1、 2013 年辽宁省大连市中考真题数学 一、选择题 (本题 8 小题，每小题 3 分，共 24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确 ) 1.(3 分 )-2 的相反数是 ( ) A. -2 B. - C. D. 2 解析 ： -2 的相反数是 2. 答案 ： D. 2.(3 分 )如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 解析 ： 从上面看易得三个横向排列的正方形 . 答案 ： A. 3.(3 分 )计算 (x2)3的结果是 ( ) A. x B. 3x2 C. x5 D. x6 解析 ： (x2)3=x6， 答案 ： D.
2、4.(3 分 )一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外完全相同 .从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 袋子中球的总数为： 2+3=5，取到黄球的概率为： . 答案 ： B. 5.(3 分 )如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分 DOB .若 COB=35 ，则 AOD 等于 ( ) A. 35 B. 70 C. 110 D. 145 解析 ： 射线 OC 平分 DOB .BOD=2BOC ， COB=35 ， DOB=70 ， AOD=180 -70=110 ， 答案 ： C. 6.(3 分 )若关于 x 的方
3、程 x2-4x+m=0 没有实数根，则实数 m的取值范围是 ( ) A. m -4 B. m -4 C. m 4 D. m 4 解析 ： = (-4)2-4m=16-4m 0， m 4. 答案 ： D 7.(3 分 )在一次 “ 爱心互助 ” 捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额 (单位：元 )如下表所示： 这 8 名同学捐款的平均金额为 ( ) A. 3.5 元 B. 6 元 C. 6.5 元 D. 7 元 解析 ： 根据题意得： (52+63+72+101 )8=6.5 (元 )； 答案 ： C. 8.(3 分 )P 是 AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA、 OB 的对
4、称点 P1、 P2，连接 OP1、 OP2，则下列结论正确的是 ( ) A. OP1OP 2 B. OP1=OP2 C. OP1OP 2且 OP1=OP2 D. OP1OP 2 解析 ： 如图， 点 P 关于直线 OA、 OB 的对称点 P1、 P2， OP 1=OP2=OP， AOP=AOP 1， BOP=BOP 2， P 1OP2=AOP+AOP 1+BOP+BOP 2=2(AOP+BOP )=2AOB ， AOB 度数任意， OP 1OP 2不一定成立 . 答案 ： B. 二、填空题 (本题 8 小题，每小题 3 分，共 24分 ) 9.(3 分 )因式分解： x2+x= . 解析 ：
5、x2+x=x(x+1). 答案： x(x+1) 10.(3 分 )在平面直角坐标系中，点 (2， -4)在第 象限 . 解析 ： 点 (2， -4)在第四象限 . 答案 ：四 . 11.(3 分 )把 16000 000 用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 16 000 000 用科学记数法表示为： 1.610 7. 答案 ： 1.610 7. 12.(3 分 )某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示： 根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为 (精确到 0.1). 解析 ： =(0.923+0.883+0.890+0.915+0.905+0.897+0.902)
6、70.9 ， 这种幼树移植成活率的概率约为 0.9. 答案 ： 0.9. 13.(3 分 )化简： x+1- = . 解析 ： 原式 = - = = . 答案 ： . 14.(3 分 )用一个圆心角为 90 半径为 32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面 (接缝处不重叠 )，则这个圆锥的底面圆的半径为 cm. 解析 ： =16 ， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 圆锥的底面周长是 16cm ， 设圆锥的底面半径是 r，则得到 2r=16 ，解得： r=8(cm). 答案 ： 8. 15.(3 分 )如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河岸
7、B 处的俯角为 45 ，测得河对岸 A 处的俯角为 30 (A、 B、 C 在同一条直线上 )，则河的宽度AB 约为 m(精确到 0.1m).(参考数据： 1.41 ， ， 1.73) 解析 ： 在 RtACD 中， CD=21m， DAC=30 ，则 AC= CD36.3m ； 在 RtBCD 中， DBC=45 ，则 BC=CD=21m，故 AB=AC-BC=15.3m. 答案 ： 15.3. 16.(3 分 )如图，抛物线 y=x2+bx+ 与 y 轴相交于点 A，与过点 A 平行于 x 轴的直线相交于点B(点 B 在第一象限 ).抛物线的顶点 C 在直线 OB 上，对称轴与 x 轴相交
8、于点 D.平移抛物线，使其经过点 A、 D，则平移后的抛物线的解析式为 . 解析 ： 令 x=0，则 y= ， 点 A(0， )， 根据题意，点 A、 B 关于对称轴对称， 顶点 C 的纵坐标为 = ，即 = ，解得 b1=3， b2=-3， 由图可知， - 0， b 0， b= -3， 对称轴为直线 x=- = ， 点 D 的坐标为( ， 0)， 设平移后的抛物线的解析式为 y=x2+mx+n，则 ，解得 ，所以， y=x2-x+ . 答案 ： y=x2- x+ . 三、解答题 (本题共 4 小题，其中 17、 18、 19题各 9 分， 20题 12 分，共 39 分 ) 17.(9 分
9、)计算： ( )-1+(1+ )(1- )- . 解析 ： 分别进行负整数指数幂、平方差公式、二次根式的化简等运算，然后合并即可 . 答案 ：原式 =5+1-3-2 =3-2 . 18.(9 分 )解不等式组： . 解析 ： 先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可 . 答案 ：解不等式 得： x 2， 解不等式 得： x 4， 在数轴上分别表示 的解集 如下 . 不等式的解集为： x 4. 19.(9 分 )如图， ABCD 中，点 E、 F 分别在 AD、 BC 上，且 AE=CF.求证： BE=DF. 解析 ： 根据平行四边形性质得出 ADBC ， AD=BC，求出 DE=BF， D
10、EBF ，得出四边形 DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可 . 答案 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， AD=BC， AE=CF ， DE=BF ， DEBF ， 四边形 DEBF 是平行四边形， BE=DF . 20.(12 分 )以下是根据 2012 年大连市环境状况公报中有关海水浴场环境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分 (2012 年共 366 天 ). 根据以上信息， 答案 下列问题： (1)2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是 (填浴场名称 )，海水浴场环境质量为优的数据的众数为 %，海水浴场环境质量
11、为良的数据的中位数为 %； (2)2012 年大连市区空气质量达到优的天数为 天，占全年 (366)天的百分比约为 (精确到 0.1%)； (3)求 2012 年大连市区空气质量为良的天数 (按四舍五入，精确到个位 ). 解析 ： (1)根据优所占的百分比越大，良的百分比越小，即可得出 8 个海水浴场环境质量最好的浴场；再根据众数的定义和中位数的定义即可得出答案；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是中位数是将一组数据从小到大 (或从大到小 )重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数 ). (2)根据图形所给的数可直接得出 2012 年大连市区空气质量达到优的天数，总用得出的天数
12、除以 366，即可得出所占的百分比； (3)根据污染的天数所占的百分比求出污染的天数，再用总天数减去优的天数和污染的天数，即可 得出良的天数 . 答案 ： (1)2012 年 7 月至 9 月被监测的 8 个海水浴场环境质量最好的是浴场 5， 海水浴场环境质量为优的数据 30 出现了 3 次，出现的次数最多， 则海水浴场环境质量为优的数据的众数为 30； 把海水浴场环境质量为良的数据从小到大排列为： 50， 50， 60， 70， 70， 70， 75， 90， 海水浴场环境质量为良的数据的中位数为 (70+70)2=70 ； 故答案为：浴场 5， 30， 70； (2)从条形图中可以看出 2
13、012 年大连市区空气质量达到优的天数为 129 天， 所占的百分比是 100%=35.2% ； 故答案为： 129， 35.2%； (3)污染的天数是： 3663.8%14 (天 )， 良的天数是 366-129-14=223(天 )， 答： 2012 年大连市区空气质量为良的天数是 223 天 . 21.(9 分 )某超市购进 A、 B 两种糖果， A 种糖果用了 480 元， B 种糖果用了 1260 元， A、 B两种糖果的重量比是 1： 3， A 种糖果每千克的进价比 B 种糖果每千克的进价多 2 元 .A、 B 两种糖果各购进多少千克？ 解析 ： 先设 A 种糖果购进 x 千克，则
14、 B 种糖果购进 3x 千克，根据 A、 B 两种糖果的重量比是1： 3， A 种糖果每千克的进价比 B 种糖果每千克的进价多 2 元，列出不等式，求出 x 的值，再进行检验即可得出答案 . 答案 ：设 A 种糖果购进 x 千克，则 B 种糖果购进 3x千克，根据题意得： - =2， 解得： x=30，经检验 x=30 是原方程的解，则 B 购进的糖果是： 303=90 (千克 )， 答： A 种糖果购进 30 千克， B 种糖果购进 90 千克 . 22.(9 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于点 A(m， 1)、 B(-
15、1， n)，与 x 轴相交于点 C(2， 0)，且 AC= OC. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式 ax+b 的解集 . 解析 ： (1)过 A 作 AD 垂直于 x 轴，如图所示，由 C的坐标求出 OC的长，根据 AC= OC求出 AC 的长，由 A 的纵坐标为 1，得到 AD=1，利用勾股定理求出 CD的长，有 OC+CD求出 OD的长，确定出 m 的值，将 A 于与 C 坐标代入一次函数解析式求出 a 于 b 的值，即可得出一次函数解析式；将 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值，即可确定出反比例解析式； (2)将 B 坐标代入反比例解析式中求出 n
16、 的值，确定出 B 坐标，利用图形即可得出所求不等式的解集 . 答案 ： (1)过 A 作 ADx 轴，可得 AD=1， C (2， 0)，即 OC=2， AC= OC= ， 在 RtACD 中，根据勾股定理得： CD=1， OD=OC+CD=2+1=3 ， A (3， 1)， 将 A 与 C 坐标代入一次函数解析式得： ，解得： a=1， b=-2， 一次函数解析式为 y=x-2； 将 A(3， 1)代入反比例解析式得： k=3，则反比例解析式为 y= ； (2)将 B(-1， n)代入反比例解析式得： n=-3，即 B(-1， -3)， 根据图形得：不等式 ax+b 的解集为 -1x 0
17、或 x3 . 23.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径， CD 与 O 相切于点 C， DAAB ， DO及 DO 的延长线与 O分别相交于点 E、 F， EB 与 CF 相交于点 G. (1)求证： DA=DC； (2)O 的半径为 3， DC=4，求 CG 的长 . 解析 ： (1)由 AB 是 O 的直径， ABDA ，可得 AD 是 O 的切线，又由 DC是 O 切线，根据切线长定理即可求得答案； (2)连接 BF、 CE、 AC，由切线长定理求出 DC=DA=4，求出 DO=5， CM、 AM 的长，由勾股定理求出 BC 长，根据 BGCFGE 求出 = = ，则 CG= C
18、F；利用勾股定理求出 CF 的长，则CG 的长度可求得 . 答案 ： (1)AB 是 O 的直径， ABDA ， AD 是 O 的切线， DC 是 O 切线， DA=DC . (2)连接 BF、 CE、 AC， 由切线长定理得： DC=DA=4， DOAC ， DO 平分 AC， 在 RtDAO 中， AO=3， AD=4，由勾股定理得： DO=5， 由三角形面积公式得： DA AO= DO AM，则 AM= ，同理 CM=AM= ， AC= . AB 是直径， ACB=90 ，由勾股定理得： BC= = . GCB=GEF ， GFE=GBC ， (圆周角定理 )BGCFGE ， = = =
19、 ， 在 RtOMC 中， CM= ， OC=3，由勾股定理得： OM= ， 在 RtEMC 中， CM= ， ME=OE-OM=3- = ，由勾股定理得： CE= ， 在 RtCEF 中， EF=6， CE= ，由勾股定理得： CF= . CF=CG+GF ， = ， CG= CF= = . 24.(11 分 )如图，一次函数 y=- x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B.P 是射线 BO 上的一个动点 (点 P 不与点 B 重合 )，过点 P 作 PCAB ，垂足为 C，在射线 CA上截取 CD=CP，连接 PD.设 BP=t. (1)t 为何值时，点 D 恰好与点 A
20、 重合？ (2)设 PCD 与 AOB 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围 . 解析 ： (1)首先求出点 A、 B 的坐标，然后在 RtBCP 中，解直角三角形求出 BC， CP 的长度；进而利用关系式 AB=BC+CD，列方程求出 t 的值； (2)点 P 运动的过程中，分为四个阶段，需要分类讨论： 当 0 t 时，如题图所示，重合部分为 PCD ； 当 t4 时，如答图 1 所示，重合部分为四边形 ACPE； 当 4 t 时，如答图 2 所示，重合部分为 ACE ； 当 t 时，无重合部分 . 答案 ： (1)在一次函数解析式 y=- x+4
21、中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=3， A (3， 0)， B(0， 4). 在 RtAOB 中， OA=3， OB=4，由勾股定理得： AB=5. 在 RtBCP 中， CP=PB sinABO= t， BC=PB cosABO= t， CD=CP= t. 若点 D 恰好与点 A 重合，则 BC+CD=AB，即 t+ t=5，解得： t= ， 当 t= 时，点 D 恰好与点 A 重合 . (2)当点 P 与点 O 重合时， t=4； 当点 C 与点 A 重合时，由 BC=BA，即 t=5，得 t= . 点 P 在射线 BO 上运动的过程中： 当 0 t 时， 此时 S=SPCD
22、 = CP CD= t t= t2； 当 t4 时，如答图 1 所示，设 PD 与 x 轴交于点 E. BD=BC+CD= t+ t= t， 过点 D作 DNy 轴于点 N，则 ND=BD sinABO= t = t， BN=BD cosABO= t =t. PN=BN -BP= t-t= t， ON=BN-OB= t-4. NDx 轴， ，即 ，得： OE=28-7t.AE=OA -OE=3-(28-7t)=7t-25. 故 S=SPCD -SADE = CP CD- AE ON= t2- (7t-25)( t-4)= t2+28t-50； 当 4 t 时，如答图 2 所示，设 PC 与 x
23、 轴交于点 E. AC=AB-BC=5- t， tanOAB= = ， CE=AC tanOAB= (5- t) = - t. 故 S=SACE = AC CE= (5- t)( - t)= t2- t+ ； 当 t 时，无重合部分，故 S=0. 综上所述， S 与 t 的函数关系式为： S= . 25.(12 分 )将 ABC 绕点 B 逆时针旋转 得到 DBE ， DE 的延长线与 AC 相交于点 F，连接DA、 BF. (1)如图 1，若 ABC=60 ， BF=AF. 求证： DABC ； 猜想线段 DF、 AF 的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图 2，若 ABC ， BF=mA
24、F(m 为常数 )，求 的值 (用含 m、 的式子表示 ). 解析 ： (1)由旋转性质证明 ABD 为等边三角形，则 DAB=ABC=60 ，所以 DABC ； (2) 如答图 1所示，作辅助线 (在 DF上截取 DG=AF，连接 BG)，构造全等三角形 DBGABF ，得到 BG=BF， DBG=ABF ；进而证明 BGF 为等边三角形，则 GF=BF=AF；从而 DF=2AF； 与 类似，作辅助线，构造全等三角形 DBGABF ，得到 BG=BF， DBG=ABF ，由此可知 BGF 为顶角为 的等腰三角形，解直角三角形求出 GF 的长度，从而得到 DF 长度，问题得解 . 答案 ： (
25、1) 由旋转性质可知， DBE=ABC=60 ， BD=ABABD 为等边三角形， DAB=60 ， DAB=ABC ， DABC . 猜想： DF=2AF. 证明：如答图 1 所示，在 DF 上截取 DG=AF，连接 BG. 由旋转性质可知， DB=AB， BDG=BAF . 在 DBG 与 ABF 中， DBGABF (SAS)， BG=BF ， DBG=ABF . DBG+GBE=60 ， GBE+ABF=60 ，即 GBF=60 ， 又 BG=BF ， BGF 为等边三角形， GF=BF ，又 BF=AF， GF=AF .DF=DG+GF=AF+AF=2AF . (2)如答图 2 所示
26、，在 DF 上截取 DG=AF，连接 BG. 由 (1)，同理可证明 DBGABF ， BG=BF， GBF= . 过点 B 作 BNGF 于点 N， BG=BF ， 点 N 为 GF 中点， FBN= . 在 RtBFN 中， NF=BF sinFBN=BFsin =mAFsin . GF=2NF=2mAFsin DF=DG+GF=AF+2mAFsin ， =1+2msin . 26.(12 分 )如图，抛物线 y=- x2+ x-4 与 x 轴相交于点 A、 B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 M.P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点 (点 P、 M、 C不在同一
27、条直线上 ).分别过点 A、 B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、 E，连接点 MD、 ME. (1)求点 A， B 的坐标 (直接写出结果 )，并证明 MDE 是等腰三角形； (2)MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由； (3)若将 “P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点 (点 P、 M、 C 不在同一条直线上 )” 改为 “P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点 ” ，其他条件不变， MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标 (直接写出结果 )；若不能，说明理由 . 解析 ： (1)在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求
28、得点 A、点 B 的坐标； 如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形 AMFBME ，得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF的中点，从而得到 MD=ME，问题得证； (2)首先分析，若 MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M.如答图 2 所示，设直线 PC与对称轴交于点 N，首先证明 ADMNEM ，得到 MN=AM，从而 求得点 N 坐标为 (3， 2)；其次利用点 N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标 . (3)当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与 (2)完全相同 . 答案 ： (1)抛物线解析
29、式为 y=- x2+ x-4，令 y=0， 即 - x2+ x-4=0，解得 x=1 或 x=5， A (1， 0)， B(5， 0). 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F. ADPC ， BEPC ， ADBE ， MAF=MBE . 在 AMF 与 BME 中， ， AMFBME (ASA)， ME=MF ，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点， MD=ME ，即 MDE 是等腰三角形 . (2)答：能 . 抛物线解析式为 y=- x2+ x-4=- (x-3)2+ ， 对称轴是直线 x=3， M(3， 0)； 令 x=0，得 y=-4， C (0， -4).
30、MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： 若 DEEM ，由 DEBE ，可知点 E、 M、 B 在一条直线上， 而点 B、 M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x轴上， 由 DEBE ，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在； 若 DEDM ，与 同理可知，此种情况不存在； 若 EMDM ，如答图 2 所示： 设直线 PC 与对称轴交于点 N， EMDM ， MNAM ， EMN=DMA . 在 ADM 与 NEM 中， ADMNEM (ASA)， MN=MA . 抛物线解析式为 y=- x2+ x-4=- (x-3)2+ ，故对
31、称轴是直线 x=3， M (3， 0)， MN=MA=2， N (3， 2). 设直线 PC 解析式为 y=kx+b， 点 N(3， 2)， C(0， -4)在直线上， ，解得 k=2， b=-4， y=2x -4. 将 y=2x-4 代入抛物线解析式得： 2x-4=- x2+ x-4，解得： x=0 或 x= ， 当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时， y=2x-4=3.P ( ， 3). 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为 ( ， 3). (3)答：能 . 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N. 与 (2)同理，可知若 MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M. MDME ， MAMN ， DMN=EMB . 在 DMN 与 EMB 中， ， DMNEMB (ASA)， MN=MB .N (3， -2). 设直线 PC 解析式为 y=kx+b， 点 N(3， -2)， C(0， -4)在抛物线上， ，解得 k= ， b=-4， y= x-4. 将 y= x-4 代入抛物线解析式得： x-4=- x2+ x-4，解得： x=0 或 x= ， 当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时， y= x-4= .P ( ， ). 综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为 ( ， ).
