1、 江西省南昌市 2013 年初中毕业暨中等学校招生考试 数 学 试 题 卷 说明： 1。本卷 共有五个大题， 25 个小题，全卷满分 120 分。考试时间 120 分钟 2本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题只有一个正确选项。 1 -1 的倒数是（ ） A 1 B -1 C 1 D 0 2 下列计算正确的是（ ） A 3 2 5a a aB 2 2 2(3 ) 9b a b C3 2 2 6()ab a bD6 2 3a b a a b3 某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进
2、行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的 2倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，到瑞金的人数为 y 人。下面所列的方程组正确的是（ ） A3412xyB3421xyC34xyxyD2 34214 下列数据是 2013 年 3 月日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数 342 163 165 45 227 163 则这组据的中位数和众数分别是（ ） A 163 和 164 B 105 和 163 C 105 和 164 D 163 和 164 5某机构对 30 万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生
3、大约占 7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ） A 2 1 105 B 21 103 C 0 21 105 D 2 1 104 6如图，直线 y=x+a-2 与双曲线 y=4x 交于 A， B 两点， 则当线段 AB 的长度取最小值是， a 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.5 7.一张坐凳的形状如图所示，以箭并没有所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ） 8将不等式组212( 3) 3 3xxx 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） 9下列因式分解正确的是（ ） A2 ()x x y x x x y B3 2 2 22 ( )a a b ab
4、a a b C 222 4 ( 1) 3x x D2 9 ( 3 )( )ax a x x 10如图，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到 ADE，若 CAE=65， E=70，且 AD BC，则 BAC 的度数为（ ） A 60 B 75 C 85 D 90 11如图，正六边形 ABCDEF 中， AB=2，点 P 是 ED 的中点，连接 AP，则 AP 的长为（ ） A 2 3 B 4 C 13 D 11 12若二次函数 y=ax2+bx+c (a 0)的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为 (x1,0),(x2,0),且 x10 B b2-4ac 0 C x10)的图象和矩形
5、ABCD 在第一象限， AD平行于 x 轴，且 AB=2， AD=4，点 A 的坐标为（ 2， 6） （ 1）直接写出 B、 C、 D 三点的坐标； （ 2） 若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式。 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 21生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查。为期半天的会议中，每人发一瓶 500 毫升的矿泉水，会后对 所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种： A。全部喝完； B。喝剩约
6、13 ； C。喝剩约一半； D。开 瓶但基本未喝 。同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图。根据统计图提供的信息。解答下列问题： （ 1） 参加这次会底色的有多少人？在图（ 2）中 D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图； （ 2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数） （ 3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议 60 次，每次会底色人数约在 40 至 60 人之间 ，请用（ 2）中的计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（ 500 毫升 /瓶）约有多少瓶？（可使用科学计算器） 22如图，在平面直角坐标系中，以点 O
7、 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（ 4， 2）是 O 外一点，连接 AP，直线 PB与 O 相切于点 B，交 x 轴于点 C。 （ 1）证明 PA 是 O 的切线； （ 2）求点 B 的坐标。 23如图 1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB。如图 2 所示，量杆 OA 长为 10cm，雨刮杆 AB 长为 48cm, OAB=120 .若启动一次刮雨器，雨刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图 3 所示。 （ 1）求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、 B 两点之间的距离；（结果精确到 0.01） (2)求雨刮杆 AB
8、扫过的最大面积。（结果保留 的整数倍） (参考数据 :3sin60 3,1cos60 2,tan60 3,721 26.851,可使用科学计算器 ) 五、（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分） 24某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （ 1）操作发现： 在等腰 ABC， AB=AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，其中 DF AB 于点 F， EG AC 于点 G， M 是 BC 的中点，连接 MD和 ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） AF=AG=12 AB； MD=ME；整个图形是轴对
9、称图形； MD ME （ 2）数学思考： 在任意 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的 外侧 作等腰直角三角形，如图 2所示， M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的数量关系？请给出证明过程； （ 3）类比探究： （ i）在任意 ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的 内侧 作等腰直角三角形，如图 3 所示， M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断 MEC 的形状。答： 。 （ ii）在三边互不相等的 ABC 中（见备用图），仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的内侧作（非等腰）直角三角形 A
10、BD 和（非等腰）直角三角形 ACE， M 是 BC 的中点，连接 MD和 ME，要使（ 2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限制用题中字母表示）并说明理由。 25已知抛物线2()n n ny x a a (n 为正整数，且 0 a1 a2 an）与 x 轴的交点为An-1(bn-1,0)和 An(b,0),当 n=1 时，第 1 条抛物线21 1 1y a 与 x 轴的交点为 A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依次类推。 （ 1）求 a1,b1 的值及抛物线 y2 的解析式； （ 2）抛物线 y3 的顶点坐标为（ ， ）； 依次类推第 n 条抛物线 yn 的顶点坐标为
11、（ ， ）（用含 n 的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ; (3)探究下列结论： 若用 An-1An表示第 n 条抛物线被 x轴截得的线段长，直接写出 A0A1的值，并求出 An-1An； 是否存在经过点 A（ 2， 0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由。 江西省南昌市 2013 年初中毕业暨中等学校招生考试 数 学 试 题 卷 答 案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题只有一个正确选项。 1、 B 2、 C 3、 B 4、 A 5、 D 6、 C 7、
12、 C 8、 D 9、 B 10、 C 11、 C 12、 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13、 65 14、 21n15、2 5 6 0xx （答案不唯一） 16、 2,3,4， 三、（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 17、解：（ 1）如图 1，点 P 就是所求作的点；（ 2）如图 2， CD 为 AB 边上的高 . 18、解：原式 =xx2 )(2)2(2xx+1 =2 12x = 当 x=1 时，原式 =. 19、解：（ 1） A . （ 2）依题意画树状图如下： 从上图可知，所有等可能结果共有 6 种，其中第 4、 5 种结果符合
13、， P(A)= = 20、解： （ 1） B（ 2， 4）， C（ 6， 4）， D（ 6， 6） . （ 2）如图，矩形 ABCD 向下平移后得到矩形 ABC D， 设平移距离为 a，则 A（ 2， 6 a）， C（ 6， 4 a） 点 A，点 C在 y=的图象上， 2(6 a)=6(4 a)， 解得 a=3， 点 A（ 2， 3）， 反比例函数的解析式为 y=6x 21、解：（ 1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约的人数是总人数的 50%， 25 50%=50，参加这次会议的总人数为 50 人， 5 360 =36， D 所在扇形圆心角的度数为 36， 补全条形统计图如下； （ 2）根据条形
14、统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为： (25 500+10 500 +5 500) 50 =327500 50 183 毫升； （ 3）该单位每年参加此类会议的总人数约为 24000 人 3600 人，则浪费矿泉水约为 3000183 500=1098 瓶 22、 （ 1）证明：依题意可知， A（ 0， 2） A（ 0， 2）， P（ 4， 2）， AP x 轴 OAP=90，且点 A 在 O 上， PA 是 O 的切线； （ 2）解法一：连接 OP， OB，作 PE x 轴于点 E， BD x 轴于点 D， PB 切 O 于点 B， OBP=90，即 OBP= PEC， 又 OB=PE=2，
15、 OCB= PEC OBC PEC OC=PC （或证 Rt OAP OBP，再得到 OC=PC 也可） 设 OC=PC=x， 则有 OE=AP=4， CE=OE OC=4 x， 在 Rt PCE 中， PC2=CE2+PE2， x2=(4 x)2+22，解得 x=， 4 分 BC=CE=4 =， OB BC=OC BD，即 2 = BD， BD= OD=22 BDOB =25364=， 由点 B 在第四象限可知 B（，56）； 解法二：连接 OP， OB，作 PE x 轴于点 E， BD y 轴于点 D， PB 切 O 于点 B， OBP=90即 OBP= PEC 又 OB=PE=2， OC
16、B= PEC， OBC PEC OC=PC（或证 Rt OAP OBP，再得到 OC=PC 也可） 设 OC=PC=x， 则有 OE=AP=4， CE=OE OC=4 x， 在 Rt PCE 中， PC2=CE2 PE2, x2=(4 x)2+22，解得 x=， 4 分 BC=CE=4 =， BD x 轴， COB= OBD， 又 OBC= BDO=90， OBC BDO， BD=ODCB=BOOC， 即BD2=23=25 BD=， OD= 由点 B 在第四象限可知 B（，56）； 24、解： 操作发现： 数学思考： 答： MD=ME， 、 MD=ME； 如图 2，分别取 AB， AC 的中点
17、 F， G，连接 DF， MF， MG， EG， M 是 BC 的中点， MF AC， MF=AC 又 EG 是等腰 Rt AEC 斜边上的中线， EG AC 且 EG=AC， MF=EG 同理可证 DF=MG MF AC， MFA BAC=180 同理可得 MGA+ BAC=180， MFA= MGA 又 EG AC， EGA=90 同理可得 DFA=90， MFA+ DFA= MGA= EGA， 即 DFM= MEG，又 MF=EG， DF=MG， DFM MGE（ SAS）， MD=ME 类比探究 （ 1）答：等腰直角三解形 （ 2）增加条件 BAD= CAE 或 BAD+ CAE= B
18、AC 25、解：（ 1） y1= (x a1)2+a1 与 x 轴交于点 A0（ 0， 0）， a12+ a1=0， a1=0 或 1 由已知可知 a10， a1=1 即 y1= (x 1)2+1 方法一：令 y1=0 代入得： (x 1)2+1=0， x1=0， x2=2， y1 与 x 轴交于 A0（ 0， 0）， A1（ 2， 0） b1=2， 方法二： y1= (x a1)2+a1 与 x 轴交于点 A0（ 0， 0）， (b1 1)2+1=0， b1=2 或 0， b1=0（舍去） b1=2 又抛物线 y2= (x a2)2+a2 与 x 轴交于点 A1（ 2， 0）， (2 a2)
19、2+ a2=0， a2=1 或 4， a2 a1， a2=1（舍去） 取 a2=4，抛物线 y2= (x 4)2+4 （ 2）（ 9， 9）； （ n2， n2） y=x 详解如下： 抛物线 y2= (x 4)2+4 令 y2=0 代入得： (x 4)2+4=0， x1=2， x2=6 y2 与 x 轴交于点 A1（ 2， 0）， A2（ 6， 0） 又抛物线 y3= (x a3)2+a3 与 x 轴交于 A2（ 6， 0）， (6 a3)2+a3=0 a3=4 或 9， a3 a3， a3=4（舍去）， 即 a3=9，抛物线 y3 的顶点坐标为（ 9， 9） 由抛物线 y1 的顶点坐标为（
20、1， 1）， y2 的顶点坐标为（ 4， 4）， y3 的顶点坐标为（ 9， 9），依次类推抛物线 yn 的顶点坐标为（ n2， n2） 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， 顶点坐标满足的函数关系式是： y= x； (3) 1 A0（ 0， 0）， A1（ 2， 0）， A0 A1=2 又 yn= (x n2)2+n2， 令 yn=0， (x n2)2+n2=0， 即 x1=n2+n， x2=n2 n， A n 1(n2 n， 0)， A n(n2+n， 0)，即 A n 1 A n=( n2+n) ( n2 n)=2 n 存在是平行于直线 y=x 且过 A1（ 2， 0）的直线，其表达式为 y=x 2
