1、2013 年江苏省淮安市中考真题数学 一、选择题 (本大题共有 8 小题，每小题 3分，共 24 分 ) 1.(3 分 )在 -1， 0.-2， 1 四个数中，最小的数是 ( ) A.-1 B.0 C.-2 D.1 解析 ： 在 -1， 0.-2， 1 四个数中，最小的数是 -2； 答案： C. 2.(3 分 )计算 (2a)3的结果是 ( ) A. 6a B. 8a C. 2a3 D. 8a3 解析 ： (2a)3=8a3； 答案： D. 3.(3 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. x0 B. x 1 C. 0 x 1 D. 0x 1 解析 ： 不等式组 的解集是 0x 1. 答案：
2、D. 4.(3 分 )若反比例函数 的图象经过点 (5， -1)，则实数 k 的值是 ( ) A. -5 B. - C. D. 5 解析 ： 反比例函数 的图象经过点 (5， -1)， k=xy=5 (-1)=-5，即 k 的值是 -5. 答案： A. 5.(3 分 )若扇形的半径为 6，圆心角为 120 ，则此扇形的弧长是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： 扇形的半径为 6，圆心角为 120 ， 此扇形的弧长 = =4 . 答案： B. 6.(3 分 )如图，数轴上 A、 B 两点表示的数分别为 和 5.1，则 A、 B 两点之间表示整数的点共有 ( ) A. 6 个
3、 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个 解析 ： 1 2， 5 5.1 6， A 、 B 两点之间表示整数的点有 2， 3， 4， 5，共有 4 个； 答案： C. 7.(3 分 )若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为 ( ) A. 5 B. 7 C. 5 或 7 D. 6 解析 ： 当 3 为底时，其它两边都为 1， 1+1 3， 不能构成三角形，故舍去， 当 3 为腰时，其它两边为 3 和 1， 3、 3、 1 可以构成三角形，周长为 7. 答案： B. 8.(3 分 )如图，点 A、 B、 C 是 0 上的三点，若 OBC=50 ，则 A 的度数是 ( )
4、 A. 40 B. 50 C. 80 D. 100 解析 ： OC=OB ， OCB=OBC=50 ， BOC=180 -50 -50=80 ， A=BOC=40 . 答案： A. 二、填空题 (本大题有 10 小题，每小题 3分，共 30 分 ) 9.(3 分 )sin30 的值为 . 解析 ： sin30= . 答案 ： . 10.(3 分 )方程 的解集是 . 解析 ： 去分母得： 2+x=0，解得： x=-2，经检验 x=-2 是分式方程的解 . 答案 ： x=-2 11.(3 分 )点 A(-3， 0)关于 y 轴的对称点的坐标是 . 解析 ： 点 A(-3， 0)关于 y 轴的对称
5、点的坐标是 (3， 0)， 答案 ： (3， 0). 12.(3 分 )一组数据 3， 9， 4， 9， 5 的众数是 . 解析 ： 这组数据中出现次数最多的数据为： 9.故众数为 9. 答案 ： 9. 13.(3 分 )若 n 边形的每一个外角都等于 60 ，则 n= . 解析 ： n=36060=6 ， 答案 ： 6. 14.(3 分 )如图，三角板的直角顶点在直线 l 上，若 1=40 ，则 2 的度数是 . 解析 ： 如图，三角板的直角顶点在直线 l 上， 则 1+2=180 -90=90 ， 1=40 ， 2=50 . 答案 50 . 15.(3 分 )如图，在 ABC 中，点 D、
6、 E 分别是 AB、 AC 的中点 .若 DE=3，则 BC= . 解析 ： 点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， BC=2DE=23=6 . 答案 ： 6. 16.(3 分 )二次函数 y=x2+1 的图象的顶点坐标是 . 解析 ： 二次函数 y=x2+1 的图象的顶点坐标是 (0， 1). 答案 ： (0， 1). 17.(3 分 )若菱形的两条对角线分别为 2 和 3，则此菱形的面积是 . 解析 ： 由题意，知： S 菱形 = 23=3 ， 答案： 3. 18.(3 分 )观察一列单项式： 1x， 3x2， 5x2， 7x， 9x2， 11x2， ，
7、则第 2013 个单项式是 . 解析 ： 系数依次为 1， 3， 5， 7， 9， 11， 2n -1； x 的指数依次是 1， 2， 2， 1， 2， 2， 1， 2， 2，可见三个单项式一个循环， 故可得第 2013 个单项式的系数为 4025； =671， 第 2013 个单项式指数为 2， 故可得第 2013 个单项式是 4025x2. 答案： 4025x2. 三、解答题 (本大题有 10 小题，共 96分 .) 19.(10 分 )计算： (1)( -5)0+ -|-3| (2)3a+(1+ ) . 解析 ： (1)首先计算 0 次幂、开方运算，去掉绝对值符号，然后进行加减运算即可；
8、 (2)首先计算括号内的式子，然后进行乘法运算，最后合并同类项即可 . 答案： (1)原式 =1+2-3=0； (2)原式 =3a+ =3a+a=4a. 20.(6 分 )解不等式： x+1 +2，并把解集在数轴上表示出来 . 解析 ： 根据不等式的性质得到 2(x+1)x+4 ，即可求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来 . 答案： 2(x+1)x+4 ， 2x+2x+4 ， x2 . 在数轴上表示为： 21.(8 分 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的两格中，点 A、 B、 C 都是格点 . (1)将 ABC 向左平移 6 个单位长度得到得到 A 1B1C1； (2)将
9、ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 180 得到 A 2B2C2，请画出 A 2B2C2. 解析 ： (1)将点 A、 B、 C 分别向左平移 6 个单位长度，得出对应点，即可得出 A 1B1C1； (2)将点 A、 B、 C 分别绕点 O 按逆时针方向旋转 180 ，得出对应点，即可得出 A 2B2C2. 答案： (1)如图所示： A 1B1C1，即为所求； (2)如图所示： A 2B2C2，即为所求 . 22.(8 分 )如图，在平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 O 作直线，分别交 AD、 BC 于点 E、 F. 求证： AOECOF . 解析 ： 据平行四边形的性质可知： AEO
10、=OFC ， OA=OC， EAO=OCF ，所以 AOECOF . 答案： ADBC ， EAO=FCO . 又 AOE=COF ， OA=OC，在 AOE 和 COF 中， ， AOECOF . 23.(10 分 )如图，某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的 1000 名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜欢的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种 .调查结果统计如下： 解答下列问题： (1)本次调查中的样本容量是 ； (2)a= ， b= ； (3)试估计上述 1000 名学生中最喜欢羽毛球运动的人数 . 解析 ： (
11、1)用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量； (2)用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得 a，用样本容量减去其他求得 b 值； (3)用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可 . 答案： (1) 喜欢排球的有 12 人，占 10%， 样本容量为 1210%=120 ； (2)a=12025%=30 人， b=120-30-12-36-18=24 人； (3)喜欢羽毛球的人数为： 1000 =300 人 . 24.(10 分 )一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的 3 只球，球上分别标有 2， 3， 5三个数字 . (1)从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是
12、； (2)从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字 .将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数 .求所组成的两位数是 5 的倍数的概率 .(请用 “ 画树状图 ” 或 “ 列表 ” 的方法写出过程 ) 解析 ： (1)直接根据概率公式解答即可； (2)首先画出树状图，可以直观的得到共有 6 种情况，其中是 5 的倍数的有两种情况，进而算出概率即可 . 答案： (1)任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是： ； (2)如图所示：共有 6 种情况，其中是 5 的倍数的有 25， 35 两种情况，概率为： = . 2
13、5.(10 分 )小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1件，购买的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元 .按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200 元 .请问她购买了多少件这种服装？ 解析 ： 根据一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可 . 答案 ： 设购买了 x 件这种服装且多于 10 件，根据题意得出： 80-2(x-10)x=1200， 解得： x1=20， x2=
14、30， 当 x=20 时， 80-2(20-10)=60 元 50 元，符合题意； 当 x=30 时， 80-2(30-10)=40 元 50 元，不合题意，舍去； 答：她购买了 20 件这种服装 . 26.(10 分 )如图， AB 是 0 的直径， C 是 0 上的一点，直线 MN 经过点 C，过点 A 作直线 MN的垂线，垂足为点 D，且 BAC=DAC . (1)猜想直线 MN 与 0 的位置关系，并说明理由； (2)若 CD=6， cosACD= ，求 0 的半径 . 解析 ： (1)连接 OC，推出 ADOC ，推出 OCMN ，根据切线的判定推出即可； (2)求出 AD、 AB
15、长，证 ADCACB ，得出比例式，代入求出 AB 长即可 . 答案： (1)直线 MN 与 0 的位置关系是相切，理由是：连接 OC， OA=OC ， OAC=OCA ， CAB=DAC ， DAC=OCA ， OCAD ， ADMN ， OCMN ， OC 为半径， MN 是 O 切线； (2)CD=6 ， cosACD= = ， AC= =10，由勾股定理得： AD=8， AB 是 O 直径， ADMN ， ACB=ADC=90 ， DAC=BAC ， ADCACB ， = ， = ， AB=12.5 ， O 半径是 12.5=6.25 . 27.(12 分 )甲、乙两地之间有一条笔直的
16、公路 L，小明从甲地出发沿公路 L 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地 .设小明与甲地的距离为 y1米，小亮与甲地的距离为 y2米，小明与小亮之间的距离为 s 米，小明行走的时间为 x 分钟 .y1、 y2与 x之间的函数图象如图 1， s 与 x 之间的函数图象 (部分 )如图 2. (1)求小亮从乙地到甲地过程中 y2(米 )与 x(分钟 )之间的函数关系式； (2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s(米 )与 x(分钟 )之间的函数关系式； (3)在图 2 中，补全整个过程中 s(米 )
17、与 x(分钟 )之间的函数图象，并确定 a 的值 . 解析 ： (1)设小亮从乙地到甲地过程中 y2(米 )与 x(分钟 )之间的函数关系式为 y2=k2x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式； (2)先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s(米 )与 x(分钟 )之间的函数关系式； (3)先根据相遇问题建立方程就可以求出 a 值， 10 分钟甲、乙走的路程就是相距的距离， 14分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象 . 答案： (1)设小亮从乙地到甲地过程中 y2(米 )与 x(分钟 )之
18、间的函数关系式为 y2=k2x+b， 由图象，得 ，解得： ， y 2=-200x+2000； (2)由题意，得 小明的速度为： 200040=50 米 /分， 小亮的速度为： 200010=200 米 /分， 小亮从甲地追上小明的时间为 2450 (200-50)=8 分钟， 24 分钟时两人的距离为： S=2450=1200 ， 32 分钟时 S=0， 设 S 与 x 之间的函数关系式为： S=kx+b1， 由题意，得 ，解得： ， S= -150x+4800(24x32 )； (3)由题意，得 a=2000 (200+50)=8 分钟， 当 x=24 时， S=1200， 设经过 x 分
19、钟追上小明，则 200x-50x=1200，解得 x=8，此时的总时间就是 24+8=32 分钟 . 故描出相应的点就可以补全图象 . 如图： 28.(12 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， BC=3， AB=5.点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度沿 BCAB 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2个单位沿 CAB 方向的运动，到达点 B 后立即原速返回，若 P、 Q 两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为 秒 . (1)当 = 时，点 P 与点 Q 相遇； (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中，当 为何值时， PCQ 为等腰三角形？ (3)在点
20、Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，设 PCQ 的面积为 S 平方单位 . 求 S 与 之间的函数关系式； 当 S 最大时，过点 P 作直线交 AB 于点 D，将 ABC 中沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC上，求折叠后的 APD 与 PCQ 重叠部分的面积 . 解析 ： (1)首先利用勾股定理求得 AC的长度，点 P与点 Q相遇一定是在 P由 A到 B的过程中，利用方程即可求得； (2)分 Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒， P 从 B 到 C 的时间是 3 秒，则可以分当 0t2 时，若 PCQ为等腰三角形，则一定有： PC=CQ，和当 2 t3 时，若 PCQ 为等腰三
21、角形，则一定有 PQ=PC两种情况进行讨论求得 t 的值； (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中， P 一定在 AC 上，则 PC 的长度是 t-3，然后利用相似三角形的性质即可利用 t 表示出 S 的值，然后利用二次函数的性质即可求得 t 的值，从而求解 . 答案： (1)在直角 ABC 中， AC= =4， 则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9，需要的时间是 4.5 秒 .此时 P 运动的路程是 4.5， P和 Q 之间的距离是： 3+4+5-4.5=7.5. 根据题意得： (t-4.5)+2(t-4.5)=7.5，解得： t=7s. (2)Q 从 C 到 A 的时间是
22、2 秒， P从 B到 C的时间是 3秒 . 则当 0t2 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有： PC=CQ，即 3-t=2t，解得： t=1s. 当 2 t3 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有 PQ=QC(如图 1). 则 Q 在 PC 的中垂线上，作 QHAC ，则 QH= PC.AQHABC ， BC=3 ， AB=5， QHAC ， = = ， QH= AQ， 在直角 AQH 中， AQ=2t-4，则 QH= AQ= . PC=BC -BP=3-t， (2t-4)= (3-t)，解得： t= s； 综上所述， t=1s 或 s； (3) 连接 DC(即 AD 的折叠线 )交 P
23、Q 于点 O，过 Q 作 QECA 于点 E，过 O作 OFCA 于点 F， 则 PCO 即为折叠后的 APD 与 PCQ 重叠部分的面积 . 在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中， P 一定在 AC 上，则 PC=t-3， BQ=2t-9， 即 AQ=5-(2t-9)=14-2t.同 (2)可得： PCQ 中， PC 边上的高是： (14-2t)， 故 S= (t-3) (14-2t)= (-t2+10t-21). 故当 t=5 时， s 有最大值，此时， P 在 AC 的中点 .(如图 2). 沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC 上， PD 一定是 AC 的中垂线 . 则 AP= AC=2， PD= BC= ， AQ=14-2t=14-25=4 . 则 PC 边上的高是： AQ= 4= .COF=CDP=B ， 所以，在 RtCOF 中， tanCOF= ，设 OF 为 x， 则利用三角函数得 CF= ， PF=2- ，则 QE= ， AE= ， PE=AE -AP= ， POFPQE ， = ，解得： x= ， SPCO = 2 = .
