1、2013 年湖北省黄冈市中考真题数学 一、选择题 (下列各题 A、 B、 C、 D 四个选项中，有且仅有一个是正确的，每小题 3分，共24 分 ) 1.(3 分 )-(-3)2=( ) A. -3 B. 3 C. -9 D. 9 解析： -(-3)2=-9. 答案： C. 2.(3 分 )随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 答案： A. 3.(3 分
2、 )如图， ABCDEF ， ACDF ，若 BAC=120 ，则 CDF= ( ) A. 60 B. 120 C. 150 D. 180 解析： ABCD ， BAC+ACD=180 ， BAC=120 ， ACD=180 -120=60 ， ACDF ， ACD=CDF ， CDF=60 . 答案： A. 4.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. x4 x4=x16 B. (a3)2 a4=a9 C. (ab2)3 (-ab)2=-ab4 D. (a6)2 (a4)3=1 解析： A、 x4x 4=x8，原式计算错误，故本选项错误； B、 (a3)2 a4=a10，原式计算错误，故本
3、选项错误； C、 (ab2)3 (-ab)2=ab4，原式计算错误，故本选项错误； D、 (a6)2 (a4)3=1，计算正确，故本选项正确； 答案： D. 5.(3 分 ) 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为 ( ) A. B. C. D. 解析： 根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱， 其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示， 答案： D. 6.(3 分 )已知一元二次方程 x2-6x+C=0 有一个根为 2，则另一根为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析： 设方程的另一根为 ，则 +2=6 ，解得 =4 . 答案： C. 7
4、.(3 分 ) 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为 ( ) A. B. 4 C. 或 4 D. 2 或 4 解析： 底面周长为 4 时，半径为 42=2 ，底面圆的面积为 2 2=4 ； 底面周长为 2 时，半径为 22=1 ，底面圆的面积为 1 2= . 答案： C. 8.(3 分 )一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为 100 千米 /小时，特快车的速度为 150 千米 /小时，甲、乙两地之间的距离为 1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离 y(千米 )与快车行驶时间 (小时 )之间的函数图象是( ) A. B.
5、C. D. 解析： 两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； 相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加； 特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得 C 选项符合题意 . 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，满分 21 分 ) 9.(3 分 )计算： = . 解析： 原式 = = =- ， (或 ). 答案 ： 10.(3 分 )分解因式： ab2-4a= . 解析： ab2-4a=a(b2-4)=a(b-2)(b+2). 答案： a(b-2)(b+2). 11.(3分 )已知 ABC 为等边三角形， BD为中线，延长 BC至 E，使 CE=
6、CD=1，连接 DE，则 DE= . 解析： ABC 为等边三角形， ABC=ACB=60 ， AB=BC， BD 为中线， DBC= ABC=30 ， CD=CE ， E=CDE ， E+CDE=ACB ， E=30=DBC ， BD=DE ， BD 是 AC 中线， CD=1， AD=DC=1 ， ABC 是等边三角形， BC=AC=1+1=2 ， BDAC ， 在 RtBDC 中，由勾股定理得： BD= = ，即 DE=BD= ， 答案： . 点评： 本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知 12.(3 分 )已知反比例函数 在第一象限的图象如图所示，点
7、A 在其图象上，点 B 为 x 轴正半轴上一点，连接 AO、 AB，且 AO=AB，则 SAOB = . 解析： 过点 A 作 ACOB 于点 C， AO=AB ， CO=BC ， 点 A 在其图象上， ACCO=3 ， ACBC=3 ， S AOB =6. 答案： 6. 13.(3 分 )如图， M 是 CD 的中点， EMCD ，若 CD=4， EM=8，则 所在圆的半径为 . 解析： 连接 OC， M 是 CD 的中点， EMCD ， EM 过 O 的圆心点 O， 设半径为 x， CD=4 ， EM=8， CM= CD=2， OM=8-OE=8-x， 在 RtOCM 中， OM2+CM2
8、=OC2，即 (8-x)2+22=x2，解得： x= . 所在圆的半径为： . 答案： . 14.(3 分 )Diaoyu Island 自古就是中国领土，中国政府已对 Diaoyu Island 开展常态化巡逻 .某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨 1： 00 出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达 .如图是该艇行驶的路程 y(海里 )与所用时间 t(小时 )的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 . 解析： 由图象及题意，得 故障前的速度为： 801=80 海里 /时， 故障后的速度为： (180-80)
9、1=100 海里 /时 . 设航行额全程有 a 海里，由题意，得 ，解得： a=480， 则原计划行驶的时间为： 48080=6 小时， 答案： 6 15.(3 分 )如图，矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1位置时，则点 A 经过的路线长为 . 解析： 四边形 ABCD 是矩形， AB=4， BC=3， BC=AD=3 ， ADC=90 ，对角线 AC(BD)=5. 根据旋转的性质知， ADA=90 ， AD=AD=BC=3 ， 点 A 第一次翻滚到点 A 位置时，则点 A 经过的路线
10、长为： = . 同理，点 A 第一次翻滚到点 A 位置时，则点 A 经过的路线长为： =2 . 点 A 第一次翻滚到点 A1位置时，则点 A 经过的路线长为： = . 则当点 A 第一次翻滚到点 A1位置时，则点 A 经过的路线长为： +2+ =6 . 答案： 6 . 三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 86分 ) 16.(6 分 )解方程组： . 解析： 把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可 . 答案： 方程组可化为 ， 由 得， x=5y-3 ， 代入 得， 5(5y-3)-11y=-1，解得 y=1， 把 y=1 代入 得， x=5-3=2， 所以，原方程组的解是 .
11、 17.(6 分 )如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、 BD 相交于点 O， DHAB 于 H，连接 OH，求证： DHO=DCO . 解析： 根据菱形的对角线互相平分可得 OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH=OB，然后根据等边对等角求出 OHB=OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出 OBH=ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可 . 答案： 四边形 ABCD 是菱形， OD=OB ， COD=90 ， DHAB ， OH= BD=OB， OHB=OBH ， 又 ABCD ， OBH=ODC ， 在 RtCOD 中， ODC+DCO=90 ， 在
12、 RtDHB 中， DHO+OHB=90 ， DHO=DCO . 18.(7 分 )为了倡导 “ 节约用水，从我做起 ” ，黄冈市政府决定对市直机关 500 户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中 100 户家庭一年的月平均用水量 (单位：吨 ).并将调查结果制成了如图所示的条形统计图 . (1)请将条形统计图补充完整； (2)求这 100 个样本数据的平均数，众数和中位数； (3)根据样本数据，估计黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户？ 解析： (1)根据条形图中数据得出平均用水 11 吨的户数，进而画出条形图即可； (2)根据平均数、中位
13、数、众的定义分别求解即可； (3)根据样本估计总体得出答案即可 . 答案： (1)根据条形图可得出： 平均用水 11 吨的用户为： 100-20-10-20-10=40(户 )， 如图所示： (2)平均数为： (2010+4011+1210+1320+1014 )=11.6(吨 )， 根据 11 出现次数最多，故众数为： 11， 根据 100 个数据的最中间为第 50 和第 51 个数据， 按大小排列后第 50， 51 个数据是 11，故中位数为： 11； 答：这 100 个样本数据的平均数，众数和中位数分别是 11.6， 11， 11； (3)样本中不超过 12 吨的有 20+40+10=7
14、0(户 )， 答：黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有： 500 =350(户 ). 19.(6 分 )如图，有四张背面相同的纸牌 A， B， C， D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色 .小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3 张再摸出一张 . (1)用树状图 (或列表法 )表示两次摸牌所有可能出现的结果 (纸牌用 A， B， C， D 表示 )； (2)求摸出的两张牌同为红色的概率 . 解析： (1)画出树状图即可； (2)根据树状图可以直观的得到共有 12 种情况，都是红色情况有 2 种，进而得到概率
15、 . 答案： (1)如图所示： (2)根据树状图可得共有 12 种情况，都是红色情况有 2 种，概率为 P= = . 20.(7 分 )如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分 DAB . (1)求证： DC 为 O 的切线； (2)若 O 的半径为 3， AD=4，求 AC 的长 . 解析： (1)连接 OC，由 OA=OC 可以得到 OAC=OCA ，然后利用角平分线的性质可以证明DAC=OCA ，接着利用平行线的判定即可得到 OCAD ，然后就得到 OCCD ，由此即可证明直线 CD 与 O 相切于 C 点； (2
16、)连接 BC，根据圆周角定理的推理得到 ACB=90 ，又 DAC=OAC ，由此可以得到ADCACB ，然后利用相似三角形的性质即可解决问题 . 答案： (1)连接 OC， OA=OC ， OAC=OCA ， AC 平分 DAB ， DAC=OAC ， DAC=OCA ， OCAD ， ADCD OCCD ， 直线 CD 与 O 相切于点 C； (2)连接 BC，则 ACB=90 . DAC=OAC ， ADC=ACB=90 ， ADCACB ， ， AC 2=AD AB， O 的半径为 3， AD=4， AB=6 ， AC=2 . 21.(8 分 )为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募
17、捐了 240 吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表： 如果计划租用 6 辆货车，且租车的总费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案 . 解析： 根据设租用甲种货车 x 辆，则租用乙种 (6-x)辆，利用某市民政局组织募捐了 240 吨救灾物资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案 . 答案： 设租用甲种货车 x 辆，则租用乙种 (6-x)辆， 根据题意得出： ，解得： 4x5 ， 则租车方案为： 甲 4 辆，乙 2 辆； 甲 5 辆，乙 1 辆； 租车的总费用分别为： 4400+2300=22
18、00 (元 )； 5400+1300=2300 (元 )， 故最省钱的租车方案是租用甲货车 4 辆，乙货车 2 辆 . 22.(8 分 )如图，小山顶上有一信号塔 AB， 山坡 BC 的倾角为 30 ，现为了测量塔高 AB，测量人员选择山脚 C 处为一测量点，测得塔顶仰角为 45 ，然后顺山坡向上行走 100 米到达 E处，再测得塔顶仰角为 60 ，求塔高 AB(结果保留整数， 1.73 ， 1.41 ) 解析： 先判断 ACE 为等腰三角形，在 RtAEF 中表示出 EF、 AF，在 RtBEF 中求出 BF，根据 AB=AF-BF 即可得出答案 . 答案： 依题意可得： EAB=30 ，
19、ACE=15 ， 又 AEB=ACE+CAE CAE=15 ，即 ACE 为等腰三角形， AE=CE=100m ， 在 RtAEF 中， AEF=60 ， EF=AEcos60=50m ， AF=AEsin60=50 m， 在 RtBEF 中， BEF=30 ， BF=EFtan30=50 = m， AB=AF -BF=50 - = 58 (米 ). 答：塔高 AB 大约为 58 米 . 23.(12 分 )某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完 .该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1(元 )与国内销售量 x(千件 )的
20、关系为： y1= 若在国外销售，平均每件产品的利润 y2(元 )与国外的销售数量 t(千件 )的关系为 (1)用 x 的代数式表示 t 为： t= ；当 0 x4 时， y2与 x 的函数关系为： y2= ；当 x 时， y2=100； (2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w(千元 )与国内销售数量 x(千件 )的函数关系式，并指出 x 的取值范围； (3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 答案： (1)由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量 +国外销售量 =6 千件，即 x+t=6，变形即为 t=
21、6-x； 根据平均每件产品的利润 y2(元 )与国外的销售数量 t(千件 )的关系及 t=6-x 即可求出 y2与 x 的函数关系：当 0 x4 时，y2=5x+80；当 4x 6 时， y2=100； (2)根据总利润 =国内销售的利润 +国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论： 0 x2 ； 2 x4 ； 4 x6 ； (3)先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可 . 答案： (1)由题意，得 x+t=6， t=6 -x； ， 当 0 x4 时， 26 -x 6，即 2t 6， 此时 y2与 x 的函数关系为： y2=-5(6-x
22、)+110=5x+80； 当 4x 6 时， 0 6-x2 ，即 0 t2 ，此时 y2=100. 故答案为： 6-x； 5x+80； 4， 6； (2)分三种情况： 当 0 x2 时， w=(15x+90)x+(5x+80)(6-x)=10x2+40x+480； 当 2 x4 时， w=(-5x+130)x+(5x+80)(6-x)=-10x2+80x+480； 当 4 x 6 时， w=(-5x+130)x+100(6-x)=-5x2+30x+600； 综上可知， w= ； (3)当 0 x2 时， w=10x2+40x+480=10(x+2)2+440，此时 x=2 时， w 最大 =6
23、00； 当 2 x4 时， w=-10x2+80x+480=-10(x-4)2+640，此时 x=4 时， w 最大 =640； 当 4 x 6 时， w=-5x2+30x+600=-5(x-3)2+645， 4 x 6 时， w 640； a= -5， 当 x 3 时， w 随 x 的增大而减小， x=4 时， w 最大 =640. 故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、 2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为 640 千元 . 24.(15 分 )如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是梯形，其中 A(6， 0)， B(3， )，C(1， )，动点 P从点 O以每秒 2
24、个单位的速度向点 A运动，动点 Q也同时从点 B沿 BCO的线路以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，当点 P 到达 A 点时，点 Q 也随之停止，设点 P，Q 运动的时间为 t(秒 ). (1)求经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式； (2)当点 Q 在 CO 边上运动时，求 OPQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式； (3)以 O， P， Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由； (4)经过 A， B， C 三点的抛物线的对称轴、直线 OB 和 PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时 t 的值 (或范围 )，若不能，请说明理由 ). 答案
25、： (1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可； (2)根据已知得出 OPQ 的高，进而利用三角形面积公式求出即可； (3)根据题意得出： 0t3 ，当 0t2 时， Q 在 BC 边上运动，得出若 OPQ 为直角三角形，只能是 OPQ=90 或 OQP=90 ，当 2 t3 时， Q 在 OC 边上运动，得出 OPQ 不可能为直角三角形； (4)首先求出抛物线对称轴以及 OB直线解析式和 PM的解析式，得出 (1-t) =3-t-2t，恒成立，即 0t2 时， P， M， Q 总在一条直线上，再利用 2 t3 时，求出 t 的值，根据t 的取值范围得出答案 . 答案： (1)设所求抛物线的解
26、析式为 y=ax2+bx+c，把 A(6， 0)， B(3， )， C(1， )三点坐标代 入得： ，解得： ， 即所求抛物线解析式为： y=- x2+ x+ ； (2)如图 1，依据题意得出： OC=CB=2， C (1， )， tanCOA= ， COA=60 ， 当动点 Q 运动到 OC 边时， OQ=4-t， OPQ 的高为： OQsin60= (4-t) ， 又 OP=2t ， S= 2t (4-t) =- (t2-4t)(2t3 )； (3)根据题意得出： 0t3 ， 当 0t2 时， Q 在 BC 边上运动，此时 OP=2t， OQ= ， PQ= = ， POQ POC=60 ，
27、 若 OPQ 为直角三角形，只能是 OPQ=90 或 OQP=90 ， 若 OPQ=90 ，如图 2， 则 OP2+PQ2=QO2，即 4t2+3+(3t-3)2=3+(3-t)2， 解得： t1=1， t2=0(舍去 )， 若 OPQ 为直角三角形，只能是 OPQ=90 或 OQP=90 ， 若 OQP=90 ，如图 3， 则 OQ2+PQ2=PO2，即 (3-t)2+6+(3t-3)2=4t2，解得： t=2， 当 2 t3 时， Q 在 OC 边上运动，此时 OP=2t 4， POQ=COP=60 ， OQ OC=2， 故 OPQ 不可能为直角三角形， 综上所述，当 t=1 或 t=2
28、时， OPQ 为直角三角形； (4)由 (1)可知，抛物线 y=- x2+ x+ =- (x-2)2+ ，其对称轴为 x=2， 又 OB 的直线方程为 y= x， 抛物线对称轴与 OB 交点为 M(2， )， 又 P (2t， 0)设过 P， M 的直线解析式为： y=kx+b， ，解得： ， 即直线 PM 的解析式为： y= x- ，即 (1-t)y=x-2t， 又 0t2 时， Q(3-t， )，代入上式，得： (1-t) =3-t-2t，恒成立， 即 0t2 时， P， M， Q 总在一条直线上， 即 M 在直线 PQ 上； 当 2 t3 时， OQ=4-t， QOP=60 ， Q ( ， )， 代入上式得： (1-t)= -2t，解得： t=2 或 t= (均不合题意，舍去 ). 综上所述，可知过点 A、 B、 C 三点的抛物线的对称轴 OB 和 PQ 能够交于一点，此时 0t2 .
