1、2013 年湖北省十堰市中考真题数学 一、选择题 (本题共 10 个小题，每小题 3分，满分 30 分 )下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。 1.(3 分 )|-2|的值等于 ( ) A. 2 B. - C. D. -2 解析： |-2|=2. 答案： A. 2.(3 分 )如图， ABCD ， CE 平分 BCD ， DCE=18 ，则 B 等于 ( ) A. 18 B. 36 C. 45 D. 54 解析： CE 平分 BCD ， DCE=18 ， BCD=2DCE=218=36 ， ABCD ， B=BCD=36 . 答案： B. 3.(3 分 )下列运算中，正确的是 ( )
2、 A. a2+a3=a5 B. a6a 3=a2 C. (a4)2=a6 D. a2 a3=a5 解析： A、 a2与 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 a6a 3=a3，故本选项错误； C、 (a4)2=a8，故本选项错误； D、 a2 a3=a5，故本选项正确 . 答案： D. 4.(3 分 )用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 所给图形的左视图为 C 选项说给的图形 . 答案： C. 5.(3 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x-a=0 有两个相等的实数根，则 a的值是 ( ) A. 4 B
3、. -4 C. 1 D. -1 解析： 根据题意得 =2 2-4( -a)=0，解得 a=-1. 答案： D. 6.(3 分 )如图，将 ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A重合 .已知 AC=5cm， ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为 ( ) A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm 解析： 根据折叠可得： AD=BD， ADC 的周长为 17cm， AC=5cm， AD+DC=17 -5=12(cm)， AD=BD ， BD+CD=12cm . 答案： C. 7.(3 分 )如图，梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC=3， AD=5，
4、 C=60 ，则下底 BC 的长为 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解析： 过点 A 作 AFBC 于点 F，过点 D 作 DEBC 于点 E， 梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=DC=3， AD=5， C=60 ， B=60 ， BF=EC， AD=EF=5， cos60= = = ，解得： BF=1.5， 故 EC=1.5， BC=1.5+1.5+5=8 . 答案： A. 8.(3 分 )如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图 5 中三角形的个数是 ( ) A. 8 B. 9 C. 16 D. 17 解析： 由图可知：第一个图案有三角形 1 个 .第二图案有
5、三角形 1+3=4 个 . 第三个图案有三角形 1+3+4=8 个， 第四个图案有三角形 1+3+4+4=12 第五个图案有三角形 1+3+4+4+4=16 答案： C. 9.(3 分 )张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以 100千米 /小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y(升 )与行驶时间 t(小时 )之间的关系如图所示 .以下说法错误的是 ( ) A. 加油前油箱中剩余油量 y(升 )与行驶时间 t(小时 )的函数关系是 y=-8t+25 B. 途中加油 21 升 C. 汽车加油后还可行驶 4 小时 D.
6、汽车到达乙地时油箱中还余油 6 升 解析： A、设加油前油箱中剩余油量 y(升 )与行驶时间 t(小时 )的函数关系式为 y=kt+b. 将 (0， 25)， (2， 9)代入，得 ，解得 ， 所以 y=-8t+25，故 A 选项正确，但不符合题意； B、由图象可知，途中加油： 30-9=21(升 )，故 B 选项正确，但不符合题意； C、由图可知汽车每小时用油 (25-9)2=8 (升 )， 所以汽车加油后还可行驶： 308=3 4(小时 )，故 C 选项错误，但符合题意； D、 汽车从甲地到达乙地，所需时间为： 500100=5 (小时 )， 5 小时耗油量为： 85=40 (升 )， 又
7、 汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油 21 升， 汽车到达乙地时油箱中还余油： 25+21-40=6(升 )，故 D 选项正确，但不符合题意 . 答案： C. 10.(3 分 )如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象的顶点在第一象限，且过点 (0， 1)和 (-1，0).下列结论： ab 0， b 2 4a， 0 a+b+c 2， 0 b 1， 当 x -1 时， y 0，其中正确结论的个数是 ( ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 解析： 二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )过点 (0， 1)和 (-1， 0)， c=1 ， a-b+c=0. 抛
8、物线的对称轴在 y 轴右侧， x= - 0， a 与 b 异号， ab 0，正确； 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， b 2-4ac 0， c=1 ， b 2-4a 0， b2 4a，正确； 抛物线开口向下， a 0， ab 0， b 0.a -b+c=0， c=1， a=b -1， a 0， b -1 0， b 1， 0 b 1，正确； a -b+c=0， a+c=b ， a+b+c=2b 0. b 1， c=1， a 0， a+b+c=a+b+1 a+1+1=a+2 0+2=2， 0 a+b+c 2，正确； 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 (-1， 0)，设另一个交
9、点为 (x0， 0)，则 x0 0， 由图可知，当 x0 x -1 时， y 0，错误； 综上所述，正确的结论有 . 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 11.(3 分 )我国南海面积约为 350 万平方千米， “350 万 ” 这个数用科学记数法表示为 . 解析： 350 万 =3 500 000=3.510 6. 答案： 3.510 6. 12.(3 分 )计算： +(-1)-1+( -2)0= . 解析： 原式 =2 -1+1=2 . 答案： 2 . 13.(3 分 )某次能力测试中， 10 人的成绩统计如表，则这 10 人成绩的平均数为 . 解析
10、： (53+41+32+22+12 )= (15+4+6+4+2)= 31=3.1 . 所以，这 10 人成绩的平均数为 3.1. 答案： 3.1. 14.(3 分 )如图， ABCD 中， ABC=60 ， E、 F 分别在 CD和 BC 的延长线上， AEBD ， EFBC ，EF= ，则 AB 的长是 . 解析： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC ， AB=CD， AEBD ， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE=CD ，即 D 为 CE 中点， EFBC ， EFC=90 ， ABCD ， DCF=ABC=60 ， CEF=30 ， EF= ， CE= =2， AB
11、=1 ， 答案： 1. 15.(3 分 )如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米 /分的速度沿与地面成 75 角的方向飞行， 25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B点的俯角为 30 ，则小山东西两侧 A、 B 两点间的距离为 米 . 解析： 如图，过点 A 作 ADBC ，垂足为 D， 在 RtACD 中， ACD=75 -30=45 ， AC=3025=750 (米 )， AD=AC sin45=375 (米 ). 在 RtABD 中， B=30 ， AB=2AD=750 (米 ). 答案： 750 . 16.(3 分 )如图，正三角形 A
12、BC 的边长是 2，分别以点 B， C 为圆心，以 r为半径作两条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分面积为 S，当 r 2 时， S 的取值范围是 . 解析： 如 下 图所示，过点 D 作 DGBC 于点 G，易知 G 为 BC 的中点， CG=1. 在 RtCDG 中，由勾股定理得： DG= = . 设 DCG= ，则由题意可得： S=2(S 扇形 CDE-SCDG )=2( - 1 )= - ， S= - . 当 r 增大时， DCG= 随之增大，故 S 随 r 的增大而增大 . 当 r= 时， DG= =1， CG=1 ，故 =45 ， S= - = -1； 若 r=2，则 DG= =
13、 ， CG=1 ，故 =60 ， S= - = - .S 的取值范围是： -1S - . 答案： -1S - . 三、解答题 (共 9 小题，满分 72 分 ) 17.(6 分 )化简： . 解析： 首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简求出即可 . 答案： 原式 = + = + =1. 18.(6 分 )如图，点 D， E 在 ABC 的边 BC 上， AB=AC， BD=CE.求证： AD=AE. 解析： 利用等腰三角形的性质得到 B=C ，然后证明 ABDACE 即可证得结论 . 答案： AB=AC ， B=C ， 在 ABD 与 ACE 中， ， ABDACE (SAS)， AD=A
14、E . 19.(6 分 )甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同 .已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个字 .问：甲、乙两人每分钟各打多少字？ 解析： 设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打 (x+5)个字，再由甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案 . 答案： 设乙每分钟打 x 个字，则甲每分钟打 (x+5)个字， 由题意得， = ，解得： x=45， 经检验： x=45 是原方程的解 . 答：甲每分钟打 50 个字，乙每分钟打 45 个字 . 20.(9 分 )某中学九
15、(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 (如图 ， ，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类 )，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)九 (1)班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中 m= ， n= ，表示 “ 足球 ” 的扇形的圆心角是 度； (3)排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1
16、女的概率 . 解析： (1)根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的人数，然后补全统计图即可； (2)分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到 m、 n 的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以 360 即可； (3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解 . 答案： (1)九 (1)班的学生人数为： 1230%=40 (人 )， 喜欢足球的人数为： 40-4-12-16=40-32=8(人 )，补全统计图如图所示； (2) 100%=10% ， 100%=20% ， m=10 ， n=20， 表示 “ 足球 ” 的扇形的圆心角是 20%360=72
17、 ； 故答案为： (1)40； (2)10； 20； 72； (3)根据题意画出树状图如下： 一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6种， P (恰好是 1男 1女 )= = . 21.(6 分 )定义：对于实数 a，符号 a表示不大于 a 的最大整数 .例如： 5.7=5， 5=5，- =-4. (1)如果 a=-2，那么 a 的取值范围是 . (2)如果 =3，求满足条件的所有正整数 x. 解析： (1)根据 a=-2，得出 -2a -1，求出 a 的解即可； (2)根据题意得出 3 4，求出 x 的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解 . 答案： (1)a =-2，
18、 a 的取值范围是 -2a -1， (2)根据题意得： 3 4，解得： 5x 7，则满足条件的所有正整数为 5， 6. 22.(7 分 )某商场计划购进 A， B 两种新型节能台灯共 100 盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： (1)若商场预计进货款为 3500 元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 解析： (1)设商场应购进 A 型台灯 x 盏，表示出 B 型台灯为 (100-x)盏，然后根据进货款 =A型台灯的进货款 +B 型台灯的进货款列出方程求解即可；
19、 (2)设商场销售完这批台灯可获利 y 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出 x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值 . 答案： (1)设商场应购进 A 型台灯 x 盏，则 B 型台灯为 (100-x)盏， 根据题意得， 30x+50(100-x)=3500，解得 x=75，所以， 100-75=25， 答：应购进 A 型台灯 75 盏， B 型台灯 25 盏； (2)设商场销售完这批台灯可获利 y 元， 则 y=(45-30)x+(70-50)(100-x)=15x+2000-20x=-5x+2000， B 型台灯的进货数量不超过 A 型 台灯数量的 3 倍，
20、 100 -x3x ， x25 ， k= -5 0， x=25 时， y 取得最大值，为 -525+2000=1875 (元 ) 答：商场购进 A 型台灯 25 盏， B 型台灯 75 盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为 1875元 . 23.(10 分 )如图，已知正比例函数 y=2x 和反比例函数的图象交于点 A(m， -2). (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； (3)若双曲线上点 C(2， n)沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论 . 解析： (1)设反比例函
21、数的解析式为 y= (k 0)，然后根据条件求出 A 点坐标，再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式； (2)直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围； (3)首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB= ，判断出四边形 OABC 是平行四边形，再证明 OA=OC 即可判定出四边形 OABC 的形状 . 答案： (1)设反比例函数的解析式为 y= (k 0)， A (m， -2)在 y=2x 上， -2=2m， m= -1， A (-1， -2)， 又 点 A 在 y= 上， k=2 ， 反比例函数的解析式为 y= ； (2)观察图象可知正比例函数值大
22、于反比例函数值时自变量 x的取值范围为 -1 x 0或 x 1； (3)四边形 OABC 是菱形 . 证明： A (-1， -2)， OA= = ， 由题意知： CBOA 且 CB= ， CB=OA ， 四边形 OABC 是平行四边形， C (2， n)在 y= 上， n=1 ， C (2， 1)， OC= = ， OC=OA ， 四边形 OABC 是菱形 . 24.(10 分 )如图 1， ABC 中， CA=CB，点 O 在高 CH 上， ODCA 于点 D， OECB 于点 E，以 O为圆心， OD 为半径作 O . (1)求证： O 与 CB 相切于点 E； (2)如图 2，若 O 过
23、点 H，且 AC=5， AB=6，连接 EH，求 BHE 的面积和 tanBHE 的值 . 解析： (1)由 CA=CB，且 CH 垂直于 AB，利用三线合一得到 CH 为角平分线，再由 OD垂直于AC， OE 垂直于 CB，利用角平分线定理得到 OE=OD，利用切线的判定方法即可得证； (2)由 CA=CB， CH 为高，利用三线合一得到 AH=BH，在直角三角形 ACH 中，利用勾股定理求出 CH 的长，由圆 O 过 H， CH 垂直于 AB，得到圆 O 与 AB 相切，由 (1)得到圆 O 与 CB 相切，利用切线长定理得到 BE=BH，如图所示，过 E作 EF 垂直于 AB，得到 EF
24、 与 CH 平行，得出 BEF与 BCH 相似，由相似得比例，求出 EF 的长，由 BH 与 EF 的长，利用三角形面积公式即可求出 BEH 的面积；根据 EF 与 BE 的长，利用勾股定理求出 FB 的长，由 BH-BF 求出 HF 的长，利用锐角三角形函数定义即可求出 tanBHE 的值 . 答案： (1) CA=CB，点 O 在高 CH 上， ACH=BCH ， ODCA ， OECB ， OE=OD ， 圆 O 与 CB 相切于点 E； (2)CA=CB ， CH 是高， AH=BH= AB=3， CH= =4， 点 O 在高 CH 上，圆 O 过点 H， 圆 O 与 AB 相切于 H
25、 点， 由 (1)得圆 O 与 CB 相切于点 E， BE=BH=3 ， 如图，过 E 作 EFAB ，则 EFCH ， BEFBCH ， = ，即 = ，解得： EF= ， S BHE = BH EF= 3 = ， 在 RtBEF 中， BF= = ， HF=BH -BF=3- = ，则 tanBHE= =2. 25.(12 分 )已知抛物线 y=x2-2x+c 与 x 轴交于 A.B两点，与 y轴交于 C点，抛物线的顶点为D 点，点 A 的坐标为 (-1， 0). (1)求 D 点的坐标； (2)如图 1，连接 AC， BD 并延长交于点 E，求 E 的度数； (3)如图 2，已知点 P(
26、-4， 0)，点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ交线段 AC于点 M，当PMA=E 时，求点 Q 的坐标 . 解析： (1)将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值，然后配方后即可确定顶点 D 的坐标； (2)连接 CD、 CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F，首先求得点 C的坐标，然后证得 DCBAOC得到 CBD=OCA ，根据 ACB=CBD+E=OCA+OCB ，得到 E=OCB=45 ； (3)设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DGx 轴于 G 点，得到 DGBPON 后利用相似三角形的性质求得 ON 的长，从而求得点 N 的坐标，进而
27、求得直线 PQ 的解析式，设 Q(m，n)，根据点 Q 在 y=x2-2x-3 上，得到 - m-2=m2-2m-3，求得 m、 n 的值后即可求得点 Q 的坐标 . 答案： (1)把 x=-1， y=0 代入 y=x2-2x+c 得： 1+2+c=0， c= -3， y=x 2-2x-3=y=(x-1)2-4， 顶点坐标为 (1， -4)； (2)如图，连接 CD、 CB，过点 D 作 DFy 轴于点 F， 由 x2-2x-3=0 得 x=-1 或 x=3， B (3， 0)， 当 x=0 时， y=x2-2x-3=-3， C (0， -3)， OB=OC=3 ， BOC=90 ， OCB=
28、45 ， BC=3 ， 又 DF=CF=1 ， CFD=90 ， FCD=45 ， CD= ， BCD=180 -OCB -FCD=90 .BCD=COA ， 又 ， DCBAOC ， CBD=OCA ， 又 ACB=CBD+E=OCA+OCB ， E=OCB=45 ， (3)如图，设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD于 H点，作 DGx 轴于 G点 ， PMA=45 ， EMH=45 ， MHE=90 ， PHB=90 ， DBG+OPN=90 ， 又 ONP+OPN=90 ， DBG=ONP ， DGB=PON=90 ， DGBPON ， = ，即： = ， ON=2 ， N (0， -2)， 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b， 则 ， 解得： ， y= - x-2， 设 Q(m， n)且 n 0， n= - m-2， 又 Q (m， n)在 y=x2-2x-3 上， n=m 2-2m-3， - m-2=m2-2m-3， 解得： m=2 或 m=- ， n= -3 或 n=- ， 点 Q 的坐标为 (2， -3)或 (- ， - ).
