1、2013 年湖北省宜昌市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 15 小题，每小题 3分，计 45 分 ) 1.(3 分 )中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为 67500 吨，将 67500 用科学记数法表示为 ( ) A. 6.7510 4吨 B. 67.510 3吨 C. 0.67510 3吨 D. 6.7510 -4吨 解析： 67 500=6.7510 4. 答案： A. 2.(3 分 )合作交流是学习数学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是： 8， 7， 7， 8， 9， 7，这组数据的众数是 ( ) A. 7 B. 7.5
2、 C. 8 D. 9 解析： 这组数据中 7 出现的次数最多，故众数为 7. 答案： A. 3.(3 分 )四边形的内角和的度数为 ( ) A. 180 B. 270 C. 360 D. 540 解析： (4-2)180=360 ， 答案： C. 4.(3 分 )某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是 ( ) A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥 解析： 根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱 . 答案： C. 5.(3 分 )下列式子中，一定成立的是 ( ) A. a a=a2 B. 3a+2a2=5a3 C. a3a 2=1 D.
3、(ab)2=ab2 解析： A、正确； B、不是同类项，不能合并，选项错误； C、 a3a 2=a，选项错误； D、 (ab)2=a2b2，选项错误 . 答案： A 6.(3 分 )若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x=1 B. x1 C. x 1 D. x 1 解析： 由题意，得 x-10 ，解得， x1 . 答案： B. 7.(3分 )如图，在矩形 ABCD中， AB BC， AC， BD相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： 四边形 ABCD 是矩形， AO=BO=CO=DO ， ABO ， BCO ，
4、 DCO ， ADO 都是等腰三角形， 答案： C. 8.(3 分 )如图，已知 ABCD ， E 是 AB 上一点， DE 平分 BEC 交 CD于 D， BEC=100 ，则 D的度数是 ( ) A. 100 B. 80 C. 60 D. 50 解析： DE 平分 BEC 交 CD 于 D， BED= BEC ， BEC=100 ， BED=50 ， ABCD ， D=BED=50 (两直线平行，内错角相等 )， 答案： D. 9.(3 分 )下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( ) A. 1， 2， 6 B. 2， 2， 4 C. 1， 2， 3 D
5、. 2， 3， 4 解析： A、 1+2 6，不能组成三角形，故此选项错误； B、 2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误； C、 1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误； D、 2+3 4，能组成三角形，故此选项正确； 答案： D. 10.(3 分 )2012-2013NBA 整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，下列说法错误的是 ( ) A. 科比罚球投篮 2 次，一定全部命中 B. 科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中 C. 科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大 D. 科比罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小 解析： A、科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中，故本
6、选项错误； B、科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中，故本选项正确； C、 科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%， 科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大，故本选项正确； D、科比罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小，故本选项正确 . 答案： A. 11.(3 分 )如图，点 B 在反比例函数 y= (x 0)的图象上，横坐标为 1，过点 B 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为 A， C，则矩形 OABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 点 B 在反比例函数 y= (x 0)的图象上，过点 B 分别向 x 轴， y 轴作垂线，垂足分别为 A， C， 故
7、矩形 OABC 的面积 S=|k|=2. 答案： B. 12.(3 分 )地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到 2050 年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝， 2012 年底，长江江豚数量仅剩约 1000 头，其数量年平均下降的百分率在 13% 15%范围内，由此预测， 2013 年底剩下江豚的数量可能为 ( )头 . A. 970 B. 860 C. 750 D. 720 解析： 设 2013 年底剩下江豚的数量为 x 头， 2012 年底，长江江豚数量仅剩约 1000头，其数量年平均下降的百分率在 13% 15%范围内， 2013 年底剩下江豚的数量可能为 ， 解得：
8、 850 x 870， 2013 年底剩下江豚的数量可能为 860 头； 答案： B. 13.(3 分 )实数 a， b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是 ( ) A. a+b=0 B. b a C. ab 0 D. |b| |a| 解析： 根据图形可知： -2 a -1， 0 b 1，则 |b| |a|； 答案： D. 14.(3 分 )如图， DC 是 O 直径，弦 ABCD 于 F，连接 BC， DB，则下列结论错误的是 ( ) A. B. AF=BF C. OF=CF D. DBC=90 解析： DC 是 O 直径，弦 ABCD 于 F， 点 D 是优弧 AB 的中点，点 C
9、是劣弧 AB 的中点， A、 = ，正确，故本选项错误； B、 AF=BF，正确，故本选项错误； C、 OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意； D、 DBC=90 ，正确，故本选项错误； 答案： C. 15.(3 分 )如图，点 A， B， C， D 的坐标分别是 (1， 7)， (1， 1)， (4， 1)， (6， 1)，以 C， D，E 为顶点的三角形与 ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是 ( ) A. (6， 0) B. (6， 3) C. (6， 5) D. (4， 2) 解析： ABC 中， ABC=90 ， AB=6， BC=3， AB： BC=2. A、当点 E 的
10、坐标为 (6， 0)时， CDE=90 ， CD=2， DE=1，则 AB： BC=CD： DE， CDEABC ，故本选项不符合题意； B、当点 E 的坐标为 (6， 3)时， CDE=90 ， CD=2， DE=2，则 AB： BCCD ： DE， CDE 与 ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点 E 的坐标为 (6， 5)时， CDE=90 ， CD=2， DE=4，则 AB： BC=DE： CD， EDCABC ，故本选项不符合题意； D、当点 E 的坐标为 (4， 2)时， ECD=90 ， CD=2， CE=1，则 AB： BC=CD： CE， DCEABC ，故本选项不符合
11、题意； 答案： B. 二、解答题 (本大题共 9 小题，计 75 分 ) 16.(6 分 )计算： (-20) (- )+ . 解析： 分别进行有理数的乘法、二次根式的化简等运算，然后合并即可 . 答案： 原式 =10+3+2000=2013. 17.(5 分 )化简： (a-b)2+a(2b-a) 解析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果 . 答案： 原式 =a2-2ab+b2+2ab-a2=b2. 18.(7 分 )如图，点 E， F 分别是锐角 A 两边上的点， AE=AF，分别以点 E， F 为圆心，以 AE的长为半径画弧，两弧相
12、交于点 D，连接 DE， DF. (1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由； (2)连接 EF，若 AE=8 厘米， A=60 ，求线段 EF 的长 . 解析： (1)由 AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形 AEDF 是菱形； (2)首先连接 EF，由 AE=AF， A=60 ，可证得 EAF 是等边三角形，则可求得线段 EF 的长 . 答案： (1)菱形 .理由： 根据题意得： AE=AF=ED=DF， 四边形 AEDF 是菱形； (2)连接 EF， AE=AF ， A=60 ， EAF 是等边三角形， EF=AE=8 厘米 . 19.(7 分 )读书
13、决定一个人的休养和品位，在 “ 文明湖北 .美丽宜昌 ” 读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外阅读情况，绘制了平均每人每天课外阅读时间统计图 . (1)补全扇形统计图中横线上缺失的数据； (2)被调查学生中，每天课外阅读时间为 60 分钟左右的有 20 人，求被调查的学生总人数； (3)请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间 . 解析： (1)将总体看作单位 1，减去其他所占的百分比即可； (2)用每天课外阅读时间为 60 分钟左右的除以其所占的百分比即可； (3)用加权平均数计算即可 . 答案： (1)没有阅读习惯或基本不阅读的 占： 1-10%-
14、30%-55%=5%； (2) 每天课外阅读时间为 60 分钟左右的有 20 人，占总数的 10%， 被调查的总人数有 2010%=200 人； (3)该校学生平均每人每天课外阅读的时间为： 6010%+4030%+2055%=6+12+11=29 分 估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间为 29 分钟； 20.(8 分 )A， B 两地相距 1100 米，甲从 A 地出发，乙从 B 地出发，相向而行，甲比乙先出发2 分钟，乙出发 7 分钟后与甲相遇 .设甲、乙两人相距 y 米，甲行进的时间为 t 分钟， y 与 t之间的函数关系如图所示 .请你结合图象探究： (1)甲的行进速度为每分钟 米
15、， m= 分钟； (2)求直线 PQ 对应的函数表达式； (3)求乙的行进速度 . 解析： (1)由函数图象可以求出两分钟行驶的路程就可以求出甲的速度，由相遇时间为 7 分钟就可以求出 m 的值； (2)设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，由待定系数法就可以求出结论； (3)设乙的行进速度为 a 米 /分，由相遇问题的数量关系建立方程求出其解即可 . 答案： (1)由题意，得甲的行进速度为 (1100-980)2=60 米， m=7+2=9 分钟 . 故答案为： 60， 9； (2)设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b， 由题意，得 ，解得： ， y=-60x+1100. 直线 PQ 对
16、应的函数表达式为 y=-60x+1100； (2)设乙的行进速度为 a 米 /分，由题意，得 980 (a+60)=7，解得： a=80. 答：乙的行进速度为 80 米 /分 . 21.(8 分 )如图 l，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC， AOBC 于点 0， F 是线段 AO 上的点 (与A， 0 不重合 )， EAF=90 ， AE=AF，连结 FE， FC， BE， BF. (1)求证： BE=BF； (2)如图 2，若将 AEF 绕点 A 旋转，使边 AF 在 BAC 的内部，延长 CF 交 AB 于点 G，交 BE于点 K. 求证： AGCKGB ； 当 BEF 为
17、等腰直角三角形时，请你直接写出 AB： BF 的值 . 解析： (1)通过证明 EABFAB ，即可得到 BE=BF； (2) 首先证明 AEBAFC ，由相似三角形的性质可得： EBA=FCA ，进而可证明AGCKGB ； 因为 AGCKGB ，所以 GKB=GAC=90 ，所以 EBF 90 ，由此可分两种情况讨论求值即可 . 答案： (1)AB=AC ， AOBC ， OAC=OAB=45 ， EAB=EAF -BAF=45 ， EAB=BAF ， 在 EAB 和 FAB 中， ， EABFAB (SAS)， BE=BF ； (2)BAC=90 ， EAF=90 ， EAB+BAF=BA
18、F+FAC=90 ， EAB=FAC ， 在 AEB 和 AFC 中， ， AEBAFC (SAS)， EBA=FCA ， 又 KGB=AGC ， AGCKGB ； AGCKGB ， GKB=GAC=90 ， EBF 90 ， 当 EFB=90 时， AB： BF= ： 2. 22.(8 分 )背景资料 一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤 /时，大约是一个人手工采摘的 3.5 倍，购买一台采棉机需 900 元，雇人采摘棉花，按每采摘 1 公斤棉花 a 元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作 8 小时
19、. 问题解决 (1)一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？ (2)一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求 a 的值； (3)在 (2)的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的 2 倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有 的人自带采棉机采摘， 的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为 14400 元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？ 解析： (1)先根据一个人操作采棉机的采摘效率为 35 公斤 /时，大约是一个人手工采摘的 3.5倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作时间 8 小时，即可求解；
20、 (2)根据一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，列出关于 a 的方程，解方程即可； (3)设张家雇佣 x 人采摘棉花，则王家雇佣 2x 人采摘棉花，先根据张家付给雇工工钱总额14400 元，求出采摘的天数为： ，然后由王家所雇的人中有 的人自带采棉机采摘， 的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，即可得出王家这次采摘棉花的总重量 . 答案： (1) 一 个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤 /时，大约是一个人手工采摘的 3.5倍， 一个人手工采摘棉花的效率为： 353.5=10 (公斤 /时 )， 雇工每天工作 8 小时， 一个雇工手工采摘棉花，一天能
21、采摘棉花： 108=80 (公斤 )； (2)由题意，得 807.5a=900 ，解得 a= ； 雇工工钱的标准为：每采摘 1 公斤棉花 元； (3)设张家雇佣 x 人采摘棉花，则王家雇佣 2x 人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 的人自带采棉机采摘， 的人手工采摘 . 张家雇佣的 x 人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为 14400 元， 采摘的天数为： ，即： ， 王家这次采摘棉花的总重量是： (358 +80 ) =51200(公斤 ). 23.(10 分 )半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧， O 与 l 相切于点 F
22、， DC 在 l 上 . (1)过点 B 作的一条切线 BE， E 为切点 . 填空：如图 1，当点 A 在 O 上时， EBA 的度数是 ； 如图 2，当 E， A， D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长； (2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形 (图 3)，至边 BC与 OF 重合时结束移动， M， N 分别是边 BC， AD 与 O 的公共点，求扇形 MON的面积的范围 . 解析： (1) 根据切线的性质以及直角三角形的性质得出 EBA 的度数即可； 利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出 = ，进而求出 OA 即可；
23、 (2)设 MON=n ，得出 S 扇形 MON= 2 2= n 进而利用函数增减性分析 当 N， M， A 分别与D， B， O 重合时， MN 最大， 当 MN=DC=2 时， MN 最小，分别求出即可 . 答案： (1) 半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，当点 A在 O 上时，过点 B 作的一条切线 BE， E 为切点， OB=4 ， EO=2， OEB=90 ， EBA 的度数是： 30 . 如图， 直线 l 与 O 相切于点 F， OFD=90 ， 正方形 ADCB 中， ADC=90 ， OFAD ， OF=AD=2 ， 四边形
24、OFDA 为平行四边形， OFD=90 ， 平行四边形 OFDA 为矩形， DAAO ， 正方形 ABCD 中， DAAB ， O ， A， B 三点在同一条直线上； EAO B， OEB=OAE ， EOABOE ， = ， OE 2=OA OB， OA (2+OA)=4， 解得： OA=-1 ， OA 0， OA= -1； (2)如图，设 MON=n ， S 扇形 MON= 2 2= n(cm2)， S 随 n 的增大而增大， MON 取最大值时， S 扇形 MON最大， 当 MON 取最小值时， S 扇形 MON最小， 过 O 点作 OKMN 于 K， MON=2NOK ， MN=2NK
25、， 在 RtONK 中， sinNOK= = ， NOK 随 NK 的增大而增大， MON 随 MN 的增大而增大， 当 MN 最大时 MON 最大，当 MN 最小时 MON 最小， 当 N， M， A 分别与 D， B， O 重合时， MN 最大， MN=BD， MON=BOD=90 ， S 扇形 MON 最大 = (cm2)， 当 MN=DC=2 时， MN 最小， ON=MN=OM ， NOM=60 ， S 扇形 MON 最小 = (cm2)， S 扇形 MON . 24.(12 分 )如图，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴正半轴上滑动，点 C 的坐标为 (t，
26、 0)，直角边 AC=4，经过 O， C 两点做抛物线 y1=ax(x-t)(a 为常数， a 0)，该抛物线与斜边 AB 交于点 E，直线 OA： y2=kx(k 为常数， k 0) (1)填空：用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值： A ， k= ； (2)随着三角板的滑动，当 a= 时： 请你验证：抛物线 y1=ax(x-t)的顶点在函数 y= 的图象上； 当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时，求 t 的值； (3)直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D，当 txt+4 ， |y2-y1|的值随 x 的增大而减小，当 xt+4 时， |y2-y1|的值随 x 的增大而增大
27、，求 a与 t 的关系式及 t 的取值范围 . 解析： (1)根据题意易得点 A 的横坐标与点 C 的相同，点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度；把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值； (2) 求得抛物线 y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数 y= ，若该点满足函数解析式 y= ，即表示该顶点在函数 y= 图象上；反之，该顶点不在函数 y= 图象上； 如图 1，过点 E 作 EKx 轴于点 K.则 EK是 ACB 的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点 E 的坐标，把点 E 的坐标代入抛物线 y1= x(x-t)即可求得 t=2； (3)如图 2，根据抛物线与直线相交可以
28、求得点 D 横坐标是 +4.则 t+4= +4，由此可以求得 a 与 t 的关系式 . 答案： (1) 点 C 的坐标为 (t， 0)，直角边 AC=4， 点 A 的坐标是 (t， 4). 又 直线 OA： y2=kx(k 为常数， k 0)， 4=kt ，则 k= (k 0). (2) 当 a= 时， y1= x(x-t)，其顶点坐标为 ( ， - ). 对于 y= 来说，当 x= 时， y= =- ，即点 ( ， - )在抛物线 y=上 . 故当 a= 时，抛物线 y1=ax(x-t)的顶点在函数 y= 的图象上； 如图，过点 E 作 EKx 轴于点 K. ACx 轴， ACEK . 点 E 是线段 AB 的中点， K 为 BC 的中点， EK 是 ACB 的中位线， EK= AC=2， CK= BC=2， E (t+2， 2). 点 E 在抛物线 y1= x(x-t)上， (t+2)(t+2-t)=2，解得 t=2. (3)如图 2， ，则 x=ax(x-t)， 解得 x= +t，或 x=0(不合题意，舍去 ).故点 D 的横坐标是 +t. 当 x= +t 时， |y2-y1|=0，由题意得 t+4= +t，解得 a= (t 4).
