1、2013 年浙江省宁波市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求 ) 1.(3 分 )-5 的绝对值为 ( ) A. -5 B. 5 C. - D. 解析 ： -5 的绝对值为 5. 答案： B. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a2+a2=a4 B. 2a-a=2 C. (ab)2=a2b2 D. (a2)3=a5 解析 ： A、 a2+a2=2a2，故本选项错误； B、 2a-a=a，故本选项错误； C、 (ab)2=a2b2，故本选项正确； D、 (a2)3=a6，故本选项错误； 答案： C.
2、 3.(3 分 )下列电视台的台标，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是中心对称图形，故 B 选项错误； C、不是中心对称图形，故 C 选项错误； D、是中心对称图形，故 D 选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )在一个不透明的布袋中装有 3 个白球和 5 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同 .从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 3 个白球和 5 个红球，共 5 个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是 = .
3、 答案： D. 5.(3 分 )备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在 2012 年 12 月 29 日建成通车，此项目总投资约 77 亿元， 77 亿元用科学记数法表示为 ( ) A. 7.710 9元 B. 7.710 10元 C. 0.7710 10元 D. 0.7710 11元 解析 ： 77 亿 =77 0000 0000=7.710 9， 答案： A. 6.(3 分 )一个多边形的每个外角都等于 72 ，则这个多边形的边数为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析 ： 多边形的边数是： 36072=5. 答案： A. 7.(3 分 )两个圆的半径分别为 2 和 3，当圆心
4、距 d=5 时，这两个圆的位置关系是 ( ) A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 解析 ： 两个圆的半径分别为 2 和 3，圆心之间的距离是 d=5， 又 2+3=5 ， 这两个圆的位置关系是外切 . 答案： D. 8.(3 分 )如果三角形的两条边分别为 4 和 6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 解析 ： 设三角形的三边分别是 a、 b、 c，令 a=4， b=6，则 2 c 10， 12三角形的周长20，故 6中点三角形周长 10. 答案： B. 9.(3 分 )下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如
5、果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确； D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； 答案： C. 10.(3 分 )如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，图象经过 (3，0)，下列结论中，正确的一项是 ( ) A. abc 0 B. 2a+b 0 C. a-b+c 0 D. 4ac-b2 0 解析 ： A、根据图示知，抛物线开口方
6、向向上，则 a 0. 抛物线的对称轴 x=- =1 0，则 b 0.抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c 0，所以 abc 0.故本选项错误； B、 x= - =1， b= -2a， 2a+b=0. 故本选项错误； C、 对称轴为直线 x=1，图象经过 (3， 0)， 该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是 (-1， 0)， 当 x=-1 时， y=0，即 a-b+c=0.故本选项错误； D、根据图示知，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则 =b 2-4ac 0，则 4ac-b2 0. 故本选项正确； 答案： D. 11.(3 分 )如图，梯形 ABCD 中， ADBC ， AB= ， BC=4
7、，连结 BD， BAD 的平分线交 BD 于点E，且 AECD ，则 AD 的长为 ( ) A. B. C. D. 2 解析 ： 延长 AE 交 BC 于 F， AE 是 BAD 的平分线， BAF=DAF ， ADCB ， DAF=AFB ， BAF=AFB ， AB=BF ， AB= ， BC=4， CF=4 - = ， ADBC ， AECD ， 四边形 AFCD 是平行四边形， AD=CF= . 答案： B. 12.(3 分 )7 张如图 1 的长为 a，宽为 b(a b)的小长方形纸片，按图 2的方式不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分 (两个矩形 )用阴影表示 .设左上角
8、与右下角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式， S 始终保持不变，则 a， b 满足 ( ) A. a= b B. a=3b C. a= b D. a=4b 解析 ： 左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF=3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a， AD=BC ，即 AE+ED=AE+a， BC=BP+PC=4b+PC， AE+a=4b+PC ，即 AE-PC=4b-a， 阴影部分面积之差 S=AEAF -PCCG=3bAE -aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab， 则 3b-a=0，即 a=3b. 二、填空题 (共
9、6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 13.(3 分 )实数 -8 的立方根是 . 解析 ： ( -2)3=-8， -8 的立方根是 -2. 答案： -2. 14.(3 分 )分解因式： x2-4= . 解析 ： x2-4=(x+2)(x-2). 答案： (x+2)(x-2). 15.(3 分 )已知一个函数的图象与 y= 的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为 . 解析 ： 关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即 y= ， y= - 答案： y=- . 16.(3 分 )数据 -2， -1， 0， 3， 5 的方差是 . 解析 ： 这组数据 -2， -1， 0， 3
10、， 5 的平均数是 (-2-1+0+3+5)5=1 ， 则这组数据的方差是： (-2-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(3-1)2+(5-1)2= ； 答案： . 17.(3 分 )如图， AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4 ，弦 CD=DE=4，连结 OB， OD，则图中两个阴影部分的面积和为 . 解析 ： 弦 AB=BC，弦 CD=DE， 点 B 是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点， BOD=90 ， 过点 O 作 OFBC 于点 F， OGCD 于点 G. 则 BF=FC=2 ， CG=GD=2， FOG=45 ， 在四边形 OFCG 中， FCD=135 ，
11、过点 C 作 CNOF ，交 OG 于点 N， 则 FCN=90 ， NCG=135 -90=45 ， CNG 为等腰三角形， CG=NG=2 ， 过点 N 作 NMOF 于点 M，则 MN=FC=2 ， 在等腰三角形 MNO 中， NO= MN=4， OG=ON+NG=6 ， 在 RtOGD 中， OD= = =2 ，即圆 O 的半径为 2 ， 故 S 阴影 =S 扇形 OBD= =10. 答案： 10. 18.(3 分 )如图，等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上， BCA=90 ， AC=BC=2 ，反比例函数 y= (x 0)的图象分别与 AB， BC 交于点 D， E.连结
12、 DE，当 BDEBCA 时，点 E 的坐标为 . 解析 ： 如图，过点 D 作 DFBC 于点 F， BCA=90 ， AC=BC=2 ，反比例函数 y= (x 0)的图象分别与 AB， BC 交于点 D， E， BAC=ABC=45 ，且可设 E(a， )， D(b， )， C(a ， 0)， B(a， 2 )， A(a-2 ， 0)， 易求直线 AB 的解析式是： y=x+2 -a. BDEBCA ， BDE 也是等腰直角三角形， DF=EF ， a -b= - ，即 ab=3. 又 点 D 在直线 AB 上， =b+2 -a，即 2a2-2 a-3=0，解得， a= ， 点 E 的坐标
13、是 ( ， ). 答案： ( ， ). 三、解答题 (共 8 小题，满分 76 分 ) 19.(6 分 )先化简，再求值： (1+a)(1-a)+(a-2)2，其中 a=-3. 解析 ： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 . 答案： 原式 =1-a2+a2-4a+4=-4a+5，当 a=-3 时，原式 =12+5=17. 20.(7 分 )解方程： = -5. 解析 ： 观察可得最简公分母是 (x-1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 . 答案： 方程的两边同乘 (x-1)，得 -3=x-5
14、(x-1)，解得 x=2， 检验，将 x=2 代入 (x-1)=10 ， x=2 是原方程的解 . 21.(7 分 )天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹 .如图，从位于天封塔的观测点 C 测得两建筑物底部 A， B 的俯角分别为 45 和 60 ，若此观测点离地面的高度为 51 米， A， B 两点在 CD 的两侧，且点 A， D， B 在同一水平直线上，求 A， B 之间的距离 (结果保留根号 ) 解析 ： 在 RtACD 和 RtCDB 中分别求出 AD， BD 的长度，然后根据 AB=AD+BD即可求出 AB的值 . 答案： 由题意得， ECA=45 ， FCB=60 ， EFAB ，
15、 CAD=ECA=45 ， CBD=FCB=60 ， ACD=CAD=45 ，在 RtCDB 中， tanCBD= ， BD= =17 米， AD=CD=51 米， AB=AD+BD=51+17 . 答： A， B 之间的距离为 (51+17 )米 . 22.(9 分 )2013 年 5 月 7 日浙江省 11个城市的空气质量指数 (AQI)如图所示： (1)这 11 个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？ (2)当 0AQI50 时，空气质量为优 .求这 11 个城市当天的空气质量为优的频率； (3)求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数 . 解析
16、 ： (1)根据极差 =最大值 -最小值进行计算即可；根据众数是一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数：将一组数据按照从小到大 (或从大到小 )的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 .如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案； (2)从条形统计图中找出这 11 个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数即可； (3)根据平均数的计算方法进行计算即可 . 答案： (1)极差： 80-37=43，众数： 50，中位数： 50； (2)这 11 个城市中当天的空气质量为优的有 6 个，这 11 个城市当天的空气质量
17、为优的频率为 ； (3) = (50+60+57+37+55)=51.8. 23.(9 分 )已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(1， 0)， B(3， 0)，且过点 C(0， -3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式 . 解析 ： (1)利用交点式得出 y=a(x-1)(x-3)，进而得出 a 的值，再利用配方法求出顶点坐标即可； (2)根据左加右减得出抛物线的解析式为 y=-x2，进而得出答案 . 答案： (1) 抛物线与 x 轴交于点 A(1， 0)， B(3，
18、0)， 可设抛物线解析式为 y=a(x-1)(x-3)，把 C(0， -3)代入得： 3a=-3，解得： a=-1， 故抛物线解析式为 y=-(x-1)(x-3)，即 y=-x2+4x-3， y= -x2+4x-3=-(x-2)2+1， 顶点坐标 (2， 1)； (2)先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到 的抛物线的解析式为 y=-x2，平移后抛物线的顶点为 (0， 0)落在直线 y=-x 上 . 24.(12 分 )某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表： 该商场计划购进两种手机若干部，共需 15.5 万元，预计全部销售后可获毛利润共 2.1 万元
19、. (毛利润 =(售价 -进价 ) 销售量 ) (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量 .已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过 16 万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润 . 解析 ： (1)设商场计划购进甲种手机 x 部，乙种手机 y 部，根据两种手机的购买金额为 15.5万元和两种手机的销售利润为 2.1 万元建立方程组求出其解即可； (2)设甲种手机减少 a 部，则乙种手机增加 2a 部，表示出购买的总
20、资金，由总资金部超过16 万元建立不等式就可以求出 a 的取值范围，再设销售后的总利润为 W 元，表示出总利润与 a 的关系式，由一次函数的性质就可以求出 最大利润 . 答案： (1)设商场计划购进甲种手机 x 部，乙种手机 y 部， 由题意，得 ，解得： ， 答：商场计划购进甲种手机 20 部，乙种手机 30 部； (2)设甲种手机减少 a 部，则乙种手机增加 2a 部，由题意，得 0.4(20-a)+0.25(30+2a)16 ， 解得： a5. 设全部销售后获得的毛利润为 W 万元，由题意，得 W=0.03(20-a)+0.05(30+2a)=0.07a+2.1 k=0.07 0， W
21、随 a 的增大而增大， 当 a=5 时， W 最大 =2.45. 答：当该商场购进甲种手机 15 部，乙种手机 40 部时，全部销售后获利最大 .最大毛利润为2.45 万元 . 25.(12 分 )若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形 .如菱形就是和谐四边形 . (1)如图 1，在梯形 ABCD 中， ADBC ， BAD=120 ， C=75 ， BD 平分 ABC .求证： BD是梯形 ABCD 的和谐线； (2)如图 2，在 1216 的网格图上 (每个小正方形的边长为 1)有一个扇形 BAC，点 A.B.C
22、均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、 B、 C、 D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； (3)四边形 ABCD 中， AB=AD=BC， BAD=90 ， AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求 BCD 的度数 . 解析 ： (1)要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明 ABD 和 BDC 是等腰三角形就可以； (2)根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在 中点时构成的四边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在 BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD就是和谐四边
23、形， (3)由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出 ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30 的直角三角形性质就可以求出 BCD 的度数 . 答案： (1)ADBC ， ABC+BAD=180 ， ADB=DBC. BAD=120 ， ABC=60. BD 平分 ABC ， ABD=DBC=30 ， ABD=ADB ， ADB 是等腰三角形 . 在 BCD 中， C=75 ， DBC=30 ， BDC=C=75 ， BCD 为等腰三角形， BD 是梯形 ABCD 的和谐线； (2)由题意作图为：图 2，图 3 (3)AC 是四
24、边形 ABCD 的和谐线， ACD 是等腰三角形 . AB=AD=BC ，如图 4，当 AD=AC 时， AB=AC=BC ， ACD=ADC ABC 是正三角形， BAC=BCA=60. BAD=90 ， CAD=30 ， ACD=ADC=75 ， BCD=60+75=135. 如 图 5，当 AD=CD 时， AB=AD=BC=CD. BAD=90 ， 四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B作 BFCE 于 F， AC=CD.CEAD ， AE= AD， ACE=DCE. BAD=AEF=BFE=90 ， 四边形
25、ABFE 是矩形 .BF=AE. AB=AD=BC ， BF= BC， BCF=30. AB=BC ， ACB=BAC. ABCE ， BAC=ACE ， ACB=ACE= BCF=15 ， BCD=153=45. 26.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (0， 4)，点 B 的坐标为 (4， 0)，点 C 的坐标为 (-4， 0)，点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP与 y轴交于点 D，连结BD.过 P， D， B 三点作 Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ交 Q 于点 F，连结 EF， BF. (1)求直线 AB 的函数解析式； (2
26、)当点 P 在线段 AB(不包括 A， B 两点 )上时 . 求证： BDE=ADP ； 设 DE=x， DF=y.请求出 y 关于 x 的函数解析式； (3)请你探究 ：点 P 在运动过程中，是否存在以 B， D， F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为 2： 1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，把 (4， 0)代入即可； (2) 先证出 BDOCOD ，得出 BDO=CDO ，再根据 CDO=ADP ，即可得出 BDE=ADP ， 先连结 PE，根据 ADP=DEP+DPE ， BDE=ABD+
27、OAB ， ADP=BDE ， DEP=ABD ，得出 DPE=OAB ，再证出 DFE=DPE=45 ，最后根据 DEF=90 ，得出 DEF 是等腰直角三角形，从而求出 DF= DE，即 y= x； (3)当 =2 时，过点 F作 FHOB 于点 H，则 DBO=BFH ，再证出 BODFHB ， = =2，得出 FH=2， OD=2BH，再根据 FHO=EOH=OEF=90 ，得出四边形 OEFH 是矩形，OE=FH=2， EF=OH=4- OD，根据 DE=EF，求出 OD 的长，从而得出直线 CD 的解析式为 y= x+ ，最后根据 求出点 P 的坐标即可； 当 = 时，连结 EB，
28、先证出 DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作 FGOB 于点 G，同理可得BODFGB ， = = = ，得出 FG=8， OD= BG，再证出四边形 OEFG 是矩形，求出 OD的值，再求出直线 CD 的解析式，最后根据 即可求出点 P 的坐标 . 答案： (1)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4，代入 (4， 0)得： 4k+4=0，解得： k=-1， 则直线 AB 的函数解析式为 y=-x+4； (2) 由已知得： OB=OC， BOD=COD=90 ， 又 OD=OD ， BDOCDO ， BDO=CDO ， CDO=ADP ， BDE=ADP ， 连结 PE， ADP 是
29、DPE 的一个外角， ADP=DEP+DPE ， BDE 是 ABD 的一个外角， BDE=ABD+OAB ， ADP=BDE ， DEP=ABD ， DPE=OAB ， OA=OB=4 ， AOB=90 ， OAB=45 ， DPE=45 ， DFE=DPE=45 ， DF 是 Q 的直径， DEF=90 ， DEF 是等腰直角三角形， DF= DE，即 y= x； (3)当 BD： BF=2： 1 时，过点 F 作 FHOB 于点 H， DBO+OBF=90 ， OBF+BFH=90 ， DBO=BFH ， 又 DOB=BHF=90 ， BODFHB ， = = =2， FH=2 ， OD
30、=2BH， FHO=EOH=OEF=90 ， 四边形 OEFH 是矩形， OE=FH=2 ， EF=OH=4 - OD， DE=EF ， 2+OD=4 - OD，解得： OD= ， 点 D 的坐标为 (0， )， 直线 CD 的解析式为 y= x+ ， 由 得 ，则点 P 的坐标为 (2， 2)； 当 = 时，连结 EB，同 (2) 可得： ADB=EDP ， 而 ADB=DEB+DBE ， EDP=DAP+DPA ， DEB=DPA ， DBE=DAP=45 ， DEF 是等腰直角三角形， 过点 F 作 FGOB 于点 G， 同理可得： BODFGB ， = = = ， FG=8 ， OD= BG， FGO=GOE=OEF=90 ， 四边形 OEFG 是矩形， OE=FG=8 ， EF=OG=4+2OD ， DE=EF ， 8 -OD=4+2OD， OD= ， 点 D 的坐标为 (0， - )， 直线 CD 的解析式为： y=- x- ， 由 得： ， 点 P 的坐标为 (8， -4)， 综上所述，点 P 的坐标为 (2， 2)或 (8， -4).
