1、2013 年湖北省荆门市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共 36分 ) 1.(3 分 )-6 的倒数是 ( ) A. 6 B. -6 C. D. - 解析： -6 的倒数是 - . 答案： D. 2.(3 分 )小明上网查得 H7N9 禽流感病毒的直径大约是 0.00000008 米，用科学记数法表示为( ) A. 0.810 -7米 B. 810 -7米 C. 810 -8米 D. 810 -9米 解析： 0.00000008 米用科学记数法表示为 810 -8米 . 答案： C. 3.(3 分 )过正方体上底面的对角线和下底面一顶点
2、的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为 ( ) A. B. C. D. 解析： 所给图形的俯视图是 B 选项所给的图形 . 答案： B. 4.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a8a 2=a4 B. a5-(-a)2=-a3 C. a3( -a)2=a5 D. 5a+3b=8ab 解析： A、 a8a 2=a(8-2)=a6.故本选项错误； B、 a5-(-a)2=-a5+a2.故本选项错误； C、 a3( -a)2=a3 a2=a(3+2)=a5.故本选项正确； D、 5a 与 3b 不是同类项，不能合并 .故本选项错误； 答案： C. 5.(3 分 )在 “ 大
3、家跳起来 ” 的乡村学校舞蹈比赛中，某校 10 名学生参赛成绩统计如图所示 .对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是 ( ) A. 众数是 90 B. 中位数是 90 C. 平均数是 90 D. 极差是 15 解析： 90 出现了 5 次，出现的次数最多， 众数是 90；故 A 正确； 共有 10 个数， 中位数是第 5、 6 个数的平均数， 中位数是 (90+90)2=90 ；故 B 正确； 平均数是 (801+852+905+952 )10=89 ；故 C 错误； 极差是： 95-80=15；故 D 正确 . 综上所述， C 选项符合题意， 答案： C. 6.(3 分 )若反比
4、例函数 y= 的图象过点 (-2， 1)，则一次函数 y=kx-k 的图象过 ( ) A. 第一、二、四象限 B. 第一、三、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、二、三象限 解析： 反比例函数 y= 的图象过点 (-2， 1)， k= -21= -2， 一次函数 y=kx-k 变为 y=-2x+2， 图象必过一、二、四象限， 答案： A. 7.(3 分 )四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，给出下列四个条件： ADBC ； AD=BC ； OA=OC ； OB=OD 从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有 ( ) A. 3 种 B. 4 种
5、C. 5 种 D. 6 种 解析： 组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形 ABCD 为平行四边形； 组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形 ABCD 为平行四边形； 可证明 ADOCBO ，进而得到 AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形 ABCD 为平行四边形； 可证明 ADOCBO ，进而得到 AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形 ABCD 为平行四边形； 有 4 种可能使四边形 ABCD 为平行四边形 . 答案： B. 8.(3 分 )若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线 l 与底
6、面半径 r 的关系是 ( ) A. l=2r B. l=3r C. l=r D. 解析： 圆锥的侧面展开图是半圆， 2 r= l， r ： l=1： 2.则 l=2r. 答案： A. 9.(3 分 )若关于 x 的一元一次不等式组 有解，则 m 的取值范围为 ( ) A. B. m C. D. m 解析： ， 解不等式 得， x 2m， 解不等式 得， x 2-m， 不等式组有解， 2m 2-m， m . 答案： C. 10.(3 分 )在平面直角坐标系中，线段 OP 的两个端点坐标分别是 O(0， 0)， P(4， 3)，将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90 到 OP 位置，则点 P 的坐
7、标为 ( ) A. (3， 4) B. (-4， 3) C. (-3， 4) D. (4， -3) 解析： 如图， OA=3， PA=4， 线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90 到 OP 位置， OA 旋转到 x 轴负半轴 OA 的位置， PA0=PAO=90 ， PA=PA=4 ， P 点的坐标为 (-3， 4). 答案： C. 11.(3 分 )如图，在半径为 1 的 O 中， AOB=45 ，则 sinC 的值为 ( ) A. B. C. D. 解析： 过点 A 作 ADOB 于点 D， 在 RtAOD 中， AOB=45 ， OD=AD=OA cos45= 1= ， BD=OB -O
8、D=1- ， AB= = ， AC 是 O 的直径， ABC=90 ， AC=2， sinC= . 答案： B. 12.(3 分 )如右图所示，已知等腰梯形 ABCD， ADBC ，若动直线 l 垂直于 BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为 S， BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： 当直线 l 经过 BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； 直线 l 经过 AD 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； 直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得， A
9、选项的图象符合 . 答案： A. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15分 ) 13.(3 分 )分解因式： x2-64= . 解析： x2-64=(x+8)(x-8). 答案： (x+8)(x-8). 14.(3 分 )若等腰三角形的一个角为 50 ，则它的顶角为 . 解析： 当该角为顶角时，顶角为 50 ； 当该角为底角时，顶角为 80 . 故其顶角为 50 或 80 . 答案： 50 或 80 . 15.(3 分 )如图，在 RtABC 中， ACB=90 ， D 是 AB 的中点，过 D点作 AB的垂线交 AC 于点 E， BC=6， sinA= ，则 DE= . 解
10、析： BC=6 ， sinA= ， AB=10 ， AC= =8， D 是 AB 的中点， AD= AB=5， ADEACB ， = ，即 = ，解得： DE= . 答案： . 16.(3 分 )设 x1， x2是方程 x2-x-2013=0 的两实数根，则 = 2014 . 解析： x 2-x-2013=0， x 2=x+2013， x=x2-2013， 又 x 1， x2是方程 x2-x-2013=0 的两实数根， x 1+x2=1， =x1 +2013x2+x2-2013， =x1( x1+2013)+2013x2+x2-2013， =(x1+2013)+2013x1+2013x2+x2
11、-2013， =x1+x2+2013(x1+x2)+2013-2013， =1+2013， =2014， 答案： 2014. 17.(3 分 )若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A(m， n)， B(m+6， n)，则 n= . 解析： 抛物线 y=x2+bx+c与 x 轴只有一个交点， 当 x=- 时， y=0.且 b2-4c=0，即 b2=4c. 又 点 A(m， n)， B(m+6， n)， 点 A、 B 关于直线 x=- 对称， A (- -3， n)， B(- +3， n)， 将 A 点坐标代入抛物线解析式，得： n=(- -3)2+b(- -3)+c=
12、b2+c+9， b 2=4c， n= 4c+c+9=9 . 答案： 9. 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 69 分 ) 18.(8 分 )(1)计算： (2)化简求值： ，其中 . 解析： (1)分别根据 0 指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； (2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 . 答案： (1)原式 =1+2-1- =-1. (2)原式 = ， 当 a= -2 时，原式 = . 19.(9 分 )如图 1，在 ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上
13、. (1)求证： BE=CE； (2)如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC ，垂足为 F， BAC=45 ，原题设其它条件不变 .求证： AEFBCF . 解析： (1)根据等腰三角形三线合一的性质可得 BAE=EAC ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE和 ACE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可； (2)先判定 ABF 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得 AF=BF，再根据同角的余角相等求出 EAF=CBF ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 AEF 和 BCF 全等即可 . 答案： (1)AB=AC ， D 是 BC 的中点， BA
14、E= EAC ， 在 ABE 和 ACE 中， ， ABEACE (SAS)， BE=CE ； (2)BAC=45 ， BFAF ， ABF 为等腰直角三角形， AF=BF ， AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， ADBC ， EAF+C=90 ， BFAC ， CBF+C=90 ， EAF=CBF ， 在 AEF 和 BCF 中， ， AEFBCF (ASA). 20.(10 分 )经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时： (1)求三辆车全部同向而行的概率； (2)求至少有两辆车向左转的概率； (3)由于十字路
15、口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为 30 秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整 . 解析： (1)首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公 式求解即可求得答案； (2)由 (1)中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； (3)由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
16、 ，即可求得答案 . 答案： (1)分别用 A， B， C 表示向左转、直行，向右转；根据题意，画出树形图： 共有 27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有 3种情况， P (三车全部同向而行 )= ； (2) 至少有两辆车向左转的有 7 种情况， P (至少两辆车向左转 )= ； (3) 汽车向右转、向左转、直行的概率分别为 ， 在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮时间为 90 =27(秒 )，直行绿灯亮时间为 90 =27(秒 )，右转绿灯亮的时间为 90 =36(秒 ). 21.(10 分 )A、 B 两市相距 150 千米，分别从 A、 B 处测
17、得国家级风景区中心 C处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心， 45 千米为半径的圆， tan=1.627 ， tan=1.373 .为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB两市的高速公路 .问连接 AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由 . 解析： 首先过 C 作 CDAB 与 D，由题意得： ACD= ， BCD= ，即可得在 RtACD 中，AD=CD tan ，在 RtBCD 中， BD=CD tan ，继而可得 CD tan+CD tan=AB ，则可求得 CD 的长，即可知连接 AB 高速公路是否穿过风景区 . 答案： AB 不穿过风景区 .理由如下：如图，过 C 作 CD
18、AB 于点 D， 根据题意得： ACD= ， BCD= ， 则在 RtACD 中， AD=CD tan ，在 RtBCD 中， BD=CD tan ， AD+DB=AB ， CD tan+CD tan=AB ， CD= = (千米 ). CD=50 45， 高速公路 AB 不穿过风景区 . 22.(10 分 )为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案 . 根据这个购房方案： (1)若某三口之家欲购买 120 平方米的商品房，求其应缴纳的房款； (2)设该家庭购买商品房的人均面积为 x 平方米，缴纳房款 y 万元，请求出 y 关于 x的函数关系式；
19、(3)若该家庭购买商品房的人均面积为 50 平方米，缴纳房款为 y 万元，且 57 y60 时，求 m 的取值范围 . 解析： (1)根据房款 =房屋单价 人均住房面积就可以表示出应缴房款； (2)由分段函数当 0x30 ，当 30 xm 时，当 x m 时，分别求出 y与 x 之间的表达式即可； (3)当 50m60 和当 45m 50 时，分别讨论建立不等式组就可以求出结论 . 答案： (1)由题意，某三口之家的人均住房面积为： =40(平方米 ) 得三口之家应缴纳房款为： 0.3330+0.5310=42 (万元 )； (2)由题意，得 ： 当 0x30 时， y=0.33x=0.9x
20、当 30 xm 时， y=0.930+0.53 (x-30)=1.5x-18 当 x m 时， y=0.3330+0.53 (m-30)+0.73 (x-m)=2.1x-18-0.6m y= (3)由题意，得 ： 当 50m60 时， y=1.550 -18=57(舍 ). 当 45m 50 时， y=2.150 -0.6m-18=87-0.6m. 57 y60 ， 57 87-0.6m60 ， 45m 50. 综合 得 45m 50. 23.(10 分 )如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点， P 是线段 MC 上的一个动点 (不与 M、 C 重合 )，以 AB
21、 为直径作 O ，过点 P 作 O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E. (1)求证： OFBE ； (2)设 BP=x， AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)延长 DC、 FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 于 H(图 2)，问是否存在点 P，使EFOEHG (E、 F、 O 与 E、 H、 G 为对应点 )？如果存在，试求 (2)中 x 和 y 的值；如果不存在，请说明理由 . 解析： (1)首先证明 RtFAORtFEO 进而得出 AOF=ABE ，即可得出答案； (2)过 F 作 FQBC 于 Q，利用勾股定理求出 y 与
22、x 之间的函数关系，根据 M 是 BC 中点以及BC=2，即可得出 BP 的取值范围； (3)首先得出当 EFO=EHG=2EOF 时，即 EOF=30 时， RtEFORtEHG ，求出y=AF=OA tan30= ，即可得出答案 . 解答 (1)连接 OE， FE、 FA 是 O 的两条切线 ， FAO=FEO=90 ， 在 RtOAF 和 RtOEF 中， ， RtFAORtFEO (HL)， AOF=EOF= AOE ， AOF=ABE ， OFBE ， (2)过 F 作 FQBC 于 Q， PQ=BP -BQ=x-y， PF=EF+EP=FA+BP=x+y， 在 RtPFQ 中 ，
23、FQ 2+QP2=PF2， 2 2+(x-y)2=(x+y)2， 化简得： ， (1 x 2). (3)存在这样的 P 点，理由： EOF=AOF ， EHG=EOA=2EOF ， 当 EFO=EHG=2EOF 时，即 EOF=30 时， RtEFORtEHG ， 此时 RtAFO 中， y=AF=OA tan30= ， ， 当 时， EFOEHG . 24.(12分 )已知关于 x的二次函数 y=x2-2mx+m2+m的图象与关于 x的函数 y=kx+1的图象交于两点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)； (x1 x2) (1)当 k=1， m=0， 1 时，求 AB 的长； (2)当
24、 k=1， m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想 . (3)当 m=0，无论 k 为何值时，猜想 AOB 的形状 .证明你的猜想 . (平面内两点间的距离公式 ). 解析： (1)先将 k=1， m=0 分别代入，得出二次函数的解析式为 y=x2，直线的解析式为 y=x+1，联立 ，得 x2-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1， x1 x2=-1，过点 A、 B 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，两线交于点 C，证明 ABC 是等腰直角三角形，根据勾股定理得出 AB= AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出 AB= ；同理，当 k=1，m=1
25、 时， AB= ； (2)当 k=1， m 为任何值时，联立 ，得 x2-(2m+1)x+m2+m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=2m+1， x1 x2=m2+m-1，同 (1)可求出 AB= ； (3)当 m=0， k 为任意常数时，分三种情况讨论： 当 k=0 时，由 ，得 A(-1， 1)， B(1，1)，显然 AOB 为直角三角形； 当 k=1 时，联立 ，得 x2-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1， x1 x2=-1，同 (1)求出 AB= ，则 AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出 OA2+OB2=10，由勾股
26、定理的逆定理判定 AOB 为直角三角形； 当 k 为任意实数时，联立 ，得 x2-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=k， x1 x2=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出 AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2k 4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定 AOB 为直角三角形 . 答案： (1)当 k=1， m=0 时，如图 . 由 得 x2-x-1=0， x 1+x2=1， x1 x2=-1， 过点 A、 B 分别作 x 轴、 y 轴的平行线，两线交于点 C. 直线 AB 的解析式为 y=x+1， BAC=45 ， ABC 是等腰直角三角形， AB= AC=
27、 |x2-x1|= = ； 同理，当 k=1， m=1 时， AB= ； (2)猜想：当 k=1， m 为任何值时， AB 的长不变，即 AB= .理由如下： 由 ，得 x2-(2m+1)x+m2+m-1=0， x 1+x2=2m+1， x1 x2=m2+m-1， AB= AC= |x2-x1|= = ； (3)当 m=0， k 为任意常数时， AOB 为直角三角形，理由如下： 当 k=0 时，则函数的图象为直线 y=1， 由 ，得 A(-1， 1)， B(1， 1)，显然 AOB 为直角三角形； 当 k=1 时，则一次函数为直线 y=x+1，由 ，得 x2-x-1=0， x 1+x2=1，
28、x1 x2=-1， AB= AC= |x2-x1|= = ， AB 2=10， OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22 =x12+x22+y12+y22 =x12+x22+(x1+1)2+(x2+1)2 =x12+x22+(x12+2x1+1)+(x22+2x2+1) =2(x12+x22)+2(x1+x2)+2 =2(1+2)+21+2 =10， AB 2=OA2+OB2， AOB 是直角三角形； 当 k 为任意实数， AOB 仍为直角三角形 . 由 ，得 x2-kx-1=0， x 1+x2=k， x1 x2=-1， AB 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(x1-x2)2+(kx1-kx2)2 =(1+k2)(x1-x2)2 =(1+k2)(x1+x2)2-4x1 x2 =(1+k2)(4+k2) =k4+5k2+4， OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22 =x12+x22+y12+y22 =x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2 =x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1) =(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2 =(1+k2)(k2+2)+2k k+2 =k4+5k2+4， AB 2=OA2+OB2， AOB 为直角三角形 .
