1、2013 年江苏省常州市中考真题数学 一 .选择题 1.(2 分 )在下列实数中，无理数是 ( ) A. 2 B. 3.14 C. D. 解析 ： A、 2 是有理数，故本选项错误； B、 3.14 是有理数，故本选项错误； C、 - 是有理数，故本选项错误； D、 是无理数，故本选项正确 . 答案： D. 2.(2 分 )如图所示圆柱的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 此圆柱的左视图是一个矩形 . 答案： C. 3.(2 分 )下列函数中，图象经过点 (1， -1)的反比例函数关系式是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设经过点 (1， -1)的反比例函数关系式是
2、y= (k0 )，则 -1= ，解得， k=-1， 所以，所求的函数关系式是 y=- 或 . 答案： A. 4.(2 分 )下列计算中，正确的是 ( ) A. (a3b)2=a6b2 B. a a4=a4 C. a6a 2=a3 D. 3a+2b=5ab 解析 ： A、 (a3b)2=a6b2，故本选项正确； B、 a a4=a5，故本选项错误； C、 a6a 2=a6-2=a4，故本选项错误； D、 3a 与 2b 不是同类项，不能合并，故本选项错误 . 答案： A. 5.(2 分 )已知：甲乙两组数据的平均数都是 5，甲组数据的方差 ，乙组数据的方差，下列结论中正确的是 ( ) A. 甲组
3、数据比乙组数据的波动大 B. 乙组数据的比甲组数据的波动大 C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D. 甲组数据与乙组数据的波动不能比较 解析 ： 由题意得，方差 ， A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误； B、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确； C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误； D、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误； 答案： B. 6.(2分 )已知 O 的半径是 6，点 O到直线 l的距离为 5，则直线 l与 O 的位置关系是 ( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 解析 ： O 的半径为 6，圆心 O 到直线 l
4、 的距离为 5， 6 5，即： d r， 直线 L 与 O 的位置关系是相交 . 答案： C. 7.(2 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a、 b、 c 为常数且 a0 )中的 x 与 y 的部分对应值如下表： 给出了结论： (1)二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为 -3； (2)当 时， y 0； (3)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 .则其中正确结论的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析 ： 由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线 x=1， 所以，当 x=1 时，二次函数 y=ax2+bx+
5、c 有最小值，最小值为 -4；故 (1)小题错误； 根据表格数据，当 -1 x 3 时， y 0， 所以， - x 2 时， y 0 正确，故 (2)小题正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，分别为 (-1， 0)(3， 0)，它们分别在 y 轴两侧，故 (3)小题正确； 综上所述，结论正确的是 (2)(3)共 2 个 . 答案： B. 8.(2 分 )有 3 张边长为 a 的正方形纸片， 4 张边长分别为 a、 b(b a)的矩形纸片， 5张边长为 b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形 (按原纸张进行无空隙、
6、无重叠拼接 )，则拼成的正方形的边长最长可以为 ( ) A. a+b B. 2a+b C. 3a+b D. a+2b 解析 ： 3 张边长为 a 的正方形纸片的面积是 3a2， 4 张边长分别为 a、 b(b a)的矩形纸片的面积是 4ab， 5 张边长为 b 的正方形纸片的面积是 5b2， a 2+4ab+4b2=(a+2b)2， 拼成的正方形的边长最长可以为 (a+2b)， 答案： D. 二 .填空题 9.(4 分 )计算 -(-3)= ， |-3|= ， (-3)-1= ， (-3)2= . 解析 ： -(-3)=3， |-3|=3， (-3)-1=- ， (-3)2=9. 答案 ： 3
7、； 3； - ； 9. 10.(2 分 )已知点 P(3， 2)，则点 P 关于 y 轴的对称点 P1的坐标是 ，点 P 关于原点 O的对称点 P2的坐标是 . 解析 ： 点 P(3， 2)关于 y 轴的对称点 P1的坐标是 (-3， 2)， 点 P 关于原点 O 的对称点 P2的坐标是 (-3， -2). 答案 ： (-3， 2)； (-3， -2). 11.(2 分 )已知一次函数 y=kx+b(k、 b 为常数且 k0 )的图象经过点 A(0， -2)和点 B(1， 0)，则 k= ， b= . 解析 ： 一次函数 y=kx+b(k、 b 为常数且 k0 )的图象经过点 A(0， -2)
8、和点 B(1， 0)， ，解得 . 答案 ： 2， -2. 12.(2 分 )已知扇形的半径为 6cm，圆心角为 150 ，则此扇形的弧长是 cm，扇形的面积是 cm2(结果保留 ). 解析 ： 扇形的半径为 6cm，圆心角为 150 ， 此扇形的弧长是： l= =5 (cm)， 根据扇形的面积公式，得 S 扇 = =15 (cm2). 答案 ： 5 ， 15 . 13.(2 分 )函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 ；若分式 的值为 0，则x= . 解析 ： 根据题意得， x-30 ，解得 x3 ； 2x-3=0 且 x+10 ，解得 x= 且 x -1，所以， x= . 答案 ： x3
9、 ； . 14.(2 分 )我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 则这组数据的中位数是 ，众数是 . 解析 ： 将表格数据从小到大排列为： 25， 26， 27， 27， 28， 28， 28， 中位数为： 27；众数为： 28. 答案 ： 27、 28. 15.(2 分 )已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x2+ax-a2=0 的一个根，则 a= . 解析 ： 根据题意得： 2-a-a2=0 解得 a=-2 或 1. 答案 ： -2 或 1. 16.(2 分 )如图， ABC 内接于 O ， BAC=120 ， AB=AC， BD 为 O 的直径， AD=6，则 DC= . 解析 ：
10、 BD 为 O 的直径， BAD=BCD=90 ， BAC=120 ， CAD=120 -90=30 ， CBD=CAD=30 ， 又 BAC=120 ， BDC=180 -BAC=180 -120=60 ， AB=AC ， ADB=ADC ， ADB= BDC= 60=30 ， AD=6 ， 在 RtABD 中， BD=ADsin60=6 =4 ， 在 RtBCD 中， DC= BD= 4 =2 . 答案 ： 2 . 17.(2 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 的图象上，第二象限内的点 B在反比例函数 的图象上，连接 OA、 OB，若 OAOB ，
11、OB= OA，则 k= . 解析 ： 过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F， 设点 A 的坐标为 (a， )，点 B 的坐标为 (b， )， AOE+BOF=90 ， OBF+BOF=90 ， AOE=OBF ， 又 BFO=OEA=90 ， OBFAOE ， = = ，即 = = ， 则 =- b ， a= ， 可得： -2k=1，解得： k=- . 答案 ： - . 三、解答题 18.(8 分 )化简 (1) (2) . 解析 ： (1)分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算，代入特殊角的三角函数值即可得出答案 . (2)先通分，然后再进行分子的加减运算，最后
12、化简即可 . 答案： (1)原式 =2-1+2 =2. (2)原式 = - = = . 19.(10 分 )解方程组和分式方程： (1) (2) . 解析 ： (1)利用代入消元法解方程组； (2)最简公分母为 2(x-2)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验 . 答案： (1) ， 由 得 x=-2y 把 代入 ，得 3 (-2y)+4y=6，解得 y=-3， 把 y=-3 代入 ，得 x=6，所以，原方程组的解为 ； (2)去分母，得 14=5(x-2)，解得 x=4.8， 检验：当 x=4.8 时， 2(x-2)0 ， 所以，原方程的解为 x=4.8. 20.(7 分 )为保证中小学
13、生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图 (1)和图 (2). (1)请根据所给信息在图 (1)中将表示 “ 乒乓球 ” 项目的图形补充完整； (2)扇形统计图 (2)中表示 ” 足球 ” 项目扇形的圆心角度数为 . 解析 ： (1)首先根据打篮球的人数是 20 人，占 40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从而补全统计图； (2)用 360 乘以足球所占的百分百，即可得出扇形的圆心角的度数 . 答案： (1)总人数是： 2040%=50
14、(人 )，则打乒乓球的人数是： 50-20-10-15=5(人 ). 足球的人数所占的比例是： 100%=20% ， 打乒乓球的人数所占的比例是： 100%=10% ； 其它的人数所占的比例是： 100%=30% . 补图如下： (2)根据题意得： 360 =72 ， 则扇形统计图 (2)中表示 ” 足球 ” 项目扇形的圆心角度数为 72 ； 故答案为： 72 . 21.(8 分 )一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球， 1 个红球，它们除颜色外均相同 . (1)从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ (2)从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个
15、球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图 . 解析 ： (1)根据概率的意义列式即可； (2)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解 . 答案： (1) 共有 3 个球， 2 个白球， 随机摸出一个球是白球的概率为 ； (2)根据题意画出树状图如下： 一共有 6 种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2 种， 所以， P(两次摸出的球都是白球 )= = . 22.(6 分 )如图， C 是 AB 的中点， AD=BE， CD=CE.求证： A=B . 解析 ： 根据中点定义求出 AC=BC，然后利用 “SSS” 证明 ACD 和 BCE 全等，再根据全等三角形对应角相等证明
16、即可 . 答案： C 是 AB 的中点， AC=BC ， 在 ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE (SSS)， A=B . 23.(7 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， B=60 ， FAC 、 ECA 是 ABC 的两个外角， AD 平分 FAC ， CD 平分 ECA . 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 解析 ： 根据平行四边形的判定方法得出四边形 ABCD 是平行四边形，再利用菱形的判定得出 . 答案： B=60 ， AB=AC， ABC 为等边三角形， AB=BC ， ACB=60 ， FAC=ACE=120 ， BAD=BCD=120 ， B=D=60 ， 四边
17、形 ABCD 是平行四边形， AB=BC ， 平行四边形 ABCD 是菱形 . 24.(6 分 )在 RtABC 中， C=90 ， AC=1， BC= ，点 O 为 RtABC 内一点，连接 A0、 BO、CO，且 AOC= COB=BOA=120 ，按下列要求画图 (保留画图痕迹 )： 以点 B 为旋转中心，将 AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60 ，得到 AOB (得到 A、 O的对应点分别为点 A 、 O )，并回答下列问题： ABC= ， ABC= ， OA+OB+OC= . 解析 ： 解直角三角形求出 ABC=30 ，然后过点 B 作 BC 的垂线，在截取 AB=AB ，再以点
18、A为圆心，以 AO为半径画弧，以点 B为圆心，以 BO为半径画弧，两弧相交于点 O ，连接 AO 、BO ，即可得到 AOB ；根据旋转角与 ABC 的度数，相加即可得到 ABC ； 根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出 AB=2AC，即 AB 的长，再根据旋转的性质求出 BOO 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 BO=OO ，等边三角形三个角都是 60 求出 BOO=BOO=60 ，然后求出 C、 O、 A 、 O 四点共线，再利用勾股定理列式求出 AC ，从而得到 OA+OB+OC=AC . 答案： C=90 ， AC=1， BC= ， tanABC= =
19、= ， ABC=30 ， AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60 ， AOB 如图所示； ABC=ABC+60=30+60=90 ， C=90 ， AC=1， ABC=30 ， AB=2AC=2 ， AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60 ，得到 AOB ， AB=AB=2 ， BO=BO ， AO=AO ， BOO 是等边三角形， BO=OO ， BOO=BOO=60 ， AOC=COB=BOA=120 ， COB+BOO=BOA+BOO=120+60=180 ， C 、 O、 A 、 O 四点共线， 在 RtABC 中， AC= = = ，OA+OB+OC=AO+OO+OC=AC= . 故
20、答案为： 30 ； 90 ； . 25.(7 分 )某饮料厂以 300 千克的 A 种果汁和 240 千克的 B 种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含 0.6 千克 A 种果汁，含 0.3 千克 B 种果汁；每千克乙种饮料含 0.2 千克 A 种果汁，含 0.4 千克 B种果汁 .饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650 千克，设该厂生产甲种饮料 x(千克 ). (1)列出满足题意的关于 x 的不等式组，并求出 x 的取值范围； (2)已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每 1 千克 3 元，乙种饮料销售价是每 1 千克 4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能
21、使得这批饮料销售总金额最大？ 解析 ： (1)表示出生产乙种饮料 (650-x)千克，然后根据所需 A 种果汁和 B 种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到 x 的取值范围； (2)根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额 . 答案： (1)设该厂生产甲种饮料 x 千克，则生产乙种饮料 (650-x)千克， 根据题意得， ， 由 得， x425 ，由 得， x200 ，所以， x 的取值范围是 200x425 ； (2)设这批饮料销售总金额为 y 元， 根据题意得， y=3x+4(650-x)=3x+2600-4x=-x+2600，即 y=-
22、x+2600， k= -1 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x=200 时，这批饮料销售总金额最大，则650-x=650-200=450. 故该饮料厂生产甲种饮料 200 千克，乙种饮料 450 千克，才能使得这批饮料销售总金额最大 . 26.(6 分 )用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形 .设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 S= a+b-1(史称 “ 皮克公式 ” ). 小明认真研究了 “ 皮克公式 ” ，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究
23、：正三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： 根据图中提供的信息填表： 则 S 与 a、 b 之间的关系为 S= (用含 a、 b 的代数式表示 ). 解析 ： 根据 8=8+2(1-1)， 11=7+2(3-1)得到 S=a+2(b-1). 答案： 填表如下： 则 S 与 a、 b 之间的关系为 S=a+2(b-1)(用含 a、 b 的代数式表示 ). 27.(9 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(6， 0)，点 B(0， 6)，动点 C 在以半径为 3 的O 上，连接 OC，过 O
24、点作 ODOC ， OD 与 O 相交于点 D(其中点 C、 O、 D按逆时针方向排列 )，连接 AB. (1)当 OCAB 时， BOC 的度数为 ； (2)连接 AC， BC，当点 C 在 O 上运动到什么位置时， ABC 的面积最大？并求出 ABC 的面积的最大值 . (3)连接 AD，当 OCAD 时， 求出点 C 的坐标； 直线 BC 是否为 O 的切线？请作出判断，并说明理由 . 解析 ： (1)根据点 A 和点 B 坐标易得 OAB 为等腰直角三角形，则 OBA=45 ，由于 OCAB ，所以当 C 点在 y 轴左侧时，有 BOC=OBA=45 ；当 C 点在 y轴右侧时，有BO
25、C=180+OBA=225 ； (2)由 OAB 为等腰直角三角形得 AB= OA=6 ，根据三角形面积公式得到当点 C到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大，过 O 点作 OEAB 于 E， OE 的反向延长线交 O 于 C，此时C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE，然后计算ABC 的面积； (3) 过 C 点作 CFx 轴于 F，易证 RtOCFRtAOD ，则 = ，即 = ，解得 CF= ，再利用勾股定理计算出 OF= ，则可得到 C 点坐标； 由于 OC=3， OF= ，所以 COF=30 ，则可得到 BOC=60 ， AOD=6
26、0 ，然后根据 “SAS”判断 BOCAOD ，所以 BCO=ADO=90 ，再根据切线的判定定理可确定直线 BC 为 O的切线 . 解答 (1) 点 A(6， 0)，点 B(0， 6)， OA=OB=6 ， OAB 为等腰直角三角形， OBA=45 ， OCAB ， 当 C 点在 y 轴左侧时， BOC =OBA=45 ； 当 C 点在 y 轴右侧时， BOC=90+OBA=135 ； (2)OAB 为等腰直角三角形， AB= OA=6 ， 当点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大， 过 O 点作 OEAB 于 E， OE 的反向延长线交 O 于 C，如图，此时 C点到 AB的
27、距离的最大值为 CE 的长， OE= AB=3 ， CE=OC+OE=3+3 ， ABC 的面积 = CE AB= (3+3 )6 =9 +18. 当点 C 在 O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， ABC 的面积最大，最大值为 9 +18. (3) 如图，过 C 点作 CFx 轴于 F， OCAD ， COF=DAO ， 又 ADO=CFO=90RtOCFRtAOD ， = ，即 = ，解得 CF= ， 在 RtOCF 中， OF= = ， C 点坐标为 ( ， )； 故所求点 C 的坐标为 ( ， ). 当 C 点坐标为 (- ， )时，直线 BC 是 O 的切线 .理由如下：
28、 在 RtOCF 中， OC=3， CF= ， COF=30 ， OAD=30 ， BOC=60 ， AOD=60 ， 在 BOC 和 AOD 中 ， ， BOCAOD (SAS)， BCO=ADO=90 ， OCBC ， 直线 BC 为 O 的切线； 当 C 点坐标为 (- ， )时，显然直线 BC 与 O 相切 . 综上可得： C 点坐标为 ( ， )或 (- ， )时，显然直线 BC 与 O 相切 . 28.(10 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于 A，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为 (a， 0)， (其中 a 0)，直线 l 过动点
29、 M(0， m)(0 m 2)，且与 x 轴平行，并与直线 AC、 BC 分别相交于点 D、 E， P 点在 y 轴上 (P 点异于 C 点 )满足 PE=CE，直 线 PD 与x 轴交于点 Q，连接 PA. (1)写出 A、 C 两点的坐标； (2)当 0 m 1时，若 PAQ 是以 P为顶点的倍边三角形 (注：若 HNK 满足 HN=2HK，则称 HNK为以 H 为顶点的倍边三角形 )，求出 m 的值； (3)当 1 m 2 时，是否存在实数 m，使 CD AQ=PQ DE？若能，求出 m 的值 (用含 a的代数式表示 )；若不能，请说明理由 . 解析 ： (1)利用一次函数图象上点的坐标
30、特征求解； (2)如答图 1 所示，解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标，然后利用 PA=2PQ，列方程求解； (3)如答图 2 所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出 m的值 . 答案： (1)在直线解析式 y=2x+2 中，当 y=0 时， x=-1；当 x=0 时， y=2， A (-1， 0)， C(0，2)； (2)当 0 m 1 时，依题意画出图形，如答图 1 所示 . PE=CE ， 直线 l 是线段 PC 的垂直平分线， MC=MP ，又 C(0， 2)， M(0， m)， P (0， 2m-2)； 直线 l 与 y=2x+2 交于点 D，令 y=m，则
31、 x= ， D ( ， m)， 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得： k=-2， b=2m-2， 直线 DP 的解析式为： y=-2x+2m-2. 令 y=0，得 x=m-1， Q (m-1， 0). 已知 PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知， PA=2PQ， ，即 ， 整理得： (m-1)2= ，解得： m= ( 1，不合题意，舍去 )或 m= ， m= . (3)当 1 m 2 时，假设存在实数 m，使 CD AQ=PQ DE. 依题意画出图形，如答图 2 所示 . 由 (2)可知， OQ=m-1， OP=2m-2，由勾股定理得： PQ= (m-1)； A (-1， 0)， Q(m-1， 0)， B(a， 0)， AQ=m ， AB=a+1； OA=1 ， OC=2，由勾股定理得： CA= . 直线 lx 轴， CDECAB ， ； 又 CD AQ=PQ DE， ， ，即 ，解得： m= . 1 m 2， 当 0 a1 时， m2 ， m 不存在；当 a 1 时， m= . 当 1 m 2 时，若 a 1，则存在实数 m= ，使 CD AQ=PQ DE；若 0 a1 ，则 m 不存在 .
