1、2013 年湖北省仙桃市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 3分，满分 30 分 )在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案 . 1.(3 分 )-8 的相反数是 ( ) A. 8 B. -8 C. D. - 解析 ：根据概念可知 -8+(-8 的相反数 )=0，所以 -8 的相反数是 8. 答案： A. 2.(3 分 )英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖 .石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 0.000 000 000 34 米，将这个数用科学记数法表示为 (
2、 ) A. 0.3410 -9 B. 3.410 -9 C. 3.410 -10 D. 3.410 -11 解析 ： 0.000 000 000 34=3.410 -10， 答案： C. 3.(3分 )如图，已知直线 ABCD ， GEB 的平分线 EF交 CD于点 F， 1=40 ，则 2 等于 ( ) A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 解析 ： ABCD ， GEB=1=40 ， EF 为 GEB 的平分线， FEB= GEB=20 ， 2=180 -FEB=160 . 答案： D. 4.(3 分 )下列事件中，是必然事件的为 ( ) A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落
3、地后正面朝上 B. 江汉平原 7 月份某一天的最低气温是 -2 C. 通常加热到 100 时，水沸腾 D. 打开电视，正在播放节目男生女生向前冲 解析 ： A， B， D 选项，是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意； 是必然事件的是：通常加热到 100 时，水沸腾，符合题意 . 答案： C. 5.(3 分 )若平行四边形的一边长为 2，面积为 ，则此边上的高介于 ( ) A. 3 与 4 之间 B. 4 与 5 之间 C. 5 与 6 之间 D. 6 与 7 之间 解析 ： 根据四边形的面积公式可得：此边上的高 =4 2=2 ， 2 介于 4 与 5 之间， 则此边上的高介
4、于 4 与 5 之间； 答案： B. 6.(3 分 )小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影，好好学习，制作了一个正方体礼盒 (如图 ).礼盒每个面上各有一个字，连起来组成 “ 芦山学子加油 ” ，其中 “ 芦 ” 的对面是“ 学 ” ， “ 加 ” 的对面是 “ 油 ” ，则它的平面展开图可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A、 “ 油 ” 与 “ 子 ” 是相对面，故本选项错误； B、 “ 芦 ” 与 “ 子 ” 是相对面，故本选项错误； C、 “ 芦 ” 与 “ 子 ” 是相对面，故本选项错误； D、 “ 芦 ” 与
5、 “ 学 ” 是相对面， “ 山 ” 与 “ 子 ” 想相对面， “ 加 ” 与 “ 油 ” 是相对面，故本选项正确 . 答案： D. 7.(3 分 )如果一个扇形的弧长是 ，半径是 6，那么此扇形的圆心角为 ( ) A. 40 B. 45 C. 60 D. 80 解析 ： 弧长 l= ， n= = =40 . 答案： A. 8.(3分 )已知 ， 是一元二次方程 x2-5x-2=0的两个实数根，则 2+ 2的值为 ( ) A. -1 B. 9 C. 23 D. 27 解析 ： ， 是方程 x2-5x-2=0 的两个实数根， +=5 ， = -2， 又 2+ 2=(+ )2- ， 2+ 2=5
6、2+2=27； 答案： D. 9.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， A=120 ， BC=6cm， AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交AB 于点 E， AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC于点 F，则 MN 的长为 ( ) A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 解析 ： 连接 AM、 AN、过 A 作 ADBC 于 D， 在 ABC 中， AB=AC， A=120 ， BC=6cm， B=C=30 ， BD=CD=3cm， AB= =2 cm=AC， AB 的垂直平分线 EM， BE= AB= cm 同理 CF= cm， BM= =2cm， 同
7、理 CN=2cm， MN=BC -BM-CN=2cm， 答案： C. 10.(3 分 )小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行 .他们的路程差 s(米 )与小文出发时间 t(分 )之间的函数关系如图所示 .下列说法： 小亮先到达青少年宫； 小亮的速度是小文速度的 2.5 倍；a=24 ； b=480 .其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由图象得出小文步行 720 米，需要 9 分钟，所以小文的运动速度为： 7209=80 (m/分 )， 当第 15 分钟时，小亮运动 15-9=6(分钟 )， 运动距离为：
8、 1580=1200 (m)， 小亮的运动速度为： 12006=200 (m/分 )， 20080=2.5 ， (故 正确 )； 当第 19 分钟以后两人之间距离越来越近，说明小亮已经到达终点，则小亮先到达青少年宫，(故 正确 )； 此时小亮运动 19-9=10(分钟 )， 运动总距离为： 10200=2000 (m)， 小文运动时间为： 200080=25 (分钟 )， 故 a 的值为 25， (故 错误 )； 小文 19 分钟运动距离为： 1980=1520 (m)， b=2000 -1520=480， (故 正确 ). 故正确的有： . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 个小题，
9、每小题 3分，满分 15 分 ) 11.(3 分 )分解因式： a2-4= . 解析 ： a2-4=(a+2)(a-2). 答案： (a+2)(a-2). 12.(3 分 )如图，两个完全相同的三角尺 ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动 .要使四边形 CBFE 为菱形，还需添加的一个条件是 (写出一个即可 ). 解析 ： 根据题意可得出：四边形 CBFE 是平行四边形， 当 CB=BF 时，平行四边形 CBFE 是菱形， 当 CB=BF； BECF ； EBF=60 ； BD=BF 时，都可以得出四边形 CBFE 为菱形 . 答案： 如： CB=BF； BECF ； EBF=60 ； BD
10、=BF 等 . 13.(3 分 )2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业 .比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线 (如图 ).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度 y(米 )与水平距离 x(米 )之间满足关系 ，则羽毛球飞出的水平距离为 米 . 解析 ： 当 y=0 时， 0=- x2+ x+ ，解得： x1=-1(舍去 )， x2=5， 故羽毛球飞出的水平距离为 5m. 答案： 5. 14.(3 分 )有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁 .任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是
11、 . 解析 ： 画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的有 3 种情况， 任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是： = . 答案： . 15.(3分 )如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，正三角形 OEF绕点 O旋转 .在旋转过程中，当 AE=BF 时， AOE 的大小是 . 解析 ： 连结 AE、 BF，如图 1， 四边形 ABCD 为正方形， OA=OB ， AOB=90 ， OEF 为等边三角形， OE=OF ， EOF=60 ， 在 OAE 和 OBF 中 ， ， OAEOBF (SSS)， AOE=BOF=(90
12、 -60 )=15 ， 如图 2， 在 AOE 和 BOF 中 ， ， AOEBOF (SSS)， AOE=BOF ， DOF=COE ， DOF= (90 -60 )=15 ， AOE=180 -15=165 ， AOE 大小为 15 或 165 . 答案： 15 或 165 . 三、解答题 (本大题共 10 个小题，满分 75分 ) 16.(5 分 )计算： . 解析 ： 本题涉及绝对值、乘方、二次根式化简等考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =4-1+3=6. 17.(6 分 )解不等式组 . 解析 ： 求出每个不等式的解集，根据找不等
13、式组解集的规律找出即可 . 答案： 解不等式 ，得 x -1，解不等式 ，得 x4 ， 原不等式组的解集为： -1 x4 . 18.(6 分 )垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源 .某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下： 根据图表解答下列问题： (1)请将条形统计图补充完整； (2)在抽样数据中，产生的有害垃圾共 3 吨； (3)调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占 ，每回收 1 吨塑料类垃圾可获得 0.7 吨二级原料 .假设该城市每月产生的生活垃圾为 5 000 吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少
14、吨二级原料？ 解析 ： (1)根据 D 类垃圾量和所占的百分比即可求得垃圾总数，然后乘以其所占的百分比即可求得每个小组的频数从而补全统计图； (2)求得 C 组所占的百分比，即可求得 C 组的垃圾总量； (3)首先求得可回收垃圾量，然后求得塑料颗粒料即可； 答案： (1)观察统计图知： D 类垃圾有 5 吨，占 10%， 垃圾总量为 510%=50 吨， 故 B 类垃圾共有 5030%=15 吨，故统计表为： (2)C 组所占的百分比为： 1-10%-30%-54%=6%， 有害垃圾为： 506%=3 吨； (3) (吨 )， 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得 378 吨二级原料 . 19.(
15、6 分 )如图，已知 ABCADE ， AB 与 ED 交于点 M， BC 与 ED， AD分别交于点 F， N.请写出图中两对全等三角形 (ABCADE 除外 )，并选择其中的一对加以证明 . 解析 ： 找到两三角形全等的条件，三角形全等就写出来，选择一组证明即可 . 答案： AEMACN ， BMFDNF ， ABNADM .选择 AEMACN ，理由如下： ADEABC ， AE=AC ， E=C ， EAD=CAB ， EAM=CAN ， 在 AEM 和 ACN 中， ， AEMACN (ASA). 20.(6分 )某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由 1： 1.8改
16、为 1： 2.4(如图 ).如果改动后电梯的坡面长为 13 米，求改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长 . 解析 ： 在 RtADC 中，已知了坡面 AC 的坡比以及坡面 AC 的值，通过勾股定理可求 AD， DC的值，在 RtABD 中，根据坡面 AC 的坡比可求 BD 的值，再根据 BC=DC-BD即可求解 . 答案： 在 RtADC 中， AD ： DC=1： 2.4， AC=13， 由 AD2+DC2=AC2，得 AD2+(2.4AD)2=132.AD=5 (负值不合题意，舍去 ).DC=12 . 在 RtABD 中， AD ： BD=1： 1.8， BD=51.8=9 .BC=DC
17、 -BD=12-9=3. 答：改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长为 3 米 . 21.(8 分 )如图，在平面直角坐标系中，双曲线 和直线 y=kx+b 交于 A， B 两点，点 A 的坐标为 (-3， 2)， BCy 轴于点 C，且 OC=6BC. (1)求双曲线和直线的解析式； (2)直接写出不等式 的解集 . 解析 ： (1)将 A 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，确定出反比例解析式，根据 OC=6BC，且 B 在反比例图象上，设 B 坐标为 (a， -6a)，代入反比例解析式中求出 a 的值，确定出 B坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求出 k 与 b 的值，即可
18、确定出一次函数解析式； (2)根据一次函数与反比例函数的两交点 A 与 B 的横坐标，以及 0，将 x 轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时 x 的范围即可 . 答案： (1) 点 A(-3， 2)在双曲线 y= 上， 2= ，即 m=-6， 双曲线的解析式为 y=- ， 点 B 在双曲线 y=- 上，且 OC=6BC， 设点 B 的坐标为 (a， -6a)， -6a=- ，解得： a=1 (负值舍去 )， 点 B 的坐标为 (1， -6)， 直线 y=kx+b 过点 A， B， ，解得： . 直线的解析式为 y=-2x-4； (2)根据图象得：不等式 kx+b 的解集为 -3
19、x 0 或 x 1. 22.(8 分 )某文化用品商店用 1 000 元购进一批 “ 晨光 ” 套尺，很快销售一空；商店又用 1 500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的 倍，所购数量比第一批多 100 套 . (1)求第一批套尺购进时单价是多少？ (2)若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？ 解析 ： (1)设第一批套尺购进时单价是 x 元 /套，则设第二批套尺购进时单价是 x 元 /套，根据题意可得等量关系：第二批套尺数量 -第一批套尺数量 =100 套，根据等量关系列出方程即可； (2)两批套尺得总数量 4 -两批套尺的总进价 =利润，代入数进行计算即可
20、 . 答案： (1)设第一批套尺购进时单价是 x 元 /套 . 由题意得： ，即 ，解得： x=2. 经检验： x=2 是所列方程的解 . 答：第一批套尺购进时单价是 2 元 /套； (2) (元 ). 答：商店可以盈利 1900 元 . 23.(8 分 )如图，以 AB 为直径的半圆 O交 AC 于点 D，且点 D 为 AC 的中点， DEBC 于点 E， AE交半圆 O 于点 F， BF 的延长线交 DE 于点 G. (1)求证： DE 为半圆 O 的切线； (2)若 GE=1， BF= ，求 EF 的长 . 解析 ： (1)连接 OD，易得 OD 为 ABC 的中位线，则 ODBC ，由
21、于 DEBC ，所以 DEDO ，然后根据切线的判定定理即可得到结论； (2)由 AB为半圆 O的直径得到 AFB=90 ，易证得 BGEEGF ，利用 可计算出 GF，然后在 RtEGF 中利用勾股定理可计算出 EF. 答案： (1)连接 OD，如图， AB 为半圆 O 的直径， D 为 AC 的中点， OD 为 ABC 的中位线， ODBC ， DEBC ， DEDO ， 又 点 D 在圆上， DE 为半圆 O 的切线； (2)AB 为半圆 O 的直径， AFB=90 ，而 DEBC ， GEB=GFE=90 ， BGE=EGF ， BGEEGF ， GE 2=GF GB=GF(GF+BF
22、) GE=1 ， BF= ， GF= ，在 RtEGF 中， EF= = . 24.(10 分 )一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作； ；若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为 n 阶奇异矩形 .如图 1，矩形 ABCD 中，若 AB=2， BC=6，则称矩形 ABCD 为 2 阶奇异矩形 . (1)判断与操作： 如图 2，矩形 ABCD 长为 5，宽为 2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由 . (2)探究与计算： 已知矩形 ABCD
23、 的一边长为 20，另一边长为 a(a 20)，且它是 3 阶奇异矩形，请画出矩形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出 a 的值 . (3)归纳与拓展： 已知矩形 ABCD 两邻边的长分别为 b， c(b c)，且它是 4 阶奇异矩形，求 b： c(直接写出结果 ). 解析 ： (1)根据已知操作步骤画出即可； (2)根据已知得出符合条件的有 4 种情况，画出图形即可； (3)根据题意得出第 1 次操作前短边与长边之比为： ， ； ， ； ， ； ， ，最终得出长边和短边的比是 1： 2，即可进行操作后得出正方形 . 答案： (1)矩形 ABCD 是 3 阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下
24、： (2)裁剪线的示意图如下： (3)b： c 的值为 ， ， ， ， ， ， ， ， 规律如下：第 4 次操作前短边与长边之比为： ； 第 3 次操作前短边与长边之比为： ， ； 第 2 次操作前短边与长边之比为： ， ； ， ； 第 1 次操作前短边与长边之比为： ， ； ， ； ， ； ， . 25.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx-4 经过 A(-8， 0)， B(2， 0)两点，直线 x=-4 交 x 轴于点 C，交抛物线于点 D. (1)求该抛物线的解析式； (2)点 P 在抛物线上，点 E 在直线 x=-4 上，若以 A， O， E， P 为顶点的四边形是平行四边
25、形，求点 P 的坐标； (3)若 B， D， C 三点到同一条直线的距离分别是 d1， d2， d3，问是否存在直线 l，使 d1=d2= ？若存在，请直接写出 d3的值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)平行四边形可能有多种情形，如答图 1 所述，需要分类讨论： 以 AO 为一边的平行四边形，有 2 个； 以 AO 为对角线的平行四边形，有 1 个，此时点 P 和点 E必关于点 C成中心对称 . (3)存在 4 条符合条件的直线，分别如答图 2、答图 3 所示 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+bx-4 经过 A(-8， 0)， B(2
26、， 0)两点， ，解得： ； (2) 点 P 在抛物线上，点 E 在直线 x=-4 上， 设点 P 的坐标为 (m， ，点 E 的坐标为 (-4， n). 如图 1， 点 A(-8， 0)， AO=8 . 当 AO 为一边时， EPAO ，且 EP=AO=8， |m+4|=8 ，解得： m1=-12， m2=4.P 1(-12， 14)， P2(4， 6)(5 分 ) 当 AO 为对角线时，则点 P 和点 E 必关于点 C成中心对称，故 CE=CP. ，解得： ， P 3 (-4， -6). 当 P1(-12， 14)， P2(4， 6)， P3 (-4， -6)时， A， O， E， P 为
27、顶点的四边形是平行四边形 . (3)存在 .如图 2 所示，连接 BD，过点 C 作 CHBD 于点 H. 由题意得 C(-4， 0)， B(2， 0)， D(-4， -6)， OC=4 ， OB=2， CD=6， CDB 为等腰直角三角形 .CH=CD sin45=6 = . BD=2CH ， BD= . CO ： OB=2： 1， 过点 O 且平行于 BD 的直线 l1满足条件 . 作 BE 直线 l1于点 E， DF 直线 l1于点 F，设 CH 交直线 l1于点 G. BE=DF ，即： d1=d2.则 ， ，即 ， d 3=2d1， d 1=d2= . CG= CH，即 d3= =
28、； 如图 2，在 CDB 外作直线 l2DB ，延长 CH交 l2于点 G ，使 CH=HG ， d 3=CG=2CH= ； 如图 3，过 H， O 作直线 l3，作 BEl 3于点 E， DFl 3于点 F， CGl 3于点 G. 由 可知， DH=BH，则 BE=DF，即： d1=d2. CO ： OB=2： 1， d 1=d2= .作 HIx 轴于点 I， HI=CI= CB=3， OI=4 -3=1， OH= = = . OCH 的面积 = 43= d 3， d 3= ； 如图 3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线 l4，易证： d1=d2= ， d3= . 综上所述，存在直线 l，使 d1=d2= .d3的值为： ， ， .
