1、2013 年湖北省恩施州中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的。 ) 1.(3 分 ) 的相反数是 ( ) A. B. - C. 3 D. -3 解析 ： - 的相反数是 . 答案 ： A. 2.(3 分 )今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有 39360 人，请将数 39360 用科学记数法表示为 (保留三位有效数字 )( ) A. 3.9310 4 B. 3.9410 4 C. 0.3910 5 D. 39410 2 解析 ： 39360=3.93610 43.9410 4. 答案 ： B. 3.
2、(3 分 )如图所示， 1+2=180 ， 3=100 ，则 4 等于 ( ) A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 解析 ： 1+5=180 ， 1+2=180 ， 2=5 ， ab ， 3=6=100 ，4=100 . 答案： D. 4.(3 分 )把 x2y-2y2x+y3分解因式正确的是 ( ) A. y(x2-2xy+y2) B. x2y-y2(2x-y) C. y(x-y)2 D. y(x+y)2 解析 ： x2y-2y2x+y3=y(x2-2yx+y2)=y(x-y)2. 答案： C. 点评： 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进
3、5.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x3 x2=x6 B. 3a2+2a2=5a2 C. a(a-1)=a2-1 D. (a3)4=a7 解析 ： A、 x3 x2=x5，故本选项错误； B、 3a2+2a2=5a2，故本选项正确； C、 a(a-1)=a2-a，故本选项错误； D、 (a3)4=a12，故本选项错误； 答案： B. 6.(3 分 )如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 选项 A， B， D 折叠后都可以围成正方体； 而 C 折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体 . 答案： C. 7.(
4、3 分 )下列命题正确的是 ( ) A. 若 a b， b c，则 a c B. 若 a b，则 ac bc C.若 a b，则 ac2 bc2 D. 若 ac2 bc2，则 a b 解析 ： A、可设 a=4， b=3， c=4，则 a=c.故本选项错误； B、当 c=0 或 c 0 时，不等式 ac bc 不成立 .故本选项错误； C、当 c=0 时，不等式 ac2 bc2不成立 .故本选项错误； D、由题意知， c2 0，则在不等式 ac2 bc2的两边同时除以 c2，不等式仍成立，即 ac2 bc2，故本选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针
5、实验，针头扎在阴影区域内的概率为( ) A. B. C. D. 解析 ： 四边形是平行四边形， 对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积 = S 四边形 ， 针头扎在阴影区域内的概率为 ， 答案 ： B. 9.(3 分 )把抛物线 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 抛物线 y= x2-1 的顶点坐标为 (0， -1)， 向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为 (1， -3)， 得到的抛物线的解析式为 y= (x-1)2-3. 答案： B. 10.(3 分
6、)如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AC与 BD 相交于点 O， E 为 OD 的中点，连接 AE并延长交 DC 于点 F，则 DF： FC=( ) A. 1： 4 B. 1： 3 C. 2： 3 D. 1： 2 解析 ： 在平行四边形 ABCD 中， ABDC ，则 DFEBAE ， = ， O 为对角线的交点， DO=BO ， 又 E 为 OD 的中点， DE= DB，则 DE： EB=1： 3， DF ： AB=1： 3， DC=AB ， DF ： DC=1： 3， DF ： FC=1： 2. 答案： D. 11.(3 分 )如甲、乙两图所示，恩施州统计局对 2009 年恩施州各县
7、市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题： 2009 年恩施州各县市的固定资产投资情况表： (单位：亿元 ) 下列结论不正确的是 ( ) A. 2009 年恩施州固定资产投资总额为 200 亿元 B. 2009 年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是 16 亿元 C. 2009 年来凤县固定资产投资额为 15 亿元 D. 2009 年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为 110 解析 ： A、 2412%=200 (亿元 )，故此选项不合题意； B、来凤投资额： 200-60-28-24-23-14-16-15-5=15(亿元 )， 把所有的数
8、据从小到大排列： 60， 28， 24， 23， 16， 15， 15， 14， 5，位置处于中间的数是16，故此选项不合题意； C、来凤投资额： 200-60-28-24-23-14-16-15-5=15(亿元 )，故此选项不合题意； D、 360 =108 ，故此选项符合题意； 答案： D. 12.(3 分 )如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为 1 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD 沿 x轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动，当点 A 离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A 运动的路径线与 x 轴围成的面积为 ( ) A. B. C. +1 D. 解析 ： 如图所示： 点 A 运
9、动的路径线与 x 轴围成的面积 =S1+S2+S3+2a= + +2 ( 11 )=+1 . 答案： C. 二、填空题 (本大题共有 4 小题，每小题 3分，共 12 分 ) 13.(3 分 )25 的平方根是 . 解析 ： (5 )2=2525 的平方根 5 . 答案： 5 . 14.(3 分 )函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得， 3-x0 且 x+20 ，解得 x3 且 x -2. 答案： x3 且 x -2. 15.(3分 )如图所示，一半径为 1的圆内切于一个圆心角为 60 的扇形，则扇形的周长为 . 解析 ： 如图所示：设 O 与扇形相切于点 A， B
10、，则 CAO=90 ， ACB=30 ， 一半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60 的扇形， AO=1 ， CO=2AO=2 ， BC=2+1=3 ， 扇形的弧长为： = ， 则扇形的周长为： 3+3+=6+ . 答案： 6+ . 16.(3 分 )把奇数列成下表， 根据表中数的排列规律，则上起第 8 行，左起第 6 列的数是 . 解析 ： 由图表可得出：第 6 列数字从 31 开始，依次加 14， 16， 18 则第 8 行，左起第 6 列的数为： 31+14+16+18+20+22+24+26=171. 答案： 171. 三、解答题 (本大题共有 8 个小题，共 72分 ) 17.(8
11、分 )先简化，再求值： ，其中 x= . 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = = = ， 当 x= -2 时，原式 =- =- . 18.(8 分 )如图所示，在梯形 ABCD 中， ADBC ， AB=CD， E、 F、 G、 H 分别为边 AB、 BC、 CD、DA 的中点，求证：四边形 EFGH 为菱形 . 解析 ： 连接 AC、 BD，根据等腰梯形的对角线相等可得 AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EF=GH= AC， HE=FG= BD，从而得到 EF=FG=GH=HE，再根据四条
12、边都相等的四边形是菱形判定即可 . 答案： 如图，连接 AC、 BD， ADBC ， AB=CD， AC=BD ， E 、 F、 G、 H 分别为边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点， 在 ABC 中， EF= AC， 在 ADC 中， GH= AC， EF=GH= AC， 同理可得， HE=FG= BD， EF=FG=GH=HE ， 四边形 EFGH 为菱形 . 19.(8 分 )一个不透明的袋子里装有编号分别为 1、 2、 3 的球 (除编号以为，其余都相同 )，其中 1 号球 1 个， 3 号球 3 个，从中随机摸出一个球是 2 号球的概率为 . (1)求袋子里 2 号球的个数 .
13、(2)甲、乙两人分别从袋中摸出一个球 (不放回 )，甲摸出球的编号记为 x，乙摸出球的编号记为 y，用列表法求点 A(x， y)在直线 y=x 下方的概率 . 解析 ： (1)首先设袋子里 2 号球的个数为 x 个 .根据题意得： = ，解此方程即可求得答案； (2)首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点 A(x， y)在直线 y=x下方的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)设袋子里 2 号球的个数为 x 个 .根据题意得： = ，解得： x=2， 经检验： x=2 是原分式方程的解， 袋子里 2 号球的个数为 2 个 . (2)列表得： 共有 30 种等
14、可能的结果，点 A(x， y)在直线 y=x 下方的有 11 个， 点 A(x， y)在直线 y=x 下方的概率为： . 20.(8 分 )如图所示，等边三角形 ABC 放置在平面直角坐标系中，已知 A(0， 0)、 B(6， 0)，反比例函数的图象经过点 C. (1)求点 C 的坐标及反比例函数的解析式 . (2)将等边 ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，求 n 的值 . 解析 ： (1)过 C 点作 CDx 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ，根据等边三角形的知识求出 AC 和 CD 的长度，即可求出 C 点的坐标，把 C 点坐标代入反比例函数解析式求出
15、k 的值 . (2)若等边 ABC 向上平移 n个单位，使点 B恰好落在双曲线上，则此时 B点的横坐标即为 6，求出纵坐标，即可求出 n 的值 . 答案： (1)过 C 点作 CDx 轴，垂足为 D，设反比例函数的解析式为 y= ， ABC 是等边三角形， AC=AB=6 ， CAB=60 ， AD=3 ， CD=sin60AC= 6=3 ， 点 C 坐标为 (3， 3 )， 反比例函数的图象经过点 C， k=9 ， 反比例函数的解析式 y= ； (2)若等边 ABC 向上平移 n 个单位，使点 B 恰好落在双曲线上，则此时 B 点的横坐标为 6， 即纵坐标 y= = ，也是向上平移 n= .
16、 21.(8 分 )“ 一炷香 ” 是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点 .某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的 A 处测得 “ 香顶 ”N 的仰角为 45 ，此时，他们刚好与 “ 香底 ”D 在同一水平线上 .然后沿着坡度为 30 的斜坡正对着 “ 一炷香 ” 前行 110，到达 B处，测得 “ 香顶 ”N的仰角为 60 .根据以上条件求出 “ 一炷香 ” 的高度 .(测角器的高度忽略不计，结果精确到1 米，参考数据： ， ). 解析 ： 首先过点 B 作 BFDN 于点 F，过点 B作 BEAD 于点 E，可得四边形 BEDF 是矩形，然后在 RtABE 中，由三角函数的性质，可求得 A
17、E 与 BE 的长，再设 BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程： 55 +x= x+55，继而可求得答案 . 答案： 过点 B 作 BFDN 于点 F，过点 B 作 BEAD 于点 E， D=90 ， 四边形 BEDF 是矩形， BE=DF ， BF=DE， 在 RtABE 中， AE=AB cos30=110 =55 (米 )， BE=AB sin30= 110=55 (米 )； 设 BF=x 米，则 AD=AE+ED=55 +x(米 )， 在 RtBFN 中， NF=BF tan60= x(米 )， DN=DF+NF=55+ x(米 )， NAD=45 ， AD=DN ，即 55 +
18、x= x+55，解得： x=55， DN=55+ x150 (米 ). 答： “ 一炷香 ” 的高度约为 150 米 . 22.(10 分 )某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进 3 件甲商品和 1 件乙商品恰好用 200 元 .甲、乙两种商品的售价每件分别为 80 元、 130 元，该商店决定用不少于 6710 元且不超过 6810 元购进这两种商品共 100 件 . (1)求这两种商品的进价； (2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 ： (1)设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，就有 x= y， 3x+y=200
19、，由这两个方程构成方程组求出其解即可以； (2)设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品 (100-m)件，根据不少于 6710 元且不超过 6810元购进这两种商品 100 件建立不等式，求出其值就可以得出进货方案，设利 润为 W 元，根据利润 =售价 -进价建立解析式就可以求出结论 . 答案： 设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元， 由题意，得： ，解得： . 答：甲商品的进价为 40 元，乙商品的进价为 80 元； (2)设购进甲种商品 m 件，则购进乙种商品 (100-m)件， 由题意，得： ，解得： 29 m32 m 为整数， m=30 ， 31， 32， 故有三种进货方案
20、： 方案 1，甲种商品 30 件，乙商品 70 件， 方案 2，甲种商品 31 件，乙商品 69 件， 方案 3，甲种商品 32 件，乙商品 68 件， 设利润为 W 元，由题意，得 W=40m+50(100-m)=-10m+5000， k= -10 0， W 随 m 的增大而减小， m=30 时， W 最大 =4700. 答：该商店有 3 种进货方案；当甲种商品进货 30 件，乙商品进货 70 件时可获得最大利润，最大利润为 4700 元 . 23.(10 分 )如图所示， AB 是 O 的直径， AE 是弦， C 是劣弧 AE 的中点，过 C作 CDAB 于点D， CD 交 AE 于点 F
21、，过 C 作 CGAE 交 BA的延长线于点 G. (1)求证： CG 是 O 的切线 . (2)求证： AF=CF. (3)若 EAB=30 ， CF=2，求 GA 的长 . 解析 ： (1)连结 OC，由 C 是劣弧 AE 的中点，根据垂径定理得 OCAE ，而 CGAE ，所以 CGOC ，然后根据切线的判定定理即可得到结论； (2)连结 AC、 BC，根据圆周角定理得 ACB=90 ， B=1 ，而 CDAB ，则 CDB=90 ，根据等角的余角相等得到 B=2 ，所以 1=2 ，于是得到 AF=CF； (3)在 RtADF 中，由于 DAF=30 ， FA=FC=2，根据含 30 度
22、的直角三角形三边的关系得到DF=1， AD= ，再由 AFCG ，根据平行线分线段成比例得到 DA： AG=DF： CF 然后把 DF=1， AD= ， CF=2 代入计算即可 . 答案： (1)连结 OC，如图， C 是劣弧 AE 的中点， OCAE ， CGAE ， CGOC ， CG 是 O 的切线； (2)连结 AC、 BC， AB 是 O 的直径， ACB=90 ， 2+BCD=90 ， 而 CDAB ， B+BCD=90 ， B=2 ， C 是劣弧 AE 的中点， = ， 1=B ， 1=2 ， AF=CF ； (3)在 RtADF 中， DAF=30 ， FA=FC=2， DF=
23、 AF=1， AD= DF= ， AFCG ， DA ： AG=DF： CF，即 ： AG=1： 2， AG=2 . 24.(12 分 )如图所示，直线 l： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B.把 AOB 沿 y轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、 C 和 D(3， 0). (1)求直线 BD 和抛物线的解析式 . (2)若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、 B、 D 为顶点的三角形与 MCD相似，求所有满足条件的点 N 的坐标 . (3)在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD =6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由
24、. 解析 ： (1)由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式； (2)首先确定 MCD 为等腰直角三角形，因为 BND 与 MCD 相似，所以 BND 也是等腰直角三角形 .如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个； (3)如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出 PBD 面积的表达式，然后根据 SPBD =6 的已知条件，列出一元二次方程求解 . 答案： (1) 直线 l： y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， A (-1， 0)， B(0， 3)； 把 AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C， C (1， 0). 设直线 BD 的解析式为： y=kx+
25、b， 点 B(0， 3)， D(3， 0)在直线 BD 上， ，解得 k=-1， b=3， 直线 BD 的解析式为： y=-x+3. 设抛物线的解析式为： y=a(x-1)(x-3)， 点 B(0， 3)在抛物线上， 3=a (-1) (-3)，解得： a=1， 抛物线的解析式为： y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. (2)抛物线的解析式为： y=x2-4x+3=(x-2)2-1， 抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为 (2，-1). 直线 BD： y=-x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1， M (2， 1). 设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD
26、=MF=1， MCD 为等腰直角三角形 . 以点 N、 B、 D 为顶点的三角形与 MCD 相似， BND 为等腰直角三角形 . 如答图 1 所示： (I)若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O， N 1(0， 0)； (II)若 BD 为直角边， B 为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上， OB=OD=ON 2=3， N 2(-3， 0)； (III)若 BD 为直角边， D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上， OB=OD=ON 3=3， N 3(0， -3). 满足条件的点 N 坐标为： (0， 0)， (-3， 0)或 (0， -3). (3)假设存在点 P，使 SP
27、BD =6，设点 P 坐标为 (m， n). (I)当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：过点 P作 PEx 轴于点 E，则 PE=n， DE=m-3. SPBD =S 梯形 PEOB-SBOD -SPDE = (3+n) m- 33 - (m-3) n=6，化简得： m+n=7 ， P (m， n)在抛物线上， n=m 2-4m+3，代入 式整理得： m2-3m-4=0，解得： m1=4， m2=-1， n 1=3， n2=8， P 1(4， 3)， P2(-1， 8)； (II)当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示：过点 P作 PEy 轴于点 E， 则 PE=m， OE=-n， BE=3-n. SPBD =S 梯形 PEOD+SBOD -SPBE = (3+m)( -n)+ 33 - (3-n) m=6，化简得： m+n=-1 ， P (m， n)在抛物线上， n=m 2-4m+3， 代入 式整理得： m2-3m+4=0， = -7 0，此方程无解 .故此时点 P 不存在 . 综上所述，在抛物线上存在点 P，使 SPBD =6，点 P 的坐标为 (4， 3)或 (-1， 8).
