1、2013 年甘肃省平凉市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分 ) 1.(3 分 )3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. - 解析： 根据相反数的概念及意义可知： 3 的相反数是 -3. 答案： B. 2.(3 分 )下列运算中，结果正确的是 ( ) A. 4a-a=3a B. a10a 2=a5 C. a2+a3=a5 D. a3 a4=a12 解析： A、 4a-a=3a，故本选项正确； B、 a10a 2=a10-2=a8a 5，故本选项错误； C、 a2+a3a 5，故本选项错误； D、根据 a3 a4=a7，故 a3 a4=
2、a12本选项错误； 答案： A. 3.(3 分 )下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 解析： A .此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； B： 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误； C.此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确； D： 此图形旋转 180 后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，故此选项错误 . 答案： C. 4.(3 分 )如图是两个相同的正方体和一个圆锥形组成的立体图形，其主视图是
3、( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个三角形 . 答案： B. 5.(3 分 )如图，把一块含有 45 的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上 .如果 1=20 ，那么 2 的度数是 ( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 解析： 直尺的两边平行， 1=20 ， 3=1=20 ， 2=45 -20=25 . 答案： C. 6.(3 分 )一元二次方程 x2+x-2=0 根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 解析： a=1 ， b=1， c=-2， =b 2
4、-4ac=1+8=9 0 方程有两个不相等的实数根 . 答案： A 7.(3 分 )分式方程 的解是 ( ) A. x=-2 B. x=1 C. x=2 D. x=3 解析： 去分母，得 x+3=2x，解得 x=3， 当 x=3 时， x(x+3)0 ，所以，原方程的解为 x=3， 答案： D. 8.(3 分 )某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均增长率为 x，则可列方程为 ( ) A. 48(1-x)2=36 B. 48(1+x)2=36 C. 36(1-x)2=48 D. 36(1+x)2=48 解析： 二月份的营业额为 36(1+x)， 三月份的
5、营业额为 36(1+x) (1+x)=36(1+x)2，即所列的方程为 36(1+x)2=48， 答案： D. 9.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，在下列五个结论中： 2a -b 0； abc 0； a+b+c 0； a -b+c 0； 4a+2b+c 0， 错误的个数有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析： 由函数图象开口向下可知， a 0，由函数的对称轴 x=- -1，故 1， a 0， b 2a，所以 2a-b 0， 正确； a 0，对称轴在 y 轴左侧， a， b 同号，图象与 y 轴交于负半轴，则 c 0，故
6、abc 0； 正确； 当 x=1 时， y=a+b+c 0， 正确； 当 x=-1 时， y=a-b+c 0， 错误； 当 x=2 时， y=4a+2b+c 0， 错误； 故错误的有 2 个 . 答案： B. 10.(3 分 )如图， O 的圆心在定角 (0 180 )的角平分线上运动，且 O 与 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于 O 的半径 r(r 0)变化的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析： 连接 OB、 OC、 OA， 圆 O 切 AM 于 B，切 AN 于 C， OBA=OCA=90 ， OB=OC=r， AB=AC BOC=360 -90 -90 -= (
7、180- ) ， AO 平分 MAN ， BAO=CAO= ， AB=AC= ， 阴影部分的面积是： S 四边形 BACO-S 扇形 OBC=2 r -=( - )r2， r 0， S 与 r 之间是二次函数关系 . 答案： C. 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分 11.(4 分 )分解因式： x2-9= . 解析： x2-9=(x+3)(x-3). 答案 ： (x+3)(x-3). 12.(4 分 )不等式 2x+93 (x+2)的正整数解是 . 解析： 2x+93 (x+2)， 去括号得， 2x+93x+6 ， 移项得， 2x-3x6 -9， 合并同类项得， -x
8、-3， 系数化为 1 得， x3 ， 故其正整数解为 1， 2， 3. 答案 ： 1， 2， 3. 13.(4 分 )等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为 . 解析： 当腰是 6 时，则另两边是 4， 6，且 4+6 6，满足三边关系定理； 当底边是 6 时，另两边长是 5， 5， 5+5 6，满足三边关系定理， 故该等腰三角形的另两边为： 6， 4 或 5， 5. 答案 ： 6， 4 或 5， 5. 14.(4 分 )如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部 (点 O)20 米的 A处，则小明的影子 AM 长为 米 . 解析： 根据题意，易得 MBA
9、MCO ， 根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，解得 AM=5m.则小明的影长为 5米 . 答案 ： 5 15.(4 分 )如图，已知 BC=EC， BCE=ACD ，要使 ABCDEC ，则应添加的一个条件为 .(答案不唯一，只需填一个 ) 解析： 添加条件： AC=CD， BCE=ACD ， ACB=DCE ， 在 ABC 和 DEC 中 ， ABCDEC (SAS)， 答案 ： AC=CD(答案不唯一 ). 16.(4 分 )若代数式 的值为零，则 x= . 解析： 由题意得， =0，解得： x=3，经检验的 x=3 是原方程的根 . 答案 ： 3. 17.(4 分 )已知 O 1
10、与 O 2的半径分别是方程 x2-4x+3=0 的两根，且圆心距 O1O2=t+2，若这两个圆相切，则 t= . 解析： O 1、 O 2的半径分别是方程 x2-4x+3=0 的两根， 解得 O 1、 O 2的半径分别是 1 和 3. 当两圆外切时，圆心距 O1O2=t+2=1+3=4，解得 t=2； 当两圆内切时，圆心距 O1O2=t+2=3-1=2，解得 t=0.t 为 2 或 0. 答案 ： 2 或 0. 18.(4 分 )现定义运算 “” ，对于任意实数 a、 b，都有 ab=a 2-3a+b，如： 35=3 2-33+5 ，若 x2=6 ，则实数 x 的值是 . 解析： 根据题中的新
11、定义将 x2=6 变形得： x2-3x+2=6，即 x2-3x-4=0， 因式分解得： (x-4)(x+1)=0，解得： x1=4， x2=-1，则实数 x 的值是 -1 或 4. 答案 ： -1 或 4 三、解答题 (一 )：本大题共 5 小题，共 38分 19.(6 分 )计算： 2cos45 -(- )-1- -( - )0. 解析： 根据 45 角的余弦等于 ，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，二次根式的化简，任何非 0 数的 0 次幂等于 1 进行计算即可得解 . 答案： 2cos45 -(- )-1- -( - )0， =2 -(-4)-2 -1， = +4-2 -1
12、， =3- . 20.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 x=- . 解析： 先通分计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分，最后把 x 的值代入计算即可 . 答案： 原式 = =x-1， 当 x=- 时，原式 =- -1=- . 21.(8 分 )两个城镇 A、 B 与两条公路 l1、 l2位置如图所示，电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、 B 的距离必须相等，到两条公路 l1， l2的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹 ) 解析： 仔细分析题意，寻求问题的解决方案 .
13、到城镇 A、 B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点 C. 由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点 C 有 2 个 . 答案： (1)作出线段 AB 的垂直平分线； (2)作出角的平分线 (2 条 )； 它们的交点即为所求作的点 C(2 个 ). 22.(8 分 )某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌 BCEF(如图所示 )，已知立杆 AB 的高度是 3 米，从侧面 D 点测到路况警示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60 和 45 ，求路况警示牌
14、宽 BC 的值 . 解析： 在 RtABD 中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边 AD 的长；同理在 RtABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边 AC 的长；进而由 BC=AC-AB 得解 . 答案： 在 RtADB 中， BDA=45 ， AB=3 米， DA=3 米， 在 RtADC 中， CDA=60 ， tan60= ， CA=3 . BC=CA -BA=(3 -3)米 . 答：路况显示牌 BC 是 (3 -3)米 . 23.(10 分 )如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于点 A，且点 A 的纵坐标为 1. (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象写出当
15、 x 0 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 . 解析： (1)一次函数是完整的函数，把点 A 的纵坐标代入即可求得 M 的坐标；然后把 A 的坐标代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式； (2)根据交点 A 的坐标，即可得到当 x 0 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 . 答案： (1)点 A 在 y= x-2 上， 1= x-2，解得 x=6， 把 (6， 1)代入 得 m=61=6 .y= ； (2)由图象得，当 x 6 时，一次函数的值大于反比例函数的值 . 四、解答题 (二 )：本大题共 5 小题，共 50分 24.(8 分 )为了决定
16、谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为 1、 2、 3 的三个红球及编号为 4 的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别， 摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球 (第一次摸后不放回 )把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分，如果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则乙得 0 分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来 . (1)运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率； (2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？ 解析： (1
17、)首先根据题意列出表格或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与甲得 1 分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； (2)由 (1)求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平 . 答案： (1)列表得： 画树状图得： P (甲 )= = (2)不公平 .P (乙 )= P (甲 )P (乙 )， 不公平 . 25.(10 分 )在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物 .为使课外读物满足同学们的需求，学校就 “ 我最喜爱的课外读物 ” 从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查 (每位同学只选一类 )，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图 . 请你根据统计图提供的信息，解
18、答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了 名同学； (2)条形统计图中， m= ， n= ； (3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度； (4)学校计划购买课外读物 6000 册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？ 解析： (1)结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为： 70，利用扇形图得出文学类所占百分比为： 35%，即可得出总人数； (2)利用科普类所占百分比为： 30%，则科普类人数为： n=20030%=60 人，即可得出 m 的值； (3)根据艺术类读物所在扇形的圆心角是： 360=72 ； (3)根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计 6
19、000 册中其他读物的数量； 答案： (1)根据条形图得出文学类人数为： 70，利用扇形图得出文学类所占百分比为： 35%， 故本次调查中，一共调查了： 7035%=200 人， 故答案为： 200； (2)根据科普类所占百分比为： 30%，则科普类人数为： n=20030%=60 人， m=200-70-30-60=40 人， 故 m=40， n=60； 故答案为： 40， 60； (3)艺术类读物所在扇形的圆心角是： 360=72 ， 故答案为： 72； (4)由题意，得 (册 ). 答：学校购买其他类读物 900 册比较合理 . 26.(10 分 )如图，在 ABC 中， D 是 BC
20、边上的一点， E 是 AD的中点，过 A点作 BC的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF. (1)线段 BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由； (2)当 ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由 . 解析： (1)根据两直线平行，内错角相等求出 AFE=DCE ，然后利用 “ 角角边 ” 证明 AEF和 DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD，再利用等量代换即可得证； (2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知 ADB=90 ，由等腰三角形三线
21、合一的性质可知必须是 AB=AC. 答案： (1)BD=CD.理由如下：依题意得 AFBC ， AFE=DCE ， E 是 AD 的中点， AE=DE ， 在 AEF 和 DEC 中， ， AEFDEC (AAS)， AF=CD ， AF=BD ， BD=CD ； (2)当 ABC 满足： AB=AC 时，四边形 AFBD 是矩形 . 理由如下： AFBD ， AF=BD， 四边形 AFBD 是平行四边形， AB=AC ， BD=CD(三线合一 )， ADB=90 ， AFBD 是矩形 . 27.(10 分 )如图，在 O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 E. (1)若 OC=5，
22、AB=8，求 tanBAC ； (2)若 DAC=BAC ，且点 D 在 O 的外部，判断直线 AD 与 O 的位置关系，并加以证明 . 解析： (1)根据垂径定理由半径 OC 垂直于弦 AB， AE= AB=4，再根据勾股定理计算出 OE=3，则 EC=2，然后在 RtAEC 中根据正切的定义可得到 tanBAC 的值； (2)根据垂径定理得到 AC 弧 =BC 弧，再利用圆周角定理可得到 AOC=2BAC ，由于DAC=BAC ，所以 AOC=BAD ，利用 AOC+OAE=90 即可得到 BAD+OAE=90 ，然后根据切线的判定方法得 AD 为 O 的切线 . 答案： (1) 半径 O
23、C 垂直于弦 AB， AE=BE= AB=4， 在 RtOAE 中， OA=5， AE=4， OE= =3， EC=OC -OE=5-3=2， 在 RtAEC 中， AE=4， EC=2， tanBAC= = = ； (2)AD 与 O 相切 .理由如下： 半径 OC 垂直于弦 AB， AC 弧 =BC 弧， AOC=2BAC ， DAC=BAC ， AOC=BAD ， AOC+OAE=90 ， BAD+OAE=90 ， OAAD ， AD 与 O 相切 . 28.(12分 )如图，在直角坐标系 xOy中，二次函数 y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与 x轴相交于 O、A 两点 . (1)
24、求这个二次函数的解析式； (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使 AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； (3)对于 (2)中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使 POB=90 ？若存在，求出点 P 的坐标，并求出 POB 的面积；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式 . (2)根据 (1)得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据 OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 B点的坐标，然后根据 B点在抛物线对称轴
25、的右边来判断得出的 B点是否符合要求即可 . (3)根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OBOP ，由此可求出 P 点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标 .求 POB 的面积时，可先求出 OB， OP 的长度即可求出BOP 的面积 . 答案： 函数的图象与 x 轴相交于 O， 0=k+1 ， k= -1， y=x 2-3x， 假设存在点 B，过点 B 做 BDx 轴于点 D， AOB 的面积等于 6， AO BD=6， 当 0=x2-3x， x(x-3)=0，解得： x=0 或 3， AO=3 ， BD=4 即 4=x2-3x， 解得： x=4 或 x=-1(舍去 ). 又 顶点坐标为： ( 1.5， -2.25). 2.25 4， x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为： (4， 4)； 点 B 的坐标为： (4， 4)， BOD=45 ， BO= =4 ， 当 POB=90 ， POD=45 ， 设 P 点横坐标为： x，则纵坐标为： x2-3x，即 -x=x2-3x，解得 x=2 或 x=0， 在抛物线上仅存在一点 P (2， -2).OP= =2 ， 使 POB=90 ， POB 的面积为： PO BO= 4 2 =8.
