1、2013 年湖北省孝感市中考真题数学 一、精心选一选，相信自己的判断！ (本大题共 12小题，每小题 3 分，共 36分 .) 1.(3 分 )计算 -32的结果是 ( ) A. 9 B. -9 C. 6 D. -6 解析 ： -32=-9. 答案： B. 2.(3 分 )太阳的半径约为 696000km，把 696000 这个数用科学记数法表示为 ( ) A. 6.9610 3 B. 69.610 5 C. 6.9610 5 D. 6.9610 6 解析 ： 将 696000 用科学记数法表示为 6.9610 5. 答案： C. 3.(3 分 )如图， 1=2 ， 3=40 ，则 4 等于
2、( ) A. 120 B. 130 C. 140 D. 40 解析 ： 1=2 ， ab ， 3=5 ， 3=40 ， 5=40 ， 4=180 -40=140 ， 答案： C. 4.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a3a 2=a3 a-2 B. C. 2a2+a2=3a4 D. (a-b)2=a2-b2 解析 ： A、 a3a 2=a3 a-2，计算正确，故本选项正确； B、 =|a|，计算错误，故本选项错误； C、 2a2+a2=3a2，计算错误，故本选项错误； D、 (a-b)2=a2-2ab+b2，计算错误，故本选项错误； 答案： A. 5.(3 分 )为了考察某种小麦的长
3、势，从中抽取了 10 株麦苗，测得苗高 (单位： cm)为： 16 9 14 11 12 10 16 8 17 19 则这组数据的中位数和极差分别是 ( ) A. 13， 16 B. 14， 11 C. 12， 11 D. 13， 11 解析 ： 将数据从小到大排列为： 8， 9， 10， 11， 12， 14， 16， 16， 17， 19， 中位数为： 13； 极差 =19-8=11. 答案： D. 6.(3 分 )下列说法正确的是 ( ) A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 若两个圆有公共点，则这两个圆相交 解析
4、： A、平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，故本选项错误； B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误， 答案： B. 7.(3 分 )使不等式 x-12 与 3x-7 8 同时成立的 x 的整数值是 ( ) A. 3， 4 B. 4， 5 C. 3， 4， 5 D. 不存在 解析 ： 根据题意得： ，解得： 3x 5，则 x 的整数值是 3， 4； 答案： A. 8.(3 分 )式子 的值是 ( ) A. B. 0 C. D. 2 解析 ： 原式 =2 -1-( -1)= -1-
5、 +1=0. 答案： B. 9.(3 分 )在平面直角坐标系中，已知点 E(-4， 2)， F(-2， -2)，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把 EFO 缩小，则点 E 的对应点 E 的坐标是 ( ) A. (-2， 1) B. (-8， 4) C. (-8， 4)或 (8， -4) D. (-2， 1)或 (2， -1) 解析 ： 根据题意得： 则点 E 的对应点 E 的坐标是 (-2， 1)或 (2， -1).答案： D. 10.(3 分 )如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 该组合体共有 8
6、 个小正方体，俯视图和主视图如图， 该组合体共有两层，第一层有 5 个小正方体，第二层有三个小正方体，且全位于第二层的最左边， 左视图应该是两层，每层两个， 答案： B. 11.(3 分 )如图，函数 y=-x 与函数 的图象相交于 A， B 两点，过 A， B 两点分别作 y轴的垂线，垂足分别为点 C， D.则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析 ： 过函数 的图象上 A， B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C， D， S AOC =SODB = |k|=2， 又 OC=OD ， AC=BD， S AOC =SODA =SODB =SOB
7、C =2， 四边形 ABCD 的面积为： SAOC +SODA +SODB +SOBC =42=8 . 答案： D. 12.(3分 )如图，在 ABC 中， AB=AC=a， BC=b(a b).在 ABC 内依次作 CBD=A ， DCE=CBD ，EDF=DCE .则 EF 等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： AB=AC ， ABC=ACB ， 又 CBD=A ， ABCBDC ， 同理可得： ABCBDCCDEDFE ， = ， = ， = ， = ， AB=AC ， CD=CE ，解得： CD=CE= ， DE= ， EF= . 答案： C. 二、细心填一填，试试自己的身手
8、！ (本大题共 6小题，每小题 3 分，共 18分 ) 13.(3 分 )分解因式： ax2+2ax-3a= . 解析 ： ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3)=a(x+3)(x-1). 答案 ： a(x+3)(x-1) 14.(3 分 )在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料的概率为 (结果用分数表示 ). 解析 ： 在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期， 从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料的概率为 ； 答案 ： . 15.(3 分 )如图，两建筑物的水平距离 BC为 18m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 3
9、0 ，测得 C点的俯角 为 60 .则建筑物 CD 的高度为 m(结果不作近似计算 ). 解析 ： 过点 D 作 DEAB 于点 E，则四边形 BCDE 是矩形， 根据题意得： ACB=60 ， ADE=30 ， BC=18m， DE=BC=18m ， CD=BE， 在 RtABC 中， AB=BC tanACB=18tan60=18 (m)， 在 RtADE 中， AE=DE tanADE=18tan30=6 (m)， DC=BE=AB -AE=18 -6 =12 (m). 答案 ： 12 . 16.(3 分 )用半径为 10cm，圆心角为 216 的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为
10、 cm. 解析 ： 如图：圆的周长即为扇形的弧长， 列出关系式 答案： =2x ， 又 n=216 ， r=10， (21610 )180=2x ，解得 x=6， h= =8. 答案 ： 8cm. 17.(3 分 )如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 .例如：称图中的数 1，5， 12， 22 为五边形数，则第 6 个五边形数是 . 解析 ： 5 -1=4， 12-5=7， 22-12=10， 相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3， 第 5 个五边形数是 22+13=35， 第 6 个五边形数是 35+16=51. 答案 ： 51. 18.(3 分 )如图，一个装有进水管
11、和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完 .假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y(单位：升 )与时间 x(单位：分 )之间的部分关系 .那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完 . 解析 ： 由函数图象得：进水管每分钟的进水量为： 204=5 升 设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得 20+8(5-a)=30，解得： a= ， 故关闭进水管后出水管放完水的时间为： 30 =8 分钟 . 答案 ： 8. 三、用心做一做，显显自己的能力！ (本大题共 7小题，满分 66 分 .)
12、19.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 ， . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 与 y 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = = = ， 当 ， 时，原式 = . 20.(8 分 )如图，已知 ABC 和点 O. (1)把 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 得到 A 1B1C1，在网格中画出 A 1B1C1； (2)用直尺和圆规作 ABC 的边 AB， AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 P(要求保留作图痕迹，不写作法 )；指出点 P 是 ABC 的内心，外心，还是重心？ 解析 ： (1)分别得出 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 后的对应
13、点坐标，进而得到 A 1B1C1， (2)根据垂直平分线的作法求出 P 点即可，进而利用外心的性质得出即可 . 答案： (1)A 1B1C1如图所示； (2)如图所示； 点 P 是 ABC 的外心 . 21.(10 分 )如图，暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到 A， B， C， D 四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数 . (1)去 B 地参加夏令营活动人数占总人数的 40%，根据统计图求去 B 地的人数？ (2)若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定 .父亲说：现有 4 张卡片上分别写有 1， 2， 3， 4 四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地
14、抽取一张 .若抽取的两张卡片上的数字之和是 5 的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是 3 的倍数则弟弟参加 .用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？ 解析 ： (1)假设出去 B 地的人数为 x，根据去 B 地参加夏令营活动人数占总人数的 40%，进而得出方程求出即可； (2)根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可 . 答案： (1)设去 B 地的人数为 x，则由题意有： ；解得： x=40. 去 B 地的人数为 40 人 . (2)列表： 姐姐能参加的概率 ， 弟弟能参加的概率为 ， ， 不公平 . 22.(10 分 )在 “ 母亲节 ” 前夕，我市某校学生积
15、极参与 “ 关爱贫困母亲 ” 的活动，他们购进一批单价为 20 元的 “ 孝文化衫 ” 在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲 .经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21件 .假定每天销售件数 y(件 )与销售价格 x(元 /件 )满足一个以 x为自变量的一次函数 . (1)求 y 与 x 满足的函数关系式 (不要求写出 x 的取值范围 )； (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？ 解析 ： (1)设 y 与 x 满足的函数关系式为： y=kx+b.，由题意可列
16、出 k和 b 的二元一次方程组，解出 k 和 b 的值即可； (2)根据题意：每天获得的利润为： P=(-3x+108)(x-20)，转换为 P=-3(x-28)2+192，于是求出每天获得的利润 P 最大时的销售价格 . 答案： (1)设 y 与 x 满足的函数关系式为： y=kx+b. 由题意可得： 解得 答： y 与 x 的函数关系式为： y=-3x+108. (2)每天获得的利润为： P=(-3x+108)(x-20)=-3x2+168x-2160=-3(x-28)2+192. a= -3 0， 当 x=28 时，利润最大， 答：当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大 . 23.
17、(10 分 )如图， ABC 内接于 O ， B=60 ， CD 是 O 的直径，点 P 是 CD延长线上的一点，且 AP=AC. (1)求证： PA 是 O 的切线； (2)若 PD= ，求 O 的直径 . 解析 ： (1)连接 OA，根据圆周角定理求出 AOC ，再由 OA=OC 得出 ACO=OAC=30 ，再由AP=AC 得出 P=30 ，继而由 OAP=AOC -P ，可得出 OAPA ，从而得出结论； (2)利用含 30 的直角三角形的性质求出 OP=2OA，可得出 OP-PD=OD，再由 PD= ，可得出O 的直径 . 答案： (1)连接 OA， B=60 ， AOC=2B=12
18、0 ， 又 OA=OC ， OAC=OCA=30 ， 又 AP=AC ， P=ACP=30 ， OAP=AOC -P=90 ， OAPA ， PA 是 O 的切线 . (2)在 RtOAP 中， P=30 ， PO=2OA=OD+PD ， 又 OA=OD ， PD=OA ， ， .O 的直径为 . 24.(10 分 )已知关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+2k=0 有两个实数根 x1， x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k 使得 x1 x2-x12-x220 成立？若存在，请求出 k的值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)根据已知一元二次方
19、程的根的情况，得到根的判别式 0 ，据此列出关于 k 的不等式 -(2k+1)2-4(k2+2k)0 ，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围； (2)假设存在实数 k 使得 0 成立 .利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式 0 ，通过解不等式可以求得 k 的值 . 答案： (1) 原方程有两个实数根， -(2k+1)2-4(k2+2k)0 ， 4k 2+4k+1-4k2-8k0 1 -4k0 ， k . 当 k 时，原方程有两个实数根 . (2)假设存在实数 k 使得 0 成立 . x 1， x2是原方程的两根， . 由 0 ，得
20、 0 . 3 (k2+2k)-(2k+1)20 ，整理得： -(k-1)20 ， 只有当 k=1 时，上式才能成立 . 又 由 (1)知 k ， 不存在实数 k 使得 0 成立 . 25.(12 分 )如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若 AEF=90 ，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. (1)图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等 (不要求证明 )； (2)如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动 (不与点 B， C 重合 ). AE=EF 是否
21、总成立？请给出证明； 在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=-x2+x+1 上，求此时点 F 的坐标 . 解析 ： (1)取 AB 的中点 G，连接 EG，利用 ASA 能得到 AGE 与 ECF 全等； (2) 在 AB 上截取 AM=EC，证得 AMEECF 即可证得 AE=EF； 过点 F 作 FHx 轴于 H，根据 FH=BE=CH设 BH=a，则 FH=a-1，然后表示出点 F 的坐标，根据点 F 恰好落在抛物线 y=-x2+x+1 上得到有关 a 的方程求得 a 值即可求得点 F 的坐标； 答案： (1)如图 1，取 AB 的中点 G，连接
22、 EG. AGE 与 ECF 全等 . (2) 若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE=EF 总成立 .证明：如图，在 AB上截取 AM=EC. AB=BC ， BM=BE ， MBE 是等腰直角三角形， AME=180 -45=135 ， 又 CF 平分正方形的外角， ECF=135 ， AME=ECF . 而 BAE+AEB=CEF+AEB=90 ， BAE=CEF ， AMEECF .AE=EF . 过点 F 作 FHx 轴于 H，由 知， FH=BE=CH， 设 BH=a，则 FH=a-1， 点 F 的坐标为 F(a， a-1) 点 F 恰好落在抛物线 y=-x2+x+1 上， a -1=-a2+a+1， a 2=2， a= (负值不合题意，舍去 )， . 点 F 的坐标为 .
