG 的面积。选 C。 方法三 设 B 点为(1，3)，从而可得到 F 点为(1，2)
14、，E 点为(1，1)，G 点为，H 点为， ，选 C。9.定义在实数集上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x)，且在区间-1，0上严格单调增，则_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x+1)=f(x)则 f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，f(x)周期为 2。f(x)在区间-1，0上严格单调递增，可设 f(x)=x+1，在区间(0，1)上设 f(x)=1-x，则 f(x)是周期为 2 的周期函数(锯齿波)。画草图可知，f(3)=f(-1)=0，f(2)=f(0)=1，则，选 A。10.i 为虚数单位，z=(1+i)2/(i+i 2+i3+i4+i5+i6+i7+i8
15、+i9)，则复数 z 的虚部是_（分数：4.00）A.0 B.1C.D.2解析：解析 z 的分母是 i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9=i-1-i+1+i-1-i+1+i=i，分子是(i+i)2=2i，则，故虚部为 0，选 A。11.如图所示，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90，过 A，D，B 三点作圆 O。若 M 为 AC的中点，AB=5，DM= ，则圆 O 的半径等于_ （分数：4.00）A.2 B.3C.4D.5解析：解析 因弦 AB=5，则圆 O 的半径，首先排除选项 A。 延长 CD 交圆于 E，连接 BE，因BDE=90，则BDE=90，BE
16、为直径，则过圆心 O，且E=BAD=BCD，SCBE 是等腰三角形，则 D 为 AE 中点。连接 AE，因 M 为 AC 的中点，则 AE=2DM=，于是。选 B。12.设函数 （分数：4.00）A.15B.21 C.32D.40解析：解析 方法一 4 个选项最小是 15,则 b10，由 a、b 是正整数，f(b)-f(a)=，得 f(b)=f(a)+是正整数，则 f(x)在区间0，10)上的可能取值为。当 a=6 时，得 b=15，a+b=21 选 B。 方法二 4 个选项中最小的是 15,则 b10，f(b)=b-7，。f(b)-f(a)=，得，因 a，b 是正整数，则 a 为偶数，且 a
17、=6，得b=15，a+b=21。选 B。 方法三 由题可知，a，b 显然分别在两个函数表达式，故 f(b)=b-7，得到，即根据整除及奇偶得 a=6，b=15a+b=21，选 B。13.四面体 ABCD 沿棱 DA，DB，DC 剪开，将面 ADB，面 ADC 和面 BDC 展开落在平面 ABC 上，恰构成一个边长为 1 厘米的正方形 AEGF(如图所示)，则原四面体的体积是_立方厘米 （分数：4.00）A.1/24 B.1/18C.1/15D.1/12解析：解析 据题设，2BD=1，2CD=1，则 BD=CD=，四面体即三棱锥 ABCD 的底面 BDC 为等要直角三角形，其面积。ADDB，AD
18、DC，AD平面 BDC，AD=1，为三棱锥 ABCD 的高，则其体积是。选 A。14.在分别写有 2，4，6，7，8，11，12，13 的八张卡片中取两张，所取卡片上的两个数互质的概率为_（分数：4.00）A.3/28B.3/4C.3/14D.9/14 解析：解析 两个数不互质的情况有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，12)，(6，8)，(6，12)，(8，12)共 10 种，则两个数互质的概率是。选 D。15.如图所示双曲线 X2/4-Y2/9=1 的左右焦点分别记为 F1，F2，双曲线上的点 P 使得F1PF2=60，则PF1F2 的面积等于_
19、 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一 双曲线 a=2，b=3，则。图中，|F1F2|=2c=，设|PF2|=m，则|PF2|=m+2a=m+4，由余弦定理可得 418=m2+(m+4)2-m(m+4)，即 m2+4m-36=0，得正根，选 D。 方法二 。选 D。 综合考查双曲线、余弦定理和三角形面积，公式推导如下： |F1F2|=2c，设|PF1|=m，则|PF2|=m+2a。注意到c2=a2+b2，由余弦定理可得 4c2=m2+(m+2a)2-2m(m+2a)cos，得：2b2=m(m+2a)(1-cos)，b2=m(m+2a)。16.若函数 f(x)和 g(x)满足
20、f(x)=ex+4，fg(x)=x2，则 g(x)的定义域是_ （分数：4.00）A.(-2，2)B.(0，+)C.(2，+)D.(-，-2)(2，+) 解析：解析 考查复合函数和定义域。 由 f(x)=ex+4 得 fg(x)=eg(x)+4=x2，从而 g(x)=ln(x2-4)，从而定义域 x2 或 x-2，选 D。17.若函数 f(x)连续， ，则当 x0 +时，g(x)是 （分数：4.00）A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶(非等价)无穷小解析：解析 因函数 f(x)连续，根据闭区间上连续函数的有界性，f(0)有界。 令，则 t=2u-x，则 所以 g(x)是的高阶
21、无穷小，选 A。 综合考查连续函数性质、无穷小比较和变上限函数。18.设函数 （分数：4.00）A.n-2B.n-1 C.n0D.n1解析：解析 方法一 f(x)在 x=0 处可导必连续，则，得 n0。f(x)在 x=0 处可导，则左、右导数存在并相等。 左导数，分母极限为-，要使右导数为 0，只有分子极限为有界值，故-(n+1)0，得 n-1。选 B。 方法二 f(x)在 x=0 处可导必连续，则，得 n0。f(x)在 x=0 处可导，即导数存在，则 只有f(0)=0，n-1。 方法三 先分析连续：要使极限为 0，则 n0。 再分析可导：。 要使极限存在，则n+10，从而 n-1，选 B。1
22、9.设函数 f(x)可导，f(1)=f(1)=1/4，若 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：20.设 f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-，0)上有唯一零点 x0=-1，且 f(x0)=1，则函数 （分数：4.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(-1，1) D.(1，+)解析：解析 方法一 *，令 F(x)=f(x)=0，因 f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-，0)上有唯一零点 x0=-1，故得驻点 x=1。F(x)=f(x)，因偶函数 f(x)的导数是奇函数，由 F“(-1)=f(-1)=1，得 F“(1)=f(1)=-1，故 x=-1 是极小值点，x=1 是极大值点。
23、则函数*的严格单调增区间是(-1，1)。选 C。方法二 *的严格单调递增，则 F(x)=f(x)0，在(-，0)上取。f(x)=x+1 在0，+)上取 f(x)=1-x。则 f(x)是实数集上连续的偶函数，在(-，0)上有唯一零点 x0=-1，且 f(x0)=1。画图可知，当 x(-1，1)时，F(x)0，函数 F(x)严格单调递增。选 C。方法三 取函数 f(x)=*(1-x2)，是连续的偶函数，在(-，0)上有唯一零点 x0=-1，且 f(x0)=1。*，得 F(x)=f(x)=*(1-x2)，当 x(-1，1)时，F(x)0，函数 F(x)严格单调递增，选 C。方法四 在(-，0)上，由
24、 f(-1)=0 及 f(-1)=1，大致可画出(-，0)的图像，由于是偶函数，关于 y轴对称，从而可得到 f(x)图像(如图所示)。又 F(x)=f(x)，当-1x1 时，F(x)为正 F(x)单增，选C。*21.设函数 f(x)可导，且满足 f(0)=f(2)=2，|f(x)|1，若 （分数：4.00）A.(1，2)B.(2，3)C.(3，5) D.(5，7)解析：解析 方法一 建立直角坐标系，取点 A(0，2)，C(2，2)，过 A，C 分别作斜率为1 的直线，AB，AD，CD，CB 分别交于点 B(1，3)，D(1，1)，取点 P(2，0)，则，即 I3，5。选 C。 方法二 取函数
25、f(x)=2，满足 f(0)=f(2)=2，|f(x)|1。 则。选 C。 考查定积分的估值定理。本题应把|f(x)|1 改为|f(x)|1，或选项改为闭区间。22.设向量 1=(1，1，2) T， 2=(2，1，4) T， 3=(t，3，6) T， 4=(0，2，2t) T。若向量组 1， 2， 3， 2的秩是 3，矩阵 A=( 1， 2， 3)的秩是 2，则参数 t=_（分数：4.00）A.2B.3 C.4D.6解析：解析 A=( 1， 2， 3)=*，r(A)=2，则|A|=0，(t-2)(6-2t)=0，得 t=2 或 t=3。当 t=2 时，( 1， 2， 3， 4)=*r( 1，
26、2， 3， 4)=2，不合题法，故舍去。当 t=3 时，( 1， 2， 3， 4)=*，r( 1， 2， 3， 4)=3。选 B。23.设 3 阶非零矩阵 A 的秩为 r(A)， （分数：4.00）A.2 与-3B.1 与-3C.2 与 3D.1 与 3 解析：解析 若 AB=0，A 为 3 阶非零矩阵，1r(A)3，则 B 必为降秩矩阵。 则 k=3，r(B)=2。故只能r(A)=1。选 D。24.3 阶矩阵 A 满足 A2-A-2E=0，其中 E 是 3 阶单位矩阵，若 A 的第 1 行是(-1，0，0)。则(A+2E) -3的第一行是_（分数：4.00）A.(1，0，0) B.(-1，0
27、，0)C.(-1，0，-1)D.(1，0，1)解析：解析 A 2-A-2E=0，欲求(A+2E) -1，两边同减去 4E，得(A+2E)(A-3E)=-4E，则 A-3E=-4(A+2E)-1，*。(A+2E)-1的第一行即为*的第一行，即(1，0，0)。选 A。考查矩阵关系式求逆矩阵的方法。25.设 A 是 3 阶不可逆矩阵，E 是 8 阶单位矩阵，若线性齐次方程组(A-3E)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则行列式|A+E|=_ （分数：4.00）A.2B.4C.8D.16 解析：解析 方法一 A 是 3 阶不可逆矩阵，则|A|=0，=0 是 A 的特征值； 由(A-3E)x
28、 一 0 得Ax=3x，则 =3 也是 A 的特征值； (A-3E)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则 =3 是 A 的重特征值。即 A 的特征值是 =0，3，3，A+E 特征值是 1，4，4，则行列式|A+E|=16。选 D。 方法二 三元线性方程组(A-3E)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则 r(A-3E)=1。不妨设，为不可逆矩阵，则|A+E|=16。选 D。 方法三 由于 A 不可逆，从而|A|=0，即 A 有一个特征值 1=0。又由于(A-3E)x=0 的基础理系由两个线性无关的解向量构成，从而根据特征值得定义知，A 有另两个特征值，2=3=3，即 A+E 的三个特征值为 1，4，4。故|A+E|=144=16，选 D。
