1、 湖南省常德市 2013年中考数学试卷 一、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24分） 1（ 3 分） 4 的相反数为 4 2（ 3 分）打开百度搜索栏，输入 “数学学习法 ”，百度为你找到的相关信息有 12000000 条，请用科学记数法表示 12000000= 1.2107 3（ 3 分）因式分解： x2+x= x（ x+1） 4（ 3 分）如图，已知直线 a b，直线 c 与 a， b 分别相交于点 E、 F若 1=30，则 2= 30 5（ 3 分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： y= 6（ 3 分）如图，已知 O 是 ABC 的外接圆，若 BOC=100
2、，则 BAC= 50 7（ 3 分）分式方程 =的解为 x=2 8（ 3 分）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3 2=1 8+7 6 5=4 15+14+13 12 11 10=9 24+23+22+21 20 19 18 17=16 根据以上规律可知第 100 行左起第一个数是 10200 二、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24分） 9（ 3 分）在图中，既是中心对称图形有是轴对称图形的是（ B ） A B C D 10（ 3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ D ） A x 3 B x3 C x0 且 x1 D x 3 且 x1 11（ 3 分）小伟
3、5 次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为： 16、 18、 20、 18、 18，对此成绩描述错误的是（ C ） A 平均数为 18 B 众数为 18 C 方差为 0 D 极差为 4 12（ 3 分）下面计算正确的是（ D ） A x3x3=0 B x3 x2=x C x2x3=x6 D x3x2=x 13（ 3 分）下列一元二次方程中无实数解的方程是（ B ） A x2+2x+1=0 B x2+1=0 C x2=2x 1 D x2 4x 5=0 14（ 3 分）计算 + 的结果为（ B ） A 1 B 1 C 4 3 D 7 15（ 3 分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC
4、落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且D 点落在对角线 D处若 AB=3， AD=4，则 ED 的长为（ A ） A B 3 C 1 D 16（ 3 分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中 “直径 ”最小的是（ C ） A B C D 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 5分，满分 10分） 17（ 5 分）计算；（ 2） 0+ +（ 1） 2013（） 2 解答： 解：原式 =1+2 1 4= 2 18（ 5 分）求不等式组 的正整数解 解答： 解：解不等式 2x+1 0，得： x， 解不等式 x
5、2x 5 得： x 5， 不等式组的解集为 x 5， x 是正整数， x=1、 2、 3、 4、 5 四、解答题（本大题 2 个小题，每小题 6分，满分 12分） 19（ 6 分）先化简再求值：（ + ） ，其中 a=5， b=2 解答： 解：原式 = + = = = ， 当 a=5， b=2 时，原式 = 20（ 6 分）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了 A， B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字 2，5， 6 不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取 2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲获 A名著；若牌面
6、数字之和为奇数，则乙获得 A名著，你认为此规则合理吗？为什么？ 解答： 解：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两数之和是偶数的有 2 种情况； 甲获胜的概率为： =； P（甲获胜） =， P（甲） P（乙）， 这个游戏规则对甲、乙双方不公平 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 7分，满分 14分） 21（ 7 分）某地为改善生态环境，积极开展植树造林，甲、乙两人从近几年的统计数据中有如下发现： （ 1）求 y2 与 x 之间的函数关系式？ （ 2）若上述关系不变，试计算哪一年该地公益林面积可达防护林面积的 2 倍？这时该地公益林的面积为多少万亩？ 解答： 解：设 y2 与 x 之间的
7、函数关系式为 y2=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， 故 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=15x 25950； （ 2）由题意当 y1=2y2 时， 5x 1250=2（ 15x 25950）， 解得： x=2026 故 y1=52026 1250=8880 答：在 2026 年公益林面积可达防护林面积的 2 倍，这时该地公益林的面积为 8880 万亩 22（ 7 分）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BC 边上的中线， C=45， sinB=，AD=1 （ 1）求 BC 的长； （ 2）求 tan DAE 的值 解答： 解：（ 1）在 ABC 中， A
8、D 是 BC 边上的高， ADB= ADC=90 在 ADC 中， ADC=90， C=45， AD=1， DC=AD=1 在 ADB中， ADB=90， sinB=， AD=1， AB= =3， BD= =2 ， BC=BD+DC=2 +1； （ 2） AE 是 BC 边上的中线， CE=BC= +， DE=CE CD= ， tan DAE= = 六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8分，满分 16分） 23（ 8 分）网络购物发展十分迅速，某企业有 4000 名职工，从中随机抽取 350 人，按年龄分布和对网上购物所持态度情况进行了调查，并将调查结果绘成了条形图 1 和扇形图 2 （
9、1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是哪一段？ （ 2）如果把对网络购物所持态度中的 “经常（购物） ”和 “偶尔（购物） ”统称为 “参与购物 ”，那么这次接受调查的职工中 “参与网购 ”的人数是多少？ （ 3）这次调查中， “25 35”岁年龄段的职工 “从不（网购） ”的有 22 人，它占 “25 35”岁年龄段接受调查人数的百分之几？ （ 4）请估计该企业 “从不（网购） ”的人数是多少？ 解答： 解：（ 1）这次调查中，如果职工年龄的中位数是整数，那么这个中位数所在的年龄段是 25 35 之间； （ 2） “经常（购物） ”和 “偶尔（购物） ”共占
10、的百分比为 40%+22%=62%， 则这次接受调查的职工中 “参与网购 ”的人数是 35062%=217（人）； （ 3）根据题意得： “从不（网购） ”的占 “25 35”岁年龄段接受调查人数的百分比为 100%=20%； （ 4）根据题意得： 4000（ 1 40% 22%） =1520（人）， 则该企业 “从不（网购） ”的人数是 1520 人 24（ 8 分）如图，已知 O 是等腰直角三角形 ADE 的外接圆， ADE=90，延长 ED 到 C使 DC=AD，以 AD， DC 为邻边作正方形 ABCD，连接 AC，连接 BE 交 AC 于点 H求证： （ 1） AC 是 O 的切线
11、（ 2） HC=2AH 解答： 证明：（ 1） ADE=90， AE 为 O 的直径， ADE 为等腰直角三角形， EAD=45， 四边形 ABCD 为正方形， DAC=45， EAC=45+45=90， AC AE， AC 是 O 的切线； （ 2） 四边形 ABCD 为正方形， AB CD， ABH CEH， AH： CH=AB： ED， ADE 为等腰直角三角形， AD=ED， 而 AD=AB=DC， EC=2AB， AH： CH=1： 2， 即 HC=2AH 七、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10分，满分 20分） 25（ 10 分）如图，已知二次函数的图象过点 A（ 0， 3）
12、， B（ ， ），对称轴为直线x=，点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 分别作 PM x 轴于点 M， PN y 轴于点 N，在四边形 PMON 上分别截取 PC=MP， MD=OM， OE=ON， NF=NP （ 1）求此二次函数的解析式； （ 2）求证：以 C、 D、 E、 F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形； （ 3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由 解答： （ 1）解：设抛物线的解析式为： y=a（ x+） 2+k， 点 A（ 0， 3）， B（ ， ）在抛物线上， ， 解得： a=1，
13、 k= 抛物线的解析式为： y=（ x+） 2 =x2+x 3 （ 2）证明：如右图，连接 CD、 DE、 EF、 FC PM x 轴于点 M， PN y 轴于点 N， 四边形 PMON 为矩形， PM=ON， PN=OM PC=MP， OE=ON， PC=OE； MD=OM， NF=NP， MD=NF， PF=OD 在 PCF 与 OED 中， PCF OED（ SAS）， CF=DE 同理可证： CDM FEN， CD=EF CF=DE， CD=EF， 四边形 CDEF 是平行四边形 （ 3）解：假设存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形 设矩形 PMON 的边长 PM=ON=m，
14、PN=OM=n，则 PC=m， MC=m， MD=n， PF=n 若四边形 CDEF 为矩形，则 DCF=90，易证 PCF MDC， ，即 ，化简得： m2=n2， m=n，即矩形 PMON 为正方形 点 P 为抛物线 y=x2+x 3 与坐标象限角平分线 y=x 或 y= x 的交点 联立 ， 解得 ， ， P1（ ， ）， P2（ ， ）； 联立 ， 解得 ， ， P3（ 3， 3）， P4（ 1， 1） 抛物线上存在点 P，使四边形 CDEF 为矩形这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为： P1（ ， ）， P2（ ， ）， P3（ 3， 3）， P4（1， 1） 26（
15、 10 分）已知两个共一个顶点的等腰 Rt ABC， Rt CEF， ABC= CEF=90，连接AF， M 是 AF 的中点，连接 MB、 ME （ 1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证： MB CF； （ 2）如图 1，若 CB=a， CE=2a，求 BM， ME 的长； （ 3）如图 2，当 BCE=45时，求证： BM=ME 解答： （ 1）证法一： 如答图 1a，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知 ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形， AB=BC=BD， 点 B为线段 AD 的中点， 又 点 M 为线段 AF 的中点， BM 为 ADF 的中位线， BM C
16、F 证法二： 如答图 1b，延长 BM 交 EF 于 D， ABC= CEF=90， AB CE， EF CE， AB EF， BAM= DFM， M 是 AF 的中点， AM=MF， 在 ABM 和 FDM 中， ， ABM FDM（ ASA）， AB=DF， BE=CE BC， DE=EF DF， BE=DE， BDE 是等腰直角三角形， EBM=45， 在等腰直角 CEF 中， ECF=45， EBM= ECF， MB CF； （ 2）解法一： 如答图 2a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知 BCD 与 ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=BD=a， AC=AD= a，
17、点 B为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点， BM=DF 分别延长 FE 与 CA 交于点 G，则易知 CEF 与 CEG 均为等腰直角三角形， CE=EF=GE=2a， CG=CF= a， 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点， ME=AG CG=CF= a， CA=CD= a， AG=DF= a， BM=ME= a= a 解法二： CB=a， CE=2a， BE=CE CB=2a a=a， ABM FDM， BM=DM， 又 BED 是等腰直角三角形， BEM 是等腰直角三角形， BM=ME= BE= a； （ 3）证法一： 如答图 3a，延长 AB 交 CE 于点 D，连
18、接 DF，则易知 ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形， AB=BC=BD， AC=CD， 点 B为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点， BM=DF 延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，则易知 CEF 与 CEG 均为等腰直角三角形， CE=EF=EG， CF=CG， 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点， ME=AG 在 ACG 与 DCF 中， ， ACG DCF（ SAS）， DF=AG， BM=ME 证法二： 如答图 3b，延长 BM 交 CF 于 D，连接 BE、 DE， BCE=45， ACD=45 2+45=135 BAC+ ACF=45+135=180， AB CF， BAM= DFM， M 是 AF 的中点， AM=FM， 在 ABM 和 FDM 中， ， ABM FDM（ ASA）， AB=DF， BM=DM， AB=BC=DF， 在 BCE 和 DFE 中， ， BCE DFE（ SAS）， BE=DE， BEC= DEF， BED= BEC+ CED= DEF+ CED= CEF=90， BDE 是等腰直角三角形， 又 BM=DM， BM=ME=BD， 故 BM=ME
