1、2013 年湖北省随州市中考真题数学 一、选择题 (本题有共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的 ) 1.(4 分 )与 -3 互为倒数的是 ( ) A. - B. -3 C. D. 3 解析 ： (-3) (- )=1， 与 -3 互为倒数的是 - . 答案： A. 2.(4 分 )不等式 2x+31 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 不等式 2x+31 ，解得： x -1，表示在数轴上，如图所示： 答案： C 3.(4 分 )如图，直线 a， b 与直线 c， d 相交，若 1=2 ， 3=70 ，则 4 的度
2、数是 ( ) A. 35 B. 70 C. 90 D. 110 解析 ： 1=2 ， ab ， 3=5 ， 3=70 ， 5=70 ， 4=180 -70=110 ， 答案： D. 4.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2+a3=a5 B. a2 a3=a5 C. (a2)3=a5 D. a10a 2=a5 解析 ： A、 a2与 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 a2 a3=a5，正确； C、应为 (a2)3=a23 =a6，故本选项错误； D、应为 a10a 2=a10-2=a8，故本选项错误 . 答案： B. 5.(4 分 )如图，在菱形 ABCD 中， BAD
3、=120 .已知 ABC 的周长是 15，则菱形 ABCD 的周长是 ( ) A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， AC 是对角线， AB=BC=CD=AD ， BAC=CAD= BAD ， BAC=60 ， ABC 是等边三角形， ABC 的周长是 15， AB=BC=5 ， 菱形 ABCD 的周长是 20. 答案： B. 6.(4 分 )数据 4， 2， 6 的中位数和方差分别是 ( ) A. 2， B. 4， 4 C. 4， D. 4， 解析 ： 从小到大排列为： 2， 4， 6， 最中间的数是 4，则中位数是 4； 平均数是： (2+4+
4、6)3=4 ， 方差 = (2-4)2+(4-4)2+(6-4)2= ； 答案： C. 7.(4 分 )如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图 .折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计 )( ) A. 404070 B. 707080 C. 808080 D. 407080 解析 ： 根据图形可知：长方体的容积是： 407080 ； 答案： D. 8.(4 分 )我市围绕 “ 科学节粮减损，保障食品安全 ” ，积极推广农户使用 “ 彩钢小粮仓 ” .每套小粮仓的定价是 350 元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分比农户实际出资的三倍还多 30 元，则购买一套小货
5、仓农户实际出资是 ( ) A. 80 元 B. 95 元 C. 135 元 D. 270 元 解析 ： 设购买一套小货仓农户实际出资是 x 元，依题意有 x+3x+30=350， 4x=320， x=80. 答：购买一套小货仓农户实际出资是 80 元 . 答案： A. 9.(4分 )正比例函数 y=kx和反比例函数 y=- (k是常数且 k0 )在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 反比例函数 y=- (k 是常数且 k0 )中 -(k2+1) 0，图象过第二、四象限，故 A、D 不合题意， 当 k 0 时，正比例函数 y=kx 的图象过第一、三象限，经
6、过原点，故 C 符合； 当 k 0 时，正比例函数 y=kx 的图象过第二、四象限，经过原点，故 B 不符合； 答案： C. 10.(4 分 )如图，正方形 ABCD 中， AB=3，点 E 在边 CD 上，且 CD=3DE.将 ADE 沿 AE 对折至AFE ，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG， CF.下列结论： 点 G是 BC 中点； FG=FC ； S FGC =.其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 正方形 ABCD 中， AB=3， CD=3DE， DE= 3=1 ， CE=3-1=2， ADE 沿 AE 对折至 AFE ， AD=AF ， EF=DE=
7、1， AFE=D=90 ， AB=AF=AD ， 在 RtABG 和 RtAFG 中， ， RtABGRtAFG (HL)， BG=FG ， 设 BG=FG=x，则 EG=EF+FG=1+x， CG=3-x， 在 RtCEG 中， EG2=CG2+CE2， 即 (1+x)2=(3-x)2+22，解得， x= ， CG=3 - = ， BG=CG= ， 即点 G 是 BC 中点，故 正确； tanAGB= = =2， AGB60 ， CGF180 -60260 ， 又 BG=CG=FG ， CGF 不是等边三角形， FGFC ，故 错误； CGE 的面积 = CG CE= 2= ， EF ： F
8、G=1： =2： 3， S FGC = = ，故 正确； 综上所述，正确的结论有 . 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 4 分，共 24分 ) 11.(4 分 )实数 4 的平方根是 . 解析 ： (2 )2=4， 4 的平方根是 2 . 答案： 2 . 12.(4 分 )如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的 视图 (填 “ 主 ” ， “ 俯 ” 或 “ 左 ” ). 解析 ： 圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对
9、称图形； 答案： 俯 . 13.(4 分 )我市生态竞争指数全国第四，仅次于澳门、香港和南昌，目前全市现有林地面积57.3 万公顷，数据 573000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 573000 用科学记数法表示为 5.7310 5. 答案： 5.7310 5. 14.(4 分 )高为 4，底面半径为 3 的圆锥，它的侧面展开图的面积是 . 解析 ： 圆锥的底面半径是 3，高是 4， 圆锥的母线长为 5， 这个圆锥的侧面展开图的面积是 35=15 . 答案： 15 . 15.(4 分 )甲乙两地相距 50 千米 .星期天上午 8： 00 小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地 .2
10、 小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y(千米 )与小聪行驶的时间 x(小时 )之间的函数关系如图所示，小明父亲出发 或 小时时，行进中的两车相距 8 千米 . 解析 ： 由图可知，小聪及父亲的速度为： 363=12 千米 /时， 小明的父亲速度为： 36 (3-2)=36 千米 /时 设小明的父亲出发 x 小时两车相距 8 千米，则小聪及父亲出发的时间为 (x+2)小时 根据题意得， 12(x+2)-36x=8 或 36x-12(x+2)=8， 解得 x= 或 x= ， 所以，出发 或 小时时，行进中的两车相距 8 千米 . 答案： 或 . 16.(4 分 )
11、如图是一组密码的一部分 .为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的 “ 钥匙 ” .目前，已破译出 “ 今天考试 ” 的真实意思是 “ 努力发挥 ” .若“ 今 ” 所处的位置为 (x， y)，你找到的密码钥匙是 ，破译 “ 正做数学 ” 的真实意思是 . 解析 ： 已破译出 “ 今天考试 ” 的真实意思是 “ 努力发挥 ” . “ 今 ” 所处的位置为 (x， y)，则对应文字位置是： (x+1， y+2)， 找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加 1，纵坐标加 2， “ 正 ” 的位置为 (4， 2)对应字母位置是 (5， 4)即为 “ 祝 ” ， “ 做 ” 的位置为
12、 (5， 6)对应字母位置是 (6， 8)即为 “ 你 ” ， “ 数 ” 的位置为 (7， 2)对应字母位置是 (8， 4)即为 “ 成 ” ， “ 学 ” 的位置为 (2， 4)对应字母位置是 (3， 6)即为 “ 功 ” ， “ 正做数学 ” 的真实意思是：祝你成功 . 答案： 对应文字横坐标加 1，纵坐标加 2，祝你成功 . 三、解答题 (共 9 小题，共 86 分 ) 17.(8 分 )计算： |-2|+(3- )0-2-1+ . 解析 ： 分别根据绝对值的性质、 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =2+1- -3=
13、- . 18.(8 分 )先化简，再求值： ，其中 x=2. 解析 ： 原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可 2 求出值 . 答案： 原式 = = ， 当 x=2 时，原式 = . 19.(8 分 )如图，点 F、 B、 E、 C 在同一直线上，并且 BF=CE， ABC=DEF .能否由上面的已知条件证明 ABCDEF ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使 ABCDEF ，并给出证明 . 提供的三个条件是： AB=DE ； AC=DF ； ACDF . 解析 ： 由 BF
14、=CE 可得 EF=CB，再有条件 ABC=DEF 不能证明 ABCDEF ；可以加上条件AB=DE ，利用 SAS 定理可以判定 ABCDEF . 答案： 不能；选择条件： AB=DE ； BF=CE ， BF+BE=CE+BE ，即 EF=CB， 在 ABC 和 DFE 中 ， ABCDFE (SAS). 20.(9 分 )为迎接癸巳年炎帝故里寻根节，某校开展了主题为 “ 炎帝文化知多少 ” 的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为 “ 非常了解 ” 、 “ 比较了解 ” 、 “ 基本了解 ” 、 “ 不太了解 ” 四个等级，整理调查数据制成了如图不完整的表格和扇
15、形统计图 . 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)本次问卷调查共抽取的学生数为 人，表中 m 的值为 . (2)计算等级为 “ 非常了解 ” 的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图 . (3)若该校有学生 1500 人，请根据调查结果估计这些学生中 “ 不太了解 ” 炎帝文化知识的人数约为多少？ 解析 ： (1)利用基本了解的人数 基本了解的人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数； m=抽查的学生总数 比较了解的学生所占百分比； (2)等级为 “ 非常了解 ” 的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数 =360 所占百分比，再补图即可； (3)利用样本估计
16、总体的方法，用 1500 人 调查的学生中 “ 不太了解 ” 的学生所占百分比 . 答案： (1)4020%=200 (人 )， 20045%=90 (人 )， 故答案为： 200； 90. (2) 100%360=90 ，如图所示： (3)1500 (1-25%-20%-45%)=150(人 )， 答：这些学生中 “ 不太了解 ” 炎帝文化知识的人数约 150 人 . 21.(9 分 )为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度 .如图，一艘海监船位于灯塔 P 的南偏东 45 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30 方向
17、上的 B 处 . (1)在这段时间内，海监船与灯塔 P 的最近距离是多少？ (结果用根号表示 ) (2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？ (参数数据： ， 1.732，2.449.结果精确到 0.1 海里 ) 解析 ： (1)过点 P作 PCAB 于 C 点，则线段 PC 的长度即为海监船与灯塔 P 的最近距离 .解等腰直角三角形 APC，即可求出 PC 的长度； (2)海监船航行的路程即为 AB 的长度 .先解 RtPCB ，求出 BC 的长，再由 (1)得出 AC=PC，则AB=AC+BC. 答案： (1)过点 P 作 PCAB 于 C 点，则线段 PC的长度即为海监船与灯塔 P的最近
18、距离 . 由题意，得 APC=90 -45=45 ， B=30 ， AP=100 海里 . 在 RtAPC 中， ACP=90 ， APC=45 ， PC=AC= AP=50 海里 . 答：在这段时间内，海监船与灯塔 P 的最近距离是 50 海里 . (2)在 RtPCB 中， BCP=90 ， B=30 ， PC=50 海里， BC= PC=50 海里， AB=AC+BC=50 +50 =50( + )50 (1.414+2.449)193.2 (海里 )， 答：轮船航行的距离 AB 约为 193.2 海里 . 22.(9 分 )在一个不透明的布袋中有 2 个红色和 3 个黑色小球，它们只有
19、颜色上的区别 . (1)从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率 . (2)现从袋中取出 1 个红色和 1 个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜 .请用树状图 (或列表 )的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平 . 解析 ： (1)根据概率公式直接求出摸出红色小球的概率即可； (2)利用树状图法表示出所有可能，进而得出甲、乙获胜的概率即可 . 答案： (1) 布袋中有 2 个红色和 3 个黑色小球， 摸出红色小球的概率为： = ； (2) 现从袋中取出 1
20、 个红色和 1 个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中， 画树状图得出： 两小球颜色相同的情况有 3 种， 甲获胜的概率为： = ， 乙获胜的概率为： = ， 这个游戏是公平的 . 23.(10 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径， BAC 的平分线交 O 与点 D，过点 D的切线分别交 AB、 AC 的延长线与点 E、 F. (1)求证： AFEF . (2)小强同学通过探究发现： AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论 . 解析 ： (1)首先连接 OD，由 EF 是 O 的切线，可得 ODEF ，由 BAC 的平分线交 O 与点 D，易证得 ODBC ，即可得
21、 BCEF ，由 AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ACBC ，继而证得 AFEF . (2)首先连接 BD并延长，交 AF的延长线于点 H，连接 CD，易证得 ADHADB ， CDFHDF ，继而证得 AF+CF=AB. 答案： (1)连接 OD， EF 是 O 的切线， ODEF ， AD 平分 BAC ， CAD=BAD ， = ， ODBC ， BCEF ， AB 为直径， ACB=90 ，即 ACBC ， AFEF ； (2)连接 BD 并延长，交 AF 的延长线于点 H，连接 CD， AB 是直径， ADB=90 ，即 ADBH ， ADB=ADH=90 ， 在 A
22、BD 和 ADH 中， ， ABDAHD (ASA)， AH=AB ， EF 是切线， CDF=CAD ， HDF=EDB=BAD ， CDF=HDF ， DFAF ， DF 是公共边， CDFHDF (ASA)， FH=CF ， AF+CF=AF+FH=AH=AB .即 AF+CF=AB， 24.(12 分 )某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工 .已知生产甲种产品每件还需成本费 30 元，生产乙种产品每件还需成本费 20 元 .经市场调研发现：甲种产品的销售单价为 x(元 )，年销售量为 y(万件 )，当 35x 50 时， y 与 x 之间的函数
23、关系式为 y=20-0.2x；当 50x70 时， y 与 x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在 25 元 (含 )到 45 元 (含 )之间，且年销售量稳定在 10 万件 .物价部门规 定这两种产品的销售单价之和为 90 元 . (1)当 50x70 时，求出甲种产品的年销售量 y(万元 )与 x(元 )之间的函数关系式 . (2)若公司第一年的年销售量利润 (年销售利润 =年销售收入 -生产成本 )为 W(万元 )，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？ (3)第二年公司可重新对产品进行定价，在 (2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价 x(元 )在
24、50x70 范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利 (总盈利 =两年的年销售利润之和 -投资成本 )不低于 85 万元 .请直接写出第二年乙种产品的销售单价 m(元 )的范围 . 解析 ： (1)设 y与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0 )，然后把点 (50， 10)， (70， 8)代入求出 k、b 的值即可得解； (2)先根据两种产品的销售单价之和为 90 元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出 x的取值范围是 45x65 ，然后分 45 50， 50x65 两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出 W 与 x 的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从
25、而得解； (3)用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于 85 万元列出不等式，整理后求解即可 . 答案： (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0 )， 函数图象经过点 (50， 10)， (70， 8)， ，解得 ，所以， y=-0.1x+15； (2) 乙种产品的销售单价在 25 元 (含 )到 45 元 (含 )之间， ，解之得 45x65 ， 45x 50 时， W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)， =-0.2x2+16x+100， =-0.2(x2-80x+1600)+320+100， =-0.2(x-40)2+420， -0
26、.2 0， x 40 时， W 随 x 的增大而减小， 当 x=45 时， W 有最大值， W 最大 =-0.2(45-40)2+420=415 万元； 50x65 时， W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)， =-0.1x2+8x+250， =-0.1(x2-80x+1600)+160+250， =-0.1(x-40)2+410， -0.1 0， x 40 时， W 随 x 的增大而减小， 当 x=50 时， W 有最大值， W 最大 =-0.1(50-40)2+410=400 万元 . 综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45 元时，第一年的年销售利润
27、最大，最大年销售利润是 415 万元； (3)根据题意得， W=-0.1x2+8x+250+415-700=-0.1x2+8x-35， 令 W=85，则 -0.1x2+8x-35=85，解得 x1=20， x2=60. 又由题意知， 50x65 ，根据函数与 x 轴的交点可知 50x60 ， 即 5090 -m60 ， 30m40 . 25.(13 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCO 的顶点 A、 C 分别在 y 轴、 x轴正半轴上，点 P 在 AB 上， PA=1， AO=2.经过原点的抛物线 y=mx2-x+n 的对称轴是直线 x=2. (1)求出该抛物线的解析式 . (2
28、)如图 1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在 P 点处，两直角边恰好分别经过点 O 和 C.现在利用图 2 进行如下探究： 将三角板从图 1 中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，两直角边分别交 OA、 OC 于点 E、 F，当点 E 和点 A 重合时停止旋转 .请你观察、猜想，在这个过程中， 的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不 发生变化，求出 的值 . 设 (1)中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，顶点为 M，在 的旋转过程中，是否存在点 F，使 DMF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)根据 过原点， 对称轴为直线 x=2 这两个条件确定抛物线的
29、解析式； (2) 如答图 1 所述，证明 RtPAERtPGF ，则有 = = ， 的值是定值，不变化； 若 DMF 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解 . 答案： (1) 抛物线 y=mx2-x+n 经过原点， n=0 . 对称轴为直线 x=2， - =2，解得 m= . 抛物线的解析式为： y= x2-x. (2) 的值不变 .理由如下： 如答图 1 所示，过点 P 作 PGx 轴于点 G，则 PG=AO=2. PEPF ， PAPG ， APE=GPF . 在 RtPAE 与 RtPGF 中， APE=GPF ， PAE=PGF=90 ， RtPAERtPGF . =
30、= . 存在 .抛物线的解析式为： y= x2-x， 令 y=0，即 x2-x=0，解得： x=0 或 x=4， D (4， 0). 又 y= x2-x= (x-2)2-1， 顶点 M 坐标为 (2， -1). 若 DMF 为等腰三角形，可能有三种情形： (I)FM=FD.如答图 2 所示：过点 M 作 MNx 轴于点 N， 则 MN=1， ND=2， MD= = = . 设 FM=FD=x，则 NF=ND-FD=2-x. 在 RtMNF 中，由勾股定理得： NF2+MN2=MF2， 即： (2-x)2+1=x2，解得： x= ， FD= ， OF=OD-FD=4- = ， F ( ， 0)； (II)若 FD=DM.如答图 3 所示： 此时 FD=DM= ， OF=OD -FD=4- .F (4- ， 0)； (III)若 FM=MD. 由抛物线对称性可知，此时点 F 与原点 O 重合 . 而由题意可知，点 E 与点 A 重合后即停止运动，故点 F 不可能运动到原点 O. 此种情形不存在 . 综上所述，存在点 F( ， 0)或 F(4- ， 0)，使 DMF 为等腰三角形 .
