1、 2013 年辽宁省朝阳市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 1.(3 分 )-6 的相反数是 ( ) A. -6 B. - C. D. 6 解析 ：根据概念，与 -6 只有符号不同的数是 6.即 -6 的相反数是 6. 答案： D. 2.(3 分 )下列图形中，由如图经过一次平移得到的图形是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据平移的性质：平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等 . 选项 A， B， D 都改变了图象的方向，只有答案 C 符合题意 . 答案 ： C. 3.(3 分 )“ 植草种树，防风治沙 ” .某地今年植草种树
2、 36700 公顷，数据 36700 用科学记数法表示是 ( ) A. 36.710 2 B. 36.710 3 C. 3.6710 3 D. 3.6710 4 解析 ： 将 36700 用科学记数法表示为： 3.6710 4. 答案 ： D. 4.(3 分 )如图是一个圆锥体的侧面展开图，它的弧长是 8 ，则圆锥体的底面半径是 ( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 解析 ： 设底面半径为 r，根据题意得： 2r=8 ，解得： r=4. 答案： B. 5.(3 分 )不等式组 的解集是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ， 由 得， x2 ， 由 得， x -2， 故不等式得
3、解集为 -2 x2 ，在数轴上表示为： ， 答案： B. 6.(3 分 )工厂欲招收一名技工，下表是对两名应聘者加工相同数量同一种零件的数据进行分析所得的结果，你认为录用哪位较好？ ( ) A. 录用甲 B. 录用乙 C. 录用甲、乙都一样 D. 无法判断录用甲、乙 解析 ： 甲的方差是 269，乙的方差是 86， S 甲 2 S 乙 2， 成绩较稳定的是乙， 录用乙较好； 答案： B. 7.(3 分 )一批同学和部分家长结伴参加夏令营，同学和家长一共 18 人，同学数是家长数的 2倍少 3 人 .设家长有 x 人，同学有 y 人，根据题意，下面列出的方程组正确的是 ( ) A. B. C.
4、D. 解析 ： 设家长有 x 人，同学有 y 人，根据题意得： . 答案 ： C. 8.(3 分 )如图，三角形 ABC 中， A 的平分线交 BC 于点 D，过点 D作 DEAC ， DFAB ，垂足分别为 E， F，下面四个结论： AFE=AEF ； AD 垂直平分 EF； ； EF 一定平行 BC. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 三角形 ABC 中， A 的平分线交 BC 于点 D， DEAC ， DFAB ， ADE=ADF ， DF=DE， AF=AE ， AFE=AEF ，故正确； DF=DE ， AF=AE， 点 D 在 EF 的垂直平分线上，点 A 在
5、 EF的垂直平分线上， AD 垂直平分 EF，故正确； S BFD = BFDF ， SCDE = CEDE ， DF=DE， ；故正确； EFD 不一定等于 BDF ， EF 不一定平行 BC.故错误 . 答案： A. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 9.(3 分 )计算： (-2ab3)2= . 解析 ： (-2ab3)2=4a2b6. 答案 ： 4a2b6. 10.(3 分 )分式方程 的解是 . 解析 ： 方程的两边同乘 x(x-3)，得 3x-9=2x，解得 x=9. 检验：把 x=9 代入 x(x-3)=540. 原方程的解为： x=9. 答案 ： x
6、=9. 11.(3 分 )如图， ab ， 1=70 ， 2=50 ， 3= . 解析 ： ab ， 1=70 ， 4=1=70 ， 3=180 -4 -2=180 -70 -50=60. 答案 ： 60. 12.(3 分 )五名同学星期天干家务活的时间分别是 2， 2， 3， 4， 5 小时，它们的众数是 ，中位数是 . 解析 ： 这组数据 2 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 2 小时； 把这组数据从小到大排列为： 2， 2， 3， 4， 5 小时， 最中间的数是 3 小时，则中位数是 3 小时； 答案 ： 2 小时， 3 小时 . 13.(3 分 )如图，在常见的几何体圆锥、圆柱
7、、球、长方体中，主视图与它的左视图一定完全相同的几何体有 (填编号 ). 解析 ： 圆锥主视图是三角形，左视图也是三角形， 圆柱的主视图和左视图都是矩形； 球的主视图和左视图都是圆形； 长方体的主视图是矩形，左视图也是矩形，但是长和宽不一定相同， 答案 ： . 14.(3 分 )在右边的展开图中，分别填上数字 1， 2， 3， 4， 5， 6，使得折叠成正方体后，相对面上的数字之和相等，则 a= ， b= ， c= . 解析 ： 1 与 a 相对， 5 与 b 相对， 3 与 c 相对， 1+a=5+b=3+c ，六个面上的数字为分别 1， 2， 3， 4， 5， 6a=6 ， b=2， c=
8、4； 答案 ： 6， 2， 4. 15.(3分 )下表反映的是我们目前学过的函数 (不是二次函数 )图象上点的横坐标 x与纵坐标 y之间的对应关系： 则 m 的值可以是 . 解析 ： 当这个函数是反比例函数时 34=43=12 ， 因此 6m=12，解得 m=2， 当这个函数是一次函数时， y=kx+b，则 ，解得 所以函数解析式为： y=-x+7，当 x=6 时， y=1.所以 m=2 或 1. 答案 ： 2 或 1. 16.(3 分 )如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从 O 点第一跳落到 A1(1， 0)，第二跳落到 A2(1， 2)，第三跳落到 A3(4， 2)，第四跳落到 A4
9、(4， 6)，第五跳落到 A5 .到达 A2n后，要向 方向跳 个单位落到 A2n+1. 解析 ： 蓝精灵从 O 点第一跳落到 A1(1， 0)，第二跳落到 A2(1， 2)，第三跳落到 A3(4， 2)，第四跳落到 A4(4， 6)， 蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离与其次数相等，即可得出： 第五跳落到 A5(9， 6)，到达 A2n后，要向右方向跳 (2n+1)个单位落到 A2n+1. 答案 ： (9， 6)，右 (东 )， (2n+1). 三、解答题 (共 10 小题，满分 102 分 ) 17.(6 分 )计算： |-2|+(6- )0+3-1+ . 解析 ： 根据零指数幂和
10、负整数指数幂得意义得到原式 =2+1+ -2，然后进行加减运算 . 答案 ： 原式 =2+1+ -2= . 18.(8 分 )先化简，再求值： ，其中 x=2013. 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = = =x. 当 x=2013 时，原式 =2013. 19.(8 分 )某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： 在河流的一条岸边 B 点，选对岸正对的一颗树 A； 沿河岸直走 20 步有一树 C，继续前行 20 步到达 D 处； 从 D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 A
11、树正好被 C 树遮挡住的 E处停止行走； 测得 DE 的长就是河宽 AB. 请你证明他们做法的正确性 . 解析 ： 将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性 . 答案 ：如图，由做法知： 在 RtABC 和 RtEDC 中， RtABCRtEDCAB=ED 即他们的做法是正确的 . 20.(10 分 )某校对九年级 500 名同学完成数学学习任务情况进行随机抽查，抽查结果分为“ 很好 ” 、 “ 较好 ” 、 “ 一般 ” 、 “ 较差 ” 四个等级 .根据抽查的数据，制成不完整的表格和扇形统计图如下： 根据所学知识分析， 答案 下
12、列问题： (1)补填表图中的空缺： a= ， m= ， n= . (2)通过计算，估计全校完成学习任务 (一般、较好、很好 )的同学有多少人？ (3)请你根据自己的知识和经验，或者从数据分析角度，给某等级的同学提些合理化的建议，目标或给予评价 . 解析 ： (1)首先根据较差的人数和所占的百分比确定抽查的人数，然后减去其他小组人数即可求得 a 值，然后用每一小组的人数除以总人数即可求得 m 和 n 的值 . (2)用九年级总人数乘以各小组所占的百分比即可求得完成学习任务的同学人数； (3)积极向上的鼓励性的建议均可 . 答案 ： (1) 观察扇形统计图知，较差的有 15 人，占 10%， 抽查
13、的总人数为 1510%=150( 人 )， a=15040%=60 人， m=30150100=20 n=451501 00=30 (2)全校完成学习任务的有 500(1 -10%)=450(人 )； (3)加强学习，努力奋斗，以优异的成绩完成学业 .(答案不唯一 ) 21.(10 分 )如图 1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有 30角，一块含有 45 角，并且有一条直角边是相等的 .现将含 45 角的直角三角形硬纸板重叠放在含 30 角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合 .如图 2，若相等的直角边 AC长为 12cm，求另一条直角边没有重叠部分 BD 的
14、长 (结果用根号表示 ). 解析 ： 先根据 RtABC 中， AC=12， ABC=45 ，求出 BC，再根据 tanDAC= ，得出 CD，最后根据 BD=CD-BC 计算即可 . 答案 ： RtABC 中， AC=12， ABC=45 ， BC=AC=12 ， RtACD 中， AC=12， DAC=60 ， tanDAC= ， CD=ACtanDAC=12tan60=12 ， BD=CD -BC=(12 -12)cm. 答：另一条直角边没有重叠部分 BD 的长为 (12 -12)cm. 22.(10 分 )三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下
15、抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张 . (1)求甲先抽一张卡片，抽到的卡片上数字为偶数的概率； (2)用树形 (状 )图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率 . 解析 ： (1)由甲先抽一张卡片，可能出现的点数有 3 种，而且点数出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有 1 种，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案 ： (1) 甲先抽一张卡片，可能出现的点数有 3 种，而且点数出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶
16、数的只有 1 种； 抽到的卡片上数字为偶数的概率为： ； (2)画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有 3 种情况， 他们抽到 相同数字卡片的概率为： = . 23.(12 分 )如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， AD=CD，过点 A 作 AEDC 交 BC 于点 E. (1)求证：四边形 AECD 是菱形 . (2)在 (1)的条件下，若 B=30 ， AEAB ，以点 A 为圆心， AE 的长为半径画弧交 BE 于点 F，连接 AF，在图中，用尺规补齐图形 (仅保留作图痕迹 )，并证明点 F 是 BE 的中点 . 解析 ： (1)由 ADBC ， AED
17、C ，可证得四边形 AECD 是平行四边形，又由 AD=CD，即可证得四边形 AECD 是菱形 . (2)由 B=30 ， AEAB ， AE=AF，易得 AEF 是等边三角形，继而证得 ABF 是等腰三角形，则可证得 BF=AF=EF，即可得点 F 是 BE 的中点 . 答案 ： (1)ADBC ， AEDC ， 四边形 AECD 是平行四边形， AD=CD ， 四边形 AECD 是菱形 . (2)补齐图形： 证明： B=30 ， AEAB ， AEB=60 ， AE=AF ， AEF 是等边三角形， AF=EF ， EAF=60 ， BAF=90 -EAF=30 ， BAF=B ， AF=
18、BF ， BF=EF ，即点 F 是 BE 的中点 . 24.(12 分 )如图，直线 AB 与 O 相切于点 A，直径 DC 的延长线交 AB 于点 B， AB=8， OB=10 (1)求 O 的半径 . (2)点 E 在 O 上，连接 AE， AC， EC，并且 AE=AC，判断直线 EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论 . (3)求弦 EC 的长 . 解析 ： (1)连接 OA，交 EC 于 F，根据切线性质得出 OAB=90 ，根据勾股定理求出即可； (2)根据 AE=AC 推出弧 AE=弧 AC，根据垂径定理求出 OAEC ，根据平行线判定推出即可； (3)证 O FCO
19、AB ，求出 FC，根据垂径定理得出 EC=2FC，代入求出即可 . 答案 ： (1)连接 AO，交 EC 于 F， AB 切 O 于 A， OAAB ， OAB=90 ， 在 RtOAB 中，由勾股定理得： OA= = =6， 答： O 的半径是 6. (2)直线 EC 与 AB 的位置关系是 ECAB. 证明： AE=AC ， 弧 AE=弧 AC， OA 过 O， OAEC ， OAAB ， ECAB. (3)ECAB ， OFCOAB ， = ， = ， FC= ， OAEC ， OA 过 O， EC=2FC= . 25.(12 分 )甲、乙两企业去年末都有利润积累，甲企业利润为 300
20、 万元，甲企业认为：企业要可持续发展，必须进行自主创新和技术改造，由于投资更新等原因，甲企业的利润积累 y甲 (万元 )与时间 x(年 )之间的函数图象呈抛物线 (如图 )乙企业的利润积累 y乙 (万元 )每年增加50 万元，预计第一年末 (今年末 )利润积累 150 万元 . (1)乙企业去年末的利润积累是 万元，乙企业利润积累 y 乙 (万元 )与时间 x(年 )之间的函数关系式为 (不必写出自变量 x 的取值范围 ). (2)到第几年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系？ (3)改造初期，甲企业的利润积累逐渐减少，甚至会低于乙企业的利润积累 .随着甲企业进入改造成
21、长期，甲企业的利润积累重新高于乙企业的利润积累，试问第几年 (保留整数位 .参考数据： 3.6 )甲企业开始进入改造成长期？ 5 年后 (含 5 年 )甲企业进入改造成熟期，效益将显现出来 .改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累多少万元？ 解析 ： (1)根据题意直接得出乙企业去年末的利润积累以及 y 乙 与时间 x 之间函数关系； (2)首先利用交点式得出 y 甲 与时间 x 之间的解析式，进而利用甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系即 3 倍关系，进而求出即可； (3)利用甲企业刚好进入改造成长期时： y 甲 =y 乙 ，求出即可，再利用二次函数增减性
22、得出答案即可 . 答案 ： (1) 乙企业的利润积累 y 乙 (万元 )每年增加 50 万元，预计第一年末 (今年末 )利润积累 150 万元 . 乙企业去年末的利润积累是 100 万元， 乙企业利润积累 y 乙 与时间 x 之间函数关系为： y 乙 =100+50x； 故答案为： 100， y 乙 =100+50x； (2)依据题意，设甲企业的利润积累 y 甲 与时间 x 之 间的解析式为： y 甲 =a(x-1)(x-2)， y 甲 =300 时， x=0， a=150 ， y 甲 =150(x-1)(x-2)=150x2-450x+300， 依据题意得： y 甲 =3y 乙 ， 150x
23、 2-450x+300=3(100+50x)， 解得： x1=0(改造初期舍去 )， x2=4， 答：到第 4 年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系； (3)甲企业刚好进入改造成长期时： y 甲 =y 乙 ， 150x 2-450x+300=100+50x，解得： x= ， x 1=0(改造初期舍去 )， x23 ， 第 3 年甲企业进入改造成长期， 设改造成熟期，甲企业的利润积累与乙企业的利润积累的差为 W 万元，依据题意得出： W=y 甲 -y 乙 =150x2-450x+300-(100+50x)=150x2-500x+200， 根据函数性质分析，当 x ， W
24、 随 x 的增大而增大， x5 ， x=5 时， W 取得最小值为 1450， 改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累 1450 万元 . 26.(14 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中， RtAOB 的直角边 OA 在 x 轴正半轴上， OB 在 y轴负半轴上，且 OA= ， OB=1，以 点 B 为顶点的抛物线经过点 A. (1)求出该抛物线的解析式 . (2)第二象限内的点 M，是经过原点且平分 RtAOB 面积的直线上一点 .若 OM=2，请判断点 M是否在 (1)中的抛物线上？并说明理由 . (3)点 P 是经过点 B 且与坐标轴不平行的直线 l 上一点 .请
25、你探究：当直线 l 绕点 B 任意旋转(不与坐标轴平行或重合 )时，是否存在这样的直线 l，在直线 l 上能找到点 P，使 PAB 与RtAOB 相似 (相似比不为 1)？若存在，求出直线 l 的解析式；若不存在，说明理由 . 解析： (1)依题意得到 A 与 B 的坐标，根据 B 为抛物线的顶点，设出抛物线的解析式，将 A坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式； (2)点 M 不在抛物线上，理由为：设抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，直线 OM交 AB 于点 D，由题意得到 D 为 AB 的中点，得到 AD=OD=BD，得到 MON=AOD=OAD=30 ，作 MN 垂直于OC，求
26、出 MN 与 ON 的长，确定出 M 坐标，代入抛物线解析式检验即可得到结果； (3)存在，在 RtAOB 中， AO= ， BO=1， AB=2， ABO=60 ， BAO=30 ，分三种情况考虑： 当 ABP=90 时，若 AP 1B=60 ，则 ABP 1AOB ，由相似得比例，确定出 P1的坐标，再由 B 坐标确定出直线 l 解析式即可； 当 ABP=60 时，若 BAP 5=90 ，则ABP 5OBA ，由相似得比例求出 P5坐标，同理确定出直线 l 解析式； 当 ABP=30 且直线 l 在 AB 上方时，若 P 6AB=90 ，则 ABP 6OAB ，由相似得比例求出 P6坐标，
27、同理确定出直线 l 解析式，综上，得到直线 l 上能找到点 P，使 RtPAB 与 RtAOB 相似时的所有解析式 . 答案 ： (1)依题意得： A( ， 0)， B(0， -1)， B 为抛物线的顶点， 设抛物线解析式为 y=ax2-1， 将 A 坐标代入得： 3a-1=0，即 a= ，则抛物线解析式为 y= x2-1； (2)点 M 不在抛物线 y= x2-1 上，理由为： 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，直线 OM 交 AB 于点 D，作 MNOC 于点 N， 由题意得： D 为 AB 的中点，即 OD=AD=BD， MON=AOD=OAD=30 ， 在 RtOMN 中， OM=
28、2， MN=1 ， ON= ，即 M(- ， 1)， y= (- )2-1=01 ， 点 M 不在抛物线 y= x2-1 上； (3)存在，在 RtAOB 中， AO= ， BO=1， AB=2， ABO=60 ， BAO=30 ， 分三种情况考虑： 当 ABP=90 时，若 AP 1B=60 ，则 ABP 1AOB ， = ，即 BP1= = ， OP 1= ，即 P1(- ， 0)， 这里也利用求出 P2(- ， 2)或 P3( ， -2)或 P4( ， -4)， 设直线 l 解析式为 y=kx+b，将 B 与 P1坐标代入得： ，解得： ， 此时直线 l 解析式为 y=- x-1； 当
29、ABP=60 时，若 BAP 5=90 ，则 ABP 5OBA ， = ，即 BP5= =4， 过 P5作 P5Cy 轴于点 G，在 RtBGP 5中， P 5BG=60 ， P 5G=2 ， BG=2，即 P5(2 ， -3)， 同理求出直线 l 解析式为 y=- x-1； 当 ABP=30 且直线 l 在 AB 上方时，若 P 6AB=90 ，则 ABP 6OAB ， = ，即 BP6= = ， 过 P6作 P6Hy 轴于点 H，在 RtBP 6H 中， P 6BH=30 ， P 6H= ， BH=2， P 6( ， 1)， s 同理得到直线 l 解析式为 y= x-1， 综上，存在三条直线 l： y=- x-1， y=- x-1 和 y= x-1，在上述直线 l 上能找到点 P，使 RtPAB 与 RtAOB 相似 .
